Chương 30: Lượng giác như chuyển động tròn

Câu hỏi mở đầu

Có những quy luật không tăng mãi cũng không giảm mãi mà lặp lại: ngày và đêm, các mùa, con lắc, sóng âm. Hàm nào mô tả sự lặp lại, và vì sao nó phải đến từ chuyển động tròn?

Những thứ quay lại

Ba chương vừa qua cho ba họ hàm, và không họ nào quay lại chỗ cũ. Đường thẳng đi mãi một hướng; parabol đổi chiều đúng một lần rồi đi mãi; hàm mũ tăng mãi hoặc giảm mãi. Thế mà quanh ta đầy những thứ lặp lại: ánh sáng trong ngày, nhiệt độ trong năm, vị trí quả lắc, áp suất không khí khi có tiếng đàn. Mỗi thứ đi lên, đi xuống, rồi trở về đúng trạng thái cũ và bắt đầu lại.

Lặp lại nghĩa là gì, nếu gỡ hết các chi tiết? Là sau một khoảng thời gian, trạng thái trở về đúng như cũ. Hình dung trạng thái như một điểm di chuyển: lặp lại là điểm ấy đi hết một vòng khép kín, rồi đi tiếp chính vòng ấy. Vòng khép kín đơn giản nhất, đi với tốc độ đều, là một đường tròn: không có góc gãy, không chỗ nào khác chỗ nào. Trái Đất tự quay, kim đồng hồ quay, bánh xe quay. Nhìn một chuyển động tròn từ bên cạnh, như nhìn bóng của nó trên tường, ta thấy một điểm đi lên đi xuống mãi. Đó là cái bóng ta cần.

Một ví dụ cụ thể, với số liệu giả định. Một vòng đu quay có bán kính 20 m, trục cao 22 m, quay đều mỗi vòng 10 phút; một cabin bắt đầu ở điểm thấp nhất, cách mặt đất 2 m. Độ cao của cabin lên tới 42 m, xuống lại 2 m, rồi lặp lại sau mỗi 10 phút. Đường biểu diễn độ cao ấy không phải parabol, cũng không phải hàm mũ. Nó do chính đường tròn quyết định: biết một điểm chạy đều trên đường tròn bán kính 1 lên xuống ra sao, ta biết mọi vòng đu quay, chỉ cần phóng to 20 lần, nâng lên 22 m, và co giãn thời gian. Cả câu chuyện thu về một đường tròn và một điểm chạy trên nó. Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì hễ có gì quay đều, là có cái bóng lên xuống ấy, gọi nó là gì cũng vậy.

Một điểm chạy trên đường tròn

Xét đường tròn tâm \(O(0; 0)\), bán kính 1. Theo Chương 23, nó là tập các điểm \((x; y)\) với \(x^2 + y^2 = 1\). Đặt một điểm tại \(A(1; 0)\) rồi cho nó chạy dọc đường tròn, ngược chiều kim đồng hồ. Khi đã đi được một quãng đường dài \(t\) trên đường tròn, điểm ấy ở vị trí \(P\). Hoành độ của \(P\) gọi là \(\cos t\), tung độ gọi là \(\sin t\).

Đi từ \(A(1; 0)\) một cung dài \(t\) ngược chiều kim đồng hồ thì tới \(P\). Hoành độ của \(P\) là \(\cos t\), tung độ là \(\sin t\).

Chưa cần công thức nào, ta đã biết khá nhiều. Chu vi đường tròn bán kính 1 là \(2\pi\), vì \(\pi\) là tỉ số giữa chu vi và đường kính (Chương 11). Đi một phần tư vòng, \(t = \frac{\pi}{2}\), điểm tới \((0; 1)\): \(\cos\frac{\pi}{2} = 0\), \(\sin\frac{\pi}{2} = 1\). Đi nửa vòng, \(t = \pi\), tới \((-1; 0)\). Đi trọn vòng, \(t = 2\pi\), về lại \(A\), và từ đó mọi thứ lặp lại: \(\sin(t + 2\pi) = \sin t\). Đi lùi, tức \(t < 0\), là đi theo chiều kim đồng hồ. Và vì \(P\) nằm trên đường tròn, luôn có \(\cos^2 t + \sin^2 t = 1\).

Tỉ số trong tam giác vuông mà bạn học ở trường là một hệ quả. Với \(0 < t < \frac{\pi}{2}\), hạ đường vuông góc từ \(P\) xuống trục hoành tại \(H\): tam giác \(OHP\) vuông tại \(H\), có cạnh huyền \(OP = 1\), hai cạnh góc vuông \(OH = \cos t\) và \(HP = \sin t\). Mọi tam giác vuông có cùng góc nhọn ấy đều đồng dạng với tam giác \(OHP\) (Chương 27), nên trong mọi tam giác như thế, cạnh đối diện chia cạnh huyền bằng \(\sin t\), cạnh kề chia cạnh huyền bằng \(\cos t\). Định nghĩa bằng đường tròn đi xa hơn định nghĩa bằng tam giác: nó cho nghĩa cả khi \(t\) lớn hơn một góc vuông, khi \(t\) âm, khi \(t\) lớn hơn một vòng.

Cho \(t\) tăng dần và ghi lại độ cao \(\sin t\), ta trải đường tròn thành một làn sóng: từ 0 lên 1, về 0, xuống \(-1\), lại về 0, rồi lặp lại.

Mười hai điểm cách đều trên đường tròn và độ cao của chúng. Ghi độ cao theo quãng đường đã đi, ta được đồ thị \(y = \sin t\).

Ký hiệu

Phần toán học này gọi là lượng giác (trigonometry), nghĩa đen là "đo tam giác", theo con đường nó ra đời; nhưng như ta vừa thấy, gốc của nó là đường tròn. Đường tròn tâm \(O\) bán kính 1 là đường tròn đơn vị (unit circle); sách giáo khoa gọi nó, cùng với chiều dương ngược chiều kim đồng hồ, là đường tròn lượng giác. Hoành độ và tung độ của điểm \(P\) ở trên là côsin (cosine) và sin (sine) của \(t\), viết \(\cos t\) và \(\sin t\). Quy ước viết: \(\sin 3t\) là \(\sin(3t)\), còn \(\sin^2 t\) là \((\sin t)^2\).

Góc \(AOP\) được đo bằng chính độ dài cung \(t\) mà nó chắn trên đường tròn đơn vị; đơn vị đo này gọi là radian (radian). Trên đường tròn bán kính \(r\), cùng góc ấy chắn một cung dài \(rt\), vì mọi đường tròn đồng dạng với nhau. Vậy số đo radian là tỉ số giữa hai độ dài, cung chia bán kính, và không có thứ nguyên (Chương 2). Đơn vị độ chia một vòng thành 360 phần; con số 360 là quy ước, còn \(2\pi\) là cấu trúc. Vì một vòng là \(360^\circ\) và cũng là \(2\pi\) radian, nên \(180^\circ = \pi\) radian. Trong sách này, số đo góc không kèm dấu độ là số đo radian.

Khi \(\cos t \neq 0\), số \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\) gọi là tang (tangent) của \(t\). Nó là hệ số góc của đường thẳng \(OP\), vì đi từ \(O\) tới \(P\) thì \(\Delta y = \sin t\) và \(\Delta x = \cos t\) (Chương 27). Vậy một đường thẳng làm với chiều dương của trục hoành một góc \(\alpha\) thì có hệ số góc \(\tan\alpha\).

Hai trục chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư (quadrant), đánh số I, II, III, IV ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ phần có \(x > 0\), \(y > 0\). Ở góc phần tư II, chẳng hạn, \(\cos t < 0\) và \(\sin t > 0\).

Một hàm \(f\) gọi là hàm tuần hoàn (periodic function) nếu có một số \(T > 0\) sao cho \(f(x + T) = f(x)\) với mọi \(x\). Số dương nhỏ nhất như thế, nếu có, là chu kỳ của \(f\): cùng từ "chu kỳ" đã gặp ở số thập phân vô hạn tuần hoàn (Chương 11), và cùng một ý, phần lặp lại. \(\sin\) và \(\cos\) có chu kỳ \(2\pi\). Với \(y = A \sin(Bt)\), trong đó \(A \neq 0\) và \(B > 0\), số \(\lvert A \rvert\) là biên độ (amplitude), nửa khoảng cách giữa chỗ cao nhất và chỗ thấp nhất, còn chu kỳ là \(\frac{2\pi}{B}\) (Mệnh đề 6). Đồ thị \(y = \sin(t - c)\) là đồ thị \(y = \sin t\) dời sang phải \(c\) (Chương 23, Mệnh đề 6); dời theo chiều ngang như thế gọi là dời pha (phase shift).

Nhân đầu ra với 2 làm sóng cao gấp đôi, tức biên độ 2. Nhân đầu vào với 3 làm sóng lặp lại nhanh gấp ba, tức chu kỳ \(\frac{2\pi}{3}\).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (đổi đơn vị). Vì \(180^\circ = \pi\), một độ là \(\frac{\pi}{180}\) radian. Vậy \(60^\circ = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\), \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\), \(15^\circ = \frac{\pi}{12}\). Ngược lại, 1 radian là \(\frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ\): góc chắn một cung dài đúng bằng bán kính.

Ví dụ 2 (giá trị đặc biệt, từ hình). Với \(t = \frac{\pi}{6}\), tức \(30^\circ\): lấy điểm \(P\) và ảnh \(P'\) của nó qua trục hoành. Tam giác \(OPP'\) có \(OP = OP' = 1\) và góc ở \(O\) là \(60^\circ\), nên là tam giác đều, \(PP' = 1\). Tung độ của \(P\) là nửa đoạn \(PP'\), nên \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac12\), rồi \(\cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}\). Với \(t = \frac{\pi}{4}\): tam giác \(OHP\) vuông cân, nên \(\sin t = \cos t\), và \(2\sin^2 t = 1\) cho \(\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}\). Với \(t = \frac{\pi}{3}\): đổi vai hai cạnh góc vuông của trường hợp \(\frac{\pi}{6}\) (Mệnh đề 3).

\(t\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
độ	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\sin t\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\cos t\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)

Hai tam giác cho các giá trị đặc biệt. Trái: nửa tam giác đều cạnh 1 (nửa kia vẽ đứt), cạnh đối diện góc \(30^\circ\) dài \(\frac12\). Phải: tam giác vuông cân có cạnh huyền 1.

Ví dụ 3 (thang dựa tường). Một cái thang dài 4 m dựa vào tường, làm với mặt đất góc \(60^\circ\). Đỉnh thang cao \(4 \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3 \approx 3{,}46\) m; chân thang cách tường \(4 \cos 60^\circ = 2\) m. Kiểm bằng định lý Pythagoras: \(2^2 + \left(2\sqrt3\right)^2 = 4 + 12 = 16 = 4^2\).

Ví dụ 4 (biết sin, tìm côsin). Biết \(\sin t = \frac35\) và \(t\) ở góc phần tư II. Từ \(\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\) ta có \(\cos t = \frac45\) hoặc \(\cos t = -\frac45\); ở góc phần tư II hoành độ âm, nên \(\cos t = -\frac45\), và \(\tan t = -\frac34\). Riêng sin không quyết định được điểm \(P\): có hai điểm cùng tung độ \(\frac35\), và góc phần tư chọn một trong hai.

Ví dụ 5 (công thức cộng). Không có \(75^\circ\) trong bảng, nhưng \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\). Theo Hệ quả 5 ở cuối chương,

\[ \cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} \approx 0{,}2588. \]

Máy tính cho \(\cos 75^\circ \approx 0{,}258819\). Khớp.

Ví dụ 6 (vòng đu quay). Trở lại vòng đu quay ở đầu chương. Sau \(t\) phút, cabin đã quay một góc \(\theta = \frac{2\pi t}{10}\) tính từ điểm thấp nhất. Đo từ tâm, điểm thấp nhất nằm ngay dưới trục, nên độ cao của cabin là trục trừ đi \(20\cos\theta\):

\[ h(t) = 22 - 20\cos\frac{2\pi t}{10}. \]

Kiểm: \(h(0) = 22 - 20 = 2\), \(h(5) = 22 + 20 = 42\), \(h(2{,}5) = 22 - 20\cos\frac{\pi}{2} = 22\). Biên độ 20 m là bán kính, chu kỳ 10 phút là thời gian quay một vòng, và 22 m là độ cao của trục, đường giữa của sóng.

Độ cao \(h(t) = 22 - 20\cos\frac{2\pi t}{10}\) của cabin (số liệu giả định). Các đoạn đậm là những lúc cabin cao hơn 32 m (bài B8).

Ranh giới

Sin không có hàm ngược trên \(\mathbb{R}\). Đường nằm ngang \(y = \frac12\) cắt đồ thị \(y = \sin t\) tại vô số điểm: \(t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) và \(t = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) với mọi số nguyên \(k\). Theo phép thử đường thẳng nằm ngang của Chương 25, \(\sin\) không phải đơn ánh, nên không có hàm ngược. Cách chữa cũng như với \(x^2\) ở Ví dụ 7 của Chương 25: hạn chế miền. Trên \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\), \(\sin\) tăng từ \(-1\) lên \(1\) và không lặp giá trị nào, nên có hàm ngược, gọi là arcsin (arcsine), đi từ \([-1; 1]\) về \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\). Phím \(\sin^{-1}\) trên máy tính chính là arcsin: nó cho \(\arcsin\frac12 = \frac{\pi}{6}\), một nghiệm duy nhất; những nghiệm khác phải tìm bằng tính đối xứng và tính tuần hoàn.

Đường \(y = \frac12\) cắt đồ thị \(y = \sin t\) tại vô số điểm, nên \(\sin\) không có hàm ngược trên \(\mathbb{R}\). Trên đoạn tô đậm, từ \(-\frac{\pi}{2}\) tới \(\frac{\pi}{2}\), mỗi giá trị chỉ đạt một lần: \(\frac{\pi}{6}\) là nghiệm mà arcsin chọn.

Độ hay radian. Để máy tính ở chế độ radian rồi bấm \(\sin 30\), ta được khoảng \(-0{,}988\); ở chế độ độ, ta được \(0{,}5\). Con số 30 một mình chưa đủ nghĩa, cũng như "30" không nói là 30 mét hay 30 giây. Trước khi tính, hãy xem máy đang dùng đơn vị nào.

\(\sin(a + b) \neq \sin a + \sin b\). Với \(a = b = \frac{\pi}{6}\): \(\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}866\), còn \(\sin\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6} = 1\). Cũng như \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) ở Chương 2, cộng đầu vào không cộng đầu ra; quy tắc đúng là công thức cộng (Hệ quả 5).

Tam giác vuông chỉ nói về góc nhọn. Trong một tam giác vuông, "\(\sin 150^\circ\)" hay "\(\sin(-30^\circ)\)" không có nghĩa, vì không góc nhọn nào như thế. Đường tròn thì cho ngay: đi \(150^\circ\) tới điểm có tung độ \(\frac12\), đi \(-30^\circ\) tới điểm có tung độ \(-\frac12\). Mở rộng một khái niệm mà vẫn giữ nghĩa cũ ở chỗ cũ là việc sách này đã làm nhiều lần, từ số âm tới lũy thừa.

Phát biểu chặt chẽ

Ta nhận từ hình học hai điều: độ dài cung tròn, và việc phép quay (rotation), tức xoay mọi điểm quanh \(O\) cùng một góc, cũng như phép lật qua một đường thẳng, giữ nguyên khoảng cách và độ dài cung. Điều thứ hai có gốc ở trường hợp bằng nhau cạnh-góc-cạnh quen thuộc của tam giác. Phần IV sẽ định nghĩa độ dài cung một cách chặt chẽ.

Định nghĩa 1. Với mỗi số thực \(t\), gọi \(P_t\) là điểm trên đường tròn đơn vị có được khi đi từ \(A(1; 0)\) một cung dài \(\lvert t \rvert\), ngược chiều kim đồng hồ nếu \(t \geq 0\) và theo chiều kim đồng hồ nếu \(t < 0\). Khi đó \(\cos t\) và \(\sin t\) là hoành độ và tung độ của \(P_t\). Khi \(\cos t \neq 0\), \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\).

Định lý 2. Với mọi \(t\): \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\).

Chứng minh. \(P_t\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính 1, nên theo công thức khoảng cách (Chương 23, Hệ quả 2), \(\cos^2 t + \sin^2 t = OP_t^2 = 1\). \(\square\)

Mệnh đề 3. Với mọi \(t\):

1. \(\cos(t + 2\pi) = \cos t\) và \(\sin(t + 2\pi) = \sin t\); mọi số \(T > 0\) thỏa \(\sin(t + T) = \sin t\) với mọi \(t\) đều là một bội của \(2\pi\), nên chu kỳ của \(\sin\) là \(2\pi\);
2. \(\cos(-t) = \cos t\) và \(\sin(-t) = -\sin t\);
3. \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \sin t\) và \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \cos t\).

Chứng minh. (1) Đi thêm \(2\pi\) là đi thêm đúng một vòng, về lại điểm cũ. Trong một vòng, điểm \((0; 1)\) chỉ được đi qua một lần, tại \(t = \frac{\pi}{2}\); vậy \(\sin t = 1\) khi và chỉ khi \(t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) với \(k\) nguyên. Nếu \(\sin(t + T) = \sin t\) với mọi \(t\), lấy \(t = \frac{\pi}{2}\): \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + T\right) = 1\), nên \(T\) là một bội của \(2\pi\). (2) Phép lật qua trục hoành giữ nguyên \(A\), giữ độ dài cung, và đổi chiều đi; nó biến \(P_t\) thành \(P_{-t}\), tức biến \((x; y)\) thành \((x; -y)\). (3) Phép lật qua đường \(y = x\) đổi chỗ hai tọa độ (Chương 25), biến \(A\) thành \(B(0; 1)\) và đổi chiều đi. Nó biến \(P_t\), điểm cách \(A\) một cung \(t\) theo chiều dương, thành điểm cách \(B\) một cung \(t\) theo chiều ngược lại, tức \(P_{\frac{\pi}{2} - t}\). Vậy \(\left(\cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right); \sin\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\right) = (\sin t; \cos t)\). \(\square\)

Theo (2), \(\cos\) là một hàm chẵn và \(\sin\) là một hàm lẻ theo nghĩa của Chương 22.

Định lý 4 (côsin của một hiệu). Với mọi \(a\), \(b\): \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\).

Chứng minh. Đi từ \(P_b\) thêm một cung \(a - b\) thì tới \(P_a\); đi từ \(A\) cùng cung ấy thì tới \(P_{a-b}\). Phép quay quanh \(O\) đưa \(P_b\) về \(A\) cũng đưa \(P_a\) về \(P_{a-b}\), và giữ khoảng cách, nên \(P_a P_b = P_{a-b} A\). Tính bình phương hai khoảng cách bằng công thức khoảng cách và Định lý 2:

\[ P_a P_b^2 = (\cos a - \cos b)^2 + (\sin a - \sin b)^2 = 2 - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b), \]

\[ P_{a-b} A^2 = \big(\cos(a - b) - 1\big)^2 + \sin^2(a - b) = 2 - 2\cos(a - b). \]

Cho hai kết quả bằng nhau, ta được điều cần chứng minh. \(\square\)

Hệ quả 5 (công thức cộng). Với mọi \(a\), \(b\):

\[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b, \qquad \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b. \]

Chứng minh. Thay \(b\) bằng \(-b\) trong Định lý 4 và dùng Mệnh đề 3(2): \(\cos(a + b) = \cos a \cos(-b) + \sin a \sin(-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\). Theo Mệnh đề 3(3) rồi Định lý 4:

\[ \sin(a + b) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - a\right) - b\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\cos b + \sin\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\sin b = \sin a \cos b + \cos a \sin b. \qquad \square \]

Mệnh đề 6 (chu kỳ và biên độ). Cho \(A \neq 0\), \(B > 0\) và \(f(t) = A\sin(Bt)\). Khi đó \(f\) tuần hoàn với chu kỳ \(\frac{2\pi}{B}\), và \(f\) nhận mọi giá trị từ \(-\lvert A \rvert\) tới \(\lvert A \rvert\), không vượt ra ngoài.

Chứng minh. \(f(t + T) = f(t)\) với mọi \(t\) nghĩa là \(\sin(Bt + BT) = \sin(Bt)\) với mọi \(t\). Khi \(t\) chạy khắp \(\mathbb{R}\), \(u = Bt\) cũng chạy khắp \(\mathbb{R}\), nên điều ấy nghĩa là \(\sin(u + BT) = \sin u\) với mọi \(u\). Theo Mệnh đề 3(1), điều này xảy ra khi và chỉ khi \(BT\) là một bội của \(2\pi\); số \(T > 0\) nhỏ nhất là \(\frac{2\pi}{B}\). Còn \(\sin\) nhận mọi giá trị từ \(-1\) tới \(1\), vì tung độ của \(P_t\) chạy hết đoạn ấy khi điểm đi một vòng. \(\square\)

Sợi chỉ

• S1. Bất biến qua biến đổi. Phép quay giữ nguyên khoảng cách, và chỉ riêng điều ấy ép ra công thức cộng (Định lý 4). Định lý 2 cũng là một bất biến: điểm chạy mãi, nhưng khoảng cách tới tâm luôn bằng 1.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. \(\sin t\) là tung độ của một điểm trên đường tròn, là tỉ số hai cạnh trong tam giác vuông, là độ cao của một làn sóng. Côsin chỉ là sin dời pha: \(\cos t = \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right)\). Tang là hệ số góc của Chương 27 nhìn qua góc nghiêng.
• S3. Thứ tự của biến đổi. Quay một góc \(a\) rồi quay một góc \(b\) cũng là quay một góc \(a + b\), và cũng là quay \(b\) rồi quay \(a\): các phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng giao hoán, và công thức cộng chính là tọa độ của phép quay hợp. Trong không gian ba chiều, quay quanh hai trục khác nhau thì thứ tự có quan trọng; Phần VI sẽ trở lại chuyện này.
• S2. Thông tin và khả nghịch. \(\sin\) dồn vô số đầu vào về một đầu ra, nên chỉ tháo ngược được sau khi hạn chế miền, như \(x^2\) ở Chương 25. Biết \(\sin t\) chưa biết \(t\); biết thêm góc phần tư mới biết \(\cos t\).

Tóm tắt

• Hễ có gì quay đều, là có một đại lượng lên xuống tuần hoàn; mọi chuyển động tròn đều quy về một điểm chạy trên đường tròn đơn vị.
• \(\cos t\) và \(\sin t\) là tọa độ của điểm ấy sau khi đi một cung dài \(t\); tỉ số trong tam giác vuông là hệ quả, chỉ đúng cho góc nhọn.
• Radian đo góc bằng độ dài cung, là tỉ số không thứ nguyên; \(360^\circ\) là quy ước, \(2\pi\) là cấu trúc, và \(180^\circ = \pi\).
• \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\) là định lý Pythagoras trên đường tròn; \(\sin\) và \(\cos\) tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi\), \(\cos\) chẵn, \(\sin\) lẻ.
• Công thức cộng, như \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\), là hệ quả của việc phép quay giữ khoảng cách.
• \(A\sin(Bt)\) có biên độ \(\lvert A \rvert\) và chu kỳ \(\frac{2\pi}{B}\); \(\sin(t - c)\) là sóng dời pha \(c\).
• \(\sin\) không có hàm ngược trên \(\mathbb{R}\); hạn chế về \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\) thì có, đó là arcsin. Máy tính để chế độ độ hay radian cho kết quả khác nhau.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao sách này định nghĩa \(\sin\) và \(\cos\) bằng đường tròn, chứ không bằng tỉ số trong tam giác vuông như ở trường? Định nghĩa cũ mất gì?

Lời giải

Định nghĩa bằng tam giác vuông chỉ có nghĩa cho góc nhọn, từ 0 tới \(\frac{\pi}{2}\): không nói gì về \(\sin 150^\circ\), về góc âm, về nhiều vòng quay. Định nghĩa bằng đường tròn có nghĩa với mọi số thực \(t\), cho ngay tính tuần hoàn, và vẫn cho lại các tỉ số cũ ở góc nhọn, nhờ tam giác đồng dạng. Định nghĩa cũ không sai; nó là trường hợp riêng. Chuyển sang đường tròn là mở rộng mà giữ nghĩa cũ, như khi mở rộng số hay lũy thừa ở Phần I.

A2. Vì sao radian là đơn vị "tự nhiên" còn độ là quy ước? Nếu một nền văn minh khác chia vòng tròn thành 100 phần, điều gì trong chương này thay đổi, điều gì không?

Lời giải

Radian đo góc bằng chính độ dài cung trên đường tròn đơn vị, tức tỉ số cung chia bán kính; nó không cần chọn con số nào. Độ thì cần chọn: 360 phần một vòng. Nếu chia thành 100 phần, mọi con số đo bằng đơn vị ấy đổi (góc vuông thành 25 đơn vị), bảng giá trị đổi cách ghi, nhưng các điểm trên đường tròn, \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\) và công thức cộng không đổi, và số đo radian \(2\pi\) của một vòng cũng không đổi. Phần IV sẽ cho thêm một lý do: các công thức về tốc độ thay đổi của \(\sin\) chỉ gọn khi dùng radian.

A3. Một bạn viết "\(\sin 2x = 2\sin x\)". Hãy bác bỏ bằng một phản ví dụ, rồi dùng công thức cộng tìm công thức đúng.

Lời giải

Với \(x = \frac{\pi}{2}\): \(\sin \pi = 0\), còn \(2\sin\frac{\pi}{2} = 2\). Công thức đúng: theo Hệ quả 5 với \(a = b = x\), \(\sin 2x = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x\). Nhân đôi đầu vào không nhân đôi đầu ra; nó nhân đầu ra với \(2\cos x\), một số thay đổi theo \(x\).

B. Tính toán

B1. Đổi sang radian: \(30^\circ\), \(90^\circ\), \(135^\circ\), \(270^\circ\), \(1^\circ\). Đổi sang độ: \(\frac{\pi}{5}\), \(\frac{3\pi}{4}\), 2 radian.

Lời giải

\(30^\circ = \frac{\pi}{6}\), \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\), \(135^\circ = \frac{3\pi}{4}\), \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\), \(1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0{,}01745\). \(\frac{\pi}{5} = 36^\circ\), \(\frac{3\pi}{4} = 135^\circ\), 2 radian \(= \frac{360^\circ}{\pi} \approx 114{,}6^\circ\).

B2. Không dùng máy tính, tính: (a) \(\sin\frac{5\pi}{6}\); (b) \(\cos\frac{2\pi}{3}\); (c) \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\); (d) \(\cos\frac{7\pi}{6}\); (e) \(\tan\frac{\pi}{3}\).

Lời giải

(a) \(\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}\): điểm đối xứng với \(P_{\frac{\pi}{6}}\) qua trục tung, cùng tung độ, nên \(\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12\). (b) \(\frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}\): hoành độ đổi dấu, \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12\). (c) Theo Mệnh đề 3(2), \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}\). (d) \(\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}\): điểm đối xứng với \(P_{\frac{\pi}{6}}\) qua \(O\), nên \(\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt3}{2}\). (e) \(\tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3/2}{1/2} = \sqrt3\).

B3. Biết \(\cos t = -\frac{5}{13}\) và \(t\) ở góc phần tư III. Tính \(\sin t\) và \(\tan t\).

Lời giải

\(\sin^2 t = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\). Ở góc phần tư III tung độ âm, nên \(\sin t = -\frac{12}{13}\), và \(\tan t = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5}\).

B4. Một cái thang dài 5 m dựa vào tường, chân thang cách tường 3 m. Gọi \(t\) là góc giữa thang và mặt đất. Tính \(\cos t\), \(\sin t\), \(\tan t\) và độ cao đỉnh thang.

Lời giải

Tam giác vuông có cạnh huyền 5 và cạnh kề góc \(t\) dài 3, nên \(\cos t = \frac35\). Cạnh còn lại dài \(\sqrt{25 - 9} = 4\): đỉnh thang cao 4 m, \(\sin t = \frac45\), \(\tan t = \frac43\).

B5. Dùng \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\) để tính \(\cos 15^\circ\) và \(\sin 15^\circ\). So sánh \(\sin 15^\circ\) với \(\cos 75^\circ\) ở Ví dụ 5, và giải thích.

Lời giải

Theo Định lý 4, \(\cos 15^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0{,}9659\). Theo Hệ quả 5 với \(b\) thay bằng \(-30^\circ\), \(\sin 15^\circ = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} \approx 0{,}2588\). Đó đúng là \(\cos 75^\circ\), vì \(15^\circ + 75^\circ = 90^\circ\) và \(\sin t = \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right)\) (Mệnh đề 3).

B6. Tìm biên độ và chu kỳ: (a) \(y = 3\sin 2t\); (b) \(y = -2\cos\frac{t}{2}\); (c) \(y = \sin \pi t\).

Lời giải

(a) Biên độ 3, chu kỳ \(\frac{2\pi}{2} = \pi\). (b) \(-2\cos\frac{t}{2} = -2\sin\left(\frac{t}{2} + \frac{\pi}{2}\right)\), một sóng dời pha: biên độ 2, chu kỳ \(\frac{2\pi}{1/2} = 4\pi\). (c) Biên độ 1, chu kỳ \(\frac{2\pi}{\pi} = 2\).

B7. Giải phương trình \(\sin t = \frac12\) trên \([0; 2\pi)\) và trên \(\mathbb{R}\). Giải \(\cos t = 0\) trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Trên \([0; 2\pi)\), hai điểm của đường tròn có tung độ \(\frac12\) ứng với \(t = \frac{\pi}{6}\) và \(t = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). Trên \(\mathbb{R}\), cộng thêm các vòng: \(t = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) hoặc \(t = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), với \(k\) nguyên. Phương trình \(\cos t = 0\) có nghiệm tại hai điểm \((0; 1)\) và \((0; -1)\), cách nhau nửa vòng: \(t = \frac{\pi}{2} + k\pi\).

B8. Với vòng đu quay ở Ví dụ 6, trong mỗi vòng quay, cabin cao hơn 32 m trong bao lâu?

Lời giải

\(h(t) > 32\) khi \(-20\cos\theta > 10\), tức \(\cos\theta < -\frac12\), với \(\theta = \frac{2\pi t}{10}\). Trong một vòng, điều này xảy ra khi \(\frac{2\pi}{3} < \theta < \frac{4\pi}{3}\), tức \(\frac{10}{3} < t < \frac{20}{3}\): từ phút thứ 3 giây 20 tới phút thứ 6 giây 40, tổng cộng \(\frac{10}{3}\) phút, một phần ba mỗi vòng.

B9. Một mô hình giả định cho nhiệt độ trung bình của ngày thứ \(d\) trong năm là \(T(d) = 26 + 6\sin\frac{2\pi(d - 105)}{365}\) (độ C). Tìm nhiệt độ cao nhất, thấp nhất, và ngày đạt chúng. Chu kỳ của mô hình là bao nhiêu, và vì sao phải là con số ấy?

Lời giải

\(\sin\) nằm giữa \(-1\) và \(1\), nên \(T\) nằm giữa \(20\) và \(32\) độ. Cao nhất 32 độ khi \(\frac{2\pi(d - 105)}{365} = \frac{\pi}{2}\), tức \(d = 105 + \frac{365}{4} \approx 196\); thấp nhất 20 độ khi góc ấy bằng \(-\frac{\pi}{2}\), tức \(d \approx 105 - 91{,}25 \approx 14\). Chu kỳ là \(\frac{2\pi}{2\pi/365} = 365\) ngày: mô hình phải lặp lại sau một năm, vì các mùa lặp lại theo vòng quay của Trái Đất quanh Mặt Trời.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng \(\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{\tan\alpha}\) khi \(\sin\alpha \neq 0\) và \(\cos\alpha \neq 0\). Suy ra: nếu hai đường thẳng không đứng và không nằm ngang vuông góc với nhau, thì tích hai hệ số góc của chúng là \(-1\), như Định lý 5 của Chương 27.

Lời giải

Theo Hệ quả 5, \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\alpha \cdot 0 + \cos\alpha \cdot 1 = \cos\alpha\) và \(\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\alpha \cdot 0 - \sin\alpha \cdot 1 = -\sin\alpha\). Chia: \(\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\frac{1}{\tan\alpha}\). \(\square\) Nếu đường thứ nhất làm với trục hoành góc \(\alpha\) thì đường vuông góc với nó làm góc \(\alpha + \frac{\pi}{2}\) (hoặc góc ấy cộng thêm \(\pi\), cho cùng một hệ số góc, vì tang có chu kỳ \(\pi\)). Vậy \(m_1 = \tan\alpha\), \(m_2 = -\frac{1}{\tan\alpha}\), và \(m_1 m_2 = -1\). Chương 27 chứng minh điều này bằng định lý Pythagoras; ở đây nó đến từ phép quay một góc vuông.

C2. Chứng minh rằng \(\sin t + \cos t = \sqrt2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right)\) với mọi \(t\). Suy ra \(\sin t + \cos t\) không bao giờ vượt quá \(\sqrt2\), và đạt \(\sqrt2\) tại \(t = \frac{\pi}{4}\).

Lời giải

Theo Hệ quả 5, \(\sqrt2\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt2\left(\sin t \cdot \frac{\sqrt2}{2} + \cos t \cdot \frac{\sqrt2}{2}\right) = \sin t + \cos t\). \(\square\) Vì \(\sin\) không vượt quá 1, tổng không vượt quá \(\sqrt2\), và bằng \(\sqrt2\) khi \(t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\), tức \(t = \frac{\pi}{4}\): \(\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2\). Cộng hai sóng cùng chu kỳ lại được một sóng cùng chu kỳ, chỉ khác biên độ và pha.

C3. Cho hàm \(g(x) = 1\) nếu \(x\) hữu tỉ và \(g(x) = 0\) nếu \(x\) vô tỉ. Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ \(T > 0\) đều thỏa \(g(x + T) = g(x)\) với mọi \(x\), còn mọi số vô tỉ \(T > 0\) thì không. Hàm \(g\) có tuần hoàn không? Nó có chu kỳ không?

Lời giải

Nếu \(T\) hữu tỉ thì \(x + T\) hữu tỉ khi và chỉ khi \(x\) hữu tỉ (hiệu và tổng của hai số hữu tỉ là số hữu tỉ), nên \(g(x + T) = g(x)\) với mọi \(x\). Nếu \(T\) vô tỉ, lấy \(x = -T\): \(g(0) = 1\) nhưng \(g(-T) = 0\). Vậy \(g\) tuần hoàn, và các số \(T > 0\) thỏa điều kiện chính là các số hữu tỉ dương. Nhưng không có số hữu tỉ dương nhỏ nhất: với mỗi \(T\), số \(\frac{T}{2}\) nhỏ hơn. Vậy \(g\) tuần hoàn mà không có chu kỳ. \(\square\) Định nghĩa "chu kỳ là số dương nhỏ nhất như thế" cần chữ "nếu có": không phải lúc nào số nhỏ nhất cũng tồn tại.

Câu hỏi để ngỏ

Với hàm tuyến tính, tốc độ thay đổi là hệ số góc, một con số cố định. Nhưng một chiếc xe tăng tốc rồi giảm tốc: "tốc độ tại đúng một thời điểm" là gì? Muốn tính nó, dường như ta phải chia 0 cho 0.