Chương 25: Hàm ngược

Câu hỏi mở đầu

Có cỗ máy nào "tháo ngược" được một cỗ máy khác, sao cho nối chúng lại thì không có gì thay đổi? Khi nào cỗ máy tháo ngược như vậy tồn tại?

Đi và về

Dây chuyền "nhân 2 rồi cộng 3" biến 4 thành 11. Một dây chuyền khác nhận 11 và trả lại 4: trừ 3 rồi chia 2. Nó tháo từng khâu của dây chuyền đầu, và tháo theo thứ tự ngược lại, như tối về phải tháo giày trước rồi mới tháo tất (Chương 6). Nối dây chuyền đi với dây chuyền về, ta được một cỗ máy không làm gì: hàm đồng nhất của Chương 24.

Đi: nhân 2 rồi cộng 3. Về: trừ 3 rồi chia 2. Dây chuyền về tháo từng khâu theo thứ tự ngược lại, và nối hai dây chuyền thì 4 trở về 4.

Đó là nghĩa chính xác của "tháo ngược": cỗ máy \(g\) tháo ngược cỗ máy \(f\) khi \(g \circ f\) và \(f \circ g\) đều là hàm đồng nhất. Chương 20 đã trả lời khi nào điều đó làm được: đúng khi \(f\) là song ánh. Nói bằng ngôn ngữ cỗ máy, cần hai điều. Máy \(f\) không được dồn hai đầu vào về một đầu ra, vì nếu thế, máy tháo ngược nhận đầu ra ấy sẽ không biết trả về đầu vào nào: thông tin đã mất. Và máy \(f\) không được bỏ sót đầu ra nào trong đối miền, vì nếu thế, máy tháo ngược nhận một đầu ra bị bỏ sót sẽ không có gì để trả về.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì mỗi câu hỏi "đầu vào nào cho ra kết quả này?" là một câu hỏi đi ngược: biết nhiệt độ theo độ F, hỏi độ C; biết số tiền nhận được, hỏi số tiền đã gửi; nhận một bức thư mã hóa, hỏi lời gốc. Và câu trả lời luôn có sẵn dưới dạng một quan hệ: đảo mọi cặp \((a; b)\) của \(f\) thành \((b; a)\). Hàm ngược không phải một phát minh thêm vào; câu hỏi duy nhất là quan hệ đảo ấy có phải một hàm không.

Đảo vai đầu vào và đầu ra

Đảo mọi cặp \((a; b)\) thành \((b; a)\) có một hình ảnh đơn giản trên mặt phẳng tọa độ: đó là lật cả hình qua đường thẳng \(y = x\) (Mệnh đề 4). Chương 13 đã thấy điều này với \(2^x\) và \(\log_2 x\): hai đồ thị là ảnh của nhau qua đường chéo ấy.

Vậy câu hỏi "quan hệ đảo có phải một hàm không" có thể hỏi ngay trên đồ thị của \(f\). Quan hệ đảo là một hàm khi hình lật của nó qua được phép thử đường thẳng đứng của Chương 23. Lật qua \(y = x\) biến đường thẳng đứng thành đường nằm ngang, nên điều kiện ấy nói: mỗi đường nằm ngang cắt đồ thị của \(f\) tại nhiều nhất một điểm. Đó là phép thử đường thẳng nằm ngang (horizontal line test), và nó chính là đơn ánh nhìn trên hình.

Đồ thị của \(x^3 + 1\) và của hàm ngược \(\sqrt[3]{x - 1}\) là ảnh của nhau qua đường \(y = x\): điểm \((1; 2)\) ứng với \((2; 1)\), điểm \((-1; 0)\) ứng với \((0; -1)\).

Ký hiệu

Cho \(f: A \to B\). Một hàm \(g: B \to A\) với

\[ g \circ f = \mathrm{id}_A \qquad \text{và} \qquad f \circ g = \mathrm{id}_B \]

là hàm ngược của \(f\), viết \(f^{-1}\), như ở Chương 20. Nói cách khác, \(f^{-1}(b) = a\) khi và chỉ khi \(f(a) = b\).

Số mũ \(-1\) không có nghĩa là nghịch đảo: \(f^{-1}(x)\) khác \(\frac{1}{f(x)}\). Nhưng cách viết ấy có lý do. Với phép nhân, số 1 không làm thay đổi gì, và \(2^{-1} = \frac12\) là số nhân với 2 thì được 1. Với phép hợp hàm, hàm đồng nhất không làm thay đổi gì, và \(f^{-1}\) là hàm hợp với \(f\) thì được hàm đồng nhất. Ký hiệu \(-1\) chỉ "phần tử ngược" đối với phép toán đang dùng; nhầm lẫn chỉ đến khi quên mất phép toán ấy là gì.

Căn bậc ba được mở rộng cho mọi số thực: với \(a \geq 0\), \(\sqrt[3]{a}\) là số không âm có lập phương bằng \(a\) (Chương 12); với \(a < 0\), đặt \(\sqrt[3]{a} = -\sqrt[3]{-a}\). Khi đó \(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a\) với mọi số thực \(a\), vì \((-t)^3 = -t^3\).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (giải theo \(x\)). Tìm hàm ngược của \(f(x) = \frac{x - 3}{2}\) trên \(\mathbb{R}\). Đặt \(y = \frac{x - 3}{2}\) rồi giải theo \(x\): \(2y = x - 3\), nên \(x = 2y + 3\). Vậy \(f^{-1}(y) = 2y + 3\). Tên biến không quan trọng (Chương 22), nên cũng có thể viết \(f^{-1}(x) = 2x + 3\). Kiểm lại cả hai chiều:

\[ f^{-1}\big(f(x)\big) = 2 \cdot \frac{x - 3}{2} + 3 = x, \qquad f\big(f^{-1}(x)\big) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x. \]

Ví dụ 2 (độ C và độ F). Quy tắc \(F = 1{,}8\,C + 32\) giải theo \(C\) được \(C = \frac{F - 32}{1{,}8}\): đó là hàm ngược. Chẳng hạn 100 độ C là 212 độ F và ngược lại; 37 độ C là \(1{,}8 \cdot 37 + 32 = 98{,}6\) độ F. Có một nhiệt độ mà hai thang đo cho cùng một số: giải \(1{,}8\,C + 32 = C\) được \(C = -40\). Đó là điểm bất động của phép đổi thang (Chương 24).

Ví dụ 3 (tháo ngược theo thứ tự ngược). Với \(f\) là "nhân 2" và \(g\) là "cộng 3", hàm \(g \circ f\) biến \(x\) thành \(2x + 3\), và \((g \circ f)(4) = 11\). Hàm ngược tháo \(g\) trước, rồi mới tháo \(f\):

\[ (g \circ f)^{-1}(11) = f^{-1}\big(g^{-1}(11)\big) = \frac{11 - 3}{2} = 4. \]

Tháo sai thứ tự thì hỏng: \(g^{-1}\big(f^{-1}(11)\big) = \frac{11}{2} - 3 = 2{,}5\), không phải 4. Đó là nội dung của Định lý 3: \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

Ví dụ 4 (một phân thức). Cho \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}\) với \(x \neq 1\). Giải \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\) theo \(x\): \(y(x - 1) = 2x + 1\), tức \(yx - 2x = y + 1\), hay \(x(y - 2) = y + 1\). Nếu \(y \neq 2\) thì \(x = \frac{y + 1}{y - 2}\). Còn \(y = 2\) thì không có \(x\) nào: phương trình thành \(0 = 3\). Vậy \(f\) là song ánh từ \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) lên \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), với

\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 2}, \qquad x \neq 2. \]

Giải theo \(x\) không chỉ cho công thức của hàm ngược; nó cho biết luôn đầu ra nào đạt được, tức tập ảnh của \(f\).

Ví dụ 5 (hai hàm tự ngược). Một hàm là hàm ngược của chính nó gọi là hàm tự ngược (involution): làm hai lần thì trở về như cũ. Với \(f(x) = 5 - x\): \(f(f(x)) = 5 - (5 - x) = x\), nên \(f^{-1} = f\). Với \(g(x) = \frac1x\) trên \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\): \(g(g(x)) = \frac{1}{1/x} = x\), nên \(g\) cũng tự ngược. Đồ thị của một hàm tự ngược trùng với ảnh của chính nó qua đường \(y = x\): nó đối xứng qua đường ấy.

Hai hàm tự ngược, \(5 - x\) và \(\frac1x\): mỗi đồ thị đối xứng qua đường \(y = x\) (nét đứt), nên điểm \((a; b)\) thuộc đồ thị thì \((b; a)\) cũng thuộc.

Ví dụ 6 (hàm ngược của \(x^3 + 1\)). Hàm \(f(x) = x^3 + 1\) tăng trên \(\mathbb{R}\), vì \(x^3\) tăng (Chương 22, Mệnh đề 4), nên là đơn ánh. Nó cũng là toàn ánh lên \(\mathbb{R}\): với mọi \(y\), số \(x = \sqrt[3]{y - 1}\) cho \(x^3 + 1 = (y - 1) + 1 = y\). Vậy \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x - 1}\). Chẳng hạn \(f(1) = 2\) và \(f^{-1}(2) = \sqrt[3]{1} = 1\); \(f(-2) = -7\) và \(f^{-1}(-7) = \sqrt[3]{-8} = -2\).

Ví dụ 7 (hạn chế miền: bình phương và căn bậc hai). Hàm \(x^2\) trên \(\mathbb{R}\) không có hàm ngược: đường nằm ngang \(y = 4\) cắt đồ thị tại hai điểm, \((-2; 4)\) và \((2; 4)\), và các số âm không phải bình phương của số thực nào. Nhưng thu miền xác định về \([0; +\infty)\) thì hàm \(x \mapsto x^2\) tăng, nên là đơn ánh, và là toàn ánh lên \([0; +\infty)\). Hàm ngược của nó chính là \(\sqrt{x}\). Nếu thu về \((-\infty; 0]\) thì hàm ngược là \(-\sqrt{x}\).

Chỉ giữ phần \(x \geq 0\) của parabol, hàm bình phương có hàm ngược là \(\sqrt{x}\); hai đồ thị đối xứng qua đường \(y = x\). Phần \(x < 0\) (nét đứt) phải bỏ đi, vì nó lặp lại các đầu ra của phần kia.

Vì hàm căn chỉ tháo ngược hàm bình phương trên \([0; +\infty)\), ta có \(\sqrt{x^2} = x\) khi \(x \geq 0\), nhưng \(\sqrt{(-3)^2} = 3\). Tổng quát, \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Ví dụ 8 (lũy thừa và logarit). Hàm \(x \mapsto 2^x\) là song ánh từ \(\mathbb{R}\) lên \((0; +\infty)\), và hàm ngược của nó là \(\log_2\) của Chương 13:

\[ \log_2\left(2^x\right) = x \ \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}, \qquad 2^{\log_2 y} = y \ \text{ với mọi } y > 0. \]

Chẳng hạn \(\log_2 2^{10} = 10\) và \(2^{\log_2 5} = 5\). Vì 0 và các số âm không phải đầu ra của \(2^x\), chúng không có logarit: hàm ngược chỉ xác định trên tập ảnh.

Ranh giới

\(f^{-1}\) không phải \(\frac1f\). Với \(f(x) = 2x\): \(f^{-1}(4) = 2\), còn \(\frac{1}{f(4)} = \frac18\). Chỉ số \(-1\) nói về phép hợp hàm, không nói về phép nhân (mục Ký hiệu).

Dồn hai đầu vào thì không tháo ngược được. Với hàm làm tròn xuống của Chương 22, biết \(\lfloor x \rfloor = 2\) chỉ cho biết \(x \in [2; 3)\). Câu hỏi "đầu vào nào cho ra 2" có một câu trả lời, nhưng câu trả lời là cả một tập chứ không phải một số. Chương 26 sẽ nhìn mọi phương trình theo cách ấy.

Đơn ánh không có nghĩa là tăng hay giảm. Hàm \(\frac1x\) trên \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) là đơn ánh, vì nó tự ngược. Nhưng nó không tăng, không giảm trên cả miền xác định: \(\frac{1}{-1} < \frac11\), trong khi \(\frac11 > \frac12\). Hàm tăng hay giảm thì là đơn ánh (Chương 22, Mệnh đề 5); điều ngược lại sai khi miền xác định bị cắt rời như ở đây. Với những hàm liền nét trên một khoảng, hai điều ấy trùng nhau; Phần IV sẽ nói rõ nghĩa của chữ "liền nét".

Hàm được thiết kế để không tháo ngược được. Chương 6 đã kể rằng nhiều hệ thống không lưu mật khẩu, mà lưu kết quả của một biến đổi rất khó đi ngược. Biến đổi ấy là một hàm băm (hash function): nó biến mọi chuỗi ký tự, dài bao nhiêu cũng được, thành một chuỗi có độ dài cố định. Có vô số đầu vào mà chỉ hữu hạn đầu ra, nên theo nguyên lý chuồng bồ câu (Chương 17), nó không thể là đơn ánh: luôn có những đầu vào khác nhau cho cùng đầu ra. Người ta chọn những hàm băm mà việc tìm ra một đầu vào cho một đầu ra cho trước khó đến mức không làm được trong thực tế. Ở đây, việc không có hàm ngược là một tính năng.

Những hàm lặp lại giá trị. Chương 30 sẽ gặp những hàm lặp lại giá trị của chúng mãi mãi, theo chu kỳ. Chúng thất bại trong phép thử đường thẳng nằm ngang rất nhiều lần, và muốn tháo ngược, ta phải hạn chế miền như với \(x^2\).

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (hàm ngược). Cho \(f: A \to B\). Một hàm \(g: B \to A\) là hàm ngược của \(f\) nếu \(g \circ f = \mathrm{id}_A\) và \(f \circ g = \mathrm{id}_B\).

Định lý 2 (tháo ngược một phía và hai phía). Cho \(f: A \to B\).

(a) Nếu có \(g: B \to A\) với \(g \circ f = \mathrm{id}_A\) thì \(f\) là đơn ánh.

(b) Nếu có \(h: B \to A\) với \(f \circ h = \mathrm{id}_B\) thì \(f\) là toàn ánh.

(c) Nếu có cả \(g\) lẫn \(h\) như trên thì \(g = h\); khi đó \(f\) là song ánh, và \(g\) là hàm ngược duy nhất của \(f\).

Chứng minh. (a) Nếu \(f(a) = f(a')\) thì \(a = g(f(a)) = g(f(a')) = a'\). (b) Với mọi \(b \in B\), phần tử \(h(b)\) cho \(f(h(b)) = b\). (c) Dùng tính kết hợp của hợp hàm (Chương 24, Định lý 3):

\[ g = g \circ \mathrm{id}_B = g \circ (f \circ h) = (g \circ f) \circ h = \mathrm{id}_A \circ h = h. \]

Theo (a) và (b), \(f\) là song ánh. Nếu \(g'\) là một hàm ngược khác, áp dụng lập luận trên cho cặp \(g'\) và \(h\) cũng được \(g' = h\), nên \(g' = g\). \(\square\)

Cùng với Định lý 5 của Chương 20, ta có: \(f\) có hàm ngược khi và chỉ khi \(f\) là song ánh, và hàm ngược, nếu có, là duy nhất. Định lý 2 còn cho thấy mỗi nửa của điều kiện làm gì: tháo ngược được từ một phía cho đơn ánh, từ phía kia cho toàn ánh.

Định lý 3 (tháo ngược một dây chuyền). Nếu \(f: A \to B\) và \(g: B \to C\) có hàm ngược thì \(g \circ f\) có hàm ngược, và

\[ (g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}. \]

Chứng minh. Nhờ tính kết hợp,

\[ (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f) = f^{-1} \circ (g^{-1} \circ g) \circ f = f^{-1} \circ \mathrm{id}_B \circ f = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A, \]

và tương tự \((g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1}) = g \circ (f \circ f^{-1}) \circ g^{-1} = g \circ g^{-1} = \mathrm{id}_C\). Vậy \(f^{-1} \circ g^{-1}\) là hàm ngược của \(g \circ f\), duy nhất theo Định lý 2. \(\square\)

Mệnh đề 4 (đối xứng qua đường \(y = x\)). Cho \(f\) có hàm ngược. Điểm \((a; b)\) thuộc đồ thị của \(f\) khi và chỉ khi \((b; a)\) thuộc đồ thị của \(f^{-1}\). Hơn nữa, với \(a \neq b\), tập mọi điểm cách đều \((a; b)\) và \((b; a)\) chính là đường thẳng \(y = x\); nói cách khác, hai điểm ấy đối xứng qua đường \(y = x\).

Chứng minh. \(b = f(a)\) khi và chỉ khi \(a = f^{-1}(b)\). Với điểm thứ hai: điểm \((x; y)\) cách đều \((a; b)\) và \((b; a)\) khi và chỉ khi

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = (x - b)^2 + (y - a)^2 . \]

Khai triển, bỏ các số hạng giống nhau ở hai vế, còn \(-2ax - 2by = -2bx - 2ay\), tức \(2(a - b)(y - x) = 0\). Vì \(a \neq b\), điều này tương đương với \(y = x\). \(\square\)

Mệnh đề 5 (phép thử đường thẳng nằm ngang). Một hàm số \(f\) là đơn ánh khi và chỉ khi mỗi đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị của nó tại nhiều nhất một điểm.

Chứng minh. Đường nằm ngang \(y = c\) cắt đồ thị tại các điểm \((x; c)\) với \(f(x) = c\). Có nhiều nhất một điểm như thế với mọi \(c\) khi và chỉ khi không có hai đầu vào khác nhau cùng cho một đầu ra, tức \(f\) là đơn ánh. \(\square\)

Mệnh đề 6 (hàm ngược của một hàm tăng). Nếu \(f\) tăng trên \(D\) thì \(f^{-1}\), xác định trên tập ảnh \(f(D)\), cũng tăng.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 5 của Chương 22, \(f\) là đơn ánh, nên có hàm ngược từ \(f(D)\) về \(D\). Cho \(y_1 < y_2\) trong \(f(D)\), và giả sử ngược lại rằng \(f^{-1}(y_1) \geq f^{-1}(y_2)\). Nếu hai số ấy bằng nhau thì \(y_1 = y_2\), vô lý. Nếu \(f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)\) thì vì \(f\) tăng, \(y_1 = f\big(f^{-1}(y_1)\big) > f\big(f^{-1}(y_2)\big) = y_2\), cũng vô lý. Vậy \(f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)\). \(\square\)

Sợi chỉ

• S2. Thông tin và khả nghịch. Đây là chương cốt lõi của sợi chỉ: một hàm có hàm ngược khi và chỉ khi nó không mất thông tin (đơn ánh) và không bỏ sót (toàn ánh); tháo ngược được một phía cho đúng một nửa của điều kiện ấy (Định lý 2). Hạn chế miền là chấp nhận bỏ một phần đầu vào để lấy lại khả năng tháo ngược. Logarit tháo ngược lũy thừa; hàm băm cố ý không tháo ngược được.
• S3. Thứ tự của biến đổi. Tháo một dây chuyền phải đi theo thứ tự ngược: \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\), tất và giày của Chương 6 nay có chứng minh.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Đường \(y = x\) là trục đối xứng (axis of symmetry) giữa đồ thị của một hàm và đồ thị của hàm ngược. Đồ thị của một hàm tự ngược, như \(5 - x\) hay \(\frac1x\), không đổi khi lật qua trục ấy.

Tóm tắt

• Hàm ngược \(f^{-1}\) tháo ngược \(f\) theo cả hai chiều: \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_A\) và \(f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_B\); nó tồn tại khi và chỉ khi \(f\) là song ánh, và khi đó là duy nhất.
• Tháo ngược được một phía cho đơn ánh, phía kia cho toàn ánh; một hàm tháo ngược trái và một hàm tháo ngược phải thì trùng nhau, nhờ tính kết hợp.
• Tìm hàm ngược bằng cách giải \(y = f(x)\) theo \(x\); phép giải cũng cho biết tập ảnh của \(f\).
• \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\): tháo một dây chuyền theo thứ tự ngược.
• Đồ thị của \(f^{-1}\) là đồ thị của \(f\) lật qua đường \(y = x\); một hàm có hàm ngược khi đồ thị của nó qua được phép thử đường thẳng nằm ngang.
• Khi không có hàm ngược, có thể hạn chế miền: \(x^2\) trên \([0; +\infty)\) có hàm ngược \(\sqrt{x}\), và \(\sqrt{x^2} = |x|\); logarit là hàm ngược của lũy thừa.
• \(f^{-1}\) không phải \(\frac1f\); chỉ số \(-1\) nói về phép hợp hàm. Hàm băm là một hàm được thiết kế để không tháo ngược được.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao ký hiệu \(f^{-1}\) và ký hiệu \(2^{-1} = \frac12\) không mâu thuẫn nhau, dù \(f^{-1}(x)\) khác \(\frac{1}{f(x)}\)?

Lời giải

Trong cả hai, chỉ số \(-1\) chỉ "phần tử ngược" đối với một phép toán. Với phép nhân các số, phần tử không làm thay đổi gì là 1, và \(2^{-1}\) là số nhân với 2 được 1. Với phép hợp các hàm, phần tử không làm thay đổi gì là hàm đồng nhất, và \(f^{-1}\) là hàm hợp với \(f\) được hàm đồng nhất. Hai ký hiệu cùng một khuôn, chỉ khác phép toán. \(\frac{1}{f(x)}\) thì là nghịch đảo của một giá trị đối với phép nhân, một chuyện khác hẳn.

A2. Đúng hay sai: "Một hàm số có hàm ngược khi và chỉ khi nó tăng hoặc giảm trên toàn miền xác định"?

Lời giải

Sai. Chiều "tăng hoặc giảm thì có hàm ngược từ tập ảnh" đúng (Mệnh đề 5 của Chương 22). Chiều ngược lại sai: \(\frac1x\) trên \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) có hàm ngược (chính nó) mà không tăng, không giảm. Một ví dụ khác trên tập hữu hạn: hàm trên \(\{1; 2; 3\}\) đổi chỗ 1 với 2 và giữ nguyên 3 là song ánh, nhưng \(f(1) = 2 > f(2) = 1\) còn \(f(2) = 1 < f(3) = 3\).

A3. Vì sao lưu kết quả hàm băm của mật khẩu an toàn hơn lưu chính mật khẩu? Nếu người ta dùng một hàm dễ tháo ngược, như "cộng 1 vào mã của mỗi ký tự", thì điều gì xảy ra?

Lời giải

Nếu kẻ gian lấy được bảng lưu trữ, họ chỉ có các đầu ra. Với một hàm băm tốt, đi ngược từ đầu ra về một đầu vào khó đến mức không làm được trong thực tế, nên các mật khẩu vẫn được giữ kín; còn khi đăng nhập, hệ thống chỉ cần tính theo chiều xuôi rồi so sánh. Với "cộng 1 vào mã mỗi ký tự", hàm ngược "trừ 1" hiển nhiên, nên lấy được bảng là đọc được mọi mật khẩu. Sự an toàn nằm đúng ở chỗ chiều xuôi dễ mà chiều ngược khó.

B. Tính toán

B1. Tìm hàm ngược: (a) \(f(x) = 4x - 7\); (b) \(f(x) = \frac{x + 2}{5}\); (c) \(f(x) = \frac{1}{x - 3}\) với \(x \neq 3\); (d) \(f(x) = x^3 - 2\).

Lời giải

(a) \(y = 4x - 7\) cho \(x = \frac{y + 7}{4}\): \(f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{4}\). (b) \(f^{-1}(x) = 5x - 2\). (c) \(y = \frac{1}{x - 3}\) cho \(x - 3 = \frac1y\) (cần \(y \neq 0\)): \(f^{-1}(x) = 3 + \frac1x\) với \(x \neq 0\); số 0 không nằm trong tập ảnh. (d) \(f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 2}\), xác định với mọi số thực nhờ căn bậc ba mở rộng.

B2. (a) Đổi 50 độ F sang độ C. (b) Kiểm tra rằng \(-40\) độ C bằng \(-40\) độ F.

Lời giải

(a) \(C = \frac{50 - 32}{1{,}8} = 10\). (b) \(1{,}8 \cdot (-40) + 32 = -72 + 32 = -40\).

B3. Cho \(f(x) = 3x\) và \(g(x) = x - 4\). Tính \((g \circ f)(5)\), tìm \((g \circ f)^{-1}\), và kiểm tra \((g \circ f)^{-1}(11) = 5\). Tháo sai thứ tự, \(g^{-1}\big(f^{-1}(11)\big)\), thì được gì?

Lời giải

\((g \circ f)(x) = 3x - 4\), nên \((g \circ f)(5) = 11\). Theo Định lý 3, \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\): cộng 4 rồi chia 3, tức \((g \circ f)^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3}\), và \((g \circ f)^{-1}(11) = 5\). Sai thứ tự: \(g^{-1}\big(f^{-1}(11)\big) = \frac{11}{3} + 4 = \frac{23}{3}\).

B4. Tìm hàm ngược của \(f(x) = \frac{3x - 2}{x + 4}\) với \(x \neq -4\), và cho biết số nào không nằm trong tập ảnh của \(f\).

Lời giải

\(y(x + 4) = 3x - 2\) cho \(x(y - 3) = -4y - 2\). Với \(y \neq 3\): \(x = \frac{4y + 2}{3 - y}\). Với \(y = 3\) phương trình thành \(0 = -14\), vô nghiệm. Vậy \(f^{-1}(x) = \frac{4x + 2}{3 - x}\) với \(x \neq 3\), và 3 không nằm trong tập ảnh.

B5. Hạn chế miền để có hàm ngược, rồi tìm hàm ngược: (a) \((x - 1)^2\) trên \([1; +\infty)\); (b) \(|x|\) trên \((-\infty; 0]\); (c) \(x^2 - 4\) trên \([0; +\infty)\).

Lời giải

(a) Trên \([1; +\infty)\), \(x - 1 \geq 0\), nên \(y = (x - 1)^2\) cho \(x - 1 = \sqrt{y}\): hàm ngược \(1 + \sqrt{x}\) trên \([0; +\infty)\). (b) Trên \((-\infty; 0]\), \(|x| = -x\), nên hàm ngược là \(x \mapsto -x\) trên \([0; +\infty)\). (c) \(y = x^2 - 4\) với \(x \geq 0\) cho \(x = \sqrt{y + 4}\): hàm ngược \(\sqrt{x + 4}\) trên \([-4; +\infty)\).

B6. Tính \(\log_2\left(2^7\right)\), \(2^{\log_2 5}\), \(\log_{10}\left(10^{2{,}5}\right)\). Vì sao \(\log_2(-8)\) không xác định?

Lời giải

\(7\), \(5\), \(2{,}5\): mỗi lần, logarit và lũy thừa cùng cơ số tháo ngược nhau. \(\log_2(-8)\) không xác định vì \(-8\) không phải đầu ra của \(x \mapsto 2^x\): lũy thừa của 2 luôn dương, và hàm ngược chỉ xác định trên tập ảnh.

B7. Hàm nào tự ngược? (a) \(f(x) = 7 - x\); (b) \(f(x) = \frac4x\) với \(x \neq 0\); (c) \(f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}\) với \(x \neq 1\); (d) \(f(x) = 2x\).

Lời giải

(a) Có: \(7 - (7 - x) = x\). (b) Có: \(\frac{4}{4/x} = x\). (c) Có: \(f(f(x)) = \dfrac{\frac{x + 1}{x - 1} + 1}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1} = \dfrac{2x}{2} = x\). (d) Không: \(f(f(x)) = 4x\); hàm ngược của nó là \(\frac{x}{2}\).

B8. Dùng phép thử đường thẳng nằm ngang, cho biết hàm nào sau đây (xét trên \(\mathbb{R}\)) có hàm ngược: \(x^3\); \(x^2 + 1\); \(2x + 5\); \(|x|\); \(x^3 - x\).

Lời giải

\(x^3\) và \(2x + 5\) có: chúng tăng trên \(\mathbb{R}\) và đạt mọi giá trị thực. \(x^2 + 1\) không: đường \(y = 2\) cắt đồ thị tại \(x = \pm 1\). \(|x|\) không: đường \(y = 1\) cắt tại \(x = \pm 1\). \(x^3 - x\) không: đường \(y = 0\) cắt tại \(x = -1, 0, 1\).

B9. Hàm \(f\) có hàm ngược và điểm \((3; 8)\) thuộc đồ thị của \(f\). Điểm nào chắc chắn thuộc đồ thị của \(f^{-1}\)? Tính trung điểm của đoạn nối hai điểm ấy và kiểm tra rằng nó nằm trên đường \(y = x\).

Lời giải

Điểm \((8; 3)\), vì \(f(3) = 8\) nên \(f^{-1}(8) = 3\). Trung điểm là \(\big(\frac{3 + 8}{2}; \frac{8 + 3}{2}\big) = (5{,}5; 5{,}5)\), có hoành độ bằng tung độ, nên nằm trên đường \(y = x\).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng nếu \(f\) giảm trên \(D\) thì \(f^{-1}\), xác định trên \(f(D)\), cũng giảm.

Lời giải

\(f\) giảm nên là đơn ánh (Chương 22), và có hàm ngược trên \(f(D)\). Cho \(y_1 < y_2\) trong \(f(D)\) và giả sử \(f^{-1}(y_1) \leq f^{-1}(y_2)\). Dấu bằng cho \(y_1 = y_2\), vô lý. Nếu \(f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2)\) thì vì \(f\) giảm, \(y_1 = f\big(f^{-1}(y_1)\big) > f\big(f^{-1}(y_2)\big) = y_2\), vô lý. Vậy \(f^{-1}(y_1) > f^{-1}(y_2)\). \(\square\)

C2. Cho \(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(f(n) = n + 1\), và \(g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) với \(g(0) = 0\), \(g(n) = n - 1\) khi \(n \geq 1\). Chứng minh \(g \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}\) nhưng \(f \circ g \neq \mathrm{id}_{\mathbb{N}}\). Điều này nói gì về Định lý 2?

Lời giải

\((g \circ f)(n) = g(n + 1) = n\) với mọi \(n\), vì \(n + 1 \geq 1\). Nhưng \((f \circ g)(0) = f(0) = 1 \neq 0\). Vậy \(g\) tháo ngược \(f\) từ một phía mà không từ phía kia. Theo Định lý 2(a), \(f\) là đơn ánh; nó không là toàn ánh (0 không đạt được), nên không có hàm nào tháo ngược nó từ phía còn lại, và \(f\) không có hàm ngược. Điều kiện hai phía trong Định nghĩa 1 là cần thiết.

C3. Cho \(f(x) = 5 - x\) và \(g(x) = \frac1x\), cả hai tự ngược. Chứng minh rằng hàm ngược của \(g \circ f\) là \(f \circ g\), và cho thấy \(g \circ f\) không tự ngược.

Lời giải

Theo Định lý 3, \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} = f \circ g\), vì \(f^{-1} = f\) và \(g^{-1} = g\). Cụ thể, \((g \circ f)(x) = \frac{1}{5 - x}\) và \((f \circ g)(x) = 5 - \frac1x\). Nếu \(g \circ f\) tự ngược thì nó phải bằng \(f \circ g\); nhưng tại \(x = 1\), \((g \circ f)(1) = \frac14\) còn \((f \circ g)(1) = 4\). Vậy hợp của hai hàm tự ngược nói chung không tự ngược: tháo ngược nó phải đảo thứ tự hai khâu. \(\square\)

Câu hỏi để ngỏ

Giải phương trình \(f(x) = c\) chính là hỏi: những đầu vào nào cho ra \(c\)? Khi không có hàm ngược, hoặc có nhiều đáp án, nên nhìn một phương trình như thế nào?