Chương 23: Tọa độ và đồ thị

Câu hỏi mở đầu

Một quy luật có thể vẽ thành hình. Nhưng "vẽ" nghĩa là gì: làm sao biến các cặp số thành các điểm, và biến câu hỏi hình học thành câu hỏi về số?

Một điểm, một cặp số

Một điểm trên tờ giấy không mang sẵn con số nào. Muốn nói về nó bằng số, ta phải tự đặt ra ba thứ: một điểm mốc, hai hướng vuông góc với nhau, và một đơn vị độ dài. Khi đã có ba thứ ấy, mỗi điểm được chỉ bằng đúng một cặp số: từ mốc đi sang phải bao nhiêu đơn vị, rồi đi lên bao nhiêu đơn vị, với số âm nghĩa là đi sang trái hay đi xuống. Ngược lại, mỗi cặp số chỉ đúng một điểm. Đó là một song ánh giữa các điểm của mặt phẳng và tập \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Cách đọc cặp số thành điểm mà Chương 19 và Chương 22 đã dùng tạm, giờ có tên và có luật.

Ba thứ ấy là quy ước, theo đúng nghĩa của Chương 1: đặt mốc ở chỗ khác, cùng một điểm sẽ mang một cặp số khác. Nhưng hình thì không phụ thuộc vào lựa chọn ấy. Hai điểm cách nhau bao xa, một đường có tròn hay không, là chuyện của tờ giấy, không phải của cách đánh số. Cái phụ thuộc vào lựa chọn là các con số và các công thức mô tả hình. Tọa độ là quy ước; hình dạng là cấu trúc.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì một vị trí trên mặt phẳng có đúng hai hướng tự do: dịch ngang và dịch dọc, độc lập với nhau. Mọi cách mô tả vị trí bằng số đều phải dùng hai số. Và điều ngược lại còn quan trọng hơn: một cặp số không nhất thiết là một vị trí. (Giờ; nhiệt độ), (quãng đường; cước), (giá; lượng bán) đều là cặp số. Mặt phẳng tọa độ biến mọi cặp đại lượng thành một điểm, và biến một hàm, tức một tập cặp, thành một hình.

Đồ thị là chính tập cặp

Đồ thị của một hàm \(f\) không phải một minh họa cho hàm; nó là tập cặp \((x; f(x))\) của Chương 20, đặt lên mặt phẳng. Vì thế mọi câu hỏi về hình trở thành một câu hỏi về số. Điểm \((3; 3)\) có nằm trên đồ thị của \(f(x) = x^2 - 2x\) không? Chỉ cần tính \(f(3) = 3\). Và mọi câu hỏi về số có một hình để nhìn: phương trình \(x^2 - 2x = 0\) có bao nhiêu nghiệm là hỏi đồ thị ấy cắt trục nằm ngang ở bao nhiêu chỗ.

Luật của hàm, "mỗi đầu vào đúng một đầu ra", cũng thành một luật về hình: mỗi đường thẳng đứng cắt đồ thị tại nhiều nhất một điểm, và tại đúng một điểm nếu nó đi qua một đầu vào thuộc miền xác định. Đó là phép thử đường thẳng đứng (vertical line test). Nó chính là "mỗi hàng đúng một ô tô" của lưới ở Chương 20, chỉ khác là ở đây đầu vào chạy theo chiều ngang.

Khoảng cách và định lý Pythagoras

Hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B(4; 6)\) cách nhau bao xa? Từ \(A\) đi ngang 3 đơn vị rồi đi lên 4 đơn vị thì tới \(B\), nên đoạn \(AB\) là cạnh đối diện góc vuông của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 3 và 4. Cạnh ấy gọi là cạnh huyền (hypotenuse). Chương 11 đã tính nó bằng mẹo hình vuông nghiêng: nó dài 5. Làm cùng mẹo ấy với hai cạnh góc vuông \(a\), \(b\) bất kỳ, ta được định lý Pythagoras (Pythagorean theorem): \(a^2 + b^2 = c^2\), với \(c\) là cạnh huyền.

Cùng một hình vuông cạnh \(a + b\), cùng bốn tam giác vuông. Bên trái, phần còn lại là một hình vuông cạnh \(c\); bên phải, là hai hình vuông cạnh \(a\) và \(b\). Vậy \(c^2 = a^2 + b^2\).

Hình vẽ gần như tự nó là một chứng minh: hai hình vuông lớn bằng nhau, mỗi hình chứa bốn tam giác giống nhau, nên phần còn lại của chúng có cùng diện tích. Ghép với tọa độ, định lý cho công thức khoảng cách (distance formula):

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]

Chỉ cần trừ, bình phương, cộng và khai căn: một câu hỏi hình học đã thành một phép tính.

Ký hiệu

Một hệ tọa độ (coordinate system) trên mặt phẳng gồm hai trục số vuông góc với nhau, cắt nhau tại gốc tọa độ (origin) \(O\), và dùng chung một đơn vị độ dài. Trục nằm ngang là trục hoành (x-axis), viết \(Ox\), chiều dương hướng sang phải; trục thẳng đứng là trục tung (y-axis), viết \(Oy\), chiều dương hướng lên trên. Mặt phẳng đã gắn một hệ tọa độ gọi là mặt phẳng tọa độ (coordinate plane), viết \(Oxy\).

Điểm \(M\) ứng với cặp \((x; y)\) được viết \(M(x; y)\). Cặp ấy là tọa độ (coordinates) của \(M\); số \(x\) là hoành độ (x-coordinate), số \(y\) là tung độ (y-coordinate). Gốc tọa độ là \(O(0; 0)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\), tức độ dài đoạn thẳng \(AB\), viết \(AB\).

Đồ thị của hàm \(f: D \to \mathbb{R}\) là tập điểm \(\{(x; f(x)) \mid x \in D\}\). Tổng quát hơn, đồ thị của một phương trình hai ẩn (unknown) \(x\), \(y\), như \(x^2 + y^2 = 25\), là tập mọi điểm \((x; y)\) có tọa độ thỏa phương trình.

Dời mọi điểm của một hình đi cùng một đoạn theo cùng một hướng gọi là phép tịnh tiến (translation). Đồ thị của \(y = x^2\) có tên riêng là parabol (parabola); Chương 28 sẽ nghiên cứu nó kỹ hơn.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (khoảng cách và trung điểm). Với \(A(1; 2)\) và \(B(4; 6)\):

\[ AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5. \]

Trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) có hoành độ và tung độ là trung bình cộng các tọa độ tương ứng: \(M\big(\frac{1 + 4}{2}; \frac{2 + 6}{2}\big)\), tức \(M(2{,}5; 4)\). Kiểm lại: \(MA = \sqrt{1{,}5^2 + 2^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5\), và \(MB\) cũng bằng \(2{,}5\), đúng một nửa \(AB\).

Từ \(A\) đi ngang 3, đi lên 4 thì tới \(B\): đoạn \(AB\) là cạnh huyền của một tam giác vuông, dài 5. Điểm \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ví dụ 2 (đường tròn thành phương trình). Đường tròn tâm \(I(2; -1)\) bán kính 3 là tập mọi điểm cách \(I\) đúng 3 đơn vị. Theo công thức khoảng cách, điểm \(M(x; y)\) nằm trên đường tròn khi và chỉ khi \(\sqrt{(x - 2)^2 + (y + 1)^2} = 3\), tức

\[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9. \]

Bình phương hai vế không làm đổi nghĩa, vì hai vế đều không âm. Một hình đã thành một phương trình, và kiểm tra một điểm chỉ còn là tính toán. Điểm \((5; -1)\) cho \(9 + 0 = 9\): thuộc đường tròn. Điểm \((2; 2)\) cho \(0 + 9 = 9\): thuộc. Điểm \((4; 1)\) cho \(4 + 4 = 8 < 9\): không thuộc; nó nằm bên trong, cách tâm \(\sqrt8\).

Ví dụ 3 (điểm có thuộc đồ thị không?). Với \(f(x) = x^2 - 2x\): điểm \((3; 3)\) thuộc đồ thị vì \(f(3) = 9 - 6 = 3\); điểm \((-1; 2)\) không thuộc vì \(f(-1) = 3 \neq 2\). Đồ thị cắt trục hoành tại những điểm có tung độ 0: giải \(x^2 - 2x = 0\), tức \(x(x - 2) = 0\), được \(x = 0\) hoặc \(x = 2\). Đó là hai điểm \((0; 0)\) và \((2; 0)\).

Ví dụ 4 (tịnh tiến một parabol). Vẽ \(y = (x - 2)^2 + 1\) từ \(y = x^2\). Lập bảng:

\(x\)	0	1	2	3	4
\(x^2\)	0	1	4	9	16
\((x - 2)^2 + 1\)	5	2	1	2	5

Giá trị của hàm mới tại \(x\) bằng giá trị của \(x^2\) tại \(x - 2\), cộng thêm 1. Vì thế điểm \((u; u^2)\) của parabol cũ ứng với điểm \((u + 2; u^2 + 1)\) của đồ thị mới: mỗi điểm dời sang phải 2 và lên trên 1. Điểm thấp nhất đi từ \((0; 0)\) tới \((2; 1)\).

Từ \(y = x^2\) tới \(y = (x - 2)^2 + 1\): dời sang phải 2, rồi lên 1. Điểm thấp nhất đi từ \((0; 0)\) tới \((2; 1)\).

Vì sao trừ 2 lại dời sang phải? Vì hàm mới cần một đầu vào lớn hơn 2 để cho cùng đầu ra: \((x - 2)^2\) nhận tại \(x = 2\) giá trị mà \(x^2\) nhận tại \(x = 0\). Điều gì xảy ra tại một đầu vào với hàm cũ thì xảy ra tại đầu vào lớn hơn 2 đơn vị với hàm mới, tức xa hơn về bên phải. Dấu trừ trong công thức và chiều dời trên hình ngược nhau, vì công thức nói về đầu vào, còn hình nói về vị trí.

Ví dụ 5 (co giãn, và thứ tự các bước). Nhân mọi đầu ra với 3: đồ thị của \(y = 3x^2\) là parabol \(y = x^2\) kéo giãn theo chiều đứng, gấp 3 lần. Thứ tự các bước có quan trọng. Từ \(y = x^2\), dời lên 1 rồi kéo giãn gấp 3 thì được \(y = 3(x^2 + 1) = 3x^2 + 3\); kéo giãn gấp 3 rồi dời lên 1 thì được \(y = 3x^2 + 1\). Tại \(x = 0\), hai hàm cho 3 và 1: hai hình khác nhau. Như chuyện tháo giày và tất ở Chương 6, hai biến đổi làm theo hai thứ tự nói chung cho hai kết quả khác nhau.

Ranh giới

Đường tròn không phải đồ thị của một hàm. Đường thẳng đứng \(x = 3{,}2\) cắt đường tròn ở Ví dụ 2 tại hai điểm, nên không có hàm \(f\) nào mà đường tròn là tập \(\{(x; f(x))\}\): một đầu vào sẽ có hai đầu ra. Giải phương trình theo \(y\) cho thấy vì sao: \(y = -1 \pm \sqrt{9 - (x - 2)^2}\), hai giá trị, như căn bậc hai ở Chương 20. Đường tròn là hợp của đồ thị hai hàm: nửa trên ứng với dấu cộng, nửa dưới ứng với dấu trừ.

Phép thử đường thẳng đứng. Bên trái, một đường thẳng đứng cắt đường tròn tại hai điểm: đường tròn không là đồ thị của hàm nào. Bên phải, mỗi đường thẳng đứng cắt đồ thị của một hàm tại nhiều nhất một điểm.

Đổi đơn vị trục thì đổi dáng hình, không đổi cấu trúc. Vẽ \(y = 2x\) với cùng đơn vị 1 cm trên hai trục, đường ấy dốc: đi ngang 1 cm thì lên 2 cm. Vẽ lại với một đơn vị trên trục tung chỉ dài 0,25 cm, cùng đường ấy đi ngang 1 cm chỉ lên 0,5 cm, trông thoai thoải. Hàm vẫn là một: mọi cặp \((x; 2x)\) vẫn nguyên đó. Độ "dốc" trông thấy là chuyện của cách chia trục; muốn so hai hình bằng mắt, phải vẽ chúng với cùng cách chia. Khi hai trục có đơn vị khác nhau, công thức khoảng cách ở trên cũng không còn đo đúng khoảng cách trên giấy (bài A2).

Biểu đồ cắt trục. Hai sản phẩm bán được 48 và 52 đơn vị (số liệu giả định). Vẽ cột với trục bắt đầu từ 0, hai cột gần bằng nhau, đúng với tỉ số \(\frac{52}{48} \approx 1{,}08\). Vẽ với trục bắt đầu từ 46, cột thứ hai cao gấp \(\frac{52 - 46}{48 - 46} = 3\) lần cột thứ nhất. Số liệu không đổi; chỉ cách cắt trục thay đổi, và mắt người đọc so chiều cao cột chứ không đọc con số. Trên biểu đồ cột, chiều cao cột chỉ tỉ lệ thuận với giá trị khi trục bắt đầu từ 0.

Cùng hai số liệu giả định, 48 và 52. Trục bắt đầu từ 0 (trái) cho thấy chênh lệch nhỏ; trục bắt đầu từ 46 (phải) làm cột B trông cao gấp ba cột A.

Phát biểu chặt chẽ

Định lý 1 (Pythagoras). Trong một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông \(a\), \(b\) và cạnh huyền \(c\), ta có \(a^2 + b^2 = c^2\).

Chứng minh. Dựng một hình vuông cạnh \(a + b\) và đặt bốn bản sao của tam giác vào bốn góc như hình bên trái, mỗi góc vuông của tam giác trùng một góc của hình vuông. Trên mỗi cạnh của hình vuông lớn có một đoạn \(a\) và một đoạn \(b\) nối tiếp nhau, nên bốn cạnh huyền tạo thành một tứ giác có bốn cạnh dài \(c\). Tại mỗi đỉnh của tứ giác ấy có ba góc xếp liền nhau dọc một đường thẳng: góc của tứ giác, và hai góc nhọn thuộc hai tam giác kề nhau. Hai góc nhọn ấy chính là hai góc nhọn khác nhau của tam giác ban đầu (một góc kề cạnh \(a\), một góc kề cạnh \(b\)), nên cộng lại được một góc vuông. Ba góc ấy cộng lại được hai góc vuông, nên góc của tứ giác là góc vuông. Vậy phần giữa là một hình vuông cạnh \(c\). Tính diện tích hình vuông lớn theo hai cách:

\[ (a + b)^2 = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2. \]

Vế trái bằng \(a^2 + 2ab + b^2\) (Chương 2), nên \(a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\), tức \(a^2 + b^2 = c^2\). \(\square\)

Hệ quả 2 (công thức khoảng cách). Với hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\),

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}. \]

Chứng minh. Nếu \(x_A \neq x_B\) và \(y_A \neq y_B\), điểm \(C(x_B; y_A)\) cùng với \(A\) và \(B\) tạo thành một tam giác vuông tại \(C\), vì \(AC\) nằm ngang còn \(CB\) thẳng đứng. Hai cạnh góc vuông dài \(AC = |x_B - x_A|\) và \(CB = |y_B - y_A|\), nên theo Định lý 1, \(AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2\). Nếu \(y_A = y_B\), hai điểm nằm trên cùng một đường nằm ngang và \(AB = |x_B - x_A| = \sqrt{(x_B - x_A)^2}\), đúng như công thức; trường hợp \(x_A = x_B\) tương tự. \(\square\)

Mệnh đề 3 (trung điểm). Điểm \(M\Big(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \dfrac{y_A + y_B}{2}\Big)\) thỏa \(MA = MB = \dfrac{AB}{2}\).

Chứng minh. Ta có \(x_M - x_A = \frac{x_B - x_A}{2}\) và \(y_M - y_A = \frac{y_B - y_A}{2}\). Theo Hệ quả 2,

\[ MA = \sqrt{\frac{(x_B - x_A)^2}{4} + \frac{(y_B - y_A)^2}{4}} = \frac{AB}{2}, \]

và tính y như vậy cho \(MB\). \(\square\) Vì \(MA + MB = AB\), điểm \(M\) nằm trên đoạn \(AB\): nó là trung điểm của đoạn ấy.

Định nghĩa 4 (đồ thị). Đồ thị của hàm \(f: D \to \mathbb{R}\) là tập \(\{(x; f(x)) \mid x \in D\} \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Đồ thị của một phương trình hai ẩn \(x\), \(y\) là tập mọi \((x; y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) thỏa phương trình.

Mệnh đề 5 (phép thử đường thẳng đứng). Một tập \(S \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) là đồ thị của một hàm khi và chỉ khi mỗi đường thẳng đứng cắt \(S\) tại nhiều nhất một điểm. Khi đó miền xác định của hàm là tập các số \(a\) mà đường thẳng \(x = a\) cắt \(S\).

Chứng minh. Đường thẳng đứng \(x = a\) gồm các điểm \((a; y)\) với \(y \in \mathbb{R}\). Nó cắt \(S\) tại nhiều nhất một điểm khi và chỉ khi có nhiều nhất một \(y\) với \((a; y) \in S\). Gọi \(D\) là tập các \(a\) có ít nhất một điểm như thế. Nếu điều kiện đúng với mọi \(a\), thì mỗi \(a \in D\) đứng đầu đúng một cặp của \(S\): theo Định nghĩa 3 của Chương 20, \(S\) là một hàm từ \(D\) tới \(\mathbb{R}\), và \(S\) chính là đồ thị của nó. Ngược lại, nếu \(S\) là đồ thị của \(f\), thì các điểm của \(S\) trên đường \(x = a\) chỉ có thể là \((a; f(a))\): nhiều nhất một điểm. \(\square\)

Mệnh đề 6 (tịnh tiến đồ thị). Cho \(g(x) = f(x - h) + k\). Điểm \((u; v)\) thuộc đồ thị của \(f\) khi và chỉ khi điểm \((u + h; v + k)\) thuộc đồ thị của \(g\). Nói cách khác, đồ thị của \(g\) là đồ thị của \(f\) dời sang phải \(h\) đơn vị và lên trên \(k\) đơn vị (sang trái hay xuống dưới nếu \(h\) hay \(k\) âm).

Chứng minh. \(v = f(u)\) khi và chỉ khi \(v + k = f\big((u + h) - h\big) + k\), tức \(v + k = g(u + h)\). \(\square\)

Mệnh đề 7 (khoảng cách không phụ thuộc vị trí gốc). Dời gốc tọa độ tới điểm \(P(p; q)\), giữ nguyên hướng hai trục và đơn vị; khi đó điểm có tọa độ cũ \((x; y)\) có tọa độ mới \((x - p; y - q)\). Khoảng cách tính theo tọa độ mới bằng khoảng cách tính theo tọa độ cũ.

Chứng minh. Hiệu hoành độ mới là \((x_B - p) - (x_A - p) = x_B - x_A\), và hiệu tung độ mới là \(y_B - y_A\), không đổi. Hệ quả 2 cho cùng một kết quả. \(\square\)

Sợi chỉ

• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Tọa độ là cây cầu giữa hình học và đại số: điểm là cặp số, đường tròn là phương trình, "điểm có thuộc hình không" là "tọa độ có thỏa phương trình không". Phép thử đường thẳng đứng là định nghĩa hàm của Chương 20 nhìn trên hình. Chứng minh Pythagoras vừa là một hình ghép, vừa là một dòng đại số.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Dời gốc tọa độ thì mọi con số tọa độ đổi, nhưng khoảng cách, và mọi thứ thuộc về hình, giữ nguyên (Mệnh đề 7, bài C2). Tọa độ là quy ước, hình dạng là cấu trúc, như sự phân biệt ở Chương 1.
• S3. Thứ tự của biến đổi. Dời lên rồi kéo giãn khác kéo giãn rồi dời lên (Ví dụ 5); nhưng có những cặp biến đổi đổi chỗ được cho nhau (bài B7). Thứ tự các bước biến đổi hình là thứ tự các phép tính trên công thức.

Tóm tắt

• Chọn một gốc, hai trục vuông góc và một đơn vị, mỗi điểm của mặt phẳng ứng với đúng một cặp số \((x; y)\) (hoành độ, tung độ). Tọa độ là quy ước; khoảng cách và hình dạng thì không phụ thuộc vào vị trí gốc.
• Định lý Pythagoras: trong tam giác vuông, \(a^2 + b^2 = c^2\); chứng minh bằng một hình vuông cạnh \(a + b\) chứa bốn tam giác.
• Công thức khoảng cách \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\); trung điểm có tọa độ là trung bình cộng các tọa độ.
• Đồ thị của một hàm là chính tập cặp \(\{(x; f(x))\}\); phép thử đường thẳng đứng là định nghĩa hàm nhìn trên hình. Đường tròn là đồ thị của một phương trình, không phải của một hàm.
• Đồ thị của \(f(x - h) + k\) là đồ thị của \(f\) dời sang phải \(h\), lên trên \(k\); dấu trừ ngược chiều dời vì công thức nói về đầu vào.
• Thứ tự các biến đổi đồ thị có thể quan trọng: dời lên rồi kéo giãn khác kéo giãn rồi dời lên.
• Đổi đơn vị hay cắt trục đổi dáng hình mà không đổi dữ liệu; biểu đồ cột với trục không bắt đầu từ 0 phóng đại chênh lệch.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Khi đổi gốc tọa độ, đổi chiều một trục, hay đổi đơn vị độ dài, cái gì thay đổi và cái gì không?

Lời giải

Tọa độ của các điểm thay đổi, và cùng với chúng là phương trình của các hình. Đổi gốc hay đổi chiều một trục không làm đổi khoảng cách giữa hai điểm (Mệnh đề 7, bài C2), nên mọi tính chất hình học như độ dài, tròn hay không, vuông góc hay không đều giữ nguyên. Đổi đơn vị độ dài thì mọi khoảng cách đo bằng số đều nhân lên cùng một hệ số, nhưng tỉ số giữa các khoảng cách và hình dạng thì không đổi. Đây đúng là sự phân biệt quy ước và cấu trúc của Chương 1.

A2. Trên một bản đồ, 1 cm theo chiều ngang ứng với 1 km, nhưng 1 cm theo chiều dọc ứng với 2 km. Hai điểm lệch nhau 3 cm theo chiều ngang và 2 cm theo chiều dọc. Tính khoảng cách thật giữa chúng. Công thức khoảng cách áp thẳng vào số đo cm có còn đúng không?

Lời giải

Theo chiều ngang, hai điểm cách nhau 3 km; theo chiều dọc, 4 km. Khoảng cách thật là \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) km. Áp thẳng công thức vào số đo cm được \(\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\) (cm), và không có cách quy đổi chung nào đưa con số ấy về 5 km. Công thức khoảng cách đòi hai trục vuông góc và cùng một đơn vị; bỏ điều kiện ấy thì phải đổi công thức.

A3. Vì sao đồ thị của \(y = f(x) + 3\) dời lên trên, còn đồ thị của \(y = f(x + 3)\) lại dời sang trái chứ không sang phải?

Lời giải

Cộng 3 vào đầu ra thì mỗi điểm đi lên 3: cùng đầu vào, đầu ra lớn hơn. Cộng 3 vào đầu vào thì hàm mới nhận tại \(x\) giá trị mà \(f\) nhận tại \(x + 3\); muốn có giá trị \(f\) nhận tại \(u\), hàm mới chỉ cần đầu vào \(u - 3\), sớm hơn 3 đơn vị, tức xa hơn về bên trái. Đó là Mệnh đề 6 với \(h = -3\): điều chỉnh bên trong ngoặc tác động lên đầu vào, nên chiều dời ngược với dấu.

B. Tính toán

B1. Tính khoảng cách giữa hai điểm: (a) \((-2; 3)\) và \((4; -5)\); (b) \((0; 0)\) và \((1; 1)\); (c) \((1; 1)\) và \((4; 1)\); (d) \((2; -1)\) và \((5; 3)\).

Lời giải

(a) \(\sqrt{6^2 + 8^2} = 10\). (b) \(\sqrt{1 + 1} = \sqrt2\), đường chéo của hình vuông đơn vị ở Chương 11. (c) \(\sqrt{3^2 + 0^2} = 3\). (d) \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

B2. (a) Tìm trung điểm của đoạn nối \((-2; 3)\) và \((4; -5)\). (b) Biết \(M(3; 2)\) là trung điểm của \(AB\) với \(A(1; 5)\), tìm \(B\).

Lời giải

(a) \(\big(\frac{-2 + 4}{2}; \frac{3 - 5}{2}\big) = (1; -1)\). (b) Từ \(\frac{1 + x_B}{2} = 3\) và \(\frac{5 + y_B}{2} = 2\) được \(x_B = 5\), \(y_B = -1\): \(B(5; -1)\).

B3. Tính chu vi tam giác \(ABC\) với \(A(0; 0)\), \(B(6; 0)\), \(C(0; 8)\), và tính khoảng cách từ \(A\) tới trung điểm của \(BC\).

Lời giải

\(AB = 6\), \(AC = 8\), \(BC = \sqrt{36 + 64} = 10\); chu vi là 24. Trung điểm của \(BC\) là \((3; 4)\), cách \(A\) đúng \(\sqrt{9 + 16} = 5\), tức một nửa cạnh huyền: trong tam giác vuông, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh.

B4. (a) Viết phương trình đường tròn tâm \(O\) bán kính 5. Điểm nào sau đây nằm trên nó: \((3; 4)\), \((-4; 3)\), \((5; 5)\), \((0; -5)\)? (b) Đường tròn tâm \((2; -1)\) bán kính 3 ở Ví dụ 2 cắt trục hoành tại những điểm nào?

Lời giải

(a) \(x^2 + y^2 = 25\). Các điểm \((3; 4)\), \((-4; 3)\), \((0; -5)\) thuộc đường tròn; \((5; 5)\) cho \(50 \neq 25\) nên không thuộc.

(b) Trên trục hoành \(y = 0\): \((x - 2)^2 + 1 = 9\), tức \((x - 2)^2 = 8\), nên \(x = 2 + 2\sqrt2\) hoặc \(x = 2 - 2\sqrt2\). Hai điểm là \((2 + 2\sqrt2; 0)\) và \((2 - 2\sqrt2; 0)\).

B5. Điểm nào thuộc đồ thị? (a) Với \(f(x) = 2x + 1\): \((1; 3)\), \((-2; -3)\), \((0; 0)\). (b) Với \(g(x) = \sqrt{x}\): \((4; 2)\), \((4; -2)\), \((-1; 1)\).

Lời giải

(a) \(f(1) = 3\) và \(f(-2) = -3\): hai điểm đầu thuộc đồ thị; \(f(0) = 1 \neq 0\): điểm \((0; 0)\) không thuộc. (b) \(g(4) = 2\): \((4; 2)\) thuộc; \((4; -2)\) không thuộc, vì \(\sqrt4\) là số không âm; \((-1; 1)\) không thuộc, vì \(-1\) không nằm trong miền xác định của \(g\).

B6. Từ đồ thị của \(y = x^2\) (hay \(y = |x|\)), mô tả cách có đồ thị của mỗi hàm sau, và tìm điểm thấp nhất của nó: (a) \(y = (x + 3)^2\); (b) \(y = x^2 - 4\); (c) \(y = (x - 1)^2 + 2\); (d) \(y = |x - 2|\).

Lời giải

(a) Dời sang trái 3; điểm thấp nhất \((-3; 0)\). (b) Dời xuống 4; điểm thấp nhất \((0; -4)\). (c) Dời sang phải 1, lên 2; điểm thấp nhất \((1; 2)\). (d) Dời đồ thị của \(y = |x|\) sang phải 2; điểm thấp nhất \((2; 0)\).

B7. Từ \(y = x^2\), viết công thức của hàm có được khi: (a) dời sang phải 1 rồi nhân mọi đầu ra với 2; (b) nhân mọi đầu ra với 2 rồi dời sang phải 1; (c) dời lên 1 rồi nhân mọi đầu ra với 2; (d) nhân mọi đầu ra với 2 rồi dời lên 1. Cặp nào cho cùng một hàm?

Lời giải

(a) \(2(x - 1)^2\). (b) \(2(x - 1)^2\). (c) \(2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2\). (d) \(2x^2 + 1\). Hai cách đầu cho cùng một hàm: dời ngang tác động lên đầu vào, nhân tác động lên đầu ra, nên hai việc không đụng nhau. Hai cách sau thì khác, vì cả hai cùng tác động lên đầu ra: tại \(x = 0\) được 2 và 1.

B8. Hai con số giả định 120 và 130 được vẽ thành biểu đồ cột. Nếu trục bắt đầu từ 100, cột thứ hai cao gấp mấy lần cột thứ nhất? Nếu bắt đầu từ 115? Tỉ số thật của hai con số là bao nhiêu?

Lời giải

Trục từ 100: \(\frac{130 - 100}{120 - 100} = 1{,}5\) lần. Trục từ 115: \(\frac{15}{5} = 3\) lần. Tỉ số thật: \(\frac{130}{120} \approx 1{,}08\).

B9. Tìm giao điểm của đồ thị \(y = x^2\) và đồ thị \(y = x + 2\).

Lời giải

Giao điểm là điểm thuộc cả hai đồ thị: \(x^2 = x + 2\), tức \(x^2 - x - 2 = 0\), hay \((x - 2)(x + 1) = 0\). Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = -1\), và hai giao điểm là \((2; 4)\) và \((-1; 1)\). Câu hỏi hình học "hai đường gặp nhau ở đâu" đã thành câu hỏi "phương trình nào đúng".

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh định lý Pythagoras đảo: nếu một tam giác có ba cạnh \(a\), \(b\), \(c\) với \(a^2 + b^2 = c^2\) thì góc đối diện cạnh \(c\) là góc vuông. (Được dùng: hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau, theo nghĩa của Chương 3.)

Lời giải

Dựng một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông \(a\) và \(b\). Theo Định lý 1, cạnh huyền của nó dài \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2} = c\). Vậy tam giác đã cho và tam giác vừa dựng có ba cạnh tương ứng bằng nhau, nên chúng bằng nhau: đặt chồng khít lên nhau được. Góc đối diện cạnh \(c\) trong tam giác đã cho trùng với góc đối diện cạnh huyền trong tam giác vuông, tức là góc vuông. \(\square\) Chẳng hạn ba điểm \((1; 1)\), \((4; 5)\), \((8; 2)\) tạo thành tam giác với các cạnh 5, 5 và \(\sqrt{50}\); vì \(25 + 25 = 50\), góc tại \((4; 5)\) là góc vuông.

C2. Chứng minh rằng khoảng cách tính theo công thức không đổi khi (a) đổi chiều trục hoành, tức thay mọi hoành độ \(x\) bằng \(-x\); (b) đổi vai hai trục, tức thay \((x; y)\) bằng \((y; x)\). Cho một ví dụ về cách "đổi tọa độ" làm hỏng khoảng cách.

Lời giải

(a) Hiệu hoành độ mới là \((-x_B) - (-x_A) = -(x_B - x_A)\), có cùng bình phương với hiệu cũ; hiệu tung độ không đổi. (b) Hai hiệu đổi chỗ cho nhau, nên tổng hai bình phương không đổi. Trong cả hai trường hợp, Hệ quả 2 cho cùng một khoảng cách. \(\square\)

Nhân mọi tung độ với 2 thì hỏng: \((0; 0)\) và \((0; 1)\) cách nhau 1, nhưng sau khi đổi thành \((0; 0)\) và \((0; 2)\) thì cách nhau 2. Đó là tình huống của bài A2.

C3. Chứng minh rằng điểm \(M(x; y)\) cách đều \(A(1; 2)\) và \(B(5; 4)\) khi và chỉ khi \(2x + y = 9\). Trung điểm của \(AB\) có thỏa điều kiện ấy không?

Lời giải

\(MA = MB\) khi và chỉ khi \(MA^2 = MB^2\) (hai khoảng cách đều không âm), tức

\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 5)^2 + (y - 4)^2. \]

Khai triển và rút gọn các số hạng \(x^2\), \(y^2\) ở hai vế: \(-2x + 1 - 4y + 4 = -10x + 25 - 8y + 16\), tức \(8x + 4y = 36\), hay \(2x + y = 9\). \(\square\) Trung điểm \((3; 3)\) cho \(6 + 3 = 9\): có. Tập các điểm cách đều hai điểm cho trước hóa ra là một đường thẳng; câu hỏi hình học được trả lời bằng một phép rút gọn.

Câu hỏi để ngỏ

Nếu một hàm là một cỗ máy, nối đầu ra của cỗ máy này vào đầu vào của cỗ máy kia thì được gì? Thứ tự nối có quan trọng không?