Chương 35: Các quy tắc đạo hàm¶
Câu hỏi mở đầu
Tính đạo hàm từ định nghĩa mỗi lần thật vất vả. Có những quy tắc tính nhanh không, và quan trọng hơn, vì sao chúng buộc phải đúng?
Lắp ráp từ những khối nhỏ¶
Hầu hết các hàm ta gặp được lắp từ vài khối đơn giản bằng vài phép lắp ráp. Hàm \(x^2 \sin x\) là tích của \(x^2\) và \(\sin x\). Hàm \((x^2 + 1)^5\) là một dây chuyền hai khâu (Chương 24): bình phương rồi cộng 1, sau đó nâng lên lũy thừa 5. Hàm \(\ln x\) là hàm ngược của \(e^x\). Nếu biết đạo hàm của từng khối, và biết đạo hàm đối xử thế nào với mỗi phép lắp ráp (cộng, nhân, chia, hợp, lấy hàm ngược), ta tính được đạo hàm của mọi thứ lắp từ chúng mà không phải quay về định nghĩa.
Nhưng câu hỏi quan trọng hơn là vì sao các quy tắc ấy đúng. Chúng không phải quy ước. Chúng bị ép ra từ một điều duy nhất ở Chương 34 (Định lý 3): gần mỗi điểm, một hàm khả vi thay đổi gần như đều,
Muốn biết một hàm lắp ráp thay đổi thế nào, ta lắp ráp các độ thay đổi gần như đều của từng khối, bỏ những phần nhỏ hơn \(h\) rất nhiều, rồi đọc hệ số của \(h\). Mọi quy tắc trong chương đều sinh ra theo đúng một cách ấy.
Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì nhìn đủ gần, mọi hàm khả vi đều gần như tuyến tính, và các quy luật tuyến tính lắp với nhau theo những cách rất đơn giản. Hai quy luật đều cộng lại thành một quy luật đều, với tốc độ là tổng hai tốc độ. Hai quy luật đều nối thành dây chuyền cũng thành một quy luật đều, với tốc độ là tích: nhân 2 rồi nhân 3 là nhân 6. Các quy tắc đạo hàm chỉ là những sự thật hiển nhiên ấy, cộng thêm lời giải thích vì sao chữ "gần như" không làm hỏng chúng.
Hình chữ nhật co giãn¶
Tổng là dễ nhất. Hai vòi cùng chảy vào một bể, vòi thứ nhất 3 lít mỗi phút, vòi thứ hai 2 lít mỗi phút; lượng nước trong bể tăng 5 lít mỗi phút. Nếu \(f\) và \(g\) thay đổi với tốc độ \(f'\) và \(g'\) thì \(f + g\) thay đổi với tốc độ \(f' + g'\); nhân \(f\) với một hằng số \(c\) thì tốc độ cũng nhân với \(c\).
Tích thì khác. Coi \(f(x)\) và \(g(x)\) là hai cạnh của một hình chữ nhật, nên \(f(x)g(x)\) là diện tích. Khi \(x\) tăng thêm \(h\), cạnh ngang dài thêm \(\Delta f\), cạnh đứng dài thêm \(\Delta g\), và diện tích tăng thêm ba mảnh: một dải đứng, một dải ngang và một góc nhỏ,
Hai dải tỉ lệ với \(h\), vì \(\Delta f \approx f'h\) và \(\Delta g \approx g'h\). Góc nhỏ là tích của hai lượng cỡ \(h\), nên cỡ \(h^2\): nhỏ hơn \(h\) rất nhiều, và bị bỏ. Chia cho \(h\) rồi cho \(h\) dần về 0:
Đó là quy tắc tích (product rule). Nó đọc được thành lời: mỗi thừa số lần lượt thay đổi trong khi thừa số kia đứng yên, và hai phần đóng góp cộng lại. Phần mà cả hai cùng thay đổi, góc nhỏ, là phần bị bỏ. Với \(f = g = x\), hình chữ nhật là hình vuông cạnh \(x\), và \((x^2)' = x + x = 2x\): hai dải dài \(x\). Chữ L của Chương 1 chính là hình này với bước bằng 1: đi từ \(n^2\) viên sỏi tới \((n + 1)^2\) viên, phải thêm hai dải \(n\) viên và một góc 1 viên. Khi bước nhỏ dần, góc teo nhanh hơn hai dải, và chỉ còn lại \(2x\).
Bánh răng¶
Hợp hàm là một dây chuyền: \(x\) đi vào khâu \(g\), ra \(u = g(x)\); \(u\) đi vào khâu \(f\), ra \(y = f(u)\). Khi \(x\) tăng thêm \(h\), \(u\) thay đổi khoảng \(g'(x)h\); mỗi đơn vị thay đổi của \(u\) lại làm \(y\) thay đổi khoảng \(f'(u)\) đơn vị. Vậy \(y\) thay đổi khoảng \(f'(u)\,g'(x)\,h\), và
Đó là quy tắc hợp (chain rule): đạo hàm của khâu ngoài, tính tại giá trị của khâu trong, nhân với đạo hàm của khâu trong. Hình ảnh dễ nhớ là một hệ bánh răng. Bánh \(x\) quay một vòng thì bánh \(u\) quay 2 vòng; bánh \(u\) quay một vòng thì bánh \(y\) quay 3 vòng; vậy bánh \(y\) quay 6 vòng mỗi vòng của bánh \(x\). Tốc độ nhân với tốc độ.
Theo cách ghi của Leibniz, quy tắc hợp là
trông như rút gọn phân số: \(du\) ở tử "triệt tiêu" \(du\) ở mẫu. Đơn vị cũng triệt tiêu đúng như thế: một chiếc xe chạy 60 km mỗi giờ và tiêu thụ \(0{,}08\) lít xăng mỗi km thì tiêu thụ \(0{,}08 \cdot 60 = 4{,}8\) lít mỗi giờ. Cách ghi ấy sống lâu một phần vì nó gợi đúng quy tắc. Nhưng nó chỉ gợi thôi. Chứng minh thật (Định lý 4) phải cẩn thận hơn, vì lượng thay đổi của \(u\) có thể bằng 0, và không ai được chia cho 0.
Ký hiệu¶
Với \(f\), \(g\) khả vi và \(c\) là hằng số:
| Phép lắp ráp | Quy tắc |
|---|---|
| tổng | \((f + g)' = f' + g'\) |
| nhân với hằng số | \((cf)' = cf'\) |
| tích | \((fg)' = f'g + fg'\) |
| thương, khi \(g \neq 0\) | \(\left(\frac fg\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}\) |
| hợp | \((f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'\) |
| hàm ngược, khi \(f'(x) \neq 0\) | \(\left(f^{-1}\right)'(y) = \frac{1}{f'(x)}\) với \(y = f(x)\) |
Hai dòng đầu gộp lại gọi là tính tuyến tính (linearity) của đạo hàm, và chữ "tuyến tính" ở đây dùng đúng theo nghĩa chặt của Chương 27 (Mệnh đề 6): phép lấy đạo hàm biến tổng thành tổng, biến \(c\) lần thành \(c\) lần. Quy tắc ở dòng thứ tư gọi là quy tắc thương (quotient rule). Quy tắc cho hàm ngược, viết theo Leibniz, là \(\frac{dx}{dy} = 1 \Big/ \frac{dy}{dx}\).
Các khối cơ bản cần biết đạo hàm:
| \(f(x)\) | \(x^n\) (\(n\) nguyên dương) | \(e^x\) | \(\ln x\) (\(x > 0\)) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(nx^{n - 1}\) | \(e^x\) | \(\frac1x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
Công thức đầu gọi là quy tắc lũy thừa (power rule). Với \(\sin\) và \(\cos\), \(x\) đo bằng radian. Mục Làm bằng tay cho thấy vì sao mỗi công thức là hợp lý; mục Phát biểu chặt chẽ và bài C1 chứng minh chúng.
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (đa thức và lũy thừa). \((x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2\), nhờ tính tuyến tính và Mệnh đề 5 của Chương 34. Vì sao \((x^n)' = nx^{n - 1}\)? Viết \((x + h)^n\) thành tích của \(n\) thừa số \(x + h\) rồi khai triển: mỗi số hạng chọn \(x\) hoặc \(h\) từ từng thừa số. Chọn \(x\) ở cả \(n\) thừa số cho \(x^n\). Chọn \(h\) ở đúng một thừa số và \(x\) ở những thừa số còn lại cho \(x^{n - 1}h\), và có \(n\) cách chọn thừa số ấy. Mọi số hạng khác chứa \(h^2\) trở lên, nhỏ hơn \(h\) rất nhiều. Vậy \((x + h)^n = x^n + nx^{n - 1}h + \ldots\), và hệ số của \(h\) là \(nx^{n - 1}\).
Ví dụ 2 (tích). \((x^2 \sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x\). Tại \(x = \pi\), đạo hàm bằng \(2\pi \cdot 0 + \pi^2 \cdot (-1) = -\pi^2\).
Ví dụ 3 (hợp). Với \((x^2 + 1)^5\), khâu trong \(u = x^2 + 1\) có đạo hàm \(2x\), khâu ngoài \(u^5\) có đạo hàm \(5u^4\). Vậy \(\left((x^2 + 1)^5\right)' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4\). Khai triển \((x^2 + 1)^5\) thành đa thức bậc 10 rồi lấy đạo hàm từng số hạng cũng ra kết quả ấy (tại \(x = 1\), cả hai cách cho 160), nhưng dài hơn nhiều.
Ví dụ 4 (vết dầu loang). Một vết dầu hình tròn loang rộng, bán kính tăng 2 cm mỗi giây. Lúc bán kính là 5 cm, diện tích tăng nhanh bao nhiêu? Diện tích \(A = \pi r^2\) có \(\frac{dA}{dr} = 2\pi r\), nên
Số \(2\pi r\) chính là chu vi: bán kính tăng thêm một chút thì diện tích thêm một vành mỏng, dài bằng chu vi.
Ví dụ 5 (thương). \(\left(\frac{x}{x^2 + 1}\right)' = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}\), bằng 0 tại \(x = \pm 1\): đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang tại \(\left(1; \frac12\right)\) và \(\left(-1; -\frac12\right)\). Quy tắc thương không phải một quy tắc mới: \(\frac fg = f \cdot \frac1g\), và \(\frac1g\) là hợp của \(g\) với \(\frac1u\), nên theo quy tắc hợp và Ví dụ 2 của Chương 34, \(\left(\frac1g\right)' = -\frac{g'}{g^2}\).
Ví dụ 6 (hàm mũ). Chương 29 mô tả cấu trúc của hàm mũ bằng một câu: lượng mới sinh ra trong mỗi bước tỉ lệ với lượng đang có. Đạo hàm cho câu ấy một phiên bản tức thời: tốc độ tăng tỉ lệ với lượng đang có. Với \(2^x\),
và thừa số thứ hai không phụ thuộc \(x\). Với \(h = 0{,}001\) nó bằng khoảng \(0{,}6934\), và khi \(h\) nhỏ dần nó dồn về một hằng số gần \(0{,}693\). Làm như thế với \(3^x\), hằng số gần \(1{,}099\). Vậy mọi hàm mũ \(r^x\) có đạo hàm tỉ lệ với chính nó, với một hằng số tỉ lệ tùy theo \(r\): nhỏ hơn 1 khi \(r = 2\), lớn hơn 1 khi \(r = 3\). Có đúng một cơ số ở giữa cho hằng số bằng đúng 1, và đó là số \(e \approx 2{,}718\) của Chương 29 (Định lý 8 và Hệ quả 9):
Hàm \(e^x\) tăng với tốc độ bằng đúng giá trị hiện tại của nó, và lấy đạo hàm bao nhiêu lần cũng gặp lại chính nó, như sai phân của dãy \(2^n\) ở Chương 29 cho lại chính dãy ấy. Tiếp tuyến tại \((a; e^a)\) là \(y = e^a(1 + x - a)\), cắt trục hoành tại \(x = a - 1\): mọi tiếp tuyến đều cắt trục hoành lùi 1 đơn vị so với tiếp điểm. Tiếp tuyến tại \((0; 1)\) là \(y = 1 + x\), và đó là lý do \(e^x \approx 1 + x\) khi \(x\) nhỏ, điều Chương 29 đã dùng mà chưa giải thích (bài C3 cho sai số). Theo quy tắc hợp, \((e^{3x})' = 3e^{3x}\).
Ví dụ 7 (\(\ln x\), qua hàm ngược). Đồ thị của hàm ngược là hình lật qua đường \(y = x\) (Chương 25). Lật một đường thẳng qua \(y = x\) là đổi vai \(\Delta x\) và \(\Delta y\), nên hệ số góc \(m\) thành \(\frac1m\). Tiếp tuyến của \(e^x\) tại \((a; e^a)\) có hệ số góc \(e^a\); lật đi, tiếp tuyến của \(\ln x\) tại \((e^a; a)\) có hệ số góc \(\frac{1}{e^a}\). Đặt \(b = e^a\): đạo hàm của \(\ln\) tại \(b\) là \(\frac1b\). Vậy \((\ln x)' = \frac1x\) với \(x > 0\), và theo quy tắc hợp, \(\left(\ln(x^2 + 1)\right)' = \frac{2x}{x^2 + 1}\).
Hàm ngược cũng giải thích hai hằng số ở Ví dụ 6. Vì \(r = e^{\ln r}\) nên \(r^x = e^{x \ln r}\), và quy tắc hợp cho \((r^x)' = r^x \ln r\). Hai hằng số \(0{,}693\) và \(1{,}099\) chính là \(\ln 2\) và \(\ln 3\), và \((r^x)' = r^x\) khi và chỉ khi \(\ln r = 1\), tức \(r = e\).
Ví dụ 8 (\(\sin\) và \(\cos\) từ chuyển động tròn). Điểm \(P(\cos t; \sin t)\) của Chương 30 chạy trên đường tròn đơn vị, sau thời gian \(t\) đi được quãng đường \(t\): nó chạy với tốc độ 1. Vận tốc của một điểm chạy trên đường tròn hướng theo tiếp tuyến, tức vuông góc với bán kính \(OP\). Xoay hướng của \(OP\), tức \((\cos t; \sin t)\), một góc vuông ngược chiều kim đồng hồ, ta được hướng \((-\sin t; \cos t)\), cũng dài 1. Hai thành phần của vận tốc là tốc độ thay đổi của hoành độ và của tung độ, nên
Kiểm tra tại \(t = 0\): \(P\) ở \((1; 0)\) và đang đi thẳng lên, nên hoành độ đứng yên, tung độ tăng với tốc độ 1, khớp với bài B8 của Chương 34. Theo quy tắc hợp, \((\sin 2x)' = 2\cos 2x\).
Ranh giới¶
Đạo hàm của tích không phải tích các đạo hàm. Với \(f = g = x\): \((x \cdot x)' = 2x\), còn \(f'g' = 1\). Đơn vị cũng báo sai (Chương 2): nếu \(f\), \(g\) là hai cạnh đo bằng mét và \(x\) là thời gian đo bằng giây, thì \((fg)'\) đo bằng \(\text{m}^2\) mỗi giây, còn \(f'g'\) đo bằng \(\text{m}^2\) trên giây bình phương, không cùng loại đại lượng. Tương tự, \(\left(\frac fg\right)' \neq \frac{f'}{g'}\).
Đạo hàm của hàm hợp không phải hợp các đạo hàm. Với \(\sin(x^2)\), đạo hàm đúng là \(2x\cos(x^2)\), tại \(x = 1\) khoảng \(1{,}081\). "Hợp các đạo hàm", tức \(\cos\) tính tại \(2x\), cho \(\cos 2 \approx -0{,}416\), sai cả dấu. Khâu ngoài phải lấy đạo hàm tại giá trị của khâu trong, rồi nhân với đạo hàm của khâu trong.
Quy tắc chỉ đi một chiều. Các quy tắc nói: nếu các khối khả vi thì hàm lắp ráp khả vi, với đạo hàm như thế. Chúng im lặng khi có khối không khả vi, và khi ấy phải tính riêng. \(\sqrt{x^2} = \lvert x \rvert\) không khả vi tại 0, và khâu ngoài \(\sqrt u\) không khả vi tại \(u = 0\). Nhưng \(\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 = x\) khả vi tại 0 dù \(\sqrt[3]{x}\) thì không, và \(x \lvert x \rvert\) khả vi tại 0 dù \(\lvert x \rvert\) thì không (bài C1 của Chương 34).
Hàm ngược tại chỗ đạo hàm bằng 0. Hàm \(x^3\) có đạo hàm 0 tại gốc: tiếp tuyến nằm ngang. Lật qua \(y = x\), tiếp tuyến ấy thành đường thẳng đứng: hàm ngược \(\sqrt[3]{x}\) có tiếp tuyến đứng tại gốc (Chương 34), và công thức \(\frac{1}{f'}\) cho \(\frac10\). Giả thiết \(f'(x) \neq 0\) không phải chi tiết thừa.
\(e\) và radian là hai lựa chọn cùng một kiểu. \((\sin x)' = \cos x\) chỉ đúng khi \(x\) đo bằng radian; đo bằng độ, mọi đạo hàm lượng giác mang thêm thừa số \(\frac{\pi}{180}\) (bài B8 của Chương 34). Tương tự, \((2^x)'\) mang thêm thừa số \(\ln 2\). Chọn \(e\) làm cơ số và radian làm đơn vị góc là chọn cho các thừa số ấy bằng 1, đúng lý do mà bài A2 của Chương 30 đã hẹn.
Phát biểu chặt chẽ¶
Trong mục này, \(f\) và \(g\) xác định trên một khoảng mở chứa điểm đang xét.
Bổ đề 1 (tích và giới hạn). Nếu \(u(h) \to 0\) khi \(h \to 0\) và có số \(M > 0\) sao cho \(\lvert v(h) \rvert \leq M\) với mọi \(h \neq 0\) đủ gần 0, thì \(u(h)v(h) \to 0\). Một hàm có giới hạn khi \(h \to 0\) thì bị chặn như thế gần 0. Do đó, nếu \(F \to A\) và \(G \to B\) thì \(FG \to AB\).
Chứng minh. Cho \(\varepsilon > 0\), có \(\delta > 0\) sao cho khi \(0 < \lvert h \rvert < \delta\) thì \(\lvert u(h) \rvert < \frac{\varepsilon}{M}\) và \(\lvert v(h) \rvert \leq M\); khi đó \(\lvert u(h)v(h) \rvert < \varepsilon\). Nếu \(v \to L\), lượt thách \(\varepsilon = 1\) cho \(\lvert v(h) \rvert < \lvert L \rvert + 1\) gần 0. Cuối cùng, \(FG - AB = (F - A)G + A(G - B)\), và mỗi số hạng dần về 0 theo phần đầu. \(\square\)
Bổ đề này trả món nợ của Chương 33: tích của hai hàm liên tục là một hàm liên tục.
Định lý 2 (tính tuyến tính và quy tắc tích). Nếu \(f\), \(g\) khả vi tại \(a\) và \(c\) là hằng số thì \(f + g\), \(cf\), \(fg\) khả vi tại \(a\), và
Chứng minh. Thương của \(f + g\) là tổng hai thương, và thương của \(cf\) là \(c\) lần thương của \(f\); dùng Định lý 4 của Chương 32 và Bổ đề 1. Với tích,
Vì \(g\) khả vi nên liên tục tại \(a\) (Định lý 4 của Chương 34), tức \(g(a + h) \to g(a)\). Theo Bổ đề 1, vế phải dần về \(f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\). \(\square\)
Góc nhỏ \(\Delta f\,\Delta g\) của hình chữ nhật nằm trong số hạng đầu, ẩn trong hiệu giữa \(g(a + h)\) và \(g(a)\), và nó biến mất vì \(g(a + h) \to g(a)\).
Định lý 3 (quy tắc lũy thừa). Với mọi số nguyên dương \(n\), \((x^n)' = nx^{n - 1}\) tại mọi \(x\).
Chứng minh. Quy nạp theo \(n\) (Chương 18). Với \(n = 1\): \((x)' = 1\). Nếu \((x^n)' = nx^{n - 1}\) thì theo quy tắc tích, \((x^{n + 1})' = (x \cdot x^n)' = 1 \cdot x^n + x \cdot nx^{n - 1} = (n + 1)x^n\). \(\square\)
Định lý 4 (quy tắc hợp). Nếu \(g\) khả vi tại \(a\) và \(f\) khả vi tại \(b = g(a)\) thì \(f \circ g\) khả vi tại \(a\) và \((f \circ g)'(a) = f'(b)\,g'(a)\).
Chứng minh. Theo Định lý 3 của Chương 34, \(g(a + h) = b + k\) với \(k = g'(a)h + r(h)\) và \(\frac{r(h)}{h} \to 0\); còn \(f(b + k) = f(b) + f'(b)k + s(k)\) với \(\frac{s(k)}{k} \to 0\) khi \(k \to 0\). Đặt \(\sigma(k) = \frac{s(k)}{k}\) khi \(k \neq 0\) và \(\sigma(0) = 0\); hàm \(\sigma\) liên tục tại 0, và \(s(k) = \sigma(k)k\) đúng cả khi \(k = 0\). Thay vào, \(f(g(a + h)) = f(b) + f'(b)g'(a)h + R(h)\), với
Số hạng đầu dần về 0. Ở số hạng sau, \(k = g(a + h) - b \to 0\) vì \(g\) liên tục tại \(a\), nên \(\sigma(k) \to 0\) (Định lý 2 của Chương 33, về hợp hai hàm liên tục), còn thừa số trong ngoặc dần về \(g'(a)\); theo Bổ đề 1, tích dần về 0. Định lý 3 của Chương 34 cho kết luận. \(\square\)
Chứng minh không chia cho \(k\), vì \(k\) có thể bằng 0 với những \(h \neq 0\), chẳng hạn khi \(g\) là hàm hằng. Đó là chỗ phép "rút gọn \(du\)" của Leibniz không đứng vững, và hàm \(\sigma\) lấp chỗ ấy.
Mệnh đề 5 (quy tắc thương). Nếu \(f\), \(g\) khả vi tại \(a\) và \(g(a) \neq 0\) thì \(\frac fg\) khả vi tại \(a\) và \(\left(\frac fg\right)'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}\).
Chứng minh. Vì \(g\) liên tục tại \(a\) và \(g(a) \neq 0\), \(g\) khác 0 trên cả một khoảng quanh \(a\) (bài C3 của Chương 32, áp dụng cho \(g\) hoặc \(-g\)). Hàm \(\frac1g\) là hợp của \(g\) với \(u \mapsto \frac1u\), hàm có đạo hàm \(-\frac{1}{u^2}\) tại mọi \(u \neq 0\); theo Định lý 4, \(\left(\frac1g\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{g(a)^2}\). Quy tắc tích cho \(\left(f \cdot \frac1g\right)'(a) = \frac{f'(a)}{g(a)} - \frac{f(a)g'(a)}{g(a)^2}\), và quy đồng mẫu ra công thức. \(\square\)
Mệnh đề 6 (đạo hàm của hàm ngược). Cho \(f\) liên tục và tăng (hoặc giảm) trên một khoảng mở, khả vi tại \(x_0\) với \(f'(x_0) \neq 0\), và \(y_0 = f(x_0)\). Khi đó \(f^{-1}\) khả vi tại \(y_0\) và \(\left(f^{-1}\right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\).
Chứng minh. Theo định lý giá trị trung gian, \(f\) biến khoảng mở ấy thành một khoảng mở chứa \(y_0\), nơi \(f^{-1}\) xác định. Ta nhận không chứng minh rằng \(f^{-1}\) liên tục. Với \(y \neq y_0\) gần \(y_0\), đặt \(x = f^{-1}(y)\); vì \(f\) là đơn ánh nên \(x \neq x_0\), và
Khi \(y \to y_0\) thì \(x \to x_0\), vì \(f^{-1}\) liên tục; mẫu số dần về \(f'(x_0) \neq 0\), nên cả biểu thức dần về \(\frac{1}{f'(x_0)}\). \(\square\)
Mệnh đề 7 (số \(e\)). Với mỗi số nguyên dương \(n\), đặt \(a_n = \left(1 + \frac1n\right)^n\) và \(b_n = \left(1 + \frac1n\right)^{n + 1}\). Dãy \((a_n)\) tăng, dãy \((b_n)\) giảm, \(a_n < b_n\) và \(b_n - a_n < \frac4n\). Do đó có đúng một số \(e\) nằm trong mọi đoạn \([a_n; b_n]\), và \(a_n \to e\).
Chứng minh. Bất đẳng thức Bernoulli \((1 + d)^m \geq 1 + md\) (Chương 29, Bổ đề 2) vẫn đúng khi \(-1 \leq d < 0\), với cùng chứng minh quy nạp, vì bước quy nạp chỉ cần \(1 + d \geq 0\); nó còn là bất đẳng thức ngặt khi \(m \geq 2\) và \(d \neq 0\), vì bước quy nạp có thêm số hạng dương \(md^2\). Khai triển rồi rút gọn, ta có
Bernoulli cho \(\frac{a_{n + 1}}{a_n} > \frac{n + 1}{n}\left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) = 1\) và \(\frac{b_n}{b_{n + 1}} > \frac{n + 1}{n + 2}\left(1 + \frac{n + 1}{n(n + 2)}\right) = 1 + \frac{1}{n(n + 2)^2}\). Vì \(b_n = a_n\left(1 + \frac1n\right)\) nên \(a_n < b_n \leq b_1 = 4\), và \(b_n - a_n = \frac{a_n}{n} < \frac4n\). Các đoạn \([a_n; b_n]\) lồng nhau, với độ dài rồi sẽ nhỏ hơn mọi số dương; theo Nguyên lý 7 của Chương 11, chúng có đúng một điểm chung \(e\), và \(0 < e - a_n < \frac4n\). \(\square\)
Đây là điều Chương 29 đã hứa ở Định nghĩa 6: dãy \(\left(1 + \frac1n\right)^n\) tăng, bị chặn, và có giới hạn.
Định lý 8 (hàm \(e^x\)). \((e^x)' = e^x\) tại mọi \(x\).
Chứng minh. Với \(n \geq 2\), từ \(a_n < e < b_{n - 1}\), lấy căn bậc \(n\) của cả ba vế ta được
Cho \(0 < h \leq \frac12\) và gọi \(n \geq 2\) là số nguyên với \(\frac{1}{n + 1} < h \leq \frac1n\). Vì \(e^x\) tăng (Mệnh đề 3 của Chương 29), \(\frac{1}{n + 1} < e^{\frac{1}{n + 1}} - 1 < e^h - 1 \leq e^{\frac1n} - 1 < \frac{1}{n - 1}\); chia cho \(h\),
Khi \(h\) dần về 0 từ bên phải, \(n\) lớn dần và hai cận cùng dồn về 1; theo định lý kẹp (Định lý 5 của Chương 32), \(\frac{e^h - 1}{h} \to 1\). Khi \(h < 0\), viết \(\frac{e^h - 1}{h} = e^h \cdot \frac{e^{-h} - 1}{-h}\): thừa số sau dần về 1 theo phần vừa chứng minh, và \(e^h = \frac{1}{e^{-h}} \to 1\) vì \(e^{-h} - 1 = (-h) \cdot \frac{e^{-h} - 1}{-h} \to 0\). Vậy \(\frac{e^h - 1}{h} \to 1\) từ cả hai phía, và \(\frac{e^{x + h} - e^x}{h} = e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} \to e^x\). \(\square\)
Hệ quả 9. \((\ln x)' = \frac1x\) với mọi \(x > 0\); \((r^x)' = r^x \ln r\) với mọi \(r > 0\); và \(e\) là cơ số duy nhất có \((r^x)' = r^x\).
Chứng minh. Hàm \(e^x\) khả vi nên liên tục; nó tăng, và có đạo hàm \(e^x > 0\). Theo Mệnh đề 6, hàm ngược \(\ln\) có đạo hàm \(\frac{1}{e^{\ln y}} = \frac1y\) tại mọi \(y > 0\). Vì \(r^x = e^{x \ln r}\), Định lý 4 cho \((r^x)' = e^{x \ln r} \ln r = r^x \ln r\), bằng \(r^x\) khi và chỉ khi \(\ln r = 1\), tức \(r = e\). \(\square\)
Sợi chỉ
- S3. Thứ tự của biến đổi. Quy tắc hợp giữ nguyên thứ tự của dây chuyền: đạo hàm của khâu ngoài được tính tại giá trị của khâu trong. Đổi thứ tự các khâu thì đổi đạo hàm: \(\sin(x^2)\) và \((\sin x)^2\) có đạo hàm \(2x\cos(x^2)\) và \(2\sin x \cos x\), đúng như Chương 24 đã cảnh báo rằng thứ tự nối các khâu là quan trọng.
- S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Quy tắc tích là một đẳng thức đại số, và cũng là một hình chữ nhật co giãn. Quy tắc hợp là một công thức, là một hệ bánh răng, và theo cách ghi của Leibniz là một phép "rút gọn phân số" mà đơn vị cũng tuân theo. Đạo hàm của \(\sin\) vừa là giới hạn tính từ công thức cộng, vừa là vận tốc của một điểm chạy trên đường tròn.
- S7. Xấp xỉ và sai số. Mọi quy tắc sinh ra từ cùng một thao tác: viết độ thay đổi, bỏ những phần nhỏ hơn \(h\) rất nhiều (góc \(\Delta f\,\Delta g\), các số hạng chứa \(h^2\) khi khai triển \((x + h)^n\)), rồi đọc hệ số của \(h\). Phần bị bỏ không phải được làm tròn cho tiện: Định lý 3 của Chương 34 bảo đảm bỏ nó không làm sai đạo hàm.
Tóm tắt¶
- Các quy tắc đạo hàm không phải quy ước: chúng sinh ra từ việc mọi hàm khả vi gần như tuyến tính khi nhìn đủ gần.
- Tính tuyến tính: \((f + g)' = f' + g'\) và \((cf)' = cf'\).
- Quy tắc tích \((fg)' = f'g + fg'\) là hai dải của hình chữ nhật co giãn, bỏ đi góc nhỏ; quy tắc thương suy ra từ quy tắc tích và quy tắc hợp.
- Quy tắc hợp \((f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'\): tốc độ nhân với tốc độ, như một hệ bánh răng.
- \((x^n)' = nx^{n - 1}\), \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \frac1x\), \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\).
- \(e\) là cơ số duy nhất làm hàm mũ có đạo hàm bằng chính nó, cũng như radian là đơn vị góc làm đạo hàm của \(\sin\) đúng bằng \(\cos\).
- Đạo hàm của hàm ngược là nghịch đảo của đạo hàm, khi đạo hàm ấy khác 0.
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. Giá gạo là 20 nghìn đồng một kg và đang tăng \(0{,}5\) nghìn đồng mỗi tháng; một gia đình mua 30 kg mỗi tháng, và lượng mua đang giảm 1 kg mỗi tháng (số liệu giả định). Tiền mua gạo mỗi tháng đang tăng hay giảm, nhanh bao nhiêu? Vì sao câu trả lời gồm hai số hạng?
Lời giải
Tiền mua gạo là \(S = pq\), với giá \(p\) và lượng \(q\). Theo quy tắc tích, \(S' = p'q + pq' = 0{,}5 \cdot 30 + 20 \cdot (-1) = 15 - 20 = -5\) nghìn đồng mỗi tháng: tiền mua gạo đang giảm. Hai số hạng là hai dải của hình chữ nhật: phần tăng vì giá lên, tính như thể lượng mua đứng yên, và phần giảm vì mua ít đi, tính như thể giá đứng yên. Ở đây phần thứ hai lớn hơn.
A2. Vì sao toán học chọn cơ số \(e\) cho hàm mũ và logarit "tự nhiên", và chọn radian để đo góc, dù 10 và độ quen thuộc hơn? Hai lựa chọn này giống nhau ở điểm nào?
Lời giải
Cả hai được chọn để một hằng số trong đạo hàm bằng 1. Với cơ số \(r\), \((r^x)' = r^x \ln r\), và chỉ với \(r = e\) thừa số \(\ln r\) biến mất. Với góc đo bằng độ, hàm \(\sin\frac{\pi x}{180}\) có đạo hàm \(\frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi x}{180}\), và chỉ khi đo bằng radian thừa số \(\frac{\pi}{180}\) mới biến mất. Các số 10 và 360 là những con số ta chọn; còn \(e\) và radian được chính cấu trúc của sự thay đổi chọn ra.
A3. Một bạn chứng minh quy tắc hợp như sau: "\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\); cho \(\Delta x \to 0\) thì được \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)." Chỗ nào có thể hỏng?
Lời giải
Đẳng thức đầu cần \(\Delta u \neq 0\). Nếu khâu trong là hằng, chẳng hạn \(u = 5\) với mọi \(x\), thì \(\Delta u = 0\) với mọi \(\Delta x\), và phân số \(\frac{\Delta y}{\Delta u}\) vô nghĩa, dù kết luận \(\frac{dy}{dx} = 0\) vẫn đúng. Tệ hơn, có những hàm khả vi mà \(\Delta u\) bằng 0 tại vô số giá trị \(\Delta x\) dồn về 0, xen kẽ với những giá trị khác 0, như \(x^2 \sin\frac1x\) quanh 0 (với giá trị 0 tại 0). Chứng minh ở Định lý 4 tránh chia cho \(\Delta u\) nhờ hàm \(\sigma\).
B. Tính toán¶
B1. Tính đạo hàm: (a) \(5x^4 - 3x^2 + 7\); (b) \(xe^x\); (c) \(\sqrt{x^2 + 9}\), rồi tính giá trị của nó tại \(x = 4\).
Lời giải
(a) \(20x^3 - 6x\). (b) \(e^x + xe^x = (x + 1)e^x\), bằng 0 tại \(x = -1\). (c) Khâu ngoài \(\sqrt u\) có đạo hàm \(\frac{1}{2\sqrt u}\) (Chương 34), khâu trong có đạo hàm \(2x\), nên đạo hàm là \(\frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}\); tại \(x = 4\) được \(\frac45\).
B2. Tính \(\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)'\) và viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có \(x = 1\).
Lời giải
\(\frac{1 \cdot (x + 1) - (x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}\). Tại \(x = 1\), hàm bằng 0 và đạo hàm bằng \(\frac12\), nên tiếp tuyến là \(y = \frac12(x - 1)\).
B3. Tính đạo hàm của \(e^{-x^2}\) và giá trị của nó tại \(x = 1\). Đạo hàm dương ở đâu, âm ở đâu?
Lời giải
Theo quy tắc hợp, \(\left(e^{-x^2}\right)' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}\); tại \(x = 1\) bằng \(-\frac2e \approx -0{,}736\). Vì \(e^{-x^2} > 0\), đạo hàm dương khi \(x < 0\) và âm khi \(x > 0\): đồ thị đi lên rồi đi xuống, đỉnh tại \(x = 0\). Đường cong hình chuông này sẽ gặp lại ở Phần V.
B4. (a) Tính \(\left(\ln(3x)\right)'\) với \(x > 0\) bằng hai cách. (b) Tính \((x \ln x)'\) và tìm chỗ nó bằng 0.
Lời giải
(a) Quy tắc hợp: \(\frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac1x\). Hoặc \(\ln(3x) = \ln 3 + \ln x\), và hằng số \(\ln 3\) có đạo hàm 0. (b) \(\ln x + x \cdot \frac1x = \ln x + 1\), bằng 0 khi \(\ln x = -1\), tức \(x = \frac1e\).
B5. Tính \((\sin 2x)'\) bằng hai cách: quy tắc hợp, và quy tắc tích áp dụng cho \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\). Tính thêm \(\left(\cos(x^2)\right)'\).
Lời giải
Quy tắc hợp cho \(2\cos 2x\). Quy tắc tích cho \(2\left(\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)\right) = 2\left(\cos^2 x - \sin^2 x\right) = 2\cos 2x\), theo công thức cộng. Hai cách khớp nhau. Còn \(\left(\cos(x^2)\right)' = -2x\sin(x^2)\).
B6. Bán kính một quả bóng bay tăng \(0{,}1\) cm mỗi giây. Lúc bán kính là 10 cm, thể tích \(V = \frac43\pi r^3\) tăng nhanh bao nhiêu? Vì sao kết quả bằng diện tích mặt cầu \(4\pi r^2\) nhân với tốc độ tăng của bán kính?
Lời giải
\(\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \cdot 0{,}1 = 4\pi \cdot 100 \cdot 0{,}1 = 40\pi \approx 125{,}7 \ \text{cm}^3\) mỗi giây. Như vành mỏng ở Ví dụ 4: bán kính tăng thêm một chút thì thể tích thêm một lớp vỏ mỏng, với diện tích bằng diện tích mặt cầu.
B7. Tính đạo hàm của \(2^x\) tại 0 và so với thương \(\frac{2^{0{,}001} - 1}{0{,}001}\). Tính đạo hàm của \(10^x\) tại 0, và nghịch đảo của nó.
Lời giải
\((2^x)' = 2^x \ln 2\), tại 0 là \(\ln 2 \approx 0{,}6931\); thương với \(h = 0{,}001\) là khoảng \(0{,}6934\), lệch khoảng \(0{,}0002\). Đạo hàm của \(10^x\) tại 0 là \(\ln 10 \approx 2{,}3026\), và nghịch đảo của nó là \(\frac{1}{\ln 10} \approx 0{,}4343\), chính là hằng số \(\log e\) đứng sau các con số \(0{,}4343\) và \(0{,}004343\) ở Chương 29.
B8. Dùng Mệnh đề 6 để chứng tỏ \((\arcsin y)' = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\) với \(-1 < y < 1\), rồi tính nó tại \(y = \frac12\).
Lời giải
Trên \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\), \(\sin\) liên tục, tăng, và có đạo hàm \(\cos x > 0\). Với \(y = \sin x\), Mệnh đề 6 cho \((\arcsin)'(y) = \frac{1}{\cos x}\), và \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - y^2}\) vì \(\cos x > 0\). Tại \(y = \frac12\): \(x = \frac{\pi}{6}\), và đạo hàm là \(\frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt3} \approx 1{,}155\). Tại \(y = \pm 1\), \(\cos x = 0\): đồ thị của \(\arcsin\) có tiếp tuyến đứng ở hai đầu, như \(\sqrt[3]{x}\) ở mục Ranh giới.
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Dùng công thức cộng (Chương 30, Hệ quả 5), giới hạn \(\frac{\sin h}{h} \to 1\) (Chương 32, Ví dụ 6) và đẳng thức \(1 - \cos h = 2\sin^2\frac{h}{2}\) để chứng minh \((\sin x)' = \cos x\) và \((\cos x)' = -\sin x\).
Lời giải
Theo công thức cộng,
Ta có \(\frac{1 - \cos h}{h} = \sin\frac h2 \cdot \frac{\sin\frac h2}{\frac h2}\); thừa số đầu dần về 0 vì \(\lvert \sin u \rvert \leq \lvert u \rvert\), thừa số sau dần về 1, nên theo Bổ đề 1, tích dần về 0. Vậy thương dần về \(\cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 = \cos x\). Tương tự, \(\frac{\cos(x + h) - \cos x}{h} = -\sin x \cdot \frac{\sin h}{h} - \cos x \cdot \frac{1 - \cos h}{h} \to -\sin x\). \(\square\)
C2. Chứng minh rằng với mọi số thực \(x\), \(\left(1 + \frac xn\right)^n \to e^x\) khi \(n\) lớn dần. (Gợi ý: \(\frac{\ln(1 + t)}{t}\) là thương định nghĩa đạo hàm của \(\ln\) tại 1.)
Lời giải
Với \(x = 0\), mọi số hạng bằng 1. Với \(x \neq 0\), đặt \(t = \frac xn\), dần về 0 khi \(n\) lớn dần; với \(n\) đủ lớn, \(1 + t > 0\). Theo Hệ quả 9, \(\frac{\ln(1 + t) - \ln 1}{t} \to \frac11 = 1\), nên \(n\ln\left(1 + \frac xn\right) = x \cdot \frac{\ln(1 + t)}{t} \to x\). Vì \(e^u\) liên tục, \(\left(1 + \frac xn\right)^n = e^{n \ln(1 + \frac xn)} \to e^x\). \(\square\) Đây là khẳng định của Chương 29 rằng ghép lãi liên tục với lãi suất \(x\) cho hệ số \(e^x\); lập luận vẫn đúng khi \(n\) được thay bằng một số thực \(m\) lớn dần, không cần nguyên, như Chương 29 đã hẹn.
C3. Từ chứng minh của Định lý 8, suy ra rằng với mọi \(n \geq 2\) và \(x = \frac1n\),
Áp dụng cho \(x = 0{,}01\) và \(x = 0{,}05\), và so với các giá trị \(e^{0{,}01} \approx 1{,}01005\), \(e^{0{,}05} \approx 1{,}0513\) mà Chương 29 đã dùng.
Lời giải
Từ \(1 + \frac1n < e^{\frac1n} < 1 + \frac{1}{n - 1}\), trừ đi \(1 + \frac1n\): \(0 < e^{\frac1n} - \left(1 + \frac1n\right) < \frac{1}{n - 1} - \frac1n = \frac{1}{n(n - 1)}\). Với \(x = \frac1n\), số cuối là \(\frac{x^2}{1 - x}\). Với \(x = 0{,}01\) (\(n = 100\)), sai số dương và nhỏ hơn \(\frac{1}{9900} \approx 0{,}000101\); giá trị thật khoảng \(0{,}00005\). Với \(x = 0{,}05\) (\(n = 20\)), sai số nhỏ hơn \(\frac{1}{380} \approx 0{,}0026\); giá trị thật khoảng \(0{,}0013\). Đó là câu trả lời cho lời hẹn của Chương 29: \(e^x \approx 1 + x\) vì \(1 + x\) là tiếp tuyến tại 0, và với \(x = \frac1n\), sai số dương và nhỏ hơn \(\frac{x^2}{1 - x}\), tức cỡ \(x^2\).
Câu hỏi để ngỏ¶
Đạo hàm bằng 0 nghĩa là gì, tiếp tuyến nằm ngang? Điều đó liên quan gì tới đỉnh núi, đáy thung lũng, và câu hỏi "chọn thế nào là tốt nhất"?