Chương 41: Xác suất: đếm các thế giới khả dĩ

Câu hỏi mở đầu

Giờ ta đếm được các khả năng. Nếu mọi khả năng ngang nhau, thì "cơ hội" để điều ta quan tâm xảy ra là gì? Xác suất có phải chỉ là một tỉ số đếm?

Các thế giới khả dĩ

Trước khi tung hai con xúc xắc, thế giới có thể diễn ra theo 36 cách: xúc xắc thứ nhất ra một trong 6 mặt, xúc xắc thứ hai cũng vậy, và theo quy tắc nhân của Chương 40 có \(6 \cdot 6 = 36\) cặp. Gọi mỗi cặp là một thế giới khả dĩ: một cách mà mọi chuyện có thể thành ra. Câu "tổng hai mặt bằng 7" đúng trong đúng 6 thế giới: \((1; 6)\), \((2; 5)\), \((3; 4)\), \((4; 3)\), \((5; 2)\), \((6; 1)\). Nếu hai con xúc xắc cân đối, không thế giới nào được ưu tiên hơn thế giới nào, và con số tự nhiên để đo "cơ hội" của câu ấy là tỉ lệ các thế giới làm nó đúng: \(\frac{6}{36} = \frac16\). Con số ấy gọi là xác suất (probability) của câu "tổng bằng 7".

36 thế giới khả dĩ khi tung hai con xúc xắc; mỗi ô ghi tổng hai mặt. Tổng 7 đúng trong 6 ô cam, nằm trên một đường chéo, nên có xác suất \(\frac{6}{36} = \frac16\).

Đó là cấu trúc nguyên thủy của chương: một tập các thế giới khả dĩ, mỗi thế giới mang một trọng số không âm, tổng các trọng số bằng 1. Xác suất của một câu là tổng trọng số của những thế giới làm câu ấy đúng. Khi có lý do đối xứng để các thế giới ngang nhau, mọi trọng số bằng nhau, và xác suất thành một tỉ số đếm. Nhưng trọng số không nhất thiết bằng nhau. Một con xúc xắc bị làm lệch vẫn có 6 thế giới, chỉ là mặt 6 nặng hơn các mặt khác; một câu hỏi về thời tiết ngày mai cũng có những thế giới khả dĩ, với trọng số đến từ dữ liệu chứ không từ đối xứng. Câu trả lời cho câu hỏi mở đầu vì thế là: xác suất là một tỉ số đếm khi các khả năng ngang nhau, và là một cách cân khi chúng không ngang nhau.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì hễ muốn gán cho mỗi điều chưa biết một con số đo mức "có thể", và muốn các con số ấy nhất quán với nhau, ta bị dồn về đúng nó. Nếu hai điều không thể cùng xảy ra, cơ hội của "điều này hoặc điều kia" phải là tổng hai cơ hội; điều chắc chắn xảy ra phải có số lớn nhất; không điều gì có số âm. Ba đòi hỏi ấy, và chỉ ba đòi hỏi ấy, là nền của toàn bộ lý thuyết. Năm 1654, một câu hỏi cờ bạc về xúc xắc của một người Pháp tên de Méré được Pascal và Fermat trao đổi qua thư, và cuộc trao đổi ấy thường được xem là điểm khởi đầu của lý thuyết xác suất (Ví dụ 2). Gần ba thế kỷ sau, năm 1933, Kolmogorov viết ba đòi hỏi ấy thành ba tiên đề.

Con số ấy được hiểu theo ba cách khác nhau. Theo tần suất (relative frequency): tung hai con xúc xắc thật nhiều lần, tỉ lệ số lần ra tổng 7 sẽ gần \(\frac16\). Theo mức tin: \(\frac16\) là mức một người có lý trí nên tin rằng lần tung tới sẽ ra tổng 7. Theo đối xứng: 36 thế giới không có gì khác nhau về mặt vật lý, nên chúng phải ngang nhau. Ba cách hiểu trả lời câu hỏi "xác suất là gì" theo ba kiểu, nhưng cùng dùng một cấu trúc toán học, và mọi phép tính trong chương này đúng với cả ba.

flowchart LR
  T["tần suất: tỉ lệ khi lặp lại rất nhiều lần"] --> S["không gian mẫu, trọng số, ba tiên đề"]
  M["mức tin: nên tin tới đâu"] --> S
  D["đối xứng: không thế giới nào được ưu tiên"] --> S

Ký hiệu

Tập mọi thế giới khả dĩ, tức mọi kết quả có thể của một phép thử, gọi là không gian mẫu (sample space), thường viết \(\Omega\). Với hai con xúc xắc, \(\Omega\) là tập 36 cặp \((a; b)\). Một câu hỏi về kết quả, như "tổng bằng 7", ứng với tập con của \(\Omega\) gồm những kết quả làm câu ấy đúng; tập con ấy gọi là một biến cố (event). Ta nói biến cố \(A\) xảy ra nếu kết quả thật nằm trong \(A\).

Các phép toán logic của Chương 14 trên câu thành các phép toán tập hợp của Chương 19 trên biến cố. "\(A\) và \(B\)" là giao \(A \cap B\); "\(A\) hoặc \(B\)" là hợp \(A \cup B\); "không \(A\)" là phần bù \(\overline{A}\), mà sách giáo khoa gọi là biến cố đối (complementary event) của \(A\). Hai biến cố không có kết quả chung, \(A \cap B = \varnothing\), là hai biến cố rời nhau: chúng không thể cùng xảy ra. Sách giáo khoa gọi chúng là hai biến cố xung khắc (mutually exclusive).

Một xác suất trên \(\Omega\) hữu hạn gán cho mỗi kết quả \(\omega\) một trọng số \(p(\omega) \geq 0\), với tổng mọi trọng số bằng 1, và cho mỗi biến cố

\[ P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega). \]

Khi mọi kết quả có cùng trọng số, \(p(\omega) = \frac{1}{\lvert \Omega \rvert}\), và \(P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\): số kết quả thuận lợi chia số kết quả có thể, định nghĩa cổ điển trong sách giáo khoa. Mọi xác suất như thế thỏa ba tiên đề:

1. \(P(A) \geq 0\) với mọi biến cố \(A\);
2. \(P(\Omega) = 1\);
3. nếu \(A\) và \(B\) rời nhau thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Mọi quy tắc tính xác suất khác đều là hệ quả của ba tiên đề này (Định lý 2).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (tổng hai xúc xắc). Tổng 7 có xác suất \(\frac16\). Tổng 2 chỉ đúng trong thế giới \((1; 1)\), nên có xác suất \(\frac{1}{36}\); tổng 12 cũng vậy. Tổng hai mặt có 11 giá trị, từ 2 tới 12, nhưng chúng không ngang nhau: số thế giới cho mỗi tổng tăng từ 1 lên 6 rồi giảm về 1.

Xác suất của từng tổng hai mặt. 11 giá trị có thể không ngang nhau: tổng 7 có xác suất \(\frac{6}{36}\), gấp sáu lần tổng 2 hay tổng 12.

Ví dụ 2 (câu hỏi của de Méré). Tung một con xúc xắc 4 lần. Xác suất có ít nhất một lần ra mặt 6 là bao nhiêu? Không gian mẫu có \(6^4 = 1296\) dãy ngang nhau. Đếm trực tiếp phải chia trường hợp một, hai, ba, bốn lần ra 6; đếm phần bù dễ hơn: số dãy không có mặt 6 nào là \(5^4 = 625\). Vậy

\[ P(\text{ít nhất một mặt 6}) = 1 - \frac{625}{1296} = 1 - \left(\frac56\right)^4 \approx 0{,}5177. \]

Cược vào điều này là có lợi, dù chỉ hơn một chút so với một nửa. De Méré tin rằng cược "ít nhất một cặp 6 trong 24 lần tung hai con xúc xắc" cũng có lợi như thế, nhưng bài B2 cho thấy nó hơi bất lợi.

Ví dụ 3 (đúng hai con át). Rút 5 lá từ bộ bài 52 lá. Mọi tay bài ngang nhau, có \(\binom{52}{5} = 2.598.960\) tay. Một tay có đúng 2 con át được tạo bằng cách chọn 2 trong 4 con át rồi 3 trong 48 lá còn lại, nên có \(\binom42\binom{48}{3} = 6 \cdot 17.296 = 103.776\) tay như thế (Chương 40). Xác suất là \(\frac{103.776}{2.598.960} \approx 0{,}0399\), tức khoảng 1 lần trong 25 lần chia bài.

Ví dụ 4 (xổ số). Một kiểu xổ số cho người chơi chọn 6 số trong 45 số, và giải đặc biệt dành cho vé trùng cả 6 số được quay. Mọi bộ 6 số ngang nhau, có \(\binom{45}{6} = 8.145.060\) bộ, nên một vé trúng giải đặc biệt với xác suất \(\frac{1}{8.145.060}\). Mua mỗi tuần một vé, trung bình phải chờ 8.145.060 tuần, tức khoảng 156.600 năm, mới trúng một lần; chữ "trung bình" ở đây sẽ được làm chính xác ở Chương 44, với khái niệm kỳ vọng (expected value).

Ví dụ 5 (bài toán ngày sinh). Trong một nhóm 23 người, xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh là bao nhiêu? Giả sử năm có 365 ngày (bỏ qua ngày 29 tháng 2) và mọi bộ ngày sinh của 23 người ngang nhau. Không gian mẫu có \(365^{23}\) bộ. Đếm phần bù: số bộ mà 23 ngày sinh đều khác nhau là \(365 \cdot 364 \cdots 343\), số chỉnh hợp chập 23 của 365. Vậy

\[ P(\text{có hai người trùng}) = 1 - \frac{365 \cdot 364 \cdots 343}{365^{23}} \approx 1 - 0{,}4927 = 0{,}5073. \]

Chỉ với 23 người, trùng ngày sinh đã có lợi hơn không trùng; với 50 người, xác suất là khoảng \(0{,}970\). Con số làm nhiều người ngạc nhiên, vì ta nghĩ tới xác suất có người trùng ngày sinh với mình, trong khi câu hỏi là về bất kỳ hai người nào: 23 người tạo ra \(\binom{23}{2} = 253\) cặp, và mỗi cặp đều có thể trùng. Bài B3 của Chương 17 dùng nguyên lý chuồng bồ câu để chứng minh 367 người thì chắc chắn có hai người trùng; xác suất cho biết chỉ cần một phần mười số ấy, trùng ngày sinh đã khó tránh.

Xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh trong nhóm \(n\) người. Đường cong vượt \(\frac12\) tại \(n = 23\) và gần 1 khi \(n\) khoảng 60, dù phải tới 366 người mới chắc chắn.

Ví dụ 6 (trọng số không đều). Tung hai đồng xu và chỉ ghi số mặt ngửa. Có ba kết quả: 0, 1, 2. Chúng không ngang nhau: nhìn vào bốn thế giới ngang nhau SS, SN, NS, NN, số mặt ngửa bằng 1 trong hai thế giới, nên có trọng số \(\frac12\), còn 0 và 2 mỗi cái có trọng số \(\frac14\). Cùng một hiện tượng có thể mô tả bằng hai không gian mẫu: bốn thế giới ngang nhau, hay ba kết quả với trọng số không đều. Cả hai đều đúng, nhưng chỉ không gian thứ nhất cho phép đếm.

Ranh giới

"Có hai kết quả nên mỗi cái 50%" là sai. Mua một vé xổ số thì hoặc trúng, hoặc không, nhưng hai khả năng ấy không ngang nhau: xác suất trúng là \(\frac{1}{8.145.060}\). Các thế giới chỉ ngang nhau khi có lý do, như tính đối xứng của một con xúc xắc cân đối; việc liệt kê được hai khả năng không phải là lý do.

Chọn sai không gian mẫu. Nếu coi 11 tổng từ 2 tới 12 là 11 kết quả ngang nhau, ta sẽ nói tổng 7 có xác suất \(\frac{1}{11}\), sai. Ngay cả d'Alembert, một nhà toán học lớn của thế kỷ 18, từng viết rằng tung hai lần một đồng xu thì xác suất có ít nhất một mặt ngửa là \(\frac23\), vì ông đếm ba "kết quả": ngửa ngay lần đầu, sấp rồi ngửa, sấp cả hai lần. Ba kết quả ấy không ngang nhau: cái thứ nhất gồm hai thế giới NS và NN. Đáp số đúng là \(\frac34\). Cách phòng tránh là đi xuống tới những thế giới mà sự ngang nhau được bảo đảm bởi đối xứng, như từng cặp mặt của hai con xúc xắc phân biệt được.

Cộng khi không rời nhau. Tung một con xúc xắc: "ra mặt chẵn" có xác suất \(\frac12\), "ra mặt lớn hơn 3" cũng vậy, nhưng "chẵn hoặc lớn hơn 3" không có xác suất 1. Hai biến cố cùng chứa mặt 4 và 6, nên cộng hai xác suất là đếm hai mặt ấy hai lần. Đáp số đúng là \(\frac12 + \frac12 - \frac26 = \frac23\) (Định lý 2).

Hai biến cố \(A\) và \(B\) trong không gian mẫu \(\Omega\). Cộng \(P(A)\) với \(P(B)\) thì phần giao \(A \cap B\) bị tính hai lần, nên phải trừ đi một lần.

Không thể chọn "đều" một số tự nhiên. Câu "chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên, mọi số có cơ hội như nhau" nghe hợp lý nhưng vô nghĩa. Nếu mỗi số có cùng một xác suất dương, cộng đủ nhiều số sẽ vượt quá 1; nếu mỗi số có xác suất 0, tổng của tất cả là 0 chứ không phải 1 (Mệnh đề 4). Sự đối xứng tuyệt đối trên một tập vô hạn đếm được (Chương 21) không tương thích với các tiên đề.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (không gian xác suất hữu hạn). Một không gian xác suất hữu hạn gồm một tập hữu hạn khác rỗng \(\Omega\) và một hàm \(p: \Omega \to [0; 1]\) với \(\sum_{\omega \in \Omega} p(\omega) = 1\). Mỗi tập con \(A \subseteq \Omega\) là một biến cố, và xác suất của nó là \(P(A) = \sum_{\omega \in A} p(\omega)\), với quy ước tổng trên tập rỗng bằng 0. Khi \(p(\omega) = \frac{1}{\lvert \Omega \rvert}\) với mọi \(\omega\), ta có phân phối đều (uniform distribution), và \(P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\).

Hàm \(P\) thỏa ba tiên đề ở mục Ký hiệu: tổng các số không âm thì không âm; \(P(\Omega)\) là tổng mọi trọng số, bằng 1; và nếu \(A\), \(B\) rời nhau, tổng trên \(A \cup B\) tách thành tổng trên \(A\) cộng tổng trên \(B\).

Định lý 2 (các quy tắc cơ bản). Với mọi biến cố \(A\), \(B\):

1. \(P(\varnothing) = 0\) và \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\);
2. nếu \(A \subseteq B\) thì \(P(A) \leq P(B)\);
3. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

Chứng minh. Chỉ dùng ba tiên đề. (1) \(A\) và \(\overline{A}\) rời nhau, hợp là \(\Omega\), nên \(P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1\). Lấy \(A = \Omega\), \(\overline{A} = \varnothing\): \(P(\varnothing) = 0\). (2) Nếu \(A \subseteq B\) thì \(B\) là hợp rời của \(A\) và \(B \setminus A\), nên \(P(B) = P(A) + P(B \setminus A) \geq P(A)\). (3) \(A \cup B\) là hợp rời của \(A\) và \(B \setminus A\), còn \(B\) là hợp rời của \(B \setminus A\) và \(A \cap B\). Theo tiên đề 3, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A)\) và \(P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B)\). Trừ hai đẳng thức: \(P(A \cup B) - P(B) = P(A) - P(A \cap B)\). \(\square\)

Mệnh đề 3 (khi các thế giới ngang nhau). Nếu mọi kết quả trong \(\Omega\) hữu hạn có cùng trọng số, thì trọng số ấy là \(\frac{1}{\lvert \Omega \rvert}\) và \(P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\) với mọi biến cố \(A\).

Chứng minh. Nếu mọi trọng số bằng \(c\) thì tổng của chúng là \(c\lvert \Omega \rvert = 1\), nên \(c = \frac{1}{\lvert \Omega \rvert}\), và \(P(A)\) là tổng của \(\lvert A \rvert\) số hạng bằng \(c\). \(\square\)

Mệnh đề 3 là lý do mọi kỹ thuật đếm của Chương 40 trở thành kỹ thuật tính xác suất. Nhưng nó chỉ áp dụng khi các trọng số thật sự bằng nhau, và đó là một giả thiết về thế giới, không phải một định lý.

Với không gian mẫu vô hạn đếm được, tiên đề 3 được mở rộng: nếu \(A_1, A_2, \dots\) là một dãy biến cố đôi một rời nhau thì \(P(A_1 \cup A_2 \cup \dots) = P(A_1) + P(A_2) + \dots\), với vế phải là một tổng vô hạn (Chương 31).

Mệnh đề 4 (không có phân phối đều trên \(\mathbb{N}\)). Không có xác suất nào trên \(\Omega = \mathbb{N}\), thỏa ba tiên đề với tiên đề 3 mở rộng như trên, mà gán cùng một xác suất cho mọi số tự nhiên.

Chứng minh. Giả sử \(P(\{n\}) = c\) với mọi \(n\). Nếu \(c > 0\), chọn số nguyên \(N > \frac1c\); theo tiên đề 3 và Định lý 2(2), \(1 = P(\Omega) \geq P(\{0, 1, \dots, N - 1\}) = Nc > 1\), vô lý. Nếu \(c = 0\), theo tiên đề 3 mở rộng, \(1 = P(\Omega) = \sum_{n=0}^{\infty} P(\{n\}) = 0 + 0 + \dots = 0\), vô lý. \(\square\)

Sợi chỉ

• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Tần suất, mức tin và đối xứng là ba câu trả lời khác nhau cho câu hỏi "xác suất là gì", nhưng cùng dùng một cấu trúc: không gian mẫu, trọng số, ba tiên đề. Một biến cố vừa là một câu ("tổng bằng 7") vừa là một tập con, và các phép "và, hoặc, không" của Chương 14 trùng với giao, hợp, phần bù của Chương 19.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Phân phối đều là hệ quả của đối xứng: một con xúc xắc cân đối không thay đổi khi ta đánh số lại các mặt, nên không mặt nào có thể có xác suất khác mặt kia. Khi đối xứng hỏng, như con xúc xắc bị làm lệch hay 11 giá trị của tổng hai mặt, sự ngang nhau cũng hỏng theo. Và Mệnh đề 4 cho thấy có những đối xứng mà không xác suất nào tôn trọng được.

Tóm tắt

• Không gian mẫu \(\Omega\) là tập các thế giới khả dĩ; một biến cố là một tập con; xác suất của biến cố là tổng trọng số của các thế giới trong nó.
• Khi các thế giới ngang nhau vì đối xứng, \(P(A) = \frac{\lvert A \rvert}{\lvert \Omega \rvert}\), và mọi kỹ thuật đếm của Chương 40 dùng được.
• Ba tiên đề: không âm, \(P(\Omega) = 1\), cộng cho biến cố rời nhau; từ đó \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) và \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
• Tần suất, mức tin và đối xứng là ba cách hiểu cùng một cấu trúc toán học.
• Ít nhất một mặt 6 trong 4 lần tung: \(1 - \left(\frac56\right)^4 \approx 0{,}5177\); 23 người có hai người trùng ngày sinh: khoảng \(0{,}5073\); xổ số 6 trong 45: \(\frac{1}{8.145.060}\).
• Sai lầm thường gặp: coi mọi kết quả liệt kê được là ngang nhau, chọn sai không gian mẫu, cộng hai biến cố không rời nhau.
• Không có cách chọn "đều" một số tự nhiên.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Một người nói: "Ngày mai trời mưa hoặc không mưa, nên xác suất mưa là 50%." Chỉ ra chỗ sai. Có trường hợp nào lập luận "hai khả năng nên mỗi cái một nửa" lại đúng không?

Lời giải

Liệt kê được hai khả năng không làm chúng ngang nhau; xác suất mưa phụ thuộc mùa, nơi chốn, dữ liệu khí tượng, và có thể là 5% hay 90%. Lập luận "mỗi cái một nửa" chỉ đúng khi có lý do đối xứng thật sự giữa hai khả năng, như một đồng xu cân đối: không có gì trong cấu tạo của nó ưu tiên mặt này hơn mặt kia.

A2. Với mỗi câu sau, cách hiểu nào về xác suất (tần suất, mức tin, đối xứng) tự nhiên nhất? (a) Xác suất một con xúc xắc cân đối ra mặt 6 là \(\frac16\). (b) Xác suất một đồng xu bị uốn cong ra mặt ngửa là \(0{,}6\). (c) Xác suất đội bóng A thắng trận chung kết ngày mai là \(0{,}7\).

Lời giải

(a) Đối xứng: sáu mặt không phân biệt được về vật lý, nên ngang nhau. (b) Tần suất: không còn đối xứng, con số \(0{,}6\) chỉ có thể đến từ việc tung đồng xu ấy rất nhiều lần. (c) Mức tin: trận chung kết chỉ diễn ra một lần, không lặp lại được, nên \(0{,}7\) là mức tin của một người dựa trên thông tin họ có. Cả ba con số đều tuân theo cùng các tiên đề và cùng các quy tắc tính.

A3. Nguyên lý chuồng bồ câu nói 367 người thì chắc chắn có hai người trùng ngày sinh (tính cả ngày 29 tháng 2). Vậy vì sao chỉ 23 người đã đủ để khả năng trùng vượt quá một nửa? Hai kết luận có mâu thuẫn không?

Lời giải

Không mâu thuẫn: hai câu nói về hai điều khác nhau. Nguyên lý chuồng bồ câu nói về sự chắc chắn, đúng trong mọi thế giới, kể cả thế giới xui xẻo nhất; xác suất nói về tỉ lệ các thế giới. Với 23 người, vẫn có rất nhiều thế giới không ai trùng ai, nhưng chúng chiếm chưa tới một nửa. Lý do con số nhỏ là số cặp người: 23 người tạo ra 253 cặp, và chỉ cần một cặp trùng là đủ.

B. Tính toán

B1. Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất: (a) tổng ít nhất 10; (b) hai mặt bằng nhau; (c) tổng là số chẵn.

Lời giải

(a) Tổng 10, 11, 12 có \(3 + 2 + 1 = 6\) thế giới: \(\frac{6}{36} = \frac16\). (b) 6 cặp \((a; a)\): \(\frac16\). (c) Tổng chẵn khi hai mặt cùng chẵn hoặc cùng lẻ: \(3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 18\) thế giới, xác suất \(\frac12\).

B2. Tung hai con xúc xắc 24 lần. Tính xác suất có ít nhất một lần ra cặp 6, và so với Ví dụ 2.

Lời giải

Mỗi lần tung, cặp 6 có xác suất \(\frac{1}{36}\), và không ra cặp 6 có \(35\) trong 36 thế giới. Không gian mẫu của 24 lần tung có \(36^{24}\) dãy ngang nhau, trong đó \(35^{24}\) dãy không có cặp 6 nào. Xác suất cần tìm là \(1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}4914\), nhỏ hơn một nửa. Cược này bất lợi, trong khi cược ở Ví dụ 2, với xác suất \(0{,}5177\), có lợi. Lập luận "cơ hội mỗi lần nhỏ đi 6 lần, thì tung nhiều gấp 6 lần là bù lại", tức \(\frac46 = \frac{24}{36}\), cho hai cược cùng một con số, nhưng xác suất thật không tỉ lệ với số lần tung.

B3. Rút 5 lá từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất không có con át nào, và xác suất có ít nhất một con át.

Lời giải

Không có át: \(\frac{\binom{48}{5}}{\binom{52}{5}} = \frac{1.712.304}{2.598.960} \approx 0{,}6588\). Có ít nhất một át: \(1 - 0{,}6588 = 0{,}3412\), khớp với con số 886.656 tay bài của Chương 40.

B4. Tung ba đồng xu cân đối. Tính xác suất có đúng hai mặt ngửa, và có ít nhất một mặt ngửa.

Lời giải

Có \(2^3 = 8\) thế giới ngang nhau. Đúng hai ngửa: chọn 2 trong 3 đồng ra ngửa, \(\binom32 = 3\) thế giới, xác suất \(\frac38\). Ít nhất một ngửa: phần bù là "cả ba sấp", 1 thế giới, nên xác suất \(1 - \frac18 = \frac78\).

B5. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số từ 1 tới 100, mọi số ngang nhau. Tính xác suất số ấy chia hết cho 2 hoặc cho 3.

Lời giải

Có 50 số chia hết cho 2, 33 số chia hết cho 3, và 16 số chia hết cho cả hai, tức chia hết cho 6. Theo Định lý 2(3), xác suất là \(\frac{50 + 33 - 16}{100} = \frac{67}{100}\).

B6. Tính xác suất có ít nhất hai người trùng ngày sinh trong nhóm 10 người, và trong nhóm 40 người, với cùng giả thiết như Ví dụ 5.

Lời giải

Với \(n\) người, xác suất là \(1 - \frac{365 \cdot 364 \cdots (365 - n + 1)}{365^n}\). Với \(n = 10\): khoảng \(0{,}117\). Với \(n = 40\): khoảng \(0{,}891\). Từ 10 tới 40 người, số cặp tăng từ 45 lên 780, và xác suất tăng từ khoảng một phần chín lên gần chín phần mười.

B7. Với xổ số ở Ví dụ 4, tính xác suất một vé trùng đúng 5 trong 6 số được quay.

Lời giải

Chọn 5 trong 6 số được quay, \(\binom65 = 6\) cách, và 1 số trong 39 số không được quay, 39 cách: có \(6 \cdot 39 = 234\) bộ. Xác suất là \(\frac{234}{8.145.060}\), khoảng 1 trong 34.808.

B8. Một con xúc xắc bị làm lệch có mặt 6 với xác suất \(0{,}25\) và mỗi mặt còn lại với xác suất \(0{,}15\). Kiểm tra rằng đây là một xác suất, rồi tính xác suất ra mặt chẵn.

Lời giải

Các trọng số không âm và \(5 \cdot 0{,}15 + 0{,}25 = 1\), nên đây là một xác suất. Mặt chẵn là 2, 4, 6: \(0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}55\). Với xúc xắc cân đối, con số này là \(0{,}5\); ở đây không gian mẫu vẫn có 6 kết quả, nhưng không còn đếm được.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Dùng Định lý 2 để chứng minh công thức cho ba biến cố:

\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C). \]

Lời giải

Áp dụng Định lý 2(3) cho \(A \cup B\) và \(C\): \(P(A \cup B \cup C) = P(A \cup B) + P(C) - P((A \cup B) \cap C)\). Mà \((A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)\) (tính phân phối của Chương 19), nên lại theo Định lý 2(3), \(P((A \cup B) \cap C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) - P(A \cap B \cap C)\). Thay \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) và gom lại được công thức. \(\square\)

C2. Chứng minh rằng \(P(A \cup B) \leq P(A) + P(B)\) với mọi biến cố \(A\), \(B\). Dùng bất đẳng thức này để chứng minh rằng trong nhóm \(n\) người, xác suất có hai người trùng ngày sinh không quá \(\frac{\binom n2}{365}\). Với 23 người, cận này cho gì?

Lời giải

Theo Định lý 2(3), \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)\), vì \(P(A \cap B) \geq 0\). Quy nạp cho mọi hợp hữu hạn: xác suất của hợp không vượt quá tổng các xác suất. Biến cố "có hai người trùng" là hợp của \(\binom n2\) biến cố "cặp này trùng", và mỗi cặp trùng với xác suất \(\frac{365}{365^2} = \frac{1}{365}\). Vậy xác suất có hai người trùng không quá \(\frac{\binom n2}{365}\). \(\square\) Với 23 người: \(\frac{253}{365} \approx 0{,}693\), một cận trên đúng nhưng thô, so với giá trị thật \(0{,}507\); nó cho thấy rõ vì sao con số liên quan tới số cặp chứ không tới số người.

C3. Cho \(P(A) = 0{,}7\) và \(P(B) = 0{,}6\). Chứng minh \(A\) và \(B\) không thể rời nhau, và \(P(A \cap B) \geq 0{,}3\). Cho một ví dụ mà dấu bằng xảy ra.

Lời giải

Theo Định lý 2, \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \geq 0{,}7 + 0{,}6 - 1 = 0{,}3\), vì \(P(A \cup B) \leq P(\Omega) = 1\). Do đó \(A \cap B\) không rỗng: hai biến cố không rời nhau. \(\square\) Dấu bằng: chọn một số trong 1 tới 10, mọi số ngang nhau, với \(A = \{1, \dots, 7\}\) và \(B = \{5, \dots, 10\}\); khi đó \(A \cap B = \{5, 6, 7\}\) có xác suất \(0{,}3\).

Câu hỏi để ngỏ

Khi biết thêm một thông tin, chẳng hạn "tổng hai xúc xắc lớn hơn 8", một số thế giới bị loại. Xác suất của những điều khác thay đổi thế nào, và theo luật nào?