Chương 31: Giới hạn: trực giác

Câu hỏi mở đầu

Với hàm tuyến tính, tốc độ thay đổi là hệ số góc, một con số cố định. Nhưng một chiếc xe tăng tốc rồi giảm tốc: "tốc độ tại đúng một thời điểm" là gì? Muốn tính nó, dường như ta phải chia 0 cho 0.

Tốc độ tại đúng một thời điểm

Trở lại hòn đá rơi của Chương 28: sau \(t\) giây nó đã rơi \(s(t) = 5t^2\) mét. Hòn đá càng lúc càng nhanh, nên "tốc độ của nó lúc \(t = 2\)" không thể là quãng đường chia thời gian theo kiểu thông thường: tại đúng một thời điểm, thời gian trôi qua bằng 0, quãng đường đi được cũng bằng 0, và \(0 : 0\) là vô định (Chương 9). Vậy mà đồng hồ tốc độ của một chiếc xe vẫn chỉ một con số ở mỗi lúc. Con số ấy là gì?

Điều ta tính được là tốc độ trung bình (average speed) trên một khoảng thời gian: quãng đường đi được chia cho thời gian đi. Từ lúc 2 giây tới lúc \(2 + h\) giây, với \(h \neq 0\), hòn đá rơi thêm \(s(2 + h) - s(2) = 5(4 + 4h + h^2) - 20 = 20h + 5h^2\) mét, nên tốc độ trung bình là

\[ \frac{s(2 + h) - s(2)}{h} = \frac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h. \]

\(h\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(0{,}001\)	\(-0{,}01\)	\(-0{,}1\)
tốc độ trung bình (m/s)	\(20{,}5\)	\(20{,}05\)	\(20{,}005\)	\(19{,}95\)	\(19{,}5\)

Khoảng thời gian càng ngắn, dù ở sau hay ở trước lúc 2 giây, các con số càng gần 20. Ta không bao giờ đặt \(h = 0\), vì khi ấy thương là \(\frac00\); ta chỉ hỏi các thương dồn về đâu khi \(h\) nhỏ dần. Câu trả lời, 20 m/s, gọi là tốc độ tức thời (instantaneous speed) lúc \(t = 2\). Chương 9 đã hẹn đúng điều này: một biểu thức dạng \(0 : 0\) mà vẫn mang một ý nghĩa rất thật.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì có những câu hỏi ta không đi thẳng tới được: tốc độ tại một thời điểm, tổng của vô số phần, giá trị của \(0{,}999\ldots\). Ta chỉ tiến lại gần được, qua những xấp xỉ ngày càng tốt. Dãy \(20{,}5\); \(20{,}05\); \(20{,}005\) tự nó chỉ về 20, dù ta có đặt tên cho con số ấy hay không. Giới hạn (limit), từ đã nhắc ở Chương 11, là tên của cái đích mà các xấp xỉ cùng chỉ về.

Cát tuyến quay thành tiếp tuyến

Trên đồ thị của \(s\), tốc độ trung bình từ 2 tới \(2 + h\) là hệ số góc (Chương 27) của đường thẳng qua hai điểm \((2; 20)\) và \((2 + h; s(2 + h))\). Một đường thẳng qua hai điểm của một đồ thị gọi là một cát tuyến (secant line). Khi \(h\) nhỏ dần, điểm thứ hai trượt về phía điểm thứ nhất, và cát tuyến quay dần quanh \((2; 20)\) về một đường thẳng có hệ số góc 20. Đường thẳng mà các cát tuyến dồn về ấy gọi là tiếp tuyến (tangent line) của đồ thị tại \((2; 20)\); Chương 34 sẽ định nghĩa nó chính xác. Ở Chương 27, khi phóng to đồ thị \(y = x^2\) quanh \((1; 1)\), ta đã gặp chính hiện tượng này: hệ số góc cát tuyến \(2 + h\) dồn về 2, và đường cong trông như đường thẳng \(y = 2x - 1\).

Đồ thị \(s(t) = 5t^2\) và các cát tuyến qua \((2; 20)\) với \(h = 1\); \(0{,}5\); \(0{,}2\). Hệ số góc \(20 + 5h\) của chúng dồn về 20, hệ số góc của tiếp tuyến (đường đứt).

Zeno và tổng của vô số phần

Một lập luận cổ, gọi là nghịch lý Zeno (Zeno's paradox), nói rằng không ai đi hết được một quãng đường. Muốn đi 1 km, trước hết phải đi nửa quãng; rồi nửa quãng còn lại; rồi nửa của phần còn lại nữa; cứ thế mãi. Có vô số chặng phải đi, mà không ai làm xong được vô số việc.

Sau \(n\) chặng, quãng đường đã đi là

\[ \frac12 + \frac14 + \dots + \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n}, \]

vì phần còn thiếu luôn đúng bằng chặng vừa đi. Các tổng \(0{,}5\); \(0{,}75\); \(0{,}875\); ... không bao giờ bằng 1, nhưng dồn về 1: muốn cách 1 chưa tới \(0{,}001\) thì cần \(2^n > 1000\), tức \(n \geq 10\). Toán học quyết định như sau: tổng của vô số số hạng là giới hạn của các tổng hữu hạn, nếu giới hạn ấy có. Vậy \(\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = 1\): vô số chặng, tổng chiều dài hữu hạn. Nếu đi đều, thời gian đi các chặng cũng cộng lại thành một khoảng hữu hạn. Toán học không trả lời câu hỏi triết học rằng không gian có chia nhỏ mãi được không; nó cho một cách nói chính xác về tổng của vô số phần, và cách nói ấy không có mâu thuẫn.

Một hình vuông diện tích 1, lần lượt lấy một nửa, một phần tư, một phần tám, ... Các mảnh lấp dần hình vuông: \(\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots = 1\).

Cũng vậy, \(0{,}999\ldots\) là tổng vô hạn (infinite series) \(\frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \dots\) Tổng \(n\) số hạng đầu là \(1 - \frac{1}{10^n}\), dồn về 1, nên \(0{,}999\ldots = 1\). Chương 11 đã có kết quả này bằng một phép trừ khéo léo, và hẹn Phần IV làm rõ nó bằng giới hạn; đây là lời hẹn ấy.

Ký hiệu

Một dãy số (sequence) là một danh sách vô hạn \(a_1, a_2, a_3, \dots\); nói chính xác, đó là một hàm từ \(\mathbb{N}^*\) vào \(\mathbb{R}\) (Chương 20), và \(a_n\) là cách viết gọn của giá trị tại \(n\). Nếu \(a_n\) gần một số \(L\) tùy ý khi \(n\) đủ lớn, ta nói \(L\) là giới hạn của dãy và viết

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = L \qquad \text{hay} \qquad a_n \to L, \]

đọc là "\(a_n\) tiến tới \(L\) khi \(n\) tiến tới vô cực". Ký hiệu \(\infty\) của Chương 9 ở đây chỉ nói "\(n\) lớn không giới hạn", không phải một số. Dãy có giới hạn là dãy hội tụ (converge); dãy không có giới hạn là dãy phân kỳ (diverge), như \(1, -1, 1, -1, \dots\) hay \(1, 2, 3, \dots\) Một tổng vô hạn \(a_1 + a_2 + a_3 + \dots\) là giới hạn của dãy các tổng \(a_1 + \dots + a_n\), nếu giới hạn ấy có.

Với hàm, \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) nghĩa là \(f(x)\) gần \(L\) tùy ý khi \(x\) đủ gần \(a\), với \(x \neq a\). Điều kiện \(x \neq a\) là cốt lõi: giới hạn tại \(a\) không nhìn vào giá trị tại \(a\), và \(f(a)\) thậm chí không cần có nghĩa. Nếu chỉ xét \(x > a\), ta được giới hạn bên phải, viết \(\lim_{x \to a^+} f(x)\); chỉ xét \(x < a\), ta được giới hạn bên trái, \(\lim_{x \to a^-} f(x)\). Cả hai gọi là giới hạn một phía (one-sided limit). Khi \(f(x)\) lớn tùy ý lúc \(x\) đủ gần \(a\), ta viết \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\) và nói \(f\) có giới hạn vô cực (infinite limit) tại \(a\); tương tự với \(-\infty\).

Theo các tên gọi này, tốc độ tức thời lúc \(t\) là \(\lim_{h \to 0} \frac{s(t + h) - s(t)}{h}\), giới hạn của các tốc độ trung bình.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (tốc độ ở mọi thời điểm). Lặp lại phép tính đầu chương tại một thời điểm \(t\) bất kỳ: với \(h \neq 0\),

\[ \frac{s(t + h) - s(t)}{h} = \frac{5(2th + h^2)}{h} = 10t + 5h, \]

nên tốc độ tức thời lúc \(t\) là \(10t\) m/s. Đó đúng là quy luật "vận tốc tăng đều 10 m/s mỗi giây" mà Chương 28 đã dùng để tìm ra \(5t^2\). Đi theo chiều ngược lại, từ quãng đường về tốc độ, ta gặp lại điểm xuất phát.

Ví dụ 2 (một đồ thị có lỗ). Tìm \(\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}\). Tại \(x = 3\), biểu thức có dạng \(\frac00\). Bảng giá trị:

\(x\)	\(2{,}9\)	\(2{,}99\)	\(2{,}999\)	\(3{,}001\)	\(3{,}01\)	\(3{,}1\)
\(\frac{x^2 - 9}{x - 3}\)	\(5{,}9\)	\(5{,}99\)	\(5{,}999\)	\(6{,}001\)	\(6{,}01\)	\(6{,}1\)

Đại số cho lý do: với \(x \neq 3\), \(\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3\). Đồ thị là đường thẳng \(y = x + 3\) bị khoét mất đúng một điểm \((3; 6)\), và giới hạn là 6.

Đồ thị \(y = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\) là đường thẳng \(y = x + 3\) thiếu điểm \((3; 6)\). Tiến tới \(x = 3\) từ hai phía, giá trị tiến tới 6.

Ví dụ 3 (\(\frac00\) có thể là bất cứ gì). Chương 9 đã đặt cạnh nhau hai biểu thức cùng có dạng \(\frac00\) khi \(x = 1\): \(\frac{x^2 - x}{x - 1}\) bằng \(x\) với mọi \(x \neq 1\), nên có giới hạn 1; \(\frac{2x - 2}{x - 1}\) bằng 2, nên có giới hạn 2. Thêm một biểu thức nữa: \(\frac{(x - 1)^2}{x - 1} = x - 1\), giới hạn 0. Dạng \(\frac00\) không quyết định giới hạn; phải nhìn vào cách tử và mẫu cùng tiến về 0. Đó là lý do nó được gọi là vô định.

Ví dụ 4 (đoán bằng bảng: \(\frac{\sin x}{x}\)). Tại \(x = 0\) biểu thức không có nghĩa, và không có phép rút gọn nào như Ví dụ 2. Hãy thử, với \(x\) tính bằng radian:

\(x\)	\(1\)	\(0{,}5\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)
\(\frac{\sin x}{x}\)	\(0{,}8415\)	\(0{,}9589\)	\(0{,}99833\)	\(0{,}99998\)

Vì \(\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}\), các giá trị âm cho cùng bảng. Bảng gợi ý giới hạn là 1. Chương 32 sẽ cho công cụ để chứng minh điều ấy, và giới hạn này sẽ quay lại khi ta tính tốc độ thay đổi của \(\sin\). Nếu để máy tính ở chế độ độ (Chương 30), bảng lại dồn về \(\frac{\pi}{180} \approx 0{,}01745\), vì \(x\) độ là \(\frac{\pi x}{180}\) radian. Giới hạn đẹp là 1 chỉ khi đo bằng radian: thêm một lý do để gọi radian là đơn vị tự nhiên.

Đồ thị \(y = \frac{\sin x}{x}\). Hàm không xác định tại 0 (vòng tròn rỗng), nhưng khi \(x\) tiến tới 0 từ hai phía, giá trị tiến tới 1.

Ví dụ 5 (giới hạn của dãy). Dãy \(\frac1n\): \(1; 0{,}5; 0{,}33\ldots; \dots\) tiến tới 0; muốn \(\frac1n < 0{,}001\) thì cần \(n > 1000\). Dãy \(0{,}9\); \(0{,}99\); \(0{,}999\); ... tiến tới 1. Dãy \(\left(1 + \frac1n\right)^n\) của Chương 29 tiến tới \(e\). Dãy \((-1)^n\) nhảy qua lại giữa \(-1\) và 1 mãi: nó phân kỳ.

Ví dụ 6 (giới hạn một phía). Với \(f(x) = \frac1x\): khi \(x \to 0^+\), \(\frac1x\) lớn tùy ý, nên \(\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty\); khi \(x \to 0^-\), \(\lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty\). Hai phía đi hai ngả, nên \(\frac1x\) không có giới hạn tại 0. Với \(g(x) = \frac{\lvert x \rvert}{x}\): \(g(x) = 1\) khi \(x > 0\) và \(g(x) = -1\) khi \(x < 0\), nên giới hạn bên phải là 1, giới hạn bên trái là \(-1\). Cả hai giới hạn một phía đều có, nhưng khác nhau, nên \(g\) cũng không có giới hạn tại 0.

Ranh giới

Bảng giá trị có thể đánh lừa. Với \(f(x) = \sin\frac{\pi}{x}\), bảng tại \(x = 1; \frac12; \frac13; \frac14; \dots\) cho toàn số 0, vì \(\sin(n\pi) = 0\). Có vẻ như giới hạn tại 0 là 0. Nhưng tại \(x = \frac25; \frac29; \frac{2}{13}; \dots\), tức \(x = \frac{2}{4k + 1}\), ta có \(\frac{\pi}{x} = 2k\pi + \frac{\pi}{2}\) và \(f(x) = 1\). Càng gần 0, hàm càng dao động nhanh giữa \(-1\) và 1, và không có giới hạn (bài C1). Một bảng chỉ cho thấy những điểm ta chọn, như bảng sai phân ở Chương 28.

Trái: \(\frac1x\) tiến tới \(+\infty\) bên phải 0 và tới \(-\infty\) bên trái. Phải: \(\sin\frac{\pi}{x}\) bằng 0 tại mọi \(x = \frac1n\) (chấm cam) nhưng bằng 1 tại những điểm khác cũng gần 0 tùy ý (chấm đen).

Giới hạn có thể khác giá trị. Đặt \(g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\) khi \(x \neq 3\) và \(g(3) = 100\). Giới hạn tại 3 vẫn là 6, còn giá trị là 100. Sửa giá trị tại đúng một điểm không làm đổi giới hạn tại điểm ấy, vì giới hạn không nhìn vào điểm ấy.

Máy tính không cho \(h\) nhỏ tùy ý. Tính \(\frac{s(2 + h) - s(2)}{h}\) bằng số dấu phẩy động, như nhiều chương trình máy tính vẫn làm (Chương 2): với \(h = 10^{-6}\) máy cho khoảng \(20{,}000005\), tốt; với \(h = 10^{-14}\) cho khoảng \(20{,}6\); với \(h = 10^{-15}\) cho khoảng \(17{,}8\); với \(h = 10^{-16}\) cho đúng 0. Máy chỉ giữ khoảng 16 chữ số có nghĩa, nên \(2 + 10^{-16}\) được lưu thành 2, và hiệu hai số rất gần nhau mất gần hết chữ số đúng. "Cho \(h\) nhỏ dần" là một ý về số thực; nó không phải một công thức để máy làm mãi.

Không phải hàm nào cũng có giới hạn. Ví dụ 6 và \(\sin\frac{\pi}{x}\) cho ba cách thất bại: hai phía khác nhau, lớn không giới hạn, dao động không dừng.

Phát biểu chặt chẽ

Định lý 1 (tổng cấp số nhân). Với mọi số \(r \neq 1\) và mọi \(n \in \mathbb{N}\),

\[ 1 + r + r^2 + \dots + r^n = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}. \]

Chứng minh. Gọi tổng bên trái là \(S\). Nhân với \(r\): \(rS = r + r^2 + \dots + r^{n+1}\). Trừ hai đẳng thức, các số hạng ở giữa triệt tiêu: \(S - rS = 1 - r^{n+1}\). Vì \(r \neq 1\), chia hai vế cho \(1 - r\). \(\square\)

Với \(r = \frac12\), Định lý 1 cho \(1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^n}\); bớt số hạng đầu, ta được tổng của Zeno, \(1 - \frac{1}{2^n}\).

Trong mệnh đề sau, chữ Hy Lạp \(\varepsilon\) (epsilon) chỉ một sai số cho trước, dương và nhỏ tùy ý; Chương 32 sẽ dùng nó rất nhiều.

Mệnh đề 2 (phần còn thiếu nhỏ hơn mọi sai số). Cho \(\lvert r \rvert < 1\). Với mọi số \(\varepsilon > 0\), có một số tự nhiên \(N\) sao cho với mọi \(n \geq N\),

\[ \left\lvert \frac{1}{1 - r} - \left(1 + r + \dots + r^n\right) \right\rvert < \varepsilon. \]

Vì thế \(1 + r + r^2 + \dots = \frac{1}{1 - r}\).

Chứng minh. Theo Định lý 1, hiệu cần xét bằng \(\frac{\lvert r \rvert^{n+1}}{1 - r}\). Nếu \(r = 0\), hiệu bằng 0. Nếu không, viết \(\lvert r \rvert = \frac{1}{1 + d}\) với \(d > 0\). Theo bất đẳng thức Bernoulli (Chương 29, Bổ đề 2), \((1 + d)^{n+1} \geq 1 + (n + 1)d > (n + 1)d\), nên

\[ \frac{\lvert r \rvert^{n+1}}{1 - r} < \frac{1}{(n + 1)\,d\,(1 - r)}. \]

Vế phải nhỏ hơn \(\varepsilon\) khi \(n + 1 > \frac{1}{d\,(1 - r)\,\varepsilon}\). Chọn \(N\) là một số tự nhiên lớn hơn \(\frac{1}{d\,(1 - r)\,\varepsilon}\); khi đó mọi \(n \geq N\) đều thỏa. \(\square\)

Với \(r = \frac12\) thì \(d = 1\), và cụ thể hơn: \(2^n > n\) với mọi \(n\) (bài C2), nên phần còn thiếu \(\frac{1}{2^n}\) của tổng Zeno nhỏ hơn \(\varepsilon\) ngay khi \(n > \frac{1}{\varepsilon}\). Với \(\varepsilon = 0{,}001\), điều kiện ấy cho \(n > 1000\), trong khi thật ra \(n \geq 10\) đã đủ: chứng minh chỉ cần một ngưỡng đúng, không cần ngưỡng nhỏ nhất. Với \(r = \frac{1}{10}\): \(0{,}999\ldots = \frac{9}{10}\left(1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \dots\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 1\).

Định nghĩa 3 (trực giác, tạm thời). \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) nghĩa là \(f(x)\) gần \(L\) tùy ý, miễn \(x\) đủ gần \(a\) và \(x \neq a\).

Định nghĩa này đủ để đoán và tính, nhưng chưa đủ để chứng minh, vì hai cụm "gần tùy ý" và "đủ gần" chưa có nghĩa chính xác. Gần bao nhiêu? Ai chọn? Mệnh đề 2 gợi ra hình dạng của câu trả lời: trước hết một người đòi một sai số \(\varepsilon\), dù nhỏ đến đâu; rồi người kia chỉ ra được một ngưỡng \(N\) đủ xa. Đó là một câu "với mọi ... có một ...", và thứ tự của hai lượng từ quyết định ý nghĩa của nó, như ở Chương 15. Chương 32 sẽ biến Định nghĩa 3 thành một câu như thế.

Sợi chỉ

• S7. Xấp xỉ và sai số. Giới hạn là cái đích mà mọi xấp xỉ ngày càng tốt cùng chỉ về: \(20{,}5\); \(20{,}05\); \(20{,}005\) tới 20, các tổng của Zeno tới 1 với sai số \(\frac{1}{2^n}\). Mệnh đề 2 biến "sai số nhỏ dần" thành "nhỏ hơn mọi sai số cho trước". Máy tính thì có giới hạn riêng: \(h\) quá nhỏ làm sai số làm tròn lấn át (Chương 2).
• S4. Cục bộ và toàn cục. Giới hạn tại \(a\) chỉ quan tâm những gì xảy ra gần \(a\), và bỏ qua chính điểm \(a\): đồ thị có lỗ, hay giá trị bị sửa thành 100, đều không làm đổi giới hạn. Cặp lượng từ "với mọi sai số, có một ngưỡng" là họ hàng của cặp "ngưỡng riêng, ngưỡng chung" ở Chương 15.
• S5. Rời rạc và liên tục. Vô số bước rời rạc cho một giá trị: các chặng của Zeno, các chữ số của \(0{,}999\ldots\), các lần ghép lãi dồn về \(e\). Tốc độ tại một thời điểm, một khái niệm của thế giới liên tục, được tiếp cận qua những khoảng thời gian rời rạc ngày càng ngắn.

Tóm tắt

• Tốc độ tại đúng một thời điểm không tính trực tiếp được, vì cho ra \(\frac00\); nó là giới hạn của các tốc độ trung bình trên những khoảng ngày càng ngắn.
• Trên đồ thị, tốc độ trung bình là hệ số góc cát tuyến; các cát tuyến quay dần về tiếp tuyến.
• Tổng của vô số số hạng là giới hạn của các tổng hữu hạn: \(\frac12 + \frac14 + \dots = 1\), \(0{,}999\ldots = 1\), và \(1 + r + r^2 + \dots = \frac{1}{1 - r}\) khi \(\lvert r \rvert < 1\).
• Giới hạn của hàm tại \(a\) bỏ qua giá trị tại \(a\): hàm có thể không xác định ở đó, hoặc có giá trị khác giới hạn.
• Dạng \(\frac00\) không quyết định giới hạn; rút gọn đại số, bảng giá trị và đồ thị giúp đoán, nhưng bảng có thể đánh lừa.
• Một hàm có thể không có giới hạn: hai giới hạn một phía khác nhau, lớn không giới hạn, hay dao động mãi.
• "Gần tùy ý" và "đủ gần" còn mơ hồ; câu trả lời có dạng "với mọi sai số \(\varepsilon\), có một ngưỡng", như Mệnh đề 2.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Một người nói: "Tốc độ tại đúng một thời điểm là vô nghĩa, vì trong 0 giây vật không đi được mét nào." Người ấy đúng ở đâu, sai ở đâu?

Lời giải

Đúng ở chỗ: quãng đường chia thời gian tại đúng một thời điểm là \(\frac00\), không có giá trị (Chương 9). Sai ở chỗ coi đó là định nghĩa duy nhất có thể. Tốc độ tức thời được định nghĩa khác: là giới hạn của các tốc độ trung bình trên những khoảng ngày càng ngắn. Các tốc độ trung bình ấy đều tính được, và chúng dồn về một số xác định, như 20 m/s với hòn đá lúc 2 giây. Đồng hồ tốc độ của xe đo chính những tốc độ trung bình trên các khoảng rất ngắn.

A2. Vì sao định nghĩa giới hạn của \(f\) tại \(a\) đòi \(x \neq a\), và không cần \(f(a)\) có nghĩa?

Lời giải

Vì những giới hạn đáng quan tâm nhất xảy ra đúng ở chỗ \(f(a)\) không có nghĩa: tốc độ tức thời là giới hạn của một thương có dạng \(\frac00\) tại \(h = 0\). Nếu định nghĩa nhìn vào \(f(a)\), nó sẽ vô dụng ở đúng những chỗ cần nó. Giới hạn trả lời câu hỏi "gần \(a\) thì \(f\) hành xử thế nào", một câu hỏi khác với "tại \(a\) thì \(f\) bằng bao nhiêu". Hàm \(g\) ở mục Ranh giới, với giới hạn 6 và giá trị 100 tại 3, cho thấy hai câu hỏi có thể có hai câu trả lời khác nhau.

A3. Toán học trả lời nghịch lý Zeno thế nào? Có điều gì trong nghịch lý mà toán học không trả lời?

Lời giải

Toán học định nghĩa tổng của vô số số hạng là giới hạn của các tổng hữu hạn, và chứng minh \(\frac12 + \frac14 + \dots = 1\): vô số chặng có tổng chiều dài hữu hạn, và nếu đi đều thì tổng thời gian cũng hữu hạn. Vậy "vô số việc" không kéo theo "không bao giờ xong". Điều toán học không trả lời là không gian và thời gian thật có chia nhỏ mãi được không: đó là câu hỏi của vật lý và triết học. Toán học chỉ bảo đảm rằng mô hình chia nhỏ mãi không tự mâu thuẫn.

B. Tính toán

B1. Với \(s(t) = 5t^2\), tính tốc độ trung bình trên khoảng từ 3 tới \(3 + h\) giây với \(h = 0{,}1\); \(0{,}01\); \(-0{,}01\). Viết công thức theo \(h\) và suy ra tốc độ tức thời lúc 3 giây.

Lời giải

\(\frac{s(3 + h) - s(3)}{h} = \frac{5(6h + h^2)}{h} = 30 + 5h\) với \(h \neq 0\). Với ba giá trị của \(h\): \(30{,}5\); \(30{,}05\); \(29{,}95\). Tốc độ tức thời lúc 3 giây là 30 m/s, đúng như công thức \(10t\) ở Ví dụ 1.

B2. Tìm các giới hạn: (a) \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\); (b) \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\); (c) \(\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h}\).

Lời giải

(a) Với \(x \neq 2\), \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2\); giới hạn là 4. (b) \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\), nên với \(x \neq 1\) biểu thức bằng \(x^2 + x + 1\); giới hạn là 3. (c) \(\frac{2h + h^2}{h} = 2 + h\) với \(h \neq 0\); giới hạn là 2, hệ số góc tiếp tuyến của \(y = x^2\) tại \((1; 1)\) ở Chương 27.

B3. Tính tổng \(n\) số hạng đầu của \(\frac13 + \frac19 + \frac{1}{27} + \dots\), rồi tìm tổng vô hạn. Cần bao nhiêu số hạng để tổng hữu hạn cách tổng vô hạn chưa tới \(0{,}001\)?

Lời giải

Theo Định lý 1, \(\frac13\left(1 + \frac13 + \dots + \frac{1}{3^{n-1}}\right) = \frac13 \cdot \frac{1 - 3^{-n}}{1 - \frac13} = \frac{1 - 3^{-n}}{2}\). Tổng vô hạn là \(\frac12\), và phần còn thiếu là \(\frac{1}{2 \cdot 3^n}\). Cần \(2 \cdot 3^n > 1000\), tức \(3^n > 500\): \(3^5 = 243\) chưa đủ, \(3^6 = 729\) đủ. Vậy cần 6 số hạng.

B4. Dùng tổng vô hạn để viết thành phân số: (a) \(0{,}777\ldots\); (b) \(0{,}1212\ldots\)

Lời giải

(a) \(0{,}777\ldots = \frac{7}{10}\left(1 + \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \dots\right) = \frac{7}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac79\). (b) \(0{,}1212\ldots = \frac{12}{100}\left(1 + \frac{1}{100} + \dots\right) = \frac{12}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\). Cả hai khớp với cách làm ở Chương 11.

B5. Dãy nào hội tụ, và tới đâu? (a) \(\frac{n + 1}{n}\); (b) \((-1)^n\); (c) \(n^2\); (d) \(\left(\frac12\right)^n\); (e) \(\frac{2n + 3}{n + 5}\).

Lời giải

(a) \(1 + \frac1n \to 1\). (b) Phân kỳ: các số hạng nhảy giữa \(-1\) và 1. (c) Phân kỳ: \(n^2\) lớn không giới hạn. (d) Hội tụ về 0 (Mệnh đề 2 cho thấy \(r^n \to 0\) khi \(\lvert r \rvert < 1\)). (e) Chia tử và mẫu cho \(n\): \(\frac{2 + \frac3n}{1 + \frac5n}\); tử tiến tới 2, mẫu tiến tới 1, nên dãy tiến tới 2. Chẳng hạn \(n = 1000\) cho \(\frac{2003}{1005} \approx 1{,}993\).

B6. Tìm hai giới hạn một phía tại \(a\), và cho biết hàm có giới hạn tại \(a\) không: (a) \(\frac{\lvert x \rvert}{x}\) tại \(a = 0\); (b) \(f(x) = x\) khi \(x < 1\) và \(f(x) = x + 2\) khi \(x \geq 1\), tại \(a = 1\); (c) \(\frac{1}{x^2}\) tại \(a = 0\).

Lời giải

(a) Bên phải 1, bên trái \(-1\): không có giới hạn. (b) Bên trái \(x \to 1\); bên phải \(x + 2 \to 3\): không có giới hạn, dù \(f(1) = 3\). (c) Hai phía đều \(+\infty\), vì \(x^2\) dương và nhỏ tùy ý: \(\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty\), một giới hạn vô cực.

B7. Để máy tính ở chế độ độ, tính \(\frac{\sin x}{x}\) với \(x = 1\); \(0{,}1\). Giải thích vì sao bảng dồn về \(\frac{\pi}{180}\).

Lời giải

\(\frac{\sin 1^\circ}{1} \approx 0{,}0174524\) và \(\frac{\sin 0{,}1^\circ}{0{,}1} \approx 0{,}0174533\), gần \(\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0174533\). Lý do: \(x\) độ là \(u = \frac{\pi x}{180}\) radian, nên \(\frac{\sin x^\circ}{x} = \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin u}{u}\), và \(\frac{\sin u}{u} \to 1\) khi \(u \to 0\).

B8. Giải thích vì sao, trong phép tính bằng số dấu phẩy động ở mục Ranh giới, \(h = 10^{-16}\) cho đúng 0.

Lời giải

Máy chỉ giữ khoảng 16 chữ số có nghĩa. Số \(2 + 10^{-16} = 2{,}0000000000000001\) cần 17 chữ số, nên bị làm tròn thành 2. Khi đó \(s(2 + h) - s(2) = s(2) - s(2) = 0\), và \(\frac{0}{10^{-16}} = 0\). Tử số bị mất trước khi phép chia kịp làm việc.

B9. Tính \(\left(1 + \frac2n\right)^n\) với \(n = 10\); 100; 1000, và đoán giới hạn. Liên hệ với Chương 29.

Lời giải

Được khoảng \(6{,}1917\); \(7{,}2446\); \(7{,}3743\). Theo Chương 29, \(\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n\) dồn về \(e^x\); với \(x = 2\), giới hạn là \(e^2 \approx 7{,}389\). Dãy tiến tới giới hạn khá chậm: với \(n = 1000\) còn cách khoảng \(0{,}015\).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng \(\sin\frac{\pi}{x}\) không có giới hạn khi \(x \to 0\).

Lời giải

Giả sử có giới hạn \(L\). Theo Định nghĩa 3, với sai số \(\frac12\), mọi \(x \neq 0\) đủ gần 0 phải cho \(\lvert \sin\frac{\pi}{x} - L \rvert < \frac12\). Nhưng gần 0 tùy ý có cả những điểm \(x = \frac1n\), nơi hàm bằng 0, lẫn những điểm \(x = \frac{2}{4k + 1}\), nơi hàm bằng 1. Lấy một điểm mỗi loại: \(\lvert 0 - L \rvert < \frac12\) và \(\lvert 1 - L \rvert < \frac12\). Theo bất đẳng thức tam giác (Chương 7), \(1 = \lvert 1 - 0 \rvert \leq \lvert 1 - L \rvert + \lvert L - 0 \rvert < \frac12 + \frac12 = 1\), vô lý. \(\square\)

C2. Chứng minh rằng \(2^n > n\) với mọi số tự nhiên \(n\). Suy ra: với mọi \(\varepsilon > 0\), phần còn thiếu \(\frac{1}{2^n}\) của tổng Zeno nhỏ hơn \(\varepsilon\) khi \(n > \frac{1}{\varepsilon}\).

Lời giải

Quy nạp: \(2^0 = 1 > 0\); nếu \(2^n > n\) thì \(2^{n+1} = 2^n + 2^n > n + 1\), vì \(2^n \geq 1\). (Hoặc dùng bất đẳng thức Bernoulli với \(d = 1\): \(2^n \geq 1 + n > n\).) Khi \(n > \frac{1}{\varepsilon}\): \(\frac{1}{2^n} < \frac1n < \varepsilon\). \(\square\)

C3. Một bạn khẳng định: "Nếu mọi số hạng của một dãy hội tụ đều nhỏ hơn 1 thì giới hạn của nó cũng nhỏ hơn 1." Tìm phản ví dụ. Rồi chứng minh điều đúng: giới hạn không vượt quá 1.

Lời giải

Phản ví dụ: \(a_n = 1 - \frac1n\) có mọi số hạng nhỏ hơn 1 mà giới hạn bằng 1; dãy \(0{,}9\); \(0{,}99\); ... cũng vậy. Điều đúng: giả sử \(a_n < 1\) với mọi \(n\) và \(a_n \to L\). Nếu \(L > 1\), lấy sai số \(\varepsilon = L - 1 > 0\): khi \(n\) đủ lớn, \(\lvert a_n - L \rvert < L - 1\), nên \(a_n > L - (L - 1) = 1\), trái với giả thiết. Vậy \(L \leq 1\). \(\square\) Khi đi tới giới hạn, "nhỏ hơn" có thể thành "bằng": đó chính là chuyện của \(0{,}999\ldots\) và 1.

Câu hỏi để ngỏ

"Gần tùy ý", "đủ gần" nghe rõ ràng nhưng thật ra mơ hồ: gần bao nhiêu là gần? Làm sao biến ý tưởng giới hạn thành một câu chính xác mà ai cũng kiểm chứng được, kể cả máy?