Chương 38: Định lý cơ bản của giải tích¶
Câu hỏi mở đầu
Tính tích phân bằng giới hạn của tổng thật cực nhọc, ngay cả với \(x^2\). Có đường tắt nào không? Có mối liên hệ nào giữa cộng dồn (tích phân) và tốc độ (đạo hàm)?
Hai đồng hồ trên một chiếc xe¶
Trên bảng điều khiển của một chiếc xe có hai đồng hồ. Đồng hồ tốc độ cho biết xe đang đi nhanh bao nhiêu; đồng hồ quãng đường cho biết xe đã đi được bao xa. Hai đồng hồ đo cùng một chuyến đi, nên chúng phải liên hệ với nhau. Gọi \(s(t)\) là số chỉ của đồng hồ quãng đường. Số chỉ của đồng hồ tốc độ là \(v(t) = s'(t)\) (Chương 34). Còn quãng đường đi được từ lúc \(a\) tới lúc \(b\) thì một mặt là \(s(b) - s(a)\), hiệu hai số chỉ, mặt khác là \(\int_a^b v(t)\,dt\), cộng dồn vận tốc theo Chương 37. Vậy
Đây là đường tắt. Muốn tính tích phân của một hàm \(f\), không cần cộng những tổng Riemann dài dằng dặc: chỉ cần tìm một hàm \(F\) có đạo hàm bằng \(f\), rồi lấy \(F(b) - F(a)\). Thử với ví dụ cực nhọc của Chương 37. Theo quy tắc lũy thừa (Chương 35), \(\left(\frac{x^3}{3}\right)' = x^2\), nên
đúng con số mà Chương 37 phải dùng công thức tổng bình phương và một giới hạn mới có được. Tương tự, \(\left(\frac{x^{m + 1}}{m + 1}\right)' = x^m\), nên \(\int_0^1 x^m\,dx = \frac{1}{m + 1}\) với mọi số nguyên dương \(m\): đó là đường tắt mà bài C1 của Chương 37 đã hẹn.
Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì "bao nhiêu" và "nhanh bao nhiêu" là hai mặt của cùng một quá trình. Lượng nước trong bể thay đổi với tốc độ đúng bằng tốc độ nước chảy vào; tổng lượng nước đã chảy vào là lượng nước hiện có trừ lượng lúc đầu. Hễ một đại lượng tích lũy theo một tốc độ, thì tốc độ tăng của lượng tích lũy chính là tốc độ ấy, và cộng dồn tốc độ thì được lượng tích lũy. Đạo hàm và tích phân, một phép đo độ dốc và một phép đo diện tích, hóa ra là hai phép biến đổi ngược nhau. Newton và Leibniz là những người đầu tiên biến nhận xét ấy thành một phương pháp tính, và nó là lý do giải tích trở thành một công cụ chứ không chỉ là một bộ sưu tập các giới hạn.
Dải mỏng dưới đồ thị¶
Nhận xét về hai đồng hồ dựa trên một điều ta đã biết là có thật: chiếc xe có một số chỉ quãng đường. Với một hàm \(f\) bất kỳ, ta phải tự dựng ra "số chỉ" ấy. Cho \(f\) liên tục trên một đoạn chứa \(a\), đặt
diện tích có dấu dưới đồ thị của \(f\) từ \(a\) tới \(x\). Khi \(x\) thay đổi, \(A(x)\) thay đổi theo; \(A\) là một hàm, gọi là hàm tích lũy (accumulation function). Nó tăng nhanh bao nhiêu? Khi \(x\) tăng thêm một lượng nhỏ \(h\), diện tích tăng thêm một dải mỏng rộng \(h\). Vì \(f\) liên tục, trên dải ấy chiều cao gần như không đổi, xấp xỉ \(f(x)\), nên dải có diện tích xấp xỉ \(f(x) \cdot h\):
Tốc độ tăng của diện tích tích lũy bằng chiều cao hiện tại của đồ thị. Đó là cấu trúc nguyên thủy của chương, và Định lý 2 chứng minh nó bằng cách kẹp dải mỏng giữa hai hình chữ nhật.
Khi đã có \(A' = f\), phần còn lại đến từ Chương 36 (Hệ quả 5): nếu \(F\) là một hàm bất kỳ có \(F' = f\), thì \(F\) và \(A\) có cùng đạo hàm, nên chúng sai khác một hằng số, \(F = A + C\). Khi ấy \(F(b) - F(a) = A(b) - A(a) = \int_a^b f(t)\,dt\), vì \(A(a) = 0\). Hằng số \(C\) biến mất trong phép trừ.
Ký hiệu¶
Một hàm \(F\) gọi là nguyên hàm (antiderivative) của \(f\) trên một khoảng nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x\) trong khoảng ấy. Hàm \(\frac{x^3}{3}\) là một nguyên hàm của \(x^2\); \(\frac{x^3}{3} + 5\) cũng vậy. Hai nguyên hàm của cùng một hàm trên một khoảng luôn sai khác một hằng số (Hệ quả 5 của Chương 36), nên người ta viết gọn mọi nguyên hàm của \(f\) là
với \(C\) là một hằng số tùy ý. Tích phân không có hai cận như thế gọi là tích phân bất định (indefinite integral); nó là một họ hàm, không phải một số. Hiệu \(F(b) - F(a)\) thường viết là \(\big[F(x)\big]_a^b\).
Mệnh đề "với \(f\) liên tục, hàm tích lũy có đạo hàm \(f\), và \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) với mọi nguyên hàm \(F\)" gọi là định lý cơ bản của giải tích (fundamental theorem of calculus); đó là Định lý 2 và Định lý 3 ở mục Phát biểu chặt chẽ.
Đọc ngược bảng đạo hàm của Chương 35, ta được bảng nguyên hàm:
| \(f(x)\) | \(x^r\) (\(r \neq -1\)) | \(\frac1x\) (\(x > 0\)) | \(e^x\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| một nguyên hàm \(F(x)\) | \(\frac{x^{r + 1}}{r + 1}\) | \(\ln x\) | \(e^x\) | \(-\cos x\) | \(\sin x\) |
Cột đầu cần quy tắc lũy thừa cho số mũ thực bất kỳ. Với \(x > 0\), \(x^r = e^{r \ln x}\), nên quy tắc hợp cho \((x^r)' = e^{r \ln x} \cdot \frac{r}{x} = r x^{r - 1}\): quy tắc \((x^n)' = nx^{n - 1}\) của Chương 35 đúng với mọi số mũ thực. Chỉ có \(r = -1\) phải để riêng, vì \(\frac{x^0}{0}\) vô nghĩa, và chính ở đó \(\ln\) xuất hiện.
Đọc ngược quy tắc hợp, ta được phép đổi biến số (substitution): vì \(\big(F(g(x))\big)' = F'(g(x))\,g'(x)\), nên \(\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C\) khi \(F' = f\). Cuối cùng, số \(\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx\) gọi là giá trị trung bình của hàm (average value of a function) \(f\) trên \([a; b]\): chiều cao của hình chữ nhật có cùng đáy và cùng diện tích với phần dưới đồ thị.
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (lũy thừa). \(\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac13\), như ở mục trước. Với \(x^3\): \(\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac14\), khớp với bài C1 của Chương 37. Với \(\sqrt x = x^{1/2}\): \(\int_0^4 \sqrt x\,dx = \left[\frac23 x^{3/2}\right]_0^4 = \frac23 \cdot 8 = \frac{16}{3}\).
Ví dụ 2 (\(\frac1x\) và \(\frac{1}{x^2}\)). \(\int_1^e \frac1x\,dx = \ln e - \ln 1 = 1\): diện tích dưới \(y = \frac1x\) từ 1 tới \(e\) đúng bằng 1, một cách khác để gặp số \(e\). Tổng quát, \(\int_1^N \frac1x\,dx = \ln N\), lớn không giới hạn khi \(N\) lớn dần, nhưng rất chậm: với \(N = 1000\) mới chỉ khoảng \(6{,}91\). Còn \(\int_1^N \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac1x\right]_1^N = 1 - \frac1N\), luôn nhỏ hơn 1 và dồn về 1. Bài C3 của Chương 37 chỉ chứng minh được hai cận, "nhỏ hơn 2" và "ít nhất \(\frac m2\) với \(N = 2^m\)"; giờ ta có giá trị chính xác: diện tích dưới \(\frac{1}{x^2}\) bên phải \(x = 1\) bằng đúng 1, và \(\ln 2^m = m \ln 2 \approx 0{,}693m\).
Ví dụ 3 (\(\sin\) và giá trị trung bình). \(\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 2\). Diện tích dưới một vòm của đường \(\sin\) đúng bằng 2, một con số nguyên gọn gàng ẩn trong một đường cong siêu việt. Giá trị trung bình của \(\sin\) trên \([0; \pi]\) là \(\frac{2}{\pi} \approx 0{,}637\): hình chữ nhật cao \(\frac{2}{\pi}\), rộng \(\pi\), có cùng diện tích với vòm.
Ví dụ 4 (vị trí và quãng đường). Một vật chuyển động thẳng có vận tốc \(v(t) = 3t^2 - 2t\) m/s. Trong 2 giây đầu, vị trí thay đổi \(\int_0^2 (3t^2 - 2t)\,dt = \big[t^3 - t^2\big]_0^2 = 8 - 4 = 4\) mét. Nhưng \(v(t) < 0\) khi \(0 < t < \frac23\): lúc đầu vật lùi một chút. Nó lùi \(\left\lvert \big[t^3 - t^2\big]_0^{2/3} \right\rvert = \frac{4}{27}\) mét, rồi tiến \(\big[t^3 - t^2\big]_{2/3}^2 = 4 + \frac{4}{27}\) mét, nên tổng quãng đường là \(4 + \frac{8}{27} \approx 4{,}30\) mét. Tích phân của vận tốc cho độ thay đổi vị trí, không cho quãng đường, như diện tích có dấu ở Chương 37.
Ví dụ 5 (diện tích giữa hai đường cong). Hai đường \(y = x\) và \(y = x^2\) cắt nhau tại \(x = 0\) và \(x = 1\), và trên \([0; 1]\) đường thẳng nằm trên. Diện tích giữa chúng là tích phân của hiệu: \(\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac12 - \frac13 = \frac16\). Mỗi dải mỏng là một hình chữ nhật cao \(x - x^2\), bất kể hai đường nằm ở đâu so với trục hoành.
Ví dụ 6 (đổi biến số). Tính \(\int_0^2 2x e^{x^2}\,dx\). Thừa số \(2x\) là đạo hàm của \(x^2\), nằm ngay trong số mũ: với \(g(x) = x^2\) và \(F(u) = e^u\), hàm dưới dấu tích phân là \(F'(g(x))\,g'(x)\). Vậy nguyên hàm là \(e^{x^2}\), và tích phân bằng \(e^4 - e^0 = e^4 - 1 \approx 53{,}6\). Kiểm tra bằng quy tắc hợp: \(\left(e^{x^2}\right)' = e^{x^2} \cdot 2x\).
Ví dụ 7 (hằng số bị mất). Biết vận tốc của hòn đá ở Chương 28 là \(v(t) = 10t\), ta biết vị trí \(s(t) = \int 10t\,dt = 5t^2 + C\), nhưng chưa biết \(C\). Hằng số ấy là thông tin mà phép lấy đạo hàm đã xóa đi: bài A5 của Chương 34 đã thấy \(x^2\) và \(x^2 + 5\) có cùng đạo hàm. Để tìm lại nó, cần thêm một mẩu thông tin ngoài quy luật thay đổi: vị trí tại một thời điểm. Nếu hòn đá được thả từ vạch 0 lúc \(t = 0\), thì \(C = 0\) và \(s(t) = 5t^2\); nếu thả từ vạch 3 mét, \(s(t) = 5t^2 + 3\). Tốc độ kể lại cả câu chuyện, trừ chỗ bắt đầu.
Ranh giới¶
Cái bẫy kinh điển. "Tính" \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx\) bằng nguyên hàm \(-\frac1x\): \(\left[-\frac1x\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\). Kết quả âm, trong khi hàm dưới dấu tích phân luôn dương: chắc chắn có gì sai. Chỗ sai là \(\frac{1}{x^2}\) không xác định tại 0, không liên tục trên \([-1; 1]\), và \(-\frac1x\) không phải nguyên hàm trên cả đoạn. Định lý chỉ áp dụng khi \(f\) liên tục trên cả đoạn. Thật ra diện tích ở đây lớn không giới hạn: \(\int_{1/N}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx = N - 1\).
Nhảy bậc thì hỏng phần 1. Nếu \(f\) bằng 0 trên \([0; 1)\) và bằng 1 trên \([1; 2]\), hàm tích lũy \(A(x) = \int_0^x f(t)\,dt\) bằng 0 khi \(x \leq 1\) và bằng \(x - 1\) khi \(x \geq 1\). Đồ thị của \(A\) có một góc nhọn tại 1, nên \(A\) không khả vi ở đó, và \(A' = f\) hỏng đúng tại chỗ \(f\) nhảy (bài C2). Điều đáng chú ý là \(A\) vẫn liên tục: tích phân làm trơn, còn đạo hàm làm lộ ra những chỗ gồ ghề.
Có nguyên hàm, nhưng không viết được. Hàm \(e^{-x^2}\) liên tục, nên theo phần 1, \(\int_0^x e^{-t^2}\,dt\) là một nguyên hàm của nó. Nhưng người ta đã chứng minh được rằng nguyên hàm ấy không viết được bằng hữu hạn phép cộng, nhân, chia, lấy hàm hợp từ các hàm quen thuộc như đa thức, \(e^x\), \(\ln\), \(\sin\). Muốn biết \(\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 0{,}7468\), phải tính số, bằng những tổng như ở Chương 37. Đường cong hình chuông này sẽ là trung tâm của phân phối chuẩn (normal distribution) ở Phần V. Đường tắt của chương này là một món quà lớn, nhưng không phải lúc nào cũng dùng được.
Hai phép ngược nhau, nhưng không đối xứng. Lấy đạo hàm của tích phân thì về đúng hàm ban đầu: \(\left(\int_a^x f\right)' = f\). Lấy tích phân của đạo hàm thì về hàm ban đầu trừ đi một hằng số: \(\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)\). Phép lấy đạo hàm làm mất thông tin, phép lấy tích phân không lấy lại được phần đã mất (Chương 20: lấy đạo hàm không phải một đơn ánh).
Phát biểu chặt chẽ¶
Định nghĩa 1. Hàm \(F\) là một nguyên hàm của \(f\) trên khoảng \(I\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in I\).
Định lý 2 (định lý cơ bản, phần 1). Cho \(f\) liên tục trên \([a; b]\) và \(A(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) với \(x \in [a; b]\). Khi đó \(A'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in (a; b)\).
Chứng minh. Cho \(h > 0\) đủ nhỏ để \(x + h \leq b\). Theo Mệnh đề 5(3) của Chương 37, \(A(x + h) - A(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,dt\). Gọi \(m_h\) và \(M_h\) là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(f\) trên \([x; x + h]\), có thật theo định lý giá trị lớn nhất. Vì \(m_h \leq f(t) \leq M_h\) trên đoạn ấy, và tích phân của một hằng số \(c\) trên một đoạn dài \(h\) là \(ch\), Mệnh đề 5(2) của Chương 37 cho
Mỗi số \(m_h\), \(M_h\) là giá trị của \(f\) tại một điểm cách \(x\) không quá \(h\); vì \(f\) liên tục tại \(x\), cả hai dồn về \(f(x)\) khi \(h \to 0\). Theo định lý kẹp (Chương 32, Định lý 5), thương ở giữa dồn về \(f(x)\) khi \(h\) dần về 0 từ bên phải. Với \(h < 0\), cùng lập luận trên đoạn \([x + h; x]\), với \(A(x + h) - A(x) = -\int_{x + h}^{x} f(t)\,dt\) và chia cho số âm \(h\), cho cùng cặp bất đẳng thức, nên giới hạn bên trái cũng là \(f(x)\). \(\square\)
Định lý 3 (định lý cơ bản, phần 2). Cho \(f\) liên tục trên \([a; b]\), và \(F\) liên tục trên \([a; b]\) với \(F' = f\) trên \((a; b)\). Khi đó
Chứng minh. Theo Định lý 2, \(A' = f = F'\) trên \((a; b)\), nên theo Hệ quả 5(4) của Chương 36, \(F - A\) là một hằng số \(C\) trên \((a; b)\). Cả \(F\) và \(A\) đều liên tục trên \([a; b]\) (\(A\) liên tục vì \(\lvert A(x + h) - A(x) \rvert\) không quá \(h\) nhân giá trị lớn nhất của \(\lvert f \rvert\)), nên đẳng thức \(F = A + C\) đúng cả tại \(a\) và \(b\). Vậy \(F(b) - F(a) = A(b) - A(a) = \int_a^b f(x)\,dx - 0\). \(\square\)
Hệ quả 4 (hai phép ngược nhau). Nếu \(f\) liên tục thì \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\). Nếu \(F'\) liên tục trên \([a; b]\) thì \(\int_a^x F'(t)\,dt = F(x) - F(a)\) với mọi \(x \in [a; b]\).
Chứng minh. Câu đầu là Định lý 2; câu sau là Định lý 3 trên \([a; x]\). \(\square\)
Mệnh đề 5 (đổi biến số). Cho \(g\) có đạo hàm liên tục trên \([a; b]\) và \(f\) liên tục trên một khoảng chứa mọi giá trị \(g(x)\). Khi đó
Chứng minh. Theo Định lý 2, \(f\) có một nguyên hàm \(F\). Theo quy tắc hợp, \((F \circ g)' = (f \circ g) \cdot g'\). Áp dụng Định lý 3 cho hai vế: vế trái bằng \(F(g(b)) - F(g(a))\), vế phải cũng vậy. \(\square\)
Mệnh đề 6 (giá trị trung bình được đạt). Nếu \(f\) liên tục trên \([a; b]\) thì có \(c \in (a; b)\) với \(f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx\).
Chứng minh. Áp dụng định lý giá trị trung bình (Định lý 4 của Chương 36) cho \(A\), liên tục trên \([a; b]\) và khả vi trên \((a; b)\): có \(c\) với \(A'(c) = \frac{A(b) - A(a)}{b - a}\), tức \(f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx\). \(\square\)
Với vận tốc, Mệnh đề 6 chính là câu chuyện chiếc xe ở Chương 36: tốc độ trung bình, tức quãng đường chia thời gian, được đạt tại một thời điểm nào đó.
Sợi chỉ
- S2. Thông tin và khả nghịch. Đạo hàm và tích phân là cặp biến đổi ngược nhau, nhưng không hoàn toàn: lấy đạo hàm xóa hằng số \(C\), và muốn tìm lại nó phải có thêm một mẩu thông tin, như vị trí lúc bắt đầu (Ví dụ 7). Đó là lời hẹn ở bài A5 của Chương 34, và là lý do mỗi bài toán "biết tốc độ, tìm đại lượng" ở chương sau cần một điều kiện ban đầu (initial condition).
- S5. Rời rạc và liên tục. Bản rời rạc của định lý là một tổng lồng nhau: \(F(b) - F(a) = \sum_{k=1}^{n} \big(F(x_k) - F(x_{k - 1})\big)\), và mỗi số hạng xấp xỉ \(f(x_k)\,\Delta x\). Cộng các hiệu thì được hiệu tổng thể, như cộng các bước tăng của Chương 28 thì được lượng tăng cả quãng. Bài C1 biến nhận xét này thành một chứng minh khác.
- S4. Cục bộ và toàn cục. Đạo hàm là thông tin cục bộ, tích phân là tổng toàn cục; định lý cơ bản nói hai thứ ấy xác định nhau. Biết độ dốc tại từng điểm là đủ để biết độ chênh giữa hai đầu, và một con số toàn cục như diện tích được tính chỉ từ giá trị của một nguyên hàm tại hai điểm.
Tóm tắt¶
- Hàm tích lũy \(A(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) tăng với tốc độ bằng chiều cao hiện tại: \(A' = f\) khi \(f\) liên tục.
- Vì hai nguyên hàm sai khác một hằng số, \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) với mọi nguyên hàm \(F\) của \(f\): đó là định lý cơ bản của giải tích.
- Đường tắt thay cho giới hạn của tổng: \(\int_0^1 x^2\,dx = \frac13\), \(\int_0^1 x^m\,dx = \frac{1}{m + 1}\), \(\int_1^e \frac1x\,dx = 1\), \(\int_0^\pi \sin x\,dx = 2\).
- Nguyên hàm có một hằng số tùy ý \(C\): thông tin mà phép lấy đạo hàm đã xóa, cần một điều kiện ban đầu để tìm lại.
- Đổi biến số là quy tắc hợp đọc ngược; giá trị trung bình \(\frac{1}{b - a}\int_a^b f\) được đạt tại ít nhất một điểm.
- Công thức cần \(f\) liên tục trên cả đoạn (\(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx\) không bằng \(-2\)); có hàm liên tục mà nguyên hàm không viết được bằng các hàm quen thuộc, như \(e^{-x^2}\).
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. Nếu đồng hồ quãng đường của một chiếc xe hỏng, có tính lại được quãng đường từ bản ghi liên tục của đồng hồ tốc độ không? Có tính lại được đúng con số mà đồng hồ quãng đường lẽ ra phải chỉ không? Nếu ngược lại, đồng hồ tốc độ hỏng thì sao?
Lời giải
Quãng đường đi trong một khoảng thời gian thì tính được: đó là tích phân của vận tốc. Nhưng con số tuyệt đối trên đồng hồ quãng đường thì không, nếu không biết số chỉ lúc bắt đầu: tích phân chỉ cho hiệu \(s(b) - s(a)\), và hằng số \(s(a)\) là thông tin mà vận tốc không chứa. Ngược lại, nếu có bản ghi đồng hồ quãng đường, lấy đạo hàm cho lại toàn bộ vận tốc, không thiếu gì: lấy đạo hàm chỉ làm mất hằng số, và vận tốc không cần hằng số ấy.
A2. Một bạn hỏi: "Một hàm có vô số nguyên hàm. Vậy \(F(b) - F(a)\) có phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm nào không?"
Lời giải
Không. Hai nguyên hàm của cùng một hàm trên một đoạn sai khác một hằng số: \(G = F + C\). Khi đó \(G(b) - G(a) = F(b) + C - F(a) - C = F(b) - F(a)\). Hằng số bị trừ đi, nên chọn nguyên hàm nào cũng được, và ta thường chọn cái gọn nhất, với \(C = 0\).
A3. Vì sao định lý này được gọi là "cơ bản"? Hãy nêu hai điều nó làm được mà không có nó thì rất khó.
Lời giải
Nó nối hai khái niệm tưởng như không liên quan: độ dốc của tiếp tuyến, một bài toán cục bộ, và diện tích dưới đường cong, một bài toán toàn cục. Nhờ nó, thứ nhất, tính tích phân không còn cần giới hạn của những tổng dài mà chỉ cần tìm một nguyên hàm, như \(\int_0^1 x^2\,dx\) tính trong một dòng. Thứ hai, nó cho mọi hàm liên tục một nguyên hàm, kể cả khi không có công thức nào, như \(\int_0^x e^{-t^2}\,dt\); nhờ đó "tìm hàm biết đạo hàm của nó" luôn có nghĩa, và chương sau sẽ dựa vào điều đó.
B. Tính toán¶
B1. Tính \(\int_1^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx\).
Lời giải
Một nguyên hàm là \(x^3 - x^2 + x\). Tích phân bằng \((8 - 4 + 2) - (1 - 1 + 1) = 6 - 1 = 5\).
B2. Tính \(\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx\) và \(\int_0^{2\pi} \sin x\,dx\). Giải thích kết quả thứ hai bằng diện tích có dấu.
Lời giải
\(\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1\). \(\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = -\cos 2\pi + \cos 0 = 0\): vòm trên trục từ 0 tới \(\pi\) có diện tích 2, vòm dưới trục từ \(\pi\) tới \(2\pi\) cũng có diện tích 2 nhưng mang dấu âm, và hai phần triệt tiêu.
B3. Tính \(\int_0^1 e^x\,dx\) và \(\int_1^4 \sqrt x\,dx\).
Lời giải
\(\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1{,}718\). \(\int_1^4 x^{1/2}\,dx = \left[\frac23 x^{3/2}\right]_1^4 = \frac23(8 - 1) = \frac{14}{3}\).
B4. Tìm giá trị trung bình của \(x^2\) trên \([0; 3]\) và điểm \(c\) mà Mệnh đề 6 bảo đảm.
Lời giải
\(\frac13\int_0^3 x^2\,dx = \frac13 \cdot \frac{27}{3} = 3\). Giá trị ấy đạt khi \(c^2 = 3\), tức \(c = \sqrt3 \approx 1{,}732\), nằm trong \((0; 3)\).
B5. Dùng đổi biến số để tính \(\int_0^1 x(x^2 + 1)^4\,dx\).
Lời giải
Đặt \(u = x^2 + 1\), có \(u' = 2x\), nên hàm dưới dấu tích phân là \(\frac12 u^4 \cdot u'\). Theo Mệnh đề 5, tích phân bằng \(\frac12\int_1^2 u^4\,du = \frac12 \cdot \frac{32 - 1}{5} = \frac{31}{10} = 3{,}1\).
B6. Tính diện tích giữa hai đường \(y = x^2\) và \(y = 2x\).
Lời giải
Hai đường cắt nhau khi \(x^2 = 2x\), tức \(x = 0\) hoặc \(x = 2\); trên \([0; 2]\), \(2x \geq x^2\). Diện tích là \(\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \frac83 = \frac43\).
B7. Tính lại lượng nước ở Ví dụ 4 của Chương 37, với tốc độ chảy \(12t - t^2\) lít mỗi phút trong 12 phút, bằng nguyên hàm. Sau bao lâu thì bể nhận được một nửa lượng ấy?
Lời giải
Một nguyên hàm là \(W(t) = 6t^2 - \frac{t^3}{3}\), nên lượng nước là \(W(12) = 864 - 576 = 288\) lít, như Chương 37. Nửa lượng ấy là 144 lít: \(W(6) = 216 - 72 = 144\), nên đúng lúc 6 phút. Điều đó hợp lý: tốc độ chảy đối xứng qua \(t = 6\), nên nửa đầu và nửa sau của thời gian mang vào lượng nước như nhau.
B8. Tính đạo hàm theo \(x\) của \(\int_0^x e^{-t^2}\,dt\) và của \(\int_1^{x^2} \frac1t\,dt\) với \(x > 0\). Kiểm tra kết quả thứ hai bằng cách tính tích phân trước.
Lời giải
Theo Định lý 2, đạo hàm của \(\int_0^x e^{-t^2}\,dt\) là \(e^{-x^2}\), dù tích phân không có công thức. Với tích phân thứ hai, đặt \(G(u) = \int_1^u \frac1t\,dt\), có \(G'(u) = \frac1u\); theo quy tắc hợp, \(\left(G(x^2)\right)' = \frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac2x\). Kiểm tra: \(\int_1^{x^2} \frac1t\,dt = \ln x^2 = 2\ln x\), có đạo hàm \(\frac2x\).
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Chứng minh phần 2 theo cách khác, không qua hàm tích lũy. Cho \(F\) có đạo hàm \(f\) liên tục trên \([a; b]\). Với phân hoạch đều \(x_0, \dots, x_n\), dùng định lý giá trị trung bình trên từng đoạn con để chứng tỏ \(F(b) - F(a)\) đúng bằng một tổng Riemann của \(f\), rồi suy ra \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\).
Lời giải
Viết \(F(b) - F(a) = \sum_{k=1}^{n} \big(F(x_k) - F(x_{k - 1})\big)\), một tổng lồng nhau. Trên mỗi đoạn \([x_{k - 1}; x_k]\), định lý giá trị trung bình cho một điểm \(\xi_k\) với \(F(x_k) - F(x_{k - 1}) = F'(\xi_k)\,\Delta x = f(\xi_k)\,\Delta x\). Vậy \(F(b) - F(a) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\,\Delta x\), một tổng Riemann với các điểm \(c_k = \xi_k\), và điều đó đúng với mọi \(n\). Vì \(f\) liên tục nên khả tích (Định lý 4 của Chương 37): mọi dãy tổng Riemann dồn về \(\int_a^b f(x)\,dx\). Dãy của ta là hằng số \(F(b) - F(a)\), nên giới hạn của nó chính là số ấy. \(\square\)
C2. Cho \(f(t) = 0\) khi \(0 \leq t < 1\) và \(f(t) = 1\) khi \(1 \leq t \leq 2\). Tìm \(A(x) = \int_0^x f(t)\,dt\), và chứng minh \(A\) liên tục tại 1 nhưng không khả vi tại 1. Điều gì trong Định lý 2 bị vi phạm?
Lời giải
Với \(x \leq 1\), \(f = 0\) trên \([0; x]\) (trừ có thể điểm \(x = 1\), không ảnh hưởng tới tích phân, như hàm \(E\) ở bài C2 của Chương 37), nên \(A(x) = 0\). Với \(x \geq 1\), \(A(x) = \int_0^1 0\,dt + \int_1^x 1\,dt = x - 1\). Hai công thức cùng cho 0 tại \(x = 1\), nên \(A\) liên tục tại 1. Thương \(\frac{A(1 + h) - A(1)}{h}\) bằng 1 khi \(h > 0\) và bằng 0 khi \(h < 0\): hai giới hạn một phía khác nhau, nên \(A\) không khả vi tại 1, như \(\lvert x \rvert\) tại 0. \(\square\) Giả thiết bị vi phạm là tính liên tục của \(f\) tại 1: ở đó \(f\) nhảy từ 0 lên 1.
C3. Hàm \(\frac{1}{\sqrt x}\) lớn không giới hạn khi \(x\) dần về 0 từ bên phải, cũng như \(\frac{1}{x^2}\). Tính \(\int_{1/N}^{1} \frac{1}{\sqrt x}\,dx\) và \(\int_{1/N}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx\), rồi cho \(N\) lớn dần. Hai "diện tích quanh 0" khác nhau thế nào?
Lời giải
\(\int_{1/N}^{1} x^{-1/2}\,dx = \big[2\sqrt x\big]_{1/N}^{1} = 2 - \frac{2}{\sqrt N}\), dồn về 2. \(\int_{1/N}^{1} x^{-2}\,dx = \left[-\frac1x\right]_{1/N}^{1} = -1 + N\), lớn không giới hạn. Cả hai hàm đều vọt lên vô hạn quanh 0, nhưng \(\frac{1}{\sqrt x}\) vọt lên đủ chậm để phần diện tích quanh 0 vẫn hữu hạn, bằng 2, còn \(\frac{1}{x^2}\) thì không. Vì thế lỗi ở mục Ranh giới không chỉ là "hàm không xác định tại 0": có những hàm không bị chặn mà diện tích vẫn hữu hạn, và mỗi trường hợp phải được xét bằng giới hạn.
Câu hỏi để ngỏ¶
Có những bài toán mà ta không biết công thức của đại lượng, chỉ biết quy luật thay đổi của nó, chẳng hạn "tốc độ tăng tỉ lệ với lượng hiện có". Chỉ từ quy luật thay đổi, có tìm lại được đại lượng không?