Chương 1: Toán học: khám phá hay phát minh?

Câu hỏi mở đầu

Nếu ngày mai loài người biến mất, câu "hai cộng ba bằng năm" có còn đúng không? Toán học có sẵn trong thế giới, chờ ta tìm ra, hay là thứ do con người nghĩ ra?

Hai câu trả lời, cả hai đều có lý

Nhiều người, khi nghĩ lại về môn toán sau nhiều năm xa cách, có một cảm giác mạnh: toán học có sẵn, con người chỉ tìm ra quy luật. Cảm giác ấy có cơ sở. Lấy 91 viên sỏi và thử xếp chúng thành một hình chữ nhật có nhiều hơn một hàng, mỗi hàng nhiều hơn một viên: bạn sẽ tìm được cách xếp 7 hàng, mỗi hàng 13 viên. Với 89 viên sỏi, bạn thử mãi cũng không có cách nào. Không hội đồng nào biểu quyết được điều ngược lại.

Nhưng nhìn kỹ, ta lại thấy dấu tay con người ở khắp nơi. Chữ số 9 và chữ số 1 là những nét vẽ do người đặt ra. Ta viết "chín mươi mốt" bằng hai chữ số vì ta chọn đếm theo nhóm mười; máy tính lưu cùng số ấy thành \(1011011\) trong hệ nhị phân (binary system), hệ ghi số chỉ dùng hai chữ số 0 và 1. Dấu cộng, dấu bằng, cái tên "số nguyên tố", cả việc có gọi số 1 là số nguyên tố hay không, đều là lựa chọn của con người. Nếu toán học là những thứ ấy, thì rõ ràng nó được phát minh.

Hai cảm giác này đã thành hai lập trường triết học lớn. Chủ nghĩa Platon toán học (mathematical Platonism), mang tên nhà triết học Hy Lạp Platon, cho rằng số, hình và các cấu trúc toán học tồn tại độc lập với con người, và nhà toán học khám phá chúng như nhà thám hiểm khám phá một vùng đất. Ở phía bên kia có nhiều quan điểm; một quan điểm nổi tiếng là chủ nghĩa hình thức (formalism): toán học là trò chơi với ký hiệu theo những luật do ta đặt ra, và "đúng" chỉ có nghĩa là "suy ra được từ luật chơi". Cuộc tranh luận chưa kết thúc, và cuốn sách không đòi bạn chọn phe. Nó đề nghị một cách nhìn thực dụng hơn: tách mỗi khái niệm thành hai lớp.

Tách hai lớp: quy ước và cấu trúc

Lớp thứ nhất là quy ước (convention): những lựa chọn có thể làm khác đi mà không thay đổi điều đang được nói tới, như tên gọi, chữ số, ký hiệu, cách đếm theo nhóm mười hay nhóm hai. Lớp thứ hai là cấu trúc (structure): cái còn lại khi thay mọi quy ước bằng những quy ước khác. Cùng một sự thật có thể ghi theo ba cách:

• theo cách ta học ở trường: \(2 + 3 = 5\);
• bằng số La Mã: \(\mathrm{II} + \mathrm{III} = \mathrm{V}\);
• trong hệ nhị phân: \(10 + 11 = 101\).

Ba dòng trông khác hẳn nhau nhưng nói cùng một điều: gộp một nhóm hai vật với một nhóm ba vật thì được một nhóm ghép đôi được, không thừa không thiếu, với một nhóm năm vật. Điều ấy là cấu trúc. Nó không phụ thuộc vào ký hiệu, và không cần ai chứng kiến.

Cách dung hòa hai lập trường có thể nói gọn: con người chọn luật chơi, nhưng không chọn được hệ quả của luật chơi. Ta đặt ra luật cờ vua; nhưng khi luật đã đặt, một thế cờ có dẫn tới chiếu hết hay không thì không còn do ai quyết định, kể cả người đặt luật. Ta chọn cách định nghĩa "số" hay "phép cộng"; khi định nghĩa đã chọn, những gì suy ra từ chúng là bắt buộc.

Vì thế, câu hỏi dẫn đường cho mọi chương của sách là:

Nếu chưa ai đặt tên cho nó, tại sao cấu trúc này vẫn phải xuất hiện?

Ta sẽ không vứt bỏ ký hiệu; ký hiệu rất quý. Nhưng ta sẽ nhìn nó đúng như bản chất của nó: một cách nén cấu trúc cho gọn, để đầu óc rảnh tay mà nghĩ tiếp.

Ba cấu trúc không ai chọn được

Hãy xem ba ví dụ, kể bằng lời thường, chưa dùng ký hiệu. Bạn nên lấy giấy bút hoặc vài đồng xu ra làm theo.

Số lẻ xếp thành hình vuông

Đặt một viên sỏi xuống bàn. Muốn được hình vuông hai hàng, hai cột, bạn thêm ba viên xếp thành hình chữ L ôm lấy viên đầu. Muốn được hình vuông ba hàng, ba cột, bạn thêm một chữ L lớn hơn gồm năm viên. Lần sau là bảy viên, rồi chín viên.

Mỗi lớp chữ L có số ô là một số lẻ (số ghi ở góc của lớp). Cộng các lớp từ trong ra ngoài, ta luôn được một hình vuông.

Các số bạn lần lượt thêm vào là 1, 3, 5, 7, 9: các số lẻ (odd number) liên tiếp. Tổng số sỏi sau mỗi bước là 1, 4, 9, 16, 25: các số chính phương (perfect square), tức những số bằng một số nguyên nhân với chính nó. Vậy tổng của vài số lẻ đầu tiên luôn là một số chính phương.

Không ai quyết định điều này. Một chữ L bao quanh một hình vuông gồm một hàng và một cột dài bằng nhau, cộng một viên ở góc. Hàng và cột cùng nhau có một số chẵn (even number) viên; thêm viên ở góc thì thành số lẻ. Hình học của việc xếp sỏi ép buộc kết quả.

Bàn cờ bị cắt hai góc

Lấy một bàn cờ vua tám hàng, tám cột, tức 64 ô. Cắt bỏ hai ô ở hai góc đối diện, còn 62 ô. Bạn có 31 quân domino, mỗi quân phủ vừa khít hai ô kề nhau (chung một cạnh). Có cách nào đặt 31 quân phủ kín 62 ô còn lại, không chồng lên nhau, không thò ra ngoài không?

Số ô vừa đúng gấp đôi số quân, nên có vẻ được. Nhưng thử đi thử lại, bạn sẽ luôn bị kẹt ở cuối. Lý do nằm ở màu của các ô.

Hai ô bị cắt có cùng màu sẫm. Mỗi quân domino, đặt ở đâu cũng vậy, luôn phủ đúng một ô sẫm và một ô sáng.

Hai ô kề nhau luôn khác màu, nên mỗi quân domino, đặt ở đâu, xoay thế nào, cũng phủ đúng một ô sẫm và một ô sáng. Đặt bao nhiêu quân đi nữa, số ô sẫm đã phủ vẫn bằng số ô sáng đã phủ. Đây là một bất biến (invariant): một điều không thay đổi, dù ta làm bước nào trong những bước được phép.

Bàn cờ nguyên vẹn có 32 ô sẫm và 32 ô sáng. Hai góc đối diện cùng màu (trên bàn cờ vua chuẩn, cả hai đều sẫm), nên sau khi cắt còn 30 ô sẫm và 32 ô sáng. Muốn phủ kín, 31 quân phải phủ 31 ô sẫm; nhưng chỉ có 30. Vậy không thể.

Màu sơn do con người sơn lên, nhưng sự bất khả thì không: trên một tấm gỗ trơn kẻ ô và cắt hai góc đối diện, mọi cách đặt domino vẫn thất bại. Màu chỉ như thuốc nhuộm giúp thấy tế bào dưới kính hiển vi: cấu trúc có sẵn trước khi ta nhuộm.

Những cái bắt tay

Trong một buổi gặp mặt, một số người bắt tay nhau. Cuối buổi, mỗi người đếm xem mình đã bắt tay bao nhiêu lần, rồi ta cộng tất cả các con số ấy. Tổng này luôn là số chẵn, dù buổi gặp có bao nhiêu người và họ bắt tay thế nào. Lý do: mỗi cái bắt tay có đúng hai người tham gia, nên được đếm đúng hai lần; tổng các con số tự đếm bằng hai lần số cái bắt tay.

Mỗi đoạn nối là một cái bắt tay. Cộng số lần bắt tay của từng người được 18, gấp đôi số đoạn nối.

Không có gì để ta lựa chọn ở đây. Tính chẵn của tổng là hệ quả bắt buộc của một sự thật đơn giản: bắt tay là việc của hai người.

Ký hiệu: nén một cấu trúc vào một dòng

Ký hiệu nén lời lại, và cách nén là quy ước: có thể dùng chữ khác, ký hiệu khác.

Số lẻ. Số lẻ thứ nhất là 1, thứ hai là 3, thứ ba là 5; số lẻ thứ \(k\) là \(2k - 1\). Chữ \(k\) là một chỗ trống, có thể điền bất kỳ số nguyên dương nào. Điều ta thấy ở những viên sỏi được nén thành một dòng:

\[ 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 . \]

Dấu ba chấm nghĩa là "cứ tiếp tục theo cùng quy luật", còn \(n^2\) là cách viết gọn của \(n \cdot n\). Dòng này nén vô số sự thật thành một: nó đúng khi \(n = 1\), khi \(n = 2\), khi \(n = 1000\), và với mọi số nguyên dương \(n\). Cùng một cấu trúc giờ có ba biểu diễn: hình chữ L, dãy số (sequence) 1, 4, 9, 16, 25, và công thức. Hình giúp ta hiểu vì sao, dãy số giúp ta kiểm tra, công thức giúp ta mang đi dùng ở chỗ khác.

Bàn cờ. Đánh số hàng từ 1 đến 8 (từ dưới lên), cột từ 1 đến 8 (từ trái sang), và ghi ô ở hàng \(i\), cột \(j\) là \((i; j)\). Quy ước ô \((i; j)\) là ô sẫm khi \(i + j\) chẵn, ô sáng khi \(i + j\) lẻ. Hai ô kề nhau có \(i + j\) hơn kém nhau đúng 1, nên khác màu. Gọi \(a\) và \(b\) là số ô sẫm và số ô sáng cần phủ. Sau khi đặt \(q\) quân domino, số ô mỗi màu đã phủ đều là \(q\), nên muốn phủ kín thì cần \(a = b\). Ở đây \(a = 30\), \(b = 32\), và \(a \neq b\).

Bắt tay. Với \(m\) người, gọi \(d_1, d_2, \dots, d_m\) là số lần mỗi người bắt tay và \(h\) là số cái bắt tay. Điều ta vừa lập luận được nén thành:

\[ d_1 + d_2 + \dots + d_m = 2h . \]

Các tên \(a\), \(b\), \(d_1\), \(h\) chẳng có gì thiêng liêng; viết \(x\) thay cho \(h\) thì câu vẫn nói cùng một điều. Cái không thể đổi là quan hệ giữa các đại lượng.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (tổng các số lẻ). Tính tổng 5 số lẻ đầu tiên, rồi tổng 10 số lẻ đầu tiên.

Năm số lẻ đầu tiên là 1, 3, 5, 7, 9. Cộng dần: \(1 + 3 = 4\), \(4 + 5 = 9\), \(9 + 7 = 16\), \(16 + 9 = 25\). Kết quả \(25 = 5^2\), đúng như công thức.

Số lẻ thứ 10 là \(2 \cdot 10 - 1 = 19\). Ghép số đầu với số cuối, số thứ hai với số áp cuối, và cứ thế: \(1 + 19\), \(3 + 17\), \(5 + 15\), \(7 + 13\), \(9 + 11\), mỗi cặp bằng 20. Có 5 cặp nên tổng là \(5 \cdot 20 = 100 = 10^2\).

Ví dụ 2 (đếm màu). Kiểm tra bằng số rằng bàn cờ bị cắt hai góc đối diện còn 30 ô sẫm và 32 ô sáng.

Mỗi hàng có 8 ô xen kẽ sẫm và sáng, nên có 4 ô mỗi màu; tám hàng cho \(8 \cdot 4 = 32\) ô mỗi màu. Ô góc \((1; 1)\) có \(1 + 1 = 2\) chẵn, ô góc \((8; 8)\) có \(8 + 8 = 16\) chẵn: cả hai đều sẫm. Cắt đi, còn \(32 - 2 = 30\) ô sẫm và 32 ô sáng. Còn ô góc \((1; 8)\) có \(1 + 8 = 9\) lẻ, là ô sáng. Vậy hai góc kề nhau thì khác màu, hai góc đối diện thì cùng màu. Chi tiết này sẽ quan trọng ở bài B3.

Ví dụ 3 (sáu người). An, Bình, Chi, Dũng, Em, Phúc kể lại số lần mình bắt tay: 5, 4, 3, 3, 2, 1. Có bao nhiêu cái bắt tay?

Tổng các số tự đếm là \(5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 1 = 18\). Mỗi cái bắt tay được đếm hai lần, nên có \(18 : 2 = 9\) cái. Kiểm chứng bằng cách dựng lại một buổi gặp khớp với các con số (chính là buổi gặp trong hình ở trên): An bắt tay cả năm người kia; Bình bắt tay thêm Chi, Dũng, Em; Chi bắt tay thêm Dũng. Đếm lại từng người: An 5, Bình 4, Chi 3, Dũng 3, Em 2, Phúc 1, đúng như lời kể. Số cặp là \(5 + 3 + 1 = 9\), khớp với phép tính.

Khi mẫu hình đánh lừa ta

Có thể bạn nghĩ: cứ thấy một mẫu hình (pattern) lặp lại là có một cấu trúc bắt buộc. Không phải vậy, và đây là chỗ trực giác dễ sai nhất.

Một công thức sinh ra số nguyên tố? Số nguyên tố (prime number) là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ chia hết cho 1 và cho chính nó, như 2, 3, 5, 7, 11. Tính \(n^2 + n + 41\) với \(n = 0, 1, 2, 3, 4\), ta được \(41\), \(43\), \(47\), \(53\), \(61\): toàn số nguyên tố. Tiếp tục, bạn được số nguyên tố liền một mạch tới \(n = 39\), bốn mươi lần liên tiếp. Ai cũng muốn kết luận "với mọi \(n\)". Nhưng với \(n = 40\):

\[ 40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41 \cdot 41 . \]

Chỉ một trường hợp là đủ để bác bỏ một khẳng định "với mọi"; trường hợp ấy gọi là phản ví dụ (counterexample). Thật ra có thể thấy trước điều này: khi \(n = 40\) thì \(n^2 + n = 40 \cdot 41\), nên \(n^2 + n + 41 = 41 \cdot 41\). Mẫu hình chưa bao giờ hứa hẹn gì; nó chỉ "chịu đựng" được khá lâu.

Từ \(n = 0\) đến \(n = 39\), mọi giá trị đều là số nguyên tố. Từ \(n = 40\) trở đi, mẫu hình bắt đầu vỡ.

Đếm miền trong hình tròn. Đặt vài điểm trên một đường tròn rồi nối mọi cặp điểm bằng một dây cung (chord), tức đoạn thẳng nối hai điểm của đường tròn, sao cho không có ba dây nào đồng quy (concurrent), tức cùng đi qua một điểm. Với 1, 2, 3, 4, 5 điểm, các dây chia hình tròn thành 1, 2, 4, 8, 16 miền: mỗi lần thêm một điểm, số miền gấp đôi! Đoán ngay: 6 điểm cho 32 miền. Đếm cẩn thận, chỉ có 31. Bài C3 sẽ cho bạn công cụ để đếm chính xác, và thấy vì sao mẫu hình "gấp đôi" buộc phải vỡ.

Dãy 1, 2, 4, 8, 16 gợi ý "gấp đôi mãi", nhưng với 6 điểm (đặt lệch để không có ba dây đồng quy) chỉ có 31 miền.

Bài học chung: một mẫu hình được quan sát, dù lặp lại bao nhiêu lần, chưa phải là một cấu trúc bắt buộc. Muốn biết một điều đúng trong mọi trường hợp, ta cần một lập luận cho thấy nó không thể sai; lập luận ấy gọi là chứng minh (proof). Muốn bác bỏ, chỉ cần một phản ví dụ.

Luật chơi quyết định hệ quả. Tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^\circ\): điều này đúng trên mặt phẳng, theo luật của hình học phẳng. Bây giờ vẽ một tam giác trên quả địa cầu: một đỉnh ở cực Bắc, hai đỉnh trên xích đạo cách nhau một phần tư vòng, mỗi cạnh là một cung của đường tròn lớn nhất trên mặt cầu. Cả ba góc đều vuông, và tổng ba góc là \(270^\circ\).

Trên mặt cầu, tam giác có một đỉnh ở cực Bắc và hai đỉnh trên xích đạo cách nhau một phần tư vòng có ba góc vuông.

Vậy "tổng ba góc bằng \(180^\circ\)" là hệ quả bắt buộc của một bộ luật cụ thể: những điều được chấp nhận làm điểm xuất phát của hình học phẳng, gọi là tiên đề (axiom). Đổi mặt phẳng sang mặt cầu là đổi luật chơi, và hệ quả đổi theo; nhưng trong từng luật chơi, hệ quả không do ta chọn.

Toán học và thế giới. Nhỏ hai giọt nước vào ba giọt nước trên mặt bàn, bạn có thể chỉ thấy một vũng nước. Toán học không sai; chỉ là những giọt nước không giữ được tính riêng rẽ, nên cấu trúc đếm không áp dụng được cho chúng. Một cấu trúc toán học có mô tả đúng một phần của thế giới hay không là một câu hỏi riêng, phải kiểm tra riêng. Việc dùng toán để mô tả thế giới, kèm việc kiểm tra ấy, gọi là mô hình hóa (modeling); Phần VII của sách dành cho nó.

Phát biểu chặt chẽ

Giờ ta viết ba cấu trúc thành những phát biểu chính xác, kèm chứng minh. Mỗi phát biểu đã chứng minh sẽ được gọi là một mệnh đề (proposition). Phần II sẽ dạy cách đọc và viết chứng minh một cách bài bản; ở đây, hãy theo dõi từng bước và tự hỏi: bước này có buộc phải đúng không?

Định nghĩa (bất biến). Cho một quá trình gồm nhiều bước, mỗi bước làm theo một trong những cách được phép. Một bất biến của quá trình là một đại lượng hay một tính chất có giá trị không đổi sau mọi bước, dù bước đó được làm theo cách nào.

Mệnh đề 1 (tổng các số lẻ). Với mọi số nguyên dương \(n\), ta có \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2\).

Chứng minh thứ nhất (bằng hình). Hình vuông \(k \times k\) (\(k\) hàng, \(k\) cột) có \(k^2\) ô. Để được hình vuông \((k + 1) \times (k + 1)\), ta thêm một hàng \(k\) ô, một cột \(k\) ô và một ô ở góc, tức \(2k + 1\) ô. Đó chính là số lẻ thứ \(k + 1\), vì \(2(k + 1) - 1 = 2k + 1\). Bắt đầu từ một ô rồi thêm lần lượt các lớp chữ L ứng với số lẻ thứ hai, thứ ba, cho tới thứ \(n\), ta được hình vuông \(n \times n\). Vậy tổng bằng \(n^2\).

Chứng minh thứ hai (bằng ghép cặp). Gọi \(S\) là tổng cần tính, và viết nó hai lần, một lần xuôi, một lần ngược:

\[ \begin{aligned} S &= 1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1), \\ S &= (2n - 1) + (2n - 3) + \dots + 3 + 1 . \end{aligned} \]

Cộng theo từng cột. Cột thứ \(k\) gồm số lẻ thứ \(k\) là \(2k - 1\) và số lẻ thứ \(n + 1 - k\) là \(2(n + 1 - k) - 1 = 2n - 2k + 1\); tổng của cột là \(2n\), không phụ thuộc vào \(k\). Có \(n\) cột, nên \(2S = n \cdot 2n\), suy ra \(S = n^2\). \(\square\)

Hai con đường rất khác nhau, một bằng hình, một bằng phép tính, cùng tới một đích: dấu hiệu tốt rằng sự thật này không phụ thuộc vào cách ta nhìn nó.

Mệnh đề 2 (bàn cờ bị cắt góc). Bàn cờ \(8 \times 8\) bị cắt bỏ hai ô ở hai góc đối diện không thể được phủ kín bởi 31 quân domino, mỗi quân phủ hai ô kề nhau, không chồng lên nhau.

Chứng minh. Tô ô \((i; j)\) màu sẫm nếu \(i + j\) chẵn, màu sáng nếu \(i + j\) lẻ. Hai ô kề nhau có \(i + j\) hơn kém nhau 1 nên khác màu; vậy mỗi quân domino phủ một ô sẫm và một ô sáng. Giả sử có một cách phủ kín bằng 31 quân; khi đó có 31 ô sẫm được phủ. Nhưng hai góc \((1; 1)\) và \((8; 8)\) đều sẫm (tổng 2 và 16 đều chẵn), nên chỉ còn 30 ô sẫm. Mâu thuẫn; vậy không có cách phủ kín nào. \(\square\)

Lối lập luận "giả sử điều cần bác bỏ là đúng, rồi chỉ ra nó dẫn tới vô lý" gọi là chứng minh phản chứng (proof by contradiction); Phần II có riêng một chương cho nó.

Mệnh đề 3 (bổ đề bắt tay). Trong một nhóm \(m\) người, gọi \(d_i\) là số lần người thứ \(i\) bắt tay và \(h\) là số cái bắt tay. Khi đó \(d_1 + d_2 + \dots + d_m = 2h\); do đó tổng này luôn là một số chẵn.

Chữ bổ đề (lemma) chỉ một kết quả nhỏ, thường được dùng làm bước đệm cho những kết quả khác.

Chứng minh. Lập một danh sách: với mỗi cái bắt tay, ghi tên hai người tham gia. Đếm số tên theo hai cách. Mỗi cái bắt tay góp hai tên, nên có \(2h\) tên. Tên người thứ \(i\) xuất hiện đúng \(d_i\) lần, nên có \(d_1 + d_2 + \dots + d_m\) tên. Hai cách đếm cùng một danh sách phải cho cùng một kết quả. \(\square\)

Kỹ thuật "đếm một thứ theo hai cách" sẽ trở lại ở Phần V. Từ Mệnh đề 3 còn suy ra một điều bất ngờ: số người bắt tay một số lẻ lần luôn là một số chẵn. Một kết quả suy ra khá trực tiếp từ kết quả vừa chứng minh như thế gọi là hệ quả (corollary); bạn sẽ chứng minh hệ quả này ở bài C1.

Vì sao điều này quan trọng lúc này

Ngày nay máy móc viết ký hiệu toán học trôi chảy hơn phần lớn chúng ta. Nhưng như ví dụ \(n^2 + n + 41\) cho thấy, cái trông giống quy luật chưa chắc đã là quy luật, và một chuỗi ký hiệu trôi chảy vẫn có thể sai một cách tự tin. Kỹ năng đáng giá nhất là ba việc chương này đã tập: nhận ra đâu là quy ước, đâu là cấu trúc; hỏi "vì sao điều này buộc phải đúng?"; và nhớ rằng một phản ví dụ đủ để bác bỏ, còn nhiều ví dụ đúng thì chưa đủ để chứng minh. Chương sau sẽ biến ba việc này thành một bộ công cụ kiểm chứng cụ thể.

Sợi chỉ

Cuốn sách được xâu lại bằng bảy sợi chỉ, những ý tưởng sẽ trở lại ở những chỗ rất khác nhau: bất biến qua biến đổi; thông tin và khả nghịch; thứ tự của biến đổi; cục bộ và toàn cục; rời rạc và liên tục; biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc; xấp xỉ và sai số. Chương này đã chạm tới hai sợi.

• S1. Bất biến qua biến đổi. Trên bàn cờ bị cắt góc, đặt domino ở đâu thì số ô sẫm đã phủ vẫn bằng số ô sáng đã phủ; với những cái bắt tay, tổng các số tự đếm luôn chẵn. Một bất biến cho phép kết luận về vô số khả năng mà không phải thử từng khả năng.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Tổng các số lẻ vừa là những lớp chữ L, vừa là một dãy số, vừa là một công thức, và được chứng minh theo hai cách (bằng hình và bằng ghép cặp). Sự thật \(2 + 3 = 5\) cũng có thể viết bằng số La Mã hay trong hệ nhị phân (quy ước và cấu trúc).

Tóm tắt

• Mỗi khái niệm toán học có hai lớp: quy ước (tên gọi, ký hiệu, cách ghi số) do con người chọn, và cấu trúc là cái còn lại khi thay mọi quy ước bằng quy ước khác.
• Con người chọn luật chơi (định nghĩa, tiên đề) nhưng không chọn được hệ quả của luật chơi; đó là cách dung hòa giữa "khám phá" và "phát minh".
• Tổng \(n\) số lẻ đầu tiên bằng \(n^2\); bàn cờ bị cắt hai góc đối diện không phủ kín được bằng domino; tổng số lần bắt tay luôn chẵn: đó là những cấu trúc bắt buộc mà không ai chọn được.
• Bất biến là một đại lượng hay tính chất không đổi qua mọi bước của một quá trình; nó cho phép kết luận về vô số khả năng mà không phải thử từng khả năng.
• Ký hiệu là một cách nén cấu trúc; một dòng công thức có thể chứa vô số sự thật.
• Một mẫu hình lặp lại nhiều lần chưa phải là cấu trúc bắt buộc; muốn khẳng định "với mọi" cần một chứng minh, muốn bác bỏ chỉ cần một phản ví dụ.
• Một cấu trúc toán học có áp dụng được cho một phần của thế giới hay không là một câu hỏi riêng, phải được kiểm tra riêng.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Trong câu "hai cộng ba bằng năm", phần nào là quy ước, phần nào là cấu trúc? Nếu một nền văn hóa đếm theo nhóm năm và viết số năm là \(10\), câu ấy được viết thế nào, và điều gì không thay đổi?

Lời giải

Các từ "hai", "ba", "năm", các chữ số, dấu cộng, dấu bằng đều là quy ước. Cấu trúc là sự thật về số lượng mà câu ấy nói, như ở mục "Tách hai lớp".

Khi đếm theo nhóm năm, số năm được viết là \(10\) (một nhóm năm, không có vật lẻ nào). Hai và ba nhỏ hơn năm nên vẫn viết là \(2\) và \(3\). Câu trở thành \(2 + 3 = 10\). Cách viết đổi, nhưng số lượng vật thì không: bày sỏi ra, bạn vẫn thấy đúng năm viên.

A2. Một người nói: "Tôi đã kiểm tra công thức của mình với 1000 giá trị đầu tiên của \(n\) và nó luôn đúng, nên nó đúng với mọi \(n\)." Dùng một ví dụ trong chương để giải thích vì sao lập luận này chưa đủ. Người đó cần làm gì?

Lời giải

Biểu thức \(n^2 + n + 41\) cho số nguyên tố với 40 giá trị liên tiếp \(n = 0, 1, \dots, 39\), rồi hỏng ở \(n = 40\). Không có gì bảo đảm rằng một mẫu hình đúng với 1000 trường hợp sẽ không hỏng ở trường hợp thứ 1001. Người đó cần một chứng minh: một lập luận cho thấy công thức buộc phải đúng với mọi \(n\), như cách xếp chữ L hay cách ghép cặp cho tổng các số lẻ.

A3. Tổng ba góc của một tam giác có "luôn luôn" bằng \(180^\circ\) không? Câu trả lời cho biết gì về quan hệ giữa luật chơi và hệ quả?

Lời giải

Không. Trên mặt phẳng, theo các tiên đề của hình học phẳng, tổng ba góc bằng \(180^\circ\); tam giác ba góc vuông trên mặt cầu có tổng \(270^\circ\). Con người chọn luật chơi: làm việc trên mặt phẳng hay trên mặt cầu, với những tiên đề nào. Khi luật đã chọn, hệ quả là bắt buộc: trên mặt phẳng, không ai vẽ được một tam giác có tổng ba góc khác \(180^\circ\).

B. Tính toán

B1. Số lẻ thứ 25 là số nào? Tổng 25 số lẻ đầu tiên bằng bao nhiêu? Kiểm tra lại bằng cách ghép cặp.

Lời giải

Số lẻ thứ \(k\) là \(2k - 1\), nên số lẻ thứ 25 là \(2 \cdot 25 - 1 = 49\). Theo Mệnh đề 1, tổng 25 số lẻ đầu tiên là \(25^2 = 625\).

Ghép cặp: \(1 + 49 = 50\), \(3 + 47 = 50\), và cứ thế tới \(23 + 27 = 50\). Có 12 cặp như vậy; còn lại số đứng giữa là số lẻ thứ 13, tức \(25\). Tổng là \(12 \cdot 50 + 25 = 625\).

B2. Tính \(21 + 23 + 25 + \dots + 99\) (tổng các số lẻ từ 21 đến 99).

Lời giải

Số 99 là số lẻ thứ 50 (vì \(2 \cdot 50 - 1 = 99\)), còn số 19 là số lẻ thứ 10. Tổng cần tính bằng tổng 50 số lẻ đầu tiên trừ đi tổng 10 số lẻ đầu tiên:

\[ 50^2 - 10^2 = 2500 - 100 = 2400 . \]

Kiểm tra cách khác: có \(50 - 10 = 40\) số hạng; ghép số đầu với số cuối được 20 cặp, mỗi cặp bằng \(21 + 99 = 120\), nên tổng là \(20 \cdot 120 = 2400\).

B3. Bàn cờ \(8 \times 8\) bị cắt hai ô ở hai góc kề nhau là \((1; 1)\) và \((1; 8)\). Lập luận đếm màu có ngăn việc phủ kín bằng 31 quân domino không? Hãy tìm một cách phủ.

Lời giải

Ô \((1; 1)\) có tổng 2, là ô sẫm; ô \((1; 8)\) có tổng 9, là ô sáng. Cắt đi mỗi màu một ô, còn 31 ô sẫm và 31 ô sáng, nên lập luận màu không ngăn cản gì.

Một cách phủ: ở hàng 1 còn 6 ô liền nhau từ cột 2 đến cột 7, đặt 3 quân nằm ngang. Mỗi hàng từ hàng 2 đến hàng 8 có đủ 8 ô, đặt 4 quân nằm ngang. Tổng cộng \(3 + 7 \cdot 4 = 31\) quân.

Bài học: lập luận màu chỉ cho một điều kiện cần (số ô hai màu phải bằng nhau). Khi điều kiện ấy được thỏa, ta vẫn phải tự tìm cách phủ.

B4. Bàn cờ \(5 \times 5\) có phủ kín được bằng domino không? Nếu cắt bỏ đúng một ô, lập luận màu cho biết phải cắt ô màu nào thì mới còn hy vọng? Chỉ ra một cách phủ khi cắt ô ở chính giữa.

Lời giải

Bàn cờ có 25 ô, là số lẻ, mà mỗi quân phủ 2 ô, nên không phủ kín được.

Các hàng 1, 3, 5 mỗi hàng có 3 ô sẫm; các hàng 2, 4 mỗi hàng có 2 ô sẫm. Vậy có \(3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 13\) ô sẫm và 12 ô sáng. Sau khi cắt một ô, 24 ô còn lại cần 12 ô mỗi màu, nên phải cắt một ô sẫm, tức ô cùng màu với bốn góc.

Ô giữa \((3; 3)\) có tổng 6, là ô sẫm. Phần còn lại gồm hai vòng khép kín: vòng ngoài 16 ô sát mép và vòng trong 8 ô quanh ô giữa. Mỗi vòng có số ô chẵn và hai ô liên tiếp trên vòng kề nhau, nên đặt domino nối đuôi nhau dọc theo vòng là phủ kín: 8 quân cho vòng ngoài, 4 quân cho vòng trong.

B5. Trong một buổi gặp 7 người, số lần bắt tay của từng người là 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2. Có bao nhiêu cái bắt tay? Một người khác nhớ lại buổi gặp ấy là 4, 4, 3, 3, 2, 2, 1. Vì sao chắc chắn người này nhớ sai?

Lời giải

Tổng các số tự đếm là \(4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 = 20\), nên có \(20 : 2 = 10\) cái bắt tay.

Với danh sách thứ hai, tổng là \(4 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 = 19\), một số lẻ. Theo bổ đề bắt tay, tổng này phải là số chẵn. Vậy danh sách thứ hai không thể đúng.

B6. Có thể có một nhóm 7 người mà mỗi người bắt tay đúng 3 người khác không? Còn một nhóm 8 người thì sao?

Lời giải

Với 7 người, tổng các số tự đếm là \(7 \cdot 3 = 21\), một số lẻ, trái với bổ đề bắt tay. Vậy không thể.

Với 8 người, tổng là \(8 \cdot 3 = 24 = 2 \cdot 12\), nên bổ đề không ngăn cản gì. Và quả thật làm được: cho 8 người ngồi quanh một bàn tròn, mỗi người bắt tay hai người ngồi cạnh mình và người ngồi đối diện. Mỗi người bắt tay đúng 3 lần; có 8 cái bắt tay giữa những người ngồi cạnh nhau và 4 cái giữa những người ngồi đối diện, tổng cộng 12.

B7. Đặt 4 điểm trên một đường tròn và nối mọi cặp điểm. Có bao nhiêu dây cung, bao nhiêu giao điểm nằm bên trong hình tròn, và bao nhiêu miền?

Lời giải

Gọi bốn điểm theo thứ tự trên đường tròn là \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Các dây cung là \(AB\), \(AC\), \(AD\), \(BC\), \(BD\), \(CD\): có 6 dây. Các cạnh \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) của tứ giác không cắt nhau bên trong; chỉ hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau, tại 1 điểm. Số miền: 4 miền nằm giữa các cạnh và cung tròn, cộng 4 tam giác do hai đường chéo chia tứ giác ra, tổng cộng 8 miền. Để ý rằng \(1 + 6 + 1 = 8\); bài C3 sẽ giải thích vì sao.

B8. Tính \(2 + 4 + 6 + \dots + 20\). Rồi dùng Mệnh đề 1 để tìm công thức cho tổng \(n\) số chẵn đầu tiên \(2 + 4 + \dots + 2n\).

Lời giải

Ghép cặp: \(2 + 20\), \(4 + 18\), \(6 + 16\), \(8 + 14\), \(10 + 12\), mỗi cặp bằng 22. Có 5 cặp nên tổng là \(5 \cdot 22 = 110\).

Tổng quát: số chẵn thứ \(k\) là \(2k = (2k - 1) + 1\), tức số lẻ thứ \(k\) cộng thêm 1. Cộng \(n\) số chẵn đầu tiên, ta được tổng \(n\) số lẻ đầu tiên cộng thêm \(n\) lần số 1:

\[ 2 + 4 + \dots + 2n = n^2 + n = n(n + 1) . \]

Với \(n = 10\): \(10 \cdot 11 = 110\), khớp với phép tính trên.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng trong mọi buổi gặp, số người đã bắt tay một số lẻ lần luôn là một số chẵn.

Lời giải

Chia mọi người thành nhóm \(C\) (bắt tay một số chẵn lần) và nhóm \(L\) (bắt tay một số lẻ lần). Theo bổ đề bắt tay, tổng các số tự đếm của mọi người bằng \(2h\), là số chẵn. Tổng của nhóm \(C\) là tổng các số chẵn nên là số chẵn. Vậy tổng của nhóm \(L\), bằng một số chẵn trừ đi một số chẵn, cũng là số chẵn.

Mà tổng của nhóm \(L\) là tổng các số lẻ. Ghép các số lẻ ấy thành từng đôi, mỗi đôi có tổng chẵn. Nếu nhóm \(L\) có một số lẻ người, sẽ thừa ra đúng một số lẻ, và tổng sẽ là số chẵn cộng số lẻ, tức số lẻ: mâu thuẫn. Vậy nhóm \(L\) có một số chẵn người. \(\square\)

C2. Một người khẳng định: "Với mọi số tự nhiên \(n\), số \(n^2 - n + 11\) là số nguyên tố." Hãy thử vài giá trị, rồi tìm một phản ví dụ. (Gợi ý: chọn \(n\) sao cho cả \(n^2\) và \(n\) đều chia hết cho 11.)

Lời giải

Với \(n = 0, 1, 2, \dots, 10\), ta được lần lượt 11, 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83, 101: tất cả đều là số nguyên tố. Mẫu hình trông rất thuyết phục.

Theo gợi ý, lấy \(n = 11\):

\[ 11^2 - 11 + 11 = 121 = 11 \cdot 11 , \]

không phải số nguyên tố. Vậy \(n = 11\) là một phản ví dụ. Ta tìm ra nó nhờ hiểu cấu trúc của biểu thức (khi \(n = 11\), mọi số hạng đều chia hết cho 11), chứ không phải nhờ thử mò.

C3. Đặt \(n\) điểm trên một đường tròn, nối mọi cặp điểm bằng dây cung, và giả sử không có ba dây nào đồng quy tại một điểm bên trong hình tròn.

(a) Giải thích vì sao khi vẽ thêm một dây cắt \(k\) dây đã có (tại \(k\) điểm khác nhau), số miền tăng thêm đúng \(k + 1\).

(b) Suy ra: số miền bằng 1, cộng số dây cung, cộng số giao điểm bên trong.

(c) Với 6 điểm, có 15 dây và 15 giao điểm bên trong. Tính số miền, và giải thích vì sao mẫu hình "gấp đôi" không thể kéo dài.

Lời giải

(a) Dây mới bị \(k\) giao điểm chia thành \(k + 1\) đoạn. Mỗi đoạn nằm trọn trong một miền cũ và cắt miền ấy làm hai, nên số miền tăng thêm \(k + 1\).

(b) Lúc chưa có dây nào, hình tròn là 1 miền. Vẽ lần lượt từng dây; nếu dây thứ \(i\) cắt \(k_i\) dây vẽ trước nó thì nó thêm \(k_i + 1\) miền. Cộng lại, số miền bằng 1, cộng số dây (mỗi dây góp một số 1), cộng tổng các \(k_i\). Mỗi giao điểm bên trong là chỗ gặp nhau của đúng hai dây (vì không có ba dây đồng quy), và được đếm đúng một lần, lúc vẽ dây sau trong hai dây ấy. Vậy tổng các \(k_i\) bằng số giao điểm bên trong.

(c) Với 6 điểm: \(1 + 15 + 15 = 31\) miền. Kiểm tra với các trường hợp nhỏ: 4 điểm cho \(1 + 6 + 1 = 8\) miền, 5 điểm có 10 dây và 5 giao điểm cho \(1 + 10 + 5 = 16\) miền. Số miền tăng theo số dây và số giao điểm, mà hai số này không hề gấp đôi mỗi khi thêm một điểm: với 7 điểm có 21 dây và 35 giao điểm, nên có \(1 + 21 + 35 = 57\) miền, còn xa mới tới 64. Năm số đầu trùng với dãy gấp đôi chỉ là trùng hợp. (Mỗi giao điểm ứng với một cách chọn 4 trong \(n\) điểm; Phần V sẽ dạy cách đếm những lựa chọn như vậy.)

Câu hỏi để ngỏ

Nếu toán học là những cấu trúc buộc phải xuất hiện, thì một người trưởng thành nên học lại nó thế nào để thật sự hiểu, chứ không chỉ có cảm giác là mình hiểu? Và khi một người khác, hay một cỗ máy, đưa ra một khẳng định toán học trông rất thuyết phục, làm sao ta kiểm chứng được nó?