Chương 36: Tối ưu một biến

Câu hỏi mở đầu

Đạo hàm bằng 0 nghĩa là gì, tiếp tuyến nằm ngang? Điều đó liên quan gì tới đỉnh núi, đáy thung lũng, và câu hỏi "chọn thế nào là tốt nhất"?

Trên đỉnh, mặt đất phẳng

Nhiều câu hỏi thực tế có dạng "chọn thế nào là tốt nhất". Cắt góc một tấm bìa bao nhiêu để gấp được cái hộp chứa nhiều nhất? Làm bao nhiêu sản phẩm để chi phí cho mỗi sản phẩm thấp nhất? Bán giá nào để lời nhiều nhất? Chương 28 đã trả lời vài câu như thế bằng cách hoàn thành bình phương (bài B6 và B8), nhưng mẹo ấy chỉ dùng được cho hàm bậc hai. Cần một nguyên lý chung.

Nguyên lý ấy đến từ một quan sát của người leo núi: đứng trên đỉnh, mặt đất dưới chân phẳng. Nếu mặt đất còn dốc lên về một phía, chỉ cần bước một bước về phía ấy là lên cao hơn, và chỗ đang đứng chưa phải đỉnh. Nói bằng ngôn ngữ của Chương 34: nếu \(f'(c) > 0\), gần \(c\) hàm thay đổi gần như một đường thẳng dốc lên, nên đi sang phải một chút thì \(f\) lớn hơn \(f(c)\); nếu \(f'(c) < 0\), đi sang trái một chút thì lớn hơn. Vậy tại một đỉnh nằm bên trong miền, nơi hàm khả vi, chỉ còn một khả năng: \(f'(c) = 0\), tiếp tuyến nằm ngang. Đáy thung lũng cũng thế. Fermat đã dùng ý này để tìm cực đại và cực tiểu từ những năm 1630, trước khi Newton và Leibniz đặt ra khái niệm đạo hàm.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì "tốt nhất" nghĩa là không còn thay đổi nhỏ nào làm tốt hơn nữa. Hễ một đại lượng phụ thuộc trơn tru vào một lựa chọn, thì tại lựa chọn tốt nhất, tác động bậc nhất của mọi thay đổi nhỏ phải triệt tiêu:

\[ f(c + h) = f(c) + 0 \cdot h + (\text{phần nhỏ hơn } h \text{ rất nhiều}). \]

Người buôn bán gặp nó dưới dạng "bán thêm một sản phẩm cũng không lời thêm" (Ví dụ 4); ánh sáng gặp nó khi phản xạ theo đường ngắn nhất (Ví dụ 5).

Nhưng điều kiện \(f'(c) = 0\) chỉ là một bộ lọc, chưa phải câu trả lời. Nó loại hầu hết các điểm, để lại vài ứng viên, và ta còn phải so các ứng viên với nhau. Một đỉnh có thể chỉ là đỉnh của một ngọn đồi, thấp hơn ngọn núi bên cạnh. Chỗ cao nhất có thể nằm ở rìa vùng đang xét, nơi mặt đất vẫn còn dốc. Và có chỗ mặt đất phẳng mà không phải đỉnh cũng không phải đáy, như một bậc nghỉ giữa hai đoạn dốc.

Ký hiệu

Cho \(f\) xác định trên một tập \(D\), thường là một khoảng hay một đoạn, và \(c \in D\). Ta nói \(f\) đạt cực đại địa phương (local maximum) tại \(c\) nếu \(f(c) \geq f(x)\) với mọi \(x \in D\) đủ gần \(c\); đổi chiều bất đẳng thức, ta có cực tiểu địa phương (local minimum). Gọi chung, đó là các cực trị địa phương (local extremum). Chữ "địa phương" phân biệt chúng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Chương 33, vốn so \(f(c)\) với mọi giá trị trên cả \(D\). Đỉnh cao nhất của một dãy núi là giá trị lớn nhất; mỗi đỉnh đồi là một cực đại địa phương.

Một điểm \(c\) nằm bên trong \(D\), tại đó \(f'(c) = 0\) hoặc \(f\) không khả vi, gọi là điểm tới hạn (critical point). Mệnh đề "tại cực trị địa phương bên trong miền, nếu khả vi thì đạo hàm bằng 0" gọi là định lý Fermat (Fermat's theorem); đó là Định lý 2 ở mục Phát biểu chặt chẽ. Nhờ nó, việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm liên tục trên đoạn \([a; b]\) thành một quy trình ba bước:

1. tìm các điểm tới hạn nằm trong \((a; b)\);
2. tính \(f\) tại các điểm ấy và tại hai đầu mút \(a\), \(b\);
3. số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các giá trị vừa tính là đáp số.

Quy trình đúng nhờ hai định lý. Định lý giá trị lớn nhất (Định lý 4 của Chương 33) bảo đảm giá trị lớn nhất tồn tại; định lý Fermat bảo đảm nó chỉ có thể nằm ở một trong các ứng viên.

Đạo hàm còn trả lời một câu hỏi về cả một đoạn. Một chiếc xe đi 120 km trong \(1{,}5\) giờ có tốc độ trung bình 80 km/h. Có phải đúng lúc nào đó đồng hồ tốc độ chỉ đúng 80? Câu trả lời là có, và đó là định lý giá trị trung bình (mean value theorem): nếu \(f\) liên tục trên \([a; b]\) và khả vi trên \((a; b)\), có một \(c\) trong \((a; b)\) với

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}. \]

Về hình học, có một chỗ mà tiếp tuyến song song với cát tuyến nối hai đầu. Trường hợp riêng \(f(a) = f(b)\), khi đó \(f'(c) = 0\), gọi là định lý Rolle (Rolle's theorem).

Cuối cùng, một hàm \(f\) gọi là hàm lồi (convex function) trên một khoảng nếu mọi dây cung nối hai điểm của đồ thị không nằm dưới đồ thị: đồ thị cong lên như một cái chén. Với hàm có đạo hàm bậc hai, điều ấy xảy ra đúng khi \(f'' \geq 0\) trên khoảng ấy; ta nhận điều này không chứng minh. Với hàm lồi, mọi chỗ mặt đất phẳng đều là đáy thấp nhất (Mệnh đề 7).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (đồi thấp và đỉnh ở rìa). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f(x) = x^3 - 3x\) trên \([-2; 3]\). Theo Chương 34, \(f'(x) = 3x^2 - 3\), bằng 0 tại \(x = \pm 1\), cả hai nằm trong \((-2; 3)\). Các giá trị: \(f(-2) = -2\), \(f(-1) = 2\), \(f(1) = -2\), \(f(3) = 18\). Giá trị lớn nhất là 18, đạt tại đầu mút \(x = 3\), nơi \(f'(3) = 24\), còn xa mới bằng 0. Giá trị nhỏ nhất là \(-2\), đạt tại hai chỗ: đầu mút \(x = -2\) và điểm tới hạn \(x = 1\). Điểm \(x = -1\) là một cực đại địa phương, đỉnh của một ngọn đồi, nhưng đỉnh ấy thấp hơn nhiều so với giá trị ở rìa.

\(y = x^3 - 3x\) trên \([-2; 3]\). Tiếp tuyến nằm ngang (đường đứt) tại cực đại địa phương \(x = -1\) và cực tiểu địa phương \(x = 1\). Giá trị lớn nhất nằm ở đầu mút \(x = 3\), nơi tiếp tuyến không nằm ngang; giá trị nhỏ nhất \(-2\) đạt tại \(x = -2\) và \(x = 1\) (đường chấm).

Ví dụ 2 (hộp không nắp). Từ một tấm bìa vuông cạnh 30 cm, cắt bốn hình vuông cạnh \(x\) ở bốn góc rồi gấp lên thành một cái hộp không nắp. Đáy hộp là hình vuông cạnh \(30 - 2x\), chiều cao là \(x\), nên thể tích là

\[ V(x) = x(30 - 2x)^2, \qquad 0 \leq x \leq 15. \]

Theo quy tắc tích và quy tắc hợp (Chương 35), \(V'(x) = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) = (30 - 2x)(30 - 6x)\), bằng 0 tại \(x = 5\) và \(x = 15\). So các ứng viên: \(V(0) = 0\), \(V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000\), \(V(15) = 0\). Cắt góc 5 cm cho hộp lớn nhất, \(2000 \ \text{cm}^3\). Cắt ít quá thì hộp nông, cắt nhiều quá thì đáy nhỏ; đạo hàm tìm ra chỗ cân bằng giữa hai điều ấy.

Bên trái: tấm bìa \(30 \times 30\) cắt bốn góc (gạch chéo), gấp theo đường đứt. Bên phải: thể tích \(V(x) = x(30 - 2x)^2\), lớn nhất tại \(x = 5\) với \(V = 2000\), nơi tiếp tuyến nằm ngang.

Ví dụ 3 (chi phí trung bình nhỏ nhất). Với chi phí giả định \(C(q) = 1000 + 20q + 0{,}1q^2\) nghìn đồng của Chương 34, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là

\[ A(q) = \frac{C(q)}{q} = \frac{1000}{q} + 20 + 0{,}1q, \qquad A'(q) = -\frac{1000}{q^2} + 0{,}1. \]

\(A'(q) = 0\) khi \(q^2 = 10.000\), tức \(q = 100\), và \(A(100) = 40\) nghìn đồng. Vì \(A''(q) = \frac{2000}{q^3} > 0\) với mọi \(q > 0\), hàm \(A\) lồi, và theo Mệnh đề 7, 40 là mức thấp nhất. Bài A4 của Chương 34 đã thấy điều này bằng một hằng đẳng thức khéo léo; đạo hàm làm việc ấy không cần mẹo. Nó còn cho một quy luật chung. Theo quy tắc thương, \(\left(\frac{C}{q}\right)' = \frac{C'(q)\,q - C(q)}{q^2}\), bằng 0 đúng khi \(C'(q) = \frac{C(q)}{q}\): chi phí trung bình thấp nhất ở chỗ chi phí biên bằng chi phí trung bình. Ở \(q = 100\), cả hai đều là 40.

Ví dụ 4 (lợi nhuận lớn nhất). Quán nước giả định của bài B8 ở Chương 28 bán được \(q = 120 - 3p\) ly mỗi ngày khi giá là \(p\) nghìn đồng, và mỗi ly tốn 10 nghìn đồng. Viết theo số ly: \(p = 40 - \frac q3\), doanh thu \(R(q) = pq = 40q - \frac{q^2}{3}\), chi phí \(10q\), lợi nhuận \(R(q) - 10q\). Đạo hàm \(R'(q) = 40 - \frac{2q}{3}\) là doanh thu biên (marginal revenue): doanh thu thêm được từ ly tiếp theo. Lợi nhuận có đạo hàm \(R'(q) - 10\), bằng 0 khi doanh thu biên bằng chi phí biên: \(40 - \frac{2q}{3} = 10\), tức \(q = 45\) ly, giá \(p = 25\) nghìn đồng, lợi nhuận \(45 \cdot 15 = 675\) nghìn đồng, đúng như Chương 28. Lý do dễ nói thành lời: khi ly tiếp theo đem về nhiều hơn chi phí của nó, bán thêm vẫn còn lời; khi ít hơn, bán thêm là lỗ; lợi nhuận lớn nhất ở chỗ hai số bằng nhau.

Ví dụ 5 (ánh sáng phản xạ). Ánh sáng đi từ điểm \(A(0; 3)\) tới gương phẳng nằm trên trục hoành, phản xạ tại \(P(x; 0)\), rồi tới \(B(8; 5)\). Đường nào ngắn nhất? Tổng độ dài hai đoạn là

\[ L(x) = \sqrt{x^2 + 9} + \sqrt{(8 - x)^2 + 25}, \qquad L'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{8 - x}{\sqrt{(8 - x)^2 + 25}}. \]

Gọi \(\alpha\) là góc giữa \(PA\) và gương, \(\beta\) là góc giữa \(PB\) và gương. Hai phân số trong \(L'(x)\) chính là \(\cos\alpha\) và \(\cos\beta\), nên \(L'(x) = 0\) đúng khi \(\alpha = \beta\): góc tới bằng góc phản xạ. Định luật quang học quen thuộc hóa ra là điều kiện Fermat của một bài toán đường ngắn nhất. Với số liệu này, \(\alpha = \beta\) khi \(\frac{x}{3} = \frac{8 - x}{5}\), tức \(x = 3\), và \(L(3) = \sqrt{18} + \sqrt{50} = 8\sqrt2 \approx 11{,}31\). Mỗi số hạng của \(L\) có đạo hàm bậc hai dương, nên \(L\) lồi và đây là đường ngắn nhất. Hình học xác nhận điều ấy: lật \(B\) qua gương thành \(B'(8; -5)\), đường gấp khúc \(APB\) dài bằng \(APB'\), và đường ngắn nhất từ \(A\) tới \(B'\) là đoạn thẳng, dài \(\sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt2\).

Đường \(A \to P \to B\) với \(\alpha = \beta\) ngắn nhất. Lật \(B\) qua gương thành \(B'\): \(APB'\) là một đoạn thẳng. Một điểm \(Q\) khác trên gương cho đường gấp khúc dài hơn.

Ví dụ 6 (tốc độ trung bình được đạt). Chiếc xe đi 120 km trong \(1{,}5\) giờ, xuất phát và dừng lại một cách êm, với quãng đường giả định \(s(t) = 120\left(3u^2 - 2u^3\right)\) km, \(u = \frac{t}{1{,}5}\). Tốc độ trung bình là 80 km/h, và định lý giá trị trung bình nói có lúc đồng hồ chỉ đúng 80. Ở đây có hai lúc như thế, khoảng phút thứ 19 và phút thứ 71: định lý nói có ít nhất một, không nói có bao nhiêu hay ở đâu.

Quãng đường giả định của chiếc xe và cát tuyến nối hai đầu, có hệ số góc 80. Tại hai thời điểm, tiếp tuyến song song với cát tuyến: tốc độ tức thời đúng bằng tốc độ trung bình.

Ranh giới

Cực trị ở đầu mút không cần đạo hàm bằng 0. Ở Ví dụ 1, giá trị lớn nhất đạt tại \(x = 3\) với \(f'(3) = 24\). Định lý Fermat chỉ nói về những điểm nằm bên trong; ở đầu mút, hàm chỉ bị so với một phía.

Cực trị ở chỗ không khả vi. \(\lvert x \rvert\) nhỏ nhất tại 0, nơi không có đạo hàm (Chương 34). Vì thế định nghĩa điểm tới hạn gồm cả những điểm không khả vi; bỏ chúng đi, quy trình ba bước sẽ bỏ sót đáp số.

\(f'(c) = 0\) chưa đủ. \(x^3\) có đạo hàm 0 tại gốc, nhưng hàm tăng ở cả hai phía: gốc không phải đỉnh cũng không phải đáy, chỉ là một bậc nghỉ. Phép thử bằng đạo hàm bậc hai (Mệnh đề 6) cũng im lặng khi \(f''(c) = 0\): \(x^4\), \(-x^4\) và \(x^3\) đều có \(f'(0) = f''(0) = 0\), nhưng cái thứ nhất có cực tiểu, cái thứ hai có cực đại, cái thứ ba không có gì.

Cực tiểu địa phương chưa phải nhỏ nhất. Trên \([-3; 3]\), hàm \(x^3 - 3x\) vẫn có cực tiểu địa phương \(-2\) tại \(x = 1\), nhưng \(f(-3) = -18\) nhỏ hơn nhiều. Một thuật toán chỉ biết "đi xuống cho tới khi mặt đất phẳng" có thể dừng ở đáy một thung lũng nhỏ; với hàm lồi thì không (Mệnh đề 7).

Trên khoảng mở, có thể không có đáp số. Trên \((0; 1)\), hàm \(x\) không có giá trị lớn nhất: các giá trị dồn về 1 mà không bao giờ bằng 1, và \(f' = 1\) không bằng 0 ở đâu. Điều kiện "đoạn" trong quy trình ba bước là điều kiện thật, như Chương 33 đã cảnh báo.

Định lý giá trị trung bình cần khả vi. \(\lvert x \rvert\) trên \([-1; 1]\) có tốc độ trung bình \(\frac{1 - 1}{2} = 0\), nhưng đạo hàm của nó chỉ nhận các giá trị \(-1\) và \(1\), không bao giờ bằng 0. Một điểm góc là đủ làm hỏng định lý.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1. Cho \(f\) xác định trên tập \(D\) và \(c \in D\). Hàm \(f\) đạt cực đại địa phương tại \(c\) nếu có \(\delta > 0\) sao cho \(f(x) \leq f(c)\) với mọi \(x \in D\) mà \(\lvert x - c \rvert < \delta\); đạt cực tiểu địa phương nếu \(f(x) \geq f(c)\) với mọi \(x\) như thế. Nếu có một khoảng mở chứa \(c\) nằm trong \(D\), và \(f'(c) = 0\) hoặc \(f\) không khả vi tại \(c\), thì \(c\) là một điểm tới hạn.

Định lý 2 (Fermat). Nếu \(f\) đạt cực trị địa phương tại \(c\), có một khoảng mở chứa \(c\) nằm trong miền của \(f\), và \(f\) khả vi tại \(c\), thì \(f'(c) = 0\).

Chứng minh. Giả sử \(f'(c) > 0\). Thương \(\frac{f(x) - f(c)}{x - c}\) có giới hạn dương khi \(x \to c\), nên theo bài C3 của Chương 32, nó dương với mọi \(x \neq c\) đủ gần \(c\). Với \(x > c\) gần \(c\), tử số cùng dấu với \(x - c > 0\), nên \(f(x) > f(c)\): \(c\) không phải cực đại địa phương. Với \(x < c\) gần \(c\), \(f(x) < f(c)\): \(c\) cũng không phải cực tiểu địa phương. Trường hợp \(f'(c) < 0\) làm tương tự, đổi vai hai phía. Vậy \(f'(c) = 0\). \(\square\)

Đây là lập luận mà bài C3 của Chương 32 đã báo trước: dấu của một giới hạn cho biết dấu của các giá trị ở gần. Nó cũng là lý do quy trình ba bước đúng: giá trị lớn nhất trên \([a; b]\) tồn tại, và nếu nó đạt tại một \(c\) bên trong thì \(c\) là cực đại địa phương bên trong, nên hoặc \(f\) không khả vi tại \(c\), hoặc \(f'(c) = 0\).

Định lý 3 (Rolle). Nếu \(f\) liên tục trên \([a; b]\), khả vi trên \((a; b)\) và \(f(a) = f(b)\), thì có \(c \in (a; b)\) với \(f'(c) = 0\).

Chứng minh. Theo định lý giá trị lớn nhất, \(f\) đạt giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m\) trên \([a; b]\). Nếu một trong hai số ấy đạt tại một điểm \(c \in (a; b)\), thì \(c\) là cực trị địa phương bên trong và \(f'(c) = 0\) theo Định lý 2. Nếu không, cả \(M\) lẫn \(m\) chỉ đạt ở hai đầu mút, nơi \(f\) nhận cùng một giá trị \(f(a) = f(b)\); khi đó \(M = m\), \(f\) là hằng trên \([a; b]\), và \(f'(c) = 0\) với mọi \(c \in (a; b)\). \(\square\)

Định lý 4 (giá trị trung bình). Nếu \(f\) liên tục trên \([a; b]\) và khả vi trên \((a; b)\), thì có \(c \in (a; b)\) với \(f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\).

Chứng minh. Đặt \(m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) và \(g(x) = f(x) - f(a) - m(x - a)\), khoảng cách theo chiều đứng từ cát tuyến tới đồ thị. Hàm \(g\) liên tục trên \([a; b]\), khả vi trên \((a; b)\), và \(g(a) = g(b) = 0\). Định lý 3 cho \(c \in (a; b)\) với \(g'(c) = f'(c) - m = 0\). \(\square\)

Hệ quả 5. Cho \(f\) khả vi trên một khoảng \(I\).

1. Nếu \(f' > 0\) trên \(I\) thì \(f\) tăng trên \(I\); nếu \(f' < 0\) trên \(I\) thì \(f\) giảm trên \(I\).
2. Nếu \(f' \geq 0\) trên \(I\) thì \(f(x) \leq f(y)\) với mọi \(x < y\) trong \(I\).
3. Nếu \(f' = 0\) trên \(I\) thì \(f\) là hằng trên \(I\).
4. Nếu \(g\) cũng khả vi trên \(I\) và \(f' = g'\) trên \(I\), thì \(f - g\) là hằng trên \(I\).

Chứng minh. Với \(x < y\) trong \(I\), \(f\) khả vi nên liên tục trên \([x; y]\), và Định lý 4 cho \(c \in (x; y)\) với \(f(y) - f(x) = f'(c)(y - x)\). Vì \(y - x > 0\), dấu của \(f(y) - f(x)\) là dấu của \(f'(c)\); điều đó cho (1), (2) và (3). Áp dụng (3) cho \(f - g\) được (4). \(\square\)

Hệ quả 5 là điều Chương 34 đã hẹn ở Ví dụ 6: dấu của \(f'\) quyết định \(f\) đi lên hay đi xuống trên cả một khoảng. Phần (4) còn nói rằng hằng số là thông tin duy nhất mà phép lấy đạo hàm làm mất (bài A5 của Chương 34).

Mệnh đề 6 (phép thử bằng đạo hàm bậc hai). Cho \(f'(c) = 0\). Nếu \(f''(c) > 0\) thì \(f\) đạt cực tiểu địa phương tại \(c\); nếu \(f''(c) < 0\) thì \(f\) đạt cực đại địa phương tại \(c\).

Chứng minh. Xét \(f''(c) > 0\). Vì \(f'(c) = 0\), ta có \(f''(c) = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{x - c} > 0\), nên theo bài C3 của Chương 32, có \(\delta > 0\) sao cho \(f'(x)\) cùng dấu với \(x - c\) khi \(0 < \lvert x - c \rvert < \delta\). Với \(x\) như thế, Định lý 4 trên đoạn nối \(x\) và \(c\) cho \(f(x) - f(c) = f'(\xi)(x - c)\) với \(\xi\) nằm giữa \(x\) và \(c\); \(f'(\xi)\) cùng dấu với \(\xi - c\), tức cùng dấu với \(x - c\), nên \(f(x) - f(c) > 0\). Trường hợp \(f''(c) < 0\) làm tương tự. \(\square\)

Mệnh đề 7 (hàm lồi). Nếu \(f'' \geq 0\) trên một khoảng \(I\), \(c \in I\) và \(f'(c) = 0\), thì \(f(c)\) là giá trị nhỏ nhất của \(f\) trên \(I\).

Chứng minh. Theo Hệ quả 5(2) áp dụng cho \(f'\), hàm \(f'\) không giảm trên \(I\), nên \(f'(\xi) \leq 0\) khi \(\xi < c\) và \(f'(\xi) \geq 0\) khi \(\xi > c\). Với \(x \in I\), \(x \neq c\), Định lý 4 cho \(f(x) - f(c) = f'(\xi)(x - c)\) với \(\xi\) nằm giữa \(x\) và \(c\), và hai thừa số cùng dấu hoặc có một thừa số bằng 0; vậy \(f(x) \geq f(c)\). \(\square\)

Đó là lý do hàm lồi được quý trong tối ưu: với chúng, "đi xuống cho tới khi mặt đất phẳng" luôn dừng ở đáy thấp nhất. Chương 56 sẽ đi xuống từng bước theo hướng dốc nhất trên những địa hình nhiều chiều, và Chương 59 sẽ cho thấy việc "học" của một mô hình AI chính là tìm đáy của một hàm như thế.

Sợi chỉ

• S4. Cục bộ và toàn cục. Định lý Fermat chỉ dùng thông tin cục bộ, nên không phân biệt được đỉnh đồi với đỉnh núi; muốn tìm giá trị lớn nhất phải so mọi ứng viên, kể cả hai đầu mút, và cần định lý giá trị lớn nhất của Chương 33 để biết đáp số tồn tại. Định lý giá trị trung bình là một cây cầu: một đại lượng toàn cục, tốc độ trung bình trên cả đoạn, bằng một đại lượng cục bộ, \(f'(c)\), tại một điểm nào đó. Nhờ cây cầu ấy, dấu của \(f'\) tại từng điểm cho biết \(f\) đi lên hay đi xuống trên cả khoảng, điều Chương 34 mới chỉ quan sát trên hình. Tính lồi là một điều kiện khiến thông tin cục bộ đủ cho kết luận toàn cục.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Tại một cực trị bên trong, \(f(c + h) = f(c) + 0 \cdot h + r(h)\): dịch chuyển nhỏ không làm đổi giá trị ở bậc nhất. Đỉnh núi là chỗ mà ở bậc nhất, mặt đất bất biến theo mọi bước chân.
• S7. Xấp xỉ và sai số. Vì phần bậc nhất triệt tiêu, gần điểm tối ưu một sai lệch nhỏ ở lựa chọn chỉ gây sai lệch rất nhỏ ở kết quả. Cắt góc hộp \(5{,}1\) cm thay vì 5 cm, lệch 2%, thể tích chỉ giảm từ 2000 xuống khoảng \(1999{,}4 \ \text{cm}^3\), tức khoảng \(0{,}03\%\) (bài A3).

Tóm tắt

• Tại một cực trị địa phương nằm bên trong miền, nếu hàm khả vi thì đạo hàm bằng 0 (định lý Fermat): trên đỉnh, mặt đất phẳng.
• \(f' = 0\) chỉ là bộ lọc: ứng viên có thể là đỉnh, đáy, hay bậc nghỉ (\(x^3\) tại 0); cực trị còn có thể nằm ở đầu mút hay ở chỗ không khả vi.
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn: so giá trị tại các điểm tới hạn và hai đầu mút; định lý giá trị lớn nhất bảo đảm đáp số tồn tại.
• Chi phí trung bình thấp nhất khi chi phí biên bằng chi phí trung bình; lợi nhuận lớn nhất khi doanh thu biên bằng chi phí biên; ánh sáng phản xạ theo đường ngắn nhất, nên góc tới bằng góc phản xạ.
• Định lý giá trị trung bình: tốc độ trung bình trên một đoạn được đạt tại ít nhất một thời điểm.
• Hệ quả: \(f' > 0\) trên một khoảng thì \(f\) tăng; \(f' = 0\) thì \(f\) là hằng; hai hàm cùng đạo hàm thì sai khác một hằng số.
• Với hàm lồi (\(f'' \geq 0\)), mọi điểm có \(f' = 0\) đều cho giá trị nhỏ nhất.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Một bạn nói: "Muốn tìm giá trị lớn nhất của một hàm, chỉ cần giải \(f'(x) = 0\)." Chỉ ra ít nhất ba cách lập luận này có thể dẫn tới sai.

Lời giải

Thứ nhất, giá trị lớn nhất có thể ở đầu mút, nơi \(f' \neq 0\), như \(x^3 - 3x\) trên \([-2; 3]\) đạt 18 tại \(x = 3\). Thứ hai, nó có thể ở chỗ không khả vi, như \(-\lvert x \rvert\) lớn nhất tại 0. Thứ ba, một nghiệm của \(f'(x) = 0\) có thể là cực tiểu, hoặc chẳng là gì (\(x^3\) tại 0), hoặc chỉ là một cực đại địa phương thấp hơn nơi khác. Thứ tư, trên một khoảng mở, giá trị lớn nhất có thể không tồn tại, và khi ấy mọi "đáp số" đều sai. Giải \(f'(x) = 0\) chỉ tìm ứng viên; còn phải so sánh và kiểm tra rằng đáp số tồn tại.

A2. Một người đi hết đoạn cao tốc dài 100 km trong 50 phút, trên đoạn đường giới hạn 100 km/h (số liệu giả định). Không camera nào ghi được tốc độ tức thời của người ấy. Có chắc người ấy đã chạy quá tốc độ không?

Lời giải

Có. Tốc độ trung bình là \(\frac{100}{50/60} = 120\) km/h. Quãng đường đi được là một hàm khả vi của thời gian, nên theo định lý giá trị trung bình, có một lúc tốc độ tức thời đúng bằng 120 km/h, vượt giới hạn. Định lý không cho biết lúc ấy là lúc nào, nhưng cho biết chắc nó tồn tại. Một số nơi đo tốc độ trung bình giữa hai trạm kiểm soát chính là dựa vào lập luận này.

A3. Người thợ cắt góc hộp ở Ví dụ 2 lệch 1 mm: cạnh hình vuông cắt đi là \(5{,}1\) cm thay vì 5 cm. Thể tích giảm bao nhiêu? Vì sao sai lệch 2% ở lựa chọn chỉ gây sai lệch rất nhỏ ở kết quả?

Lời giải

\(V(5{,}1) = 5{,}1 \cdot 19{,}8^2 = 1999{,}404\), giảm khoảng \(0{,}6 \ \text{cm}^3\), tức khoảng \(0{,}03\%\). Lý do: \(V'(5) = 0\), nên \(V(5 + h) = V(5) + 0 \cdot h + (\text{phần nhỏ hơn } h \text{ rất nhiều})\), và phần còn lại cỡ \(h^2\). Lệch \(h = 0{,}1\) thì thiệt hại cỡ \(0{,}01\) nhân một hằng số, không phải cỡ \(0{,}1\). Gần điểm tối ưu, mặt đất phẳng, nên đứng lệch một chút cũng gần như ở độ cao đỉnh. Đó là lý do các thiết kế tối ưu thường chịu được sai số chế tạo nhỏ.

B. Tính toán

B1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) trên \([0; 5]\).

Lời giải

\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\), bằng 0 tại 1 và 3. Các giá trị: \(f(0) = 1\), \(f(1) = 5\), \(f(3) = 1\), \(f(5) = 21\). Giá trị lớn nhất là 21 tại đầu mút \(x = 5\); giá trị nhỏ nhất là 1, đạt tại \(x = 0\) và \(x = 3\).

B2. Có 200 m lưới để rào ba cạnh một mảnh đất hình chữ nhật sát bờ sông; cạnh dọc bờ sông không cần rào. Kích thước nào cho diện tích lớn nhất?

Lời giải

Gọi \(x\) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với bờ sông; cạnh song song dài \(200 - 2x\), với \(0 \leq x \leq 100\). Diện tích \(S(x) = x(200 - 2x)\) có \(S'(x) = 200 - 4x\), bằng 0 tại \(x = 50\). So các ứng viên: \(S(0) = S(100) = 0\), \(S(50) = 50 \cdot 100 = 5000 \ \text{m}^2\). Mảnh đất tốt nhất có cạnh dọc sông dài gấp đôi cạnh kia, đúng tỉ lệ của mảnh đất \(10 \times 20\) m mà bài B6 của Chương 28 tìm được bằng cách hoàn thành bình phương, với 40 m lưới và một bức tường.

B3. Tìm điểm trên parabol \(y = x^2\) gần điểm \((0; 2)\) nhất. Vì sao có thể thay khoảng cách bằng bình phương khoảng cách?

Lời giải

Bình phương khoảng cách từ \((x; x^2)\) tới \((0; 2)\) là \(D(x) = x^2 + (x^2 - 2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4\). Vì căn bậc hai là hàm tăng, \(\sqrt{D}\) nhỏ nhất đúng khi \(D\) nhỏ nhất, và \(D\) dễ lấy đạo hàm hơn. \(D'(x) = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2 - 3)\), bằng 0 tại \(x = 0\) và \(x = \pm\sqrt{1{,}5} \approx \pm 1{,}225\). \(D(0) = 4\), còn \(D\left(\pm\sqrt{1{,}5}\right) = 2{,}25 - 4{,}5 + 4 = 1{,}75\). Khi \(\lvert x \rvert\) lớn, \(D\) lớn không giới hạn, nên hai điểm gần nhất là \(\left(\pm\sqrt{1{,}5}; 1{,}5\right)\), cách \((0; 2)\) khoảng \(\sqrt{1{,}75} \approx 1{,}323\). Đỉnh parabol không phải điểm gần nhất: \(x = 0\) lại là một cực đại địa phương của \(D\), vì \(D''(0) = -6 < 0\).

B4. Một lon hình trụ có thể tích \(330 \ \text{cm}^3\) (giả định). Bán kính đáy bao nhiêu thì tốn ít vật liệu nhất, tức diện tích toàn phần \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\) nhỏ nhất?

Lời giải

Từ \(\pi r^2 h = 330\) ta có \(h = \frac{330}{\pi r^2}\), nên \(S(r) = 2\pi r^2 + \frac{660}{r}\) với \(r > 0\). \(S'(r) = 4\pi r - \frac{660}{r^2}\) bằng 0 khi \(r^3 = \frac{165}{\pi}\), tức \(r \approx 3{,}74\) cm. Vì \(S''(r) = 4\pi + \frac{1320}{r^3} > 0\), \(S\) lồi và đây là giá trị nhỏ nhất (Mệnh đề 7), khoảng \(264 \ \text{cm}^2\). Khi đó \(h = \frac{330}{\pi r^2} = 2r \approx 7{,}49\) cm: lon tiết kiệm vật liệu nhất có chiều cao bằng đường kính. Mô hình này bỏ qua nhiều thứ, như độ dày khác nhau của nắp và thân, nên lon thật có thể có hình dạng khác.

B5. Tìm cực trị của \(f(x) = xe^{-x}\) bằng phép thử đạo hàm bậc hai. Đó có phải giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) không?

Lời giải

\(f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}\), bằng 0 tại \(x = 1\). \(f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}\), nên \(f''(1) = -\frac1e < 0\): cực đại địa phương, giá trị \(f(1) = \frac1e \approx 0{,}368\). Vì \(f' > 0\) khi \(x < 1\) và \(f' < 0\) khi \(x > 1\), theo Hệ quả 5 \(f\) tăng rồi giảm, nên \(\frac1e\) là giá trị lớn nhất trên cả \(\mathbb{R}\).

B6. Tìm \(c\) trong định lý giá trị trung bình cho (a) \(f(x) = \sqrt x\) trên \([0; 4]\); (b) \(f(x) = x^2\) trên một đoạn \([a; b]\) bất kỳ.

Lời giải

(a) Tốc độ trung bình là \(\frac{2 - 0}{4} = \frac12\), và \(f'(c) = \frac{1}{2\sqrt c} = \frac12\) khi \(c = 1\). (b) Tốc độ trung bình là \(\frac{b^2 - a^2}{b - a} = a + b\), và \(2c = a + b\) khi \(c = \frac{a + b}{2}\): với parabol, điểm \(c\) luôn nằm chính giữa đoạn.

B7. Dùng Hệ quả 5 để tìm các khoảng tăng, giảm của \(f(x) = x^3 - 3x\), rồi giải thích quan sát ở Ví dụ 6 của Chương 34.

Lời giải

\(f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)\) dương khi \(x < -1\) hoặc \(x > 1\), âm khi \(-1 < x < 1\). Theo Hệ quả 5, \(f\) tăng trên \((-\infty; -1]\) và trên \([1; +\infty)\), giảm trên \([-1; 1]\). (Hệ quả áp dụng cho khoảng mở; tại hai đầu mút, tính liên tục cho phép gộp điểm \(\pm 1\) vào.) Quan sát "nơi \(f'\) dương, \(f\) đi lên" ở Chương 34 giờ đã được chứng minh.

B8. Với \(f(x) = x^4 - 4x^3\), tìm các điểm tới hạn. Phép thử bằng đạo hàm bậc hai nói gì tại mỗi điểm, và khi nó im lặng thì làm sao?

Lời giải

\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)\), bằng 0 tại 0 và 3. \(f''(x) = 12x^2 - 24x\). Tại 3: \(f''(3) = 36 > 0\), cực tiểu địa phương, \(f(3) = 81 - 108 = -27\). Tại 0: \(f''(0) = 0\), phép thử im lặng. Xét dấu \(f'\): gần 0, \(4x^2 > 0\) và \(x - 3 < 0\), nên \(f' < 0\) ở cả hai phía; \(f\) giảm xuyên qua 0, không có cực trị ở đó.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Một vật chuyển động thẳng với gia tốc không đổi \(a\): \(v'(t) = a\) và \(s'(t) = v(t)\) với mọi \(t\). Chứng minh \(v(t) = v_0 + at\) và \(s(t) = s_0 + v_0 t + \frac12 at^2\), trong đó \(v_0 = v(0)\) và \(s_0 = s(0)\). Hệ số \(\frac12\) từ đâu ra? Suy ra lập luận "vận tốc ở giữa" của Chương 28.

Lời giải

\((v(t) - at)' = a - a = 0\), nên theo Hệ quả 5, \(v(t) - at\) là hằng, bằng giá trị tại 0: \(v(t) = v_0 + at\). Tiếp theo, \(\left(s(t) - v_0 t - \frac12 at^2\right)' = v(t) - v_0 - at = 0\), nên \(s(t) = s_0 + v_0 t + \frac12 at^2\). \(\square\) Hệ số \(\frac12\) đến từ \((t^2)' = 2t\): muốn một hàm có đạo hàm \(at\), phải lấy \(\frac12 at^2\). Đó là lời giải thích mà Chương 2 đã hẹn ở Ví dụ 3. Quãng đường đi từ \(t_1\) tới \(t_2\) là \(v_0(t_2 - t_1) + \frac12 a\left(t_2^2 - t_1^2\right) = (t_2 - t_1) \cdot \frac{v(t_1) + v(t_2)}{2}\), tức thời gian nhân vận tốc ở chính giữa: lập luận ở đầu Chương 28 giờ đã được chứng minh. Với \(a = 10\) và \(v_0 = s_0 = 0\), \(s(t) = 5t^2\) ở mọi thời điểm, không chỉ ở các giây nguyên, như Chương 28 đã hẹn.

C2. Chương 24 (Ví dụ 7) lặp \(f(x) = 1 + \frac1x\) từ \(x_0 = 1\) và thấy các số \(x_n\) nhảy qua lại quanh tỉ số vàng \(p \approx 1{,}618\), với \(p = f(p)\). Chứng minh \(x_n \to p\), bằng cách chỉ ra rằng với \(n \geq 1\): \(x_n \in \left[\frac32; 2\right]\) và \(\lvert x_{n+1} - p \rvert \leq \frac49 \lvert x_n - p \rvert\).

Lời giải

\(x_1 = 2\). Nếu \(x \in \left[\frac32; 2\right]\) thì \(\frac1x \in \left[\frac12; \frac23\right]\), nên \(f(x) \in \left[\frac32; \frac53\right]\), vẫn nằm trong \(\left[\frac32; 2\right]\); quy nạp cho \(x_n \in \left[\frac32; 2\right]\) với mọi \(n \geq 1\). Điểm \(p\) cũng nằm trong đoạn ấy. Theo Định lý 4, \(x_{n+1} - p = f(x_n) - f(p) = f'(\xi)(x_n - p)\) với \(\xi\) nằm giữa \(x_n\) và \(p\), nên \(\xi \in \left[\frac32; 2\right]\) và \(\lvert f'(\xi) \rvert = \frac{1}{\xi^2} \leq \frac49\). Vậy \(\lvert x_n - p \rvert \leq \left(\frac49\right)^{n - 1} \lvert x_1 - p \rvert\), dồn về 0 vì \(r^n \to 0\) khi \(0 < r < 1\) (phần còn thiếu \(\frac{r^{n + 1}}{1 - r}\) trong Mệnh đề 2 của Chương 31 dần về 0). \(\square\) Vì \(f'(\xi) < 0\), \(x_{n+1} - p\) luôn trái dấu với \(x_n - p\): đó là lý do các số nhảy qua lại quanh \(p\). Bài học chung: phép lặp dồn về một điểm bất động khi đạo hàm gần điểm ấy có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

C3. Chứng minh \(e^x \geq 1 + x\) với mọi số thực \(x\), dấu bằng chỉ xảy ra tại \(x = 0\). Suy ra rằng với \(1 + \frac xn > 0\), \(\left(1 + \frac xn\right)^n \leq e^x\).

Lời giải

Đặt \(g(x) = e^x - 1 - x\). Khi đó \(g'(x) = e^x - 1\) âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\), vì \(e^x\) tăng và \(e^0 = 1\). Theo Hệ quả 5, \(g\) giảm trên \((-\infty; 0]\) và tăng trên \([0; +\infty)\), nên \(g(x) > g(0) = 0\) với mọi \(x \neq 0\). \(\square\) Bài C3 của Chương 35 chỉ biết điều này với \(x = \frac1n\); giờ nó đúng với mọi \(x\). Thay \(x\) bằng \(\frac xn\): \(1 + \frac xn \leq e^{\frac xn}\), và khi hai vế dương, nâng lên lũy thừa \(n\) được \(\left(1 + \frac xn\right)^n \leq e^x\). Đó là câu "ghép lãi dày đến đâu cũng có một trần, và trần ấy tính bằng \(e\)" của Chương 29, giờ có chứng minh.

Câu hỏi để ngỏ

Đạo hàm đi từ một đại lượng tới tốc độ thay đổi của nó. Còn chiều ngược lại: biết vận tốc ở mọi thời điểm, tìm tổng quãng đường đã đi như thế nào, nhất là khi vận tốc thay đổi liên tục?