Chương 26: Phương trình như bộ lọc

Câu hỏi mở đầu

Giải phương trình \(f(x) = c\) chính là hỏi: những đầu vào nào cho ra \(c\)? Khi không có hàm ngược, hoặc có nhiều đáp án, nên nhìn một phương trình như thế nào?

Một cái phễu

Câu "\(x^2 = 4\)" không đúng cũng không sai. Nó là một vị từ theo nghĩa của Chương 15: thay \(x\) bằng một số cụ thể thì nó thành một mệnh đề, đúng với một số giá trị, sai với những giá trị khác. Vì thế một phương trình giống một cái phễu lọc. Đổ vào đó mọi ứng viên, chẳng hạn mọi số nguyên từ \(-3\) tới 3; mỗi ứng viên được thử; những ứng viên làm câu trở thành đúng thì lọt qua. Tập những gì lọt qua là câu trả lời.

Phương trình \(x^2 = 4\) như một cái phễu: trong bảy ứng viên từ \(-3\) tới 3, chỉ \(-2\) và 2 lọt qua.

Nhìn như thế, câu hỏi mở đầu có câu trả lời gọn. Câu hỏi "những đầu vào nào cho ra \(c\)?" luôn có nghĩa, dù hàm có hàm ngược hay không: câu trả lời là tập \(\{x \mid f(x) = c\}\), một tập con của miền xác định (Chương 19). Tập ấy có thể rỗng, có một phần tử, nhiều phần tử, hay vô số. Hàm ngược của Chương 25 chỉ là trường hợp đặc biệt, khi với mọi \(c\) trong đối miền, tập ấy có đúng một phần tử.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì mọi điều kiện đặt lên một đại lượng chưa biết, "số nào nhân 3 trừ 7 thì được 11", "giờ nào nhiệt độ vượt 30 độ", đều là một vị từ, và các đối tượng thỏa một vị từ tạo thành một tập. Phương trình là hình thức lâu đời nhất của việc đặt điều kiện; "giải" chỉ là mô tả tập các đối tượng thỏa điều kiện ấy một cách đơn giản nhất.

Biến đổi bộ lọc mà giữ nguyên thứ lọt qua

Muốn biết những số nào lọt qua phễu "\(3x - 7 = 11\)", không cần thử từng số. Ta thay phễu bằng một phễu đơn giản hơn mà lọc ra đúng những số ấy: "\(3x = 18\)", rồi "\(x = 6\)". Phễu cuối cùng quá đơn giản để cần thử: chỉ số 6 lọt qua.

Bí quyết nằm ở chữ "đúng những số ấy". Cộng 7 vào hai vế là một bước tháo ngược được: từ "\(3x = 18\)" trừ 7 ở hai vế thì quay về "\(3x - 7 = 11\)". Bước tháo ngược được thì không thêm, không bớt ứng viên nào: một số lọt qua phễu trước khi và chỉ khi nó lọt qua phễu sau. Đây là Chương 6 và Chương 25 nhìn từ một phía mới: biến đổi khả nghịch giữ nguyên tập nghiệm.

Còn bước không tháo ngược được thì nguy hiểm, theo hai hướng. Bình phương hai vế làm mất thông tin về dấu (\(3^2 = (-3)^2\)), nên phễu mới rộng hơn: nó có thể cho lọt thêm những số không thỏa phương trình ban đầu. Chia hai vế cho một biểu thức có thể bằng 0 là một phép có khi không làm được (Chương 9), nên phễu mới có thể chặn mất những số lẽ ra phải lọt. Chương 2 đã gặp đúng lỗi thứ hai ở một lời giải của trợ lý AI.

Ký hiệu

Một phương trình (equation) với ẩn (unknown) \(x\) có dạng \(f(x) = g(x)\), xét trên một tập ứng viên \(U\) gọi là miền đang xét. Mỗi \(x \in U\) làm đẳng thức đúng là một nghiệm (solution). Tập mọi nghiệm là tập nghiệm (solution set), thường viết là \(S\):

\[ S = \{x \in U \mid f(x) = g(x)\}. \]

Giải phương trình là mô tả \(S\) một cách đơn giản, chẳng hạn liệt kê các phần tử của nó. Khi \(S = \varnothing\), ta nói phương trình vô nghiệm.

Hai phương trình trên cùng miền \(U\) là hai phương trình tương đương (equivalent equations) nếu chúng có cùng tập nghiệm; ta viết dấu \(\Leftrightarrow\) giữa chúng. Phương trình thứ hai là phương trình hệ quả (consequence equation) của phương trình thứ nhất nếu tập nghiệm của phương trình thứ nhất nằm trong tập nghiệm của phương trình thứ hai; ta viết \(\Rightarrow\). Một nghiệm của phương trình hệ quả mà không là nghiệm của phương trình ban đầu gọi là nghiệm ngoại lai (extraneous solution).

Nhiều điều kiện cùng lúc tạo thành một hệ phương trình (system of equations), viết với dấu ngoặc nhọn:

\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases} \]

Nghiệm của hệ là mỗi cặp \((x; y)\) thỏa mọi phương trình của hệ. Thay dấu bằng bởi \(<\), \(\leq\), \(>\) hay \(\geq\), ta có một bất phương trình (inequality), như \(|x - 3| < 2\); tập nghiệm của nó thường là một khoảng hay một hợp của các khoảng. Một bảng xét dấu (sign chart) ghi dấu của từng thừa số trên từng khoảng của trục số, để đọc ra dấu của cả tích.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (từng bước tháo ngược được).

\[ 3x - 7 = 11 \iff 3x = 18 \iff x = 6. \]

Bước đầu cộng 7 vào hai vế, bước sau chia hai vế cho 3; cả hai đều tháo ngược được, nên \(S = \{6\}\). Thay lại: \(3 \cdot 6 - 7 = 11\).

Ví dụ 2 (miền đang xét quyết định câu trả lời). Phương trình \(x^2 = 2\) vô nghiệm trên \(\mathbb{Q}\), vì \(\sqrt2\) là số vô tỉ (Chương 11); trên \(\mathbb{R}\), tập nghiệm của nó là \(\{-\sqrt2; \sqrt2\}\). Tương tự, \(2x = 3\) vô nghiệm trên \(\mathbb{Z}\) và có nghiệm \(\frac32\) trên \(\mathbb{Q}\). Cùng một phễu, đổ vào những ứng viên khác nhau, thu được những câu trả lời khác nhau. Việc mở rộng các tập số ở Phần I có thể kể lại theo cách này: mỗi lần một phương trình vô nghiệm, ta dựng thêm ứng viên, số âm cho \(x + 5 = 2\), phân số cho \(2x = 3\), số vô tỉ cho \(x^2 = 2\).

Ví dụ 3 (nghiệm ngoại lai). Giải \(\sqrt{x + 2} = x\) trên miền \(x \geq -2\). Bình phương hai vế:

\[ x + 2 = x^2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff (x - 2)(x + 1) = 0, \]

nên phương trình hệ quả có hai nghiệm, \(2\) và \(-1\). Thử lại trong phương trình ban đầu: \(\sqrt{2 + 2} = 2\), đúng; \(\sqrt{-1 + 2} = 1 \neq -1\), sai. Vậy \(S = \{2\}\), và \(-1\) là nghiệm ngoại lai. Nó đến từ đâu? Bình phương không phân biệt \(\sqrt{x + 2} = x\) với \(-\sqrt{x + 2} = x\), và \(-1\) là nghiệm của phương trình thứ hai (Mệnh đề 4).

Đường \(y = x\) gặp \(y = \sqrt{x + 2}\) tại \((2; 2)\): nghiệm thật. Nó còn gặp nhánh \(y = -\sqrt{x + 2}\) (nét đứt) tại \((-1; -1)\): nghiệm ngoại lai mà phép bình phương cho lọt vào.

Ví dụ 4 (mất nghiệm khi chia). Lời giải ở Chương 2 chia hai vế của \(x^2 = 3x\) cho \(x\) và được \(x = 3\). Nó bỏ sót \(x = 0\), vì chia cho \(x\) chỉ làm được khi \(x \neq 0\). Cách đúng là chuyển vế rồi dùng tính chất "tích bằng 0 khi và chỉ khi một thừa số bằng 0" (Mệnh đề 5):

\[ x^2 = 3x \iff x^2 - 3x = 0 \iff x(x - 3) = 0 \iff x = 0 \ \text{hoặc} \ x = 3. \]

\(S = \{0; 3\}\).

Ví dụ 5 (phương trình tích). \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\), nên \(x^2 - 5x + 6 = 0\) có \(S = \{2; 3\}\). Thay lại: \(4 - 10 + 6 = 0\) và \(9 - 15 + 6 = 0\). Chương 28 sẽ giải mọi phương trình dạng này, kể cả khi không nhìn ra cách phân tích.

Ví dụ 6 (bất phương trình với trị tuyệt đối). \(|x - 3|\) là khoảng cách từ \(x\) tới 3 trên trục số (Chương 7). Vậy \(|x - 3| < 2\) nghĩa là \(x\) cách 3 ít hơn 2 đơn vị: \(1 < x < 5\), tức \(S = (1; 5)\).

\(|x - 3| < 2\): mọi điểm cách 3 ít hơn 2 đơn vị, tức khoảng \((1; 5)\). Hai đầu mút không thuộc tập nghiệm.

Ví dụ 7 (bảng xét dấu). Giải \((x - 1)(x - 4) > 0\). Thừa số \(x - 1\) đổi dấu tại 1, thừa số \(x - 4\) đổi dấu tại 4. Hai điểm ấy chia trục số thành ba khoảng, và trên mỗi khoảng, dấu của tích là tích các dấu. Tích dương khi hai thừa số cùng dấu: \(x < 1\) hoặc \(x > 4\). Vậy \(S = (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)\).

Bảng xét dấu của \((x - 1)(x - 4)\). Tích dương trên \((-\infty; 1)\) và \((4; +\infty)\), âm giữa 1 và 4, bằng 0 tại hai điểm ấy.

Ví dụ 8 (hệ hai phương trình). Giải hệ \(2x + y = 7\), \(x - y = 2\).

• Phương pháp thế (substitution method): từ phương trình thứ hai, \(y = x - 2\); thế vào phương trình thứ nhất: \(2x + x - 2 = 7\), nên \(x = 3\) và \(y = 1\).
• Phương pháp cộng (elimination method): cộng hai phương trình vế với vế thì \(y\) triệt tiêu: \(3x = 9\), nên \(x = 3\); thay lại được \(y = 1\).

\(S = \{(3; 1)\}\). Mỗi phương trình của hệ là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ (Chương 23), và nghiệm của hệ là giao điểm của chúng: hệ là giao của hai bộ lọc. Hai đường có thể song song, như \(2x + y = 7\) và \(2x + y = 1\): hệ vô nghiệm. Chúng cũng có thể trùng nhau, như \(2x + y = 7\) và \(4x + 2y = 14\): hệ có vô số nghiệm, mọi điểm của đường thẳng.

Ba khả năng của một hệ hai phương trình hai ẩn dạng này: hai đường cắt nhau tại một điểm, song song, hoặc trùng nhau.

Ranh giới

Bình phương có thể thêm nghiệm. Ví dụ 3 cho thấy \(\sqrt{x + 2} = x\) và \(x + 2 = x^2\) không tương đương: phương trình sau có thêm nghiệm \(-1\). Sau mỗi phép bình phương, phải thử lại mọi nghiệm tìm được trong phương trình ban đầu, hoặc chỉ bình phương khi biết chắc hai vế cùng không âm (bài C1).

Chia cho biểu thức chứa ẩn có thể mất nghiệm. Ví dụ 4 mất nghiệm \(x = 0\). Nhân hai vế với một biểu thức chứa ẩn thì ngược lại, có thể thêm nghiệm: nhân hai vế của \(x = 3\) với \(x\) được \(x^2 = 3x\), có thêm nghiệm 0.

Nhân một bất phương trình với số âm thì đảo chiều. Vì \(a < b\) khi và chỉ khi \(-a > -b\) (Chương 7), bất phương trình \(-2x < 6\) tương đương với \(x > -3\), không phải \(x < -3\). Thử lại với \(x = 0\): \(0 < 6\) đúng, và \(0 > -3\) cũng đúng. Nhân với một biểu thức chứa ẩn thì còn khó hơn, vì chưa biết nó dương hay âm; phải chia trường hợp (bài B9).

Một phễu có thể không lọc gì, hoặc chặn hết. \(2(x + 1) = 2x + 2\) đúng với mọi \(x\): \(S = \mathbb{R}\). \(2(x + 1) = 2x + 3\) sai với mọi \(x\): \(S = \varnothing\). Cả hai vẫn là phương trình đàng hoàng; "vô số nghiệm" và "vô nghiệm" là hai câu trả lời đầy đủ.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (tập nghiệm). Cho tập \(U\) và hai hàm \(f\), \(g\) xác định trên \(U\). Tập nghiệm của phương trình \(f(x) = g(x)\) trên \(U\) là \(S = \{x \in U \mid f(x) = g(x)\}\).

Định nghĩa 2 (tương đương, hệ quả). Hai phương trình trên \(U\), với tập nghiệm \(S_1\) và \(S_2\), là tương đương nếu \(S_1 = S_2\); phương trình thứ hai là hệ quả của phương trình thứ nhất nếu \(S_1 \subseteq S_2\).

Mệnh đề 3 (áp một đơn ánh lên hai vế). Cho \(\varphi\) là một đơn ánh xác định tại mọi giá trị của \(f\) và \(g\). Khi đó phương trình \(\varphi(f(x)) = \varphi(g(x))\) tương đương với \(f(x) = g(x)\). Đặc biệt, cộng cùng một số \(c\) vào hai vế, hay nhân hai vế với cùng một số \(c \neq 0\), là biến đổi tương đương.

Chứng minh. Nếu \(f(x) = g(x)\) thì \(\varphi(f(x)) = \varphi(g(x))\), vì \(\varphi\) là một hàm. Ngược lại, nếu \(\varphi(f(x)) = \varphi(g(x))\) thì \(f(x) = g(x)\), vì \(\varphi\) là đơn ánh. Vậy hai phương trình có cùng tập nghiệm. Các hàm \(t \mapsto t + c\) và \(t \mapsto ct\) với \(c \neq 0\) có hàm ngược \(t \mapsto t - c\) và \(t \mapsto \frac{t}{c}\), nên là đơn ánh (Chương 25, Định lý 2). \(\square\)

Mệnh đề 4 (bình phương hai vế). Phương trình \(f(x)^2 = g(x)^2\) là hệ quả của \(f(x) = g(x)\), và tập nghiệm của nó là hợp của tập nghiệm của \(f(x) = g(x)\) và tập nghiệm của \(f(x) = -g(x)\).

Chứng minh. Với hai số thực \(a\), \(b\): \(a^2 = b^2 \iff a^2 - b^2 = 0 \iff (a - b)(a + b) = 0 \iff a = b\) hoặc \(a = -b\), theo Mệnh đề 5. Áp dụng cho \(a = f(x)\), \(b = g(x)\). \(\square\)

Vậy các nghiệm ngoại lai do bình phương sinh ra chính là những nghiệm của \(f(x) = -g(x)\) không thỏa \(f(x) = g(x)\). Hàm \(t \mapsto t^2\) không đơn ánh, nên Mệnh đề 3 không áp dụng được cho nó.

Mệnh đề 5 (tích bằng 0). Với hai số thực \(a\), \(b\): \(ab = 0\) khi và chỉ khi \(a = 0\) hoặc \(b = 0\). Do đó tập nghiệm của \(f(x) \cdot g(x) = 0\) là hợp của tập nghiệm của \(f(x) = 0\) và tập nghiệm của \(g(x) = 0\) (với \(x\) mà cả \(f(x)\) lẫn \(g(x)\) xác định).

Chứng minh. Nếu \(a = 0\) hay \(b = 0\) thì \(ab = 0\). Ngược lại, giả sử \(ab = 0\) và \(a \neq 0\); nhân hai vế với \(\frac1a\) được \(b = 0\). \(\square\)

Mệnh đề 6 (hệ là giao). Tập nghiệm của một hệ phương trình là giao của tập nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Chứng minh. Một ứng viên là nghiệm của hệ khi và chỉ khi nó thỏa phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai, tức thuộc tập nghiệm thứ nhất và tập nghiệm thứ hai: đó là định nghĩa của giao (Chương 19). \(\square\)

Sợi chỉ

• S2. Thông tin và khả nghịch. Biến đổi tháo ngược được, tức áp một đơn ánh lên hai vế, giữ nguyên tập nghiệm (Mệnh đề 3). Bình phương làm mất thông tin về dấu nên có thể thêm nghiệm; chia cho một biểu thức có thể bằng 0 là phép có khi không làm được, nên có thể mất nghiệm.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Nghiệm của một phương trình là giao điểm của hai đồ thị; nghiệm của một hệ là giao của các tập nghiệm; nghiệm của một phương trình tích là hợp. "Và" với giao, "hoặc" với hợp, như ở Chương 19.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Giải một phương trình là biến đổi bộ lọc liên tục mà giữ nguyên một thứ: tập nghiệm. Mọi bước tương đương đều để tập nghiệm bất biến; bước chỉ là hệ quả thì không, và cần thử lại.

Tóm tắt

• Một phương trình là một vị từ, tức một bộ lọc trên tập ứng viên; tập nghiệm là những gì lọt qua, và giải là mô tả tập ấy một cách đơn giản.
• Câu hỏi "đầu vào nào cho ra \(c\)" luôn có câu trả lời là một tập, có thể rỗng, một phần tử, nhiều hay vô số; hàm ngược là trường hợp tập ấy luôn có đúng một phần tử.
• Biến đổi tương đương giữ nguyên tập nghiệm: cộng một số, nhân với số khác 0, tổng quát là áp một đơn ánh lên hai vế.
• Bình phương hai vế chỉ là biến đổi hệ quả và có thể sinh nghiệm ngoại lai (nghiệm của \(f = -g\)); chia cho biểu thức chứa ẩn có thể mất nghiệm. Cần thử lại.
• Miền đang xét là một phần của phương trình: \(x^2 = 2\) vô nghiệm trên \(\mathbb{Q}\), có hai nghiệm trên \(\mathbb{R}\).
• Hệ phương trình là giao các bộ lọc (giao điểm đồ thị); phương trình tích là hợp; giải hệ bậc nhất bằng phương pháp thế hay phương pháp cộng.
• Bất phương trình lọc ra các khoảng; nhân với số âm thì đảo chiều; bảng xét dấu đọc dấu của một tích.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao câu "\(x^2 = 4\)" không đúng cũng không sai? Nó trở thành một mệnh đề khi nào? Cho hai cách biến nó thành một mệnh đề đúng.

Lời giải

Nó chứa biến \(x\) tự do, nên là một vị từ (Chương 15): giá trị của nó phụ thuộc vào \(x\). Thay \(x\) bằng một số cụ thể thì nó thành mệnh đề, như "\(2^2 = 4\)" (đúng) hay "\(3^2 = 4\)" (sai). Cũng có thể đóng nó bằng lượng từ: "\(\exists x \in \mathbb{R}\ x^2 = 4\)" là một mệnh đề đúng. Còn "\(\forall x \in \mathbb{R}\ x^2 = 4\)" là một mệnh đề sai.

A2. Một bạn giải \(\sqrt{x} = x - 2\) bằng cách bình phương hai vế, được \(x = x^2 - 4x + 4\), rồi \(x = 1\) hoặc \(x = 4\), và kết luận \(S = \{1; 4\}\). Chỗ sai ở đâu? Tập nghiệm đúng là gì?

Lời giải

Bình phương chỉ là biến đổi hệ quả, nên phải thử lại. Với \(x = 4\): \(\sqrt4 = 2 = 4 - 2\), đúng. Với \(x = 1\): \(\sqrt1 = 1\), còn \(1 - 2 = -1\): sai. Số 1 là nghiệm ngoại lai, nghiệm của \(-\sqrt{x} = x - 2\) (Mệnh đề 4). Tập nghiệm đúng là \(\{4\}\).

A3. "Chia hai vế cho \(x\)" và "nhân hai vế với \(x\)": mỗi phép có thể làm gì với tập nghiệm? Hãy nêu một ví dụ cho mỗi trường hợp.

Lời giải

Chia cho \(x\) có thể mất nghiệm \(x = 0\): \(x^2 = 3x\) có \(S = \{0; 3\}\), còn \(x = 3\) chỉ có \(\{3\}\). Nhân với \(x\) có thể thêm nghiệm \(x = 0\): \(x = 3\) có \(S = \{3\}\), còn \(x^2 = 3x\) có \(\{0; 3\}\). Cả hai đều vì \(t \mapsto xt\) không đơn ánh khi \(x = 0\): nhân với 0 dồn mọi số về 0 (Chương 9).

B. Tính toán

B1. Giải trên \(\mathbb{R}\): (a) \(5x + 3 = 2x - 9\); (b) \(\frac{x - 2}{3} = \frac{x + 1}{4}\); (c) \(2(x + 1) = 2x + 2\); (d) \(2(x + 1) = 2x + 3\).

Lời giải

(a) \(3x = -12\), \(S = \{-4\}\). (b) Nhân hai vế với 12: \(4(x - 2) = 3(x + 1)\), tức \(4x - 8 = 3x + 3\), \(S = \{11\}\). (c) Đúng với mọi \(x\): \(S = \mathbb{R}\). (d) Rút gọn được \(2 = 3\), sai với mọi \(x\): \(S = \varnothing\).

B2. Giải mỗi phương trình trên các miền đã cho: (a) \(x^2 = 9\) trên \(\mathbb{N}\) và trên \(\mathbb{Z}\); (b) \(3x = 1\) trên \(\mathbb{Z}\) và trên \(\mathbb{Q}\); (c) \(x^2 = 5\) trên \(\mathbb{Q}\) và trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

(a) Trên \(\mathbb{N}\): \(\{3\}\); trên \(\mathbb{Z}\): \(\{-3; 3\}\). (b) Trên \(\mathbb{Z}\): \(\varnothing\); trên \(\mathbb{Q}\): \(\{\frac13\}\). (c) Trên \(\mathbb{Q}\): \(\varnothing\), vì \(\sqrt5\) vô tỉ (Chương 11); trên \(\mathbb{R}\): \(\{-\sqrt5; \sqrt5\}\).

B3. Giải và loại nghiệm ngoại lai: (a) \(\sqrt{2x + 3} = x\); (b) \(\sqrt{x + 7} = x + 1\).

Lời giải

(a) Bình phương: \(2x + 3 = x^2\), tức \((x - 3)(x + 1) = 0\). Thử lại: \(\sqrt9 = 3\), đúng; \(\sqrt1 = 1 \neq -1\), sai. \(S = \{3\}\).

(b) Bình phương: \(x + 7 = x^2 + 2x + 1\), tức \(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) = 0\). Thử lại: \(\sqrt9 = 3 = 2 + 1\), đúng; \(\sqrt4 = 2 \neq -2\), sai. \(S = \{2\}\).

B4. Giải bằng tính chất tích bằng 0: (a) \(x(x - 5) = 0\); (b) \((2x - 1)(x + 3) = 0\); (c) \(x^2 = 5x\); (d) \(x^3 = 4x\).

Lời giải

(a) \(\{0; 5\}\). (b) \(\{\frac12; -3\}\). (c) \(x(x - 5) = 0\): \(\{0; 5\}\). (d) \(x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) = 0\): \(\{-2; 0; 2\}\). Chia hai vế cho \(x\) ở (c) hay (d) sẽ mất nghiệm 0.

B5. Giải: (a) \(3 - 2x \leq 7\); (b) \(|x + 1| \leq 3\); (c) \(|2x - 1| > 5\).

Lời giải

(a) \(-2x \leq 4\); chia cho \(-2\) và đảo chiều: \(x \geq -2\), \(S = [-2; +\infty)\). (b) \(x\) cách \(-1\) không quá 3: \(-4 \leq x \leq 2\), \(S = [-4; 2]\). (c) \(2x - 1 > 5\) hoặc \(2x - 1 < -5\), tức \(x > 3\) hoặc \(x < -2\): \(S = (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)\).

B6. Dùng bảng xét dấu: (a) \((x + 2)(x - 3) < 0\); (b) \(x(x - 1)(x + 1) \geq 0\).

Lời giải

(a) Hai thừa số đổi dấu tại \(-2\) và 3; tích âm khi chúng trái dấu, tức \(-2 < x < 3\): \(S = (-2; 3)\).

(b) Ba thừa số đổi dấu tại \(-1\), 0, 1. Trên \((-\infty; -1)\) cả ba âm: tích âm. Trên \((-1; 0)\) hai âm một dương: tích dương. Trên \((0; 1)\) một âm: tích âm. Trên \((1; +\infty)\): tích dương. Kể cả các điểm làm tích bằng 0: \(S = [-1; 0] \cup [1; +\infty)\).

B7. Giải các hệ: (a) \(x + y = 10\), \(x - y = 4\); (b) \(3x + 2y = 12\), \(x - y = -1\); (c) \(x + 2y = 4\), \(2x + 4y = 9\).

Lời giải

(a) Cộng vế với vế: \(2x = 14\), nên \(x = 7\), \(y = 3\). (b) Thế \(x = y - 1\) vào phương trình đầu: \(3y - 3 + 2y = 12\), nên \(y = 3\), \(x = 2\). (c) Nhân phương trình đầu với 2: \(2x + 4y = 8\), mâu thuẫn với \(2x + 4y = 9\). Hệ vô nghiệm: hai đường thẳng song song.

B8. Một đoàn mua 12 vé, vé người lớn 50.000 đồng, vé trẻ em 30.000 đồng (giá giả định), hết tất cả 480.000 đồng. Có bao nhiêu vé mỗi loại?

Lời giải

Gọi \(x\), \(y\) là số vé người lớn và trẻ em. Hệ: \(x + y = 12\) và \(50.000x + 30.000y = 480.000\), tức \(5x + 3y = 48\). Thế \(y = 12 - x\): \(5x + 36 - 3x = 48\), nên \(x = 6\), \(y = 6\). Thử lại: \(6 \cdot 50.000 + 6 \cdot 30.000 = 480.000\).

B9. Giải \(\frac1x < 1\) trên \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

Lời giải

Không nhân hai vế với \(x\) được, vì chưa biết dấu của nó; chia hai trường hợp. Nếu \(x > 0\), nhân với \(x\) giữ chiều: \(1 < x\). Nếu \(x < 0\), thì \(\frac1x < 0 < 1\) luôn đúng. Vậy \(S = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)\). Nhân vội với \(x\) sẽ được \(1 < x\) và mất cả nửa âm của tập nghiệm.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng với \(a, b \geq 0\): \(a = b\) khi và chỉ khi \(a^2 = b^2\). Suy ra rằng trên một miền mà hai vế \(f(x)\), \(g(x)\) đều không âm, bình phương hai vế là biến đổi tương đương. Áp dụng giải \(\sqrt{x + 7} = \sqrt{2x + 1}\).

Lời giải

Theo Mệnh đề 4, \(a^2 = b^2\) khi và chỉ khi \(a = b\) hoặc \(a = -b\). Nếu \(a, b \geq 0\) và \(a = -b\) thì \(a = b = 0\). Vậy trong mọi trường hợp \(a = b\). Chiều ngược lại hiển nhiên. \(\square\) Áp dụng cho \(a = f(x)\), \(b = g(x)\) trên miền mà cả hai không âm: hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Với \(\sqrt{x + 7} = \sqrt{2x + 1}\): miền xác định là \(x \geq -\frac12\), và hai vế là căn nên không âm. Bình phương là biến đổi tương đương: \(x + 7 = 2x + 1\), tức \(x = 6\). Không cần thử lại, dù thử cũng đúng: \(\sqrt{13} = \sqrt{13}\).

C2. Chứng minh rằng tập nghiệm của \(|f(x)| = |g(x)|\) là hợp của tập nghiệm của \(f(x) = g(x)\) và \(f(x) = -g(x)\). Áp dụng giải \(|x - 1| = |2x + 4|\).

Lời giải

Hai trị tuyệt đối đều không âm, nên theo C1, \(|f(x)| = |g(x)|\) tương đương với \(|f(x)|^2 = |g(x)|^2\), tức \(f(x)^2 = g(x)^2\). Theo Mệnh đề 4, tập nghiệm là hợp của hai tập đã nêu. \(\square\)

\(x - 1 = 2x + 4\) cho \(x = -5\); \(x - 1 = -(2x + 4)\) cho \(3x = -3\), tức \(x = -1\). Vậy \(S = \{-5; -1\}\). Thử lại: \(|-6| = 6 = |-6|\) và \(|-2| = 2 = |2|\).

C3. Đúng hay sai? Chứng minh hoặc cho phản ví dụ. (a) Nếu phương trình \(B\) là hệ quả của \(A\) và \(A\) là hệ quả của \(B\) thì \(A\) và \(B\) tương đương. (b) Nếu hai phương trình tương đương trên \(\mathbb{Q}\) thì chúng tương đương trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

(a) Đúng. Gọi tập nghiệm là \(S_A\), \(S_B\). Giả thiết cho \(S_A \subseteq S_B\) và \(S_B \subseteq S_A\), nên \(S_A = S_B\) theo Mệnh đề 3 của Chương 19. \(\square\)

(b) Sai. \(x^2 = 2\) và \(x^2 = 3\) đều vô nghiệm trên \(\mathbb{Q}\), nên tương đương trên \(\mathbb{Q}\); nhưng trên \(\mathbb{R}\), tập nghiệm của chúng là \(\{\pm\sqrt2\}\) và \(\{\pm\sqrt3\}\), khác nhau. Tương đương là một quan hệ phụ thuộc vào miền đang xét.

Câu hỏi để ngỏ

Trong mọi quy luật, loại nào đơn giản nhất, thay đổi đều đặn như từng bước chân? Và vì sao loại đơn giản ấy lại xuất hiện ở khắp nơi?