Chương 11: Số vô tỉ và trục số thực

Câu hỏi mở đầu

Các phân số phủ trục số dày đặc: giữa hai phân số bất kỳ luôn có một phân số khác, và giữa chúng lại có phân số khác nữa, mãi mãi. Tưởng như không còn chỗ trống nào. Vậy mà vẫn có thể hỏi: có một độ dài nào mà không phân số nào đo đúng được không? Chẳng hạn, đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1 dài bao nhiêu?

Một độ dài ai cũng vẽ được

Lấy một tờ giấy hình vuông, cạnh dài 1 đơn vị (đơn vị nào cũng được, vì Chương 2 đã cho thấy đơn vị chỉ là quy ước). Gấp chéo tờ giấy, nếp gấp là đường chéo. Không cần định nghĩa gì: đường chéo ấy ở đó, và có thể căng một sợi chỉ theo nó rồi đặt lên thước.

Trên thước, nó dài khoảng 1,4; nhìn kỹ hơn, khoảng 1,41; với một cây thước thật tinh, khoảng 1,414. Có phân số nào đo đúng độ dài ấy không, hay mọi con số ta đọc được chỉ là gần đúng?

Trước khi đo, hãy tính. Đặt bốn tờ giấy vuông cạnh nhau thành một hình vuông lớn \(2 \times 2\), rồi trong mỗi ô vẽ một đường chéo sao cho bốn đường chéo nối thành một hình vuông nghiêng.

Hình vuông nghiêng có cạnh là đường chéo \(d\) của một ô vuông đơn vị. Nó gồm bốn nửa ô, nên có diện tích \(4 \cdot \frac12 = 2\).

Mỗi đường chéo cắt một ô vuông thành hai nửa bằng nhau, và hình vuông nghiêng gồm đúng bốn nửa ô như thế, nên diện tích của nó là 2. Mặt khác, cạnh của nó là đường chéo \(d\), nên diện tích ấy cũng là \(d \cdot d\). Vậy độ dài đường chéo là một số \(d\) thỏa mãn

\[ d \cdot d = 2 . \]

Câu hỏi về độ dài đã thành câu hỏi về số: có phân số nào nhân với chính nó được 2 không?

Thử tìm. \(\frac32 \cdot \frac32 = \frac94 = 2{,}25\): hơi lớn. \(\frac75 \cdot \frac75 = \frac{49}{25} = 1{,}96\): hơi nhỏ. \(\frac{17}{12} \cdot \frac{17}{12} = \frac{289}{144}\), lớn hơn 2 đúng \(\frac{1}{144}\). \(\frac{41}{29} \cdot \frac{41}{29} = \frac{1681}{841}\), nhỏ hơn 2 đúng \(\frac{1}{841}\). \(\frac{99}{70} \cdot \frac{99}{70} = \frac{9801}{4900}\), lớn hơn 2 đúng \(\frac{1}{4900}\).

Các phân số này tiến tới đích rất nhanh, nhưng có một điều lạ. Lần nào tử số nhân với chính nó cũng hơn kém đúng 1 so với hai lần mẫu số nhân với chính nó: \(9\) và \(8\), \(49\) và \(50\), \(289\) và \(288\), \(1681\) và \(1682\), \(9801\) và \(9800\). Như có một bức tường vô hình: lần nào cũng thừa hoặc thiếu một chút. Liệu có một phân số khéo hơn, trúng đích không?

Vì sao không phân số nào vừa

Câu trả lời là không, và lý do nằm ở một cấu trúc của Chương 8: mỗi số nguyên lớn hơn 1 được ghép từ các số nguyên tố, như phân tử ghép từ nguyên tử, và chỉ theo một cách duy nhất.

Hãy nhìn một số chính phương qua cách ghép ấy. \(144 = 12 \cdot 12 = (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 3)\): thừa số 2 xuất hiện bốn lần, thừa số 3 hai lần. Khi nhân một số với chính nó, mọi nguyên tử đều đi thành cặp. Vậy trong một số chính phương, mỗi số nguyên tố xuất hiện một số chẵn lần (0 lần cũng tính là chẵn).

Giờ giả sử có một phân số \(\frac{p}{q}\) nhân với chính nó được 2. Nhân cả hai vế với \(q \cdot q\), ta được \(p \cdot p = 2 \cdot q \cdot q\). Đếm số lần thừa số 2 xuất hiện ở hai vế:

• vế trái \(p \cdot p\) là một số chính phương, nên thừa số 2 xuất hiện một số chẵn lần;
• vế phải \(2 \cdot q \cdot q\) là một số chính phương nhân thêm một thừa số 2, nên thừa số 2 xuất hiện một số lẻ lần.

Cùng một số không thể vừa có một số chẵn vừa có một số lẻ thừa số 2, vì cách phân tích là duy nhất. Vậy không phân số nào nhân với chính nó được 2. Bức tường vô hình ở trên chính là tính chẵn lẻ này. Không cần biết \(p\) và \(q\) lớn bao nhiêu, chỉ cần đếm chẵn lẻ, như đếm ô sẫm và ô sáng trên bàn cờ bị cắt góc ở Chương 1.

Như vậy, đường chéo của hình vuông cạnh 1 là một độ dài có thật mà không phân số nào đo đúng. Các phân số dày đặc trên trục số (Chương 10) nhưng vẫn để hở một chỗ ở đúng vị trí ấy, và một cái compa đủ để chỉ ra chỗ hở.

Quay đường chéo \(d\) của ô vuông đơn vị quanh điểm 0, đầu kia rơi xuống trục số tại điểm cách 0 đúng một đoạn \(d\). Không phân số nào nằm ở điểm ấy.

Đây là một câu trả lời bất ngờ cho câu hỏi dẫn đường của cuốn sách: nếu chưa ai đặt tên cho nó, tại sao cấu trúc này vẫn phải xuất hiện? Không ai phát minh ra đường chéo; ai gấp tờ giấy cũng tạo ra nó. Không ai quyết định rằng nó không phải phân số; cách các số nguyên tố ghép thành số đã ép điều đó. Người ta đã biết điều này từ thời Hy Lạp cổ đại. Thứ phải nhượng bộ là hệ thống số: nó phải được mở rộng.

Ký hiệu

Với một số \(a\) không âm, căn bậc hai (square root) của \(a\), viết \(\sqrt{a}\), là số không âm có bình phương bằng \(a\). Chẳng hạn \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac23\), và đường chéo của hình vuông cạnh 1 dài \(\sqrt{2}\). Phương trình \(x^2 = 9\) có hai nghiệm là 3 và \(-3\), vì bình phương làm mất thông tin về dấu (Chương 7); ký hiệu \(\sqrt{9}\) quy ước chọn nghiệm không âm.

Một số ứng với một điểm trên trục số nhưng không phải số hữu tỉ gọi là số vô tỉ (irrational number); \(\sqrt2\) là số vô tỉ đầu tiên của ta. Số hữu tỉ và số vô tỉ gộp lại gọi là các số thực (real numbers), và nhóm các số thực ký hiệu là \(\mathbb{R}\). Mỗi điểm trên trục số ứng với đúng một số thực và ngược lại, nên trục số còn được gọi là trục số thực (real number line).

Chia tử số cho mẫu số, mỗi phân số cho một số thập phân. Có ba kiểu số thập phân:

• số thập phân hữu hạn (terminating decimal), dừng sau hữu hạn chữ số, như \(\frac14 = 0{,}25\);
• số thập phân vô hạn tuần hoàn (repeating decimal), có một khối chữ số lặp lại mãi mãi, gọi là chu kỳ (period). Ví dụ \(\frac13 = 0{,}333\ldots\), viết gọn là \(0{,}(3)\), và \(\frac16 = 0{,}1666\ldots = 0{,}1(6)\);
• số thập phân vô hạn không tuần hoàn (non-repeating decimal), không có khối nào lặp lại mãi, như \(0{,}101001000100001\ldots\) (sau mỗi chữ số 1, số chữ số 0 tăng thêm một).

Viết chu kỳ trong ngoặc là quy ước của sách giáo khoa Việt Nam; nhiều nơi khác kẻ gạch ngang trên chu kỳ. Dấu \(\approx\) đọc là "xấp xỉ": \(\sqrt2 \approx 1{,}414\).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (từ phân số sang số thập phân). Viết \(\frac{3}{11}\) và \(\frac17\) thành số thập phân.

Chia 3 cho 11 như cách đặt tính ở trường, ghi lại số dư ở mỗi bước. Phần nguyên (integer part) là 0, dư 3. Sau đó:

• \(30 = 11 \cdot 2 + 8\): chữ số 2, dư 8;
• \(80 = 11 \cdot 7 + 3\): chữ số 7, dư 3.

Số dư 3 chính là số dư lúc bắt đầu, nên từ đây mọi thứ lặp lại: \(\frac{3}{11} = 0{,}2727\ldots = 0{,}(27)\).

Với \(\frac17\): phần nguyên là 0, dư 1, rồi \(10 = 7 \cdot 1 + 3\), \(30 = 7 \cdot 4 + 2\), \(20 = 7 \cdot 2 + 6\), \(60 = 7 \cdot 8 + 4\), \(40 = 7 \cdot 5 + 5\), \(50 = 7 \cdot 7 + 1\). Số dư quay về 1, nên \(\frac17 = 0{,}(142857)\).

Vì sao phép chia buộc phải lặp? Số dư luôn nhỏ hơn số chia (Chương 6). Gặp số dư 0 thì phép chia dừng: số thập phân hữu hạn. Nếu không, khi chia cho 7 chỉ có sáu số dư từ 1 đến 6, nên sau nhiều nhất sáu bước, một số dư phải gặp lại. Mà phép chia giống một cỗ máy không nhớ gì ngoài số dư hiện tại: gặp lại số dư cũ, nó lặp lại đúng những gì đã làm.

Phép chia 1 cho 7 như một vòng quay: mỗi số dư quyết định chữ số tiếp theo và số dư tiếp theo. Sáu số dư khác 0 nối thành một vòng, nên sáu chữ số 1, 4, 2, 8, 5, 7 lặp lại mãi.

Ví dụ 2 (từ số thập phân tuần hoàn sang phân số). Viết \(0{,}(27)\) và \(0{,}1(6)\) thành phân số.

Đặt \(x = 0{,}272727\ldots\) Chu kỳ có hai chữ số, nên nhân với 100 để dịch đúng một chu kỳ: \(100x = 27{,}2727\ldots\) Hai số \(100x\) và \(x\) có phần sau dấu phẩy giống hệt nhau, nên hiệu của chúng là một số nguyên:

\[ 100x - x = 27, \qquad 99x = 27, \qquad x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}. \]

Khớp với Ví dụ 1.

Với \(y = 0{,}1666\ldots\), phần lặp bắt đầu sau một chữ số, nên ta dịch hai lần: \(10y = 1{,}666\ldots\) và \(100y = 16{,}666\ldots\) Trừ hai số này: \(100y - 10y = 15\), tức \(90y = 15\) và \(y = \frac{15}{90} = \frac16\).

Ví dụ 3 (\(0{,}999\ldots\) bằng 1). Làm như Ví dụ 2 với \(z = 0{,}999\ldots\): \(10z = 9{,}999\ldots\), nên \(10z - z = 9\), tức \(9z = 9\) và \(z = 1\).

Nhiều người thấy kết quả này khó chịu: "\(0{,}999\ldots\) phải nhỏ hơn 1 một chút chứ". Hãy thử chỉ ra cái "chút" ấy. Nếu \(0{,}999\ldots < 1\) thì hiệu \(1 - 0{,}999\ldots\) là một số dương. Hiệu ấy nhỏ hơn \(0{,}1\) (vì \(0{,}999\ldots > 0{,}9\)), nhỏ hơn \(0{,}01\) (vì \(0{,}999\ldots > 0{,}99\)), và cứ thế, nhỏ hơn \(0{,}00\ldots01\) với bao nhiêu chữ số 0 cũng được. Không có số dương nào nhỏ đến thế. Một cách nhìn khác: \(\frac13 = 0{,}333\ldots\), nhân cả hai vế với 3 được \(1 = 0{,}999\ldots\)

Vậy \(0{,}999\ldots\) và 1 là hai cách viết của cùng một số, giống như \(\frac12\) và \(\frac24\) ở Chương 10. Cách ghi thập phân không phải lúc nào cũng duy nhất: mọi số thập phân hữu hạn khác 0 đều có một cách viết thứ hai tận cùng bằng các chữ số 9 lặp mãi, như \(0{,}5 = 0{,}4999\ldots\)

Ví dụ 4 (kẹp \(\sqrt2\) bằng cách chia đôi). Tìm hai chữ số thập phân đầu của \(\sqrt2\) mà không dùng nút khai căn của máy tính.

Ta chỉ cần một điều: với các số dương, số lớn hơn có bình phương lớn hơn. Vì \(1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2\), nên \(\sqrt2\) nằm giữa 1 và 2. Thử điểm giữa \(1{,}5\): \(1{,}5^2 = 2{,}25 > 2\), nên \(\sqrt2\) nằm ở nửa trái, trong khoảng \([1; 1{,}5]\). Mỗi bước, ta thử điểm giữa của khoảng đang có và giữ lại nửa chứa \(\sqrt2\):

Bước	Điểm giữa \(m\)	\(m^2\)	Khoảng giữ lại
1	\(1{,}5\)	\(2{,}25\)	\([1; 1{,}5]\)
2	\(1{,}25\)	\(1{,}5625\)	\([1{,}25; 1{,}5]\)
3	\(1{,}375\)	\(1{,}890625\)	\([1{,}375; 1{,}5]\)
4	\(1{,}4375\)	\(2{,}06640625\)	\([1{,}375; 1{,}4375]\)
5	\(1{,}40625\)	\(1{,}9775390625\)	\([1{,}40625; 1{,}4375]\)
6	\(1{,}421875\)	\(2{,}021728515625\)	\([1{,}40625; 1{,}421875]\)
7	\(1{,}4140625\)	\(1{,}99957275390625\)	\([1{,}4140625; 1{,}421875]\)
8	\(1{,}41796875\)	\(2{,}0106353759765625\)	\([1{,}4140625; 1{,}41796875]\)

Mỗi bước, độ dài khoảng giảm một nửa, nên sau tám bước khoảng chỉ còn dài \(\frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}\). Sau bước 7 thì chưa đủ: đầu phải \(1{,}421875\) còn vượt \(1{,}42\). Sau bước 8, cả hai đầu khoảng đều bắt đầu bằng \(1{,}41\), nên \(\sqrt2 = 1{,}41\ldots\) Kiểm lại trực tiếp: \(1{,}41^2 = 1{,}9881 < 2 < 2{,}0164 = 1{,}42^2\).

Các khoảng này tạo thành một dãy khoảng lồng nhau (nested intervals): như những con búp bê gỗ, chúng kẹp \(\sqrt2\) ngày càng chặt. Mỗi chữ số thập phân cũng là một bước lồng khoảng như thế, chỉ khác là khoảng được chia thành mười phần thay vì hai: biết \(\sqrt2 = 1{,}41\ldots\) chính là biết \(\sqrt2\) nằm trong khoảng \([1{,}41; 1{,}42]\).

Các khoảng lồng nhau quanh \(\sqrt2\): mỗi bước giữ lại một nửa của khoảng trước. Hình dưới phóng to khoảng của bước 4 để thấy các bước sau.

Ví dụ 5 (đường chéo của hình chữ nhật). Hình chữ nhật \(3 \times 4\) có đường chéo dài bao nhiêu? Còn hình chữ nhật \(1 \times 2\)?

Ta dùng lại mẹo hình vuông nghiêng. Đường chéo cắt hình chữ nhật \(3 \times 4\) thành hai tam giác vuông, mỗi tam giác có diện tích \(\frac{3 \cdot 4}{2} = 6\). Xếp bốn tam giác như thế vào bốn góc của một hình vuông cạnh \(3 + 4 = 7\) (hình bên phải dưới đây). Phần còn lại ở giữa là một hình vuông nghiêng có cạnh là đường chéo cần tìm; bốn góc của nó vuông, vì hai góc nhọn của một tam giác vuông cộng lại được một góc vuông. Diện tích của nó là \(7 \cdot 7 - 4 \cdot 6 = 25\), nên đường chéo dài đúng 5: một số nguyên!

Với hình chữ nhật \(1 \times 2\): hình vuông lớn có cạnh 3, mỗi tam giác có diện tích 1, nên hình vuông nghiêng có diện tích \(9 - 4 = 5\) và đường chéo dài \(\sqrt5\). Lập luận đếm thừa số ở trên, với thừa số 5 thay cho thừa số 2, cho thấy \(\sqrt5\) cũng là số vô tỉ.

Bên trái: \(3^2 - 4 \cdot 1 = 5\), nên đường chéo của hình chữ nhật \(1 \times 2\) dài \(\sqrt5\). Bên phải: \(7^2 - 4 \cdot 6 = 25\), nên đường chéo của hình chữ nhật \(3 \times 4\) dài 5.

Có đường chéo là số nguyên, có đường chéo là số vô tỉ, và nhìn hình thì không đoán được. Làm mẹo này cho hai cạnh \(a\) và \(b\) bất kỳ sẽ ra định lý Pythagoras (Pythagorean theorem), ở Chương 23.

Ranh giới

Không phải căn nào cũng vô tỉ. \(\sqrt9 = 3\), \(\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac35\), \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\). Lập luận đếm thừa số chỉ chạy được khi có một số nguyên tố xuất hiện một số lẻ lần. Với số nguyên dương \(n\), \(\sqrt n\) hoặc là số nguyên (khi \(n\) là số chính phương), hoặc là số vô tỉ; không có trường hợp thứ ba như \(\sqrt n = \frac72\) (bài C3).

Cộng hay nhân hai số vô tỉ có thể ra số hữu tỉ. \(\sqrt2 + (-\sqrt2) = 0\) và \(\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2\). Các số vô tỉ không tạo thành một thế giới khép kín với phép toán như các số hữu tỉ. Nhưng một số hữu tỉ cộng với một số vô tỉ thì luôn ra số vô tỉ (bài C2): \(1 + \sqrt2\) và \(\frac12 + \sqrt2\) đều vô tỉ.

Máy tính chỉ giữ một xấp xỉ. Với \(\sqrt2\), máy tính bỏ túi hiện \(1{,}414213562\). Số hiện ra là một phân số, và bình phương của nó là \(1{,}999999998944727844\), không phải 2. Trong nhiều ngôn ngữ lập trình, lấy căn bậc hai của 2 rồi bình phương lên cho \(2{,}0000000000000004\). Máy chỉ lưu hữu hạn chữ số, nên mọi số vô tỉ trong máy đều đã bị thay bằng một phân số gần nó, cùng hiện tượng với phép cộng \(0{,}1 + 0{,}2\) ở Chương 2.

Có quy luật chưa chắc đã tuần hoàn. Số \(0{,}101001000100001\ldots\) có quy luật rõ ràng, nhưng không có khối chữ số nào lặp lại y nguyên mãi mãi, nên nó không tuần hoàn, và ta sẽ thấy nó vô tỉ. "Tuần hoàn" là một quy luật rất hẹp.

\(\pi\) cũng vô tỉ, nhưng vì một lý do khó hơn nhiều. Tỉ số giữa chu vi và đường kính của đường tròn, \(\pi = 3{,}14159\ldots\), là số vô tỉ; chứng minh cần những công cụ vượt xa chương này, nên ta chỉ ghi nhận. Phân số quen thuộc \(\frac{22}{7} = 3{,}(142857)\) chỉ là một xấp xỉ của \(\pi\), sai từ chữ số thập phân thứ ba.

Lần mở rộng này khác hai lần trước. Số âm ở Chương 7 và phân số ở Chương 10 được thêm vào để một phép toán luôn làm được. Với bốn phép tính (không kể chia cho 0), các số hữu tỉ đã đủ dùng. Số vô tỉ đến từ một đòi hỏi khác: mỗi độ dài có thật, mỗi điểm trên đường thẳng, phải có một con số. Đó là đòi hỏi về sự liền mạch, và nó dẫn tới số thực.

Số thực: lấp những lỗ hổng

Ví dụ 4 cho một cách nhìn mới về một con số: \(\sqrt2\) là điểm chung duy nhất của một dãy khoảng có hai đầu là phân số. Tổng quát, một dãy khoảng lồng nhau là một dãy khoảng \([a_1; b_1]\), \([a_2; b_2]\), \([a_3; b_3]\), ..., mỗi khoảng nằm trong khoảng trước nó, với độ dài \(b_n - a_n\) rồi sẽ nhỏ hơn bất kỳ số dương nào cho trước. Trên trục số thực, một dãy như thế luôn kẹp đúng một điểm. Đó là điều ta muốn nói khi bảo trục số liền mạch: không có lỗ nào để các khoảng co lại vào đó mà không gặp điểm nào.

Nếu chỉ có các phân số, điều này sai: dãy khoảng \([a_n; b_n]\) của Ví dụ 4, với \(a_n^2 < 2 < b_n^2\), không kẹp được phân số nào. Thật vậy, nếu một số dương \(r\) nằm trong mọi khoảng thì cả \(r^2\) lẫn 2 đều nằm giữa \(a_n^2\) và \(b_n^2\) với mọi \(n\). Mà \(b_n^2 - a_n^2 = (b_n - a_n)(b_n + a_n)\) nhỏ hơn \(4(b_n - a_n)\), vì \(a_n\) và \(b_n\) không quá 2, nên nhỏ tùy ý. Hai số bị kẹp trong những khoảng nhỏ tùy ý thì không thể khác nhau: \(r^2 = 2\), và theo Định lý 2 dưới đây, \(r\) không phải phân số.

Vậy số thực là những gì phải thêm vào để mọi dãy khoảng lồng nhau đều kẹp được một điểm. Cách cụ thể nhất để hình dung: một số thực là một dấu, một phần nguyên, và một dãy vô hạn chữ số thập phân bất kỳ. Mỗi dãy chữ số như thế là một dãy khoảng lồng nhau với độ dài \(1\), \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{100}\), ..., chỉ ra đúng một điểm trên trục số. Dãy tuần hoàn cho số hữu tỉ, dãy không tuần hoàn cho số vô tỉ.

Ta nhận tính liền mạch như một nguyên lý; định nghĩa chặt chẽ của số thực cần khái niệm giới hạn (limit) ở Phần IV. Ngay cả phép trừ ở Ví dụ 2 cũng ngầm dùng nguyên lý này.

Phát biểu chặt chẽ

Bổ đề 1. Với mọi số nguyên \(n\): nếu \(n^2\) chẵn thì \(n\) chẵn.

Chứng minh. Nếu \(n\) lẻ, viết \(n = 2k + 1\) với \(k\) nguyên. Khi đó \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\) là số lẻ. Vậy bình phương của một số lẻ luôn lẻ; do đó nếu \(n^2\) chẵn thì \(n\) không thể lẻ, tức \(n\) chẵn. \(\square\)

Định lý 2. Không có số hữu tỉ \(x\) nào thỏa \(x^2 = 2\).

Chứng minh. Giả sử ngược lại, có số hữu tỉ \(x\) với \(x^2 = 2\). Vì \(0^2 = 0\), ta có \(x \neq 0\); vì \((-x)^2 = x^2\), có thể coi \(x > 0\). Theo Chương 10, viết \(x\) thành phân số tối giản \(\frac{p}{q}\) với \(p\), \(q\) nguyên dương không có ước chung nào lớn hơn 1. Từ \(\frac{p^2}{q^2} = 2\) suy ra \(p^2 = 2q^2\). Vậy \(p^2\) chẵn, nên theo Bổ đề 1, \(p\) chẵn: \(p = 2k\). Thay vào, \(4k^2 = 2q^2\), tức \(q^2 = 2k^2\). Vậy \(q^2\) chẵn, nên \(q\) cũng chẵn. Cả \(p\) và \(q\) đều chia hết cho 2, trái với việc \(\frac{p}{q}\) tối giản. Điều giả sử là sai. \(\square\)

Đây là một chứng minh phản chứng, lối lập luận đã dùng cho bàn cờ bị cắt góc ở Chương 1: giả sử điều cần bác bỏ, rồi đi tới vô lý. Mục "Vì sao không phân số nào vừa" cho một chứng minh thứ hai, bằng cách đếm thừa số 2 nhờ định lý cơ bản của số học (Chương 8).

Hệ quả 3. Đường chéo của hình vuông cạnh 1 dài \(\sqrt2\), và \(\sqrt2\) là số vô tỉ.

Mệnh đề 4 (phân số thành số thập phân). Mọi phân số \(\frac{p}{q}\) với \(p \geq 0\) và \(q > 0\) viết được thành một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn, với chu kỳ gồm không quá \(q - 1\) chữ số.

Chứng minh. Làm phép chia như Ví dụ 1. Sau phần nguyên, mỗi bước lấy số dư hiện tại \(r\) và viết \(10r = q \cdot c + r'\) với \(0 \leq r' < q\) (Chương 6 bảo đảm \(c\), \(r'\) tồn tại và duy nhất). Vì \(r < q\) nên \(c < 10\) là một chữ số, chữ số tiếp theo của số thập phân, còn \(r'\) là số dư mới. Vậy chữ số tiếp theo và số dư tiếp theo chỉ phụ thuộc vào số dư hiện tại. Nếu có lúc số dư bằng 0, mọi chữ số sau đó bằng 0: số thập phân hữu hạn. Nếu không, mọi số dư nằm trong \(q - 1\) giá trị \(1; 2; \dots; q - 1\), nên trong \(q\) số dư đầu tiên có hai số bằng nhau. Kể từ đó mọi bước lặp lại y hệt, nên các chữ số tuần hoàn, với chu kỳ không quá \(q - 1\) chữ số. \(\square\)

Mệnh đề 5 (số thập phân tuần hoàn thành phân số). Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn là một số hữu tỉ.

Chứng minh. Trước hết xét số \(y = 0{,}(b_1 b_2 \ldots b_k)\), tuần hoàn ngay sau dấu phẩy với chu kỳ gồm \(k\) chữ số, và gọi \(B\) là số nguyên viết bởi các chữ số \(b_1 b_2 \ldots b_k\). Nhân \(y\) với \(10^k\) là dịch dấu phẩy đi đúng một chu kỳ, nên \(10^k \cdot y = B + y\). Suy ra \((10^k - 1) \cdot y = B\), tức \(y = \frac{B}{10^k - 1}\), một phân số. Với số thập phân tuần hoàn \(x \geq 0\) bất kỳ có \(m\) chữ số thập phân đứng trước chu kỳ, ta có \(10^m \cdot x = N + y\), với \(N\) là số nguyên viết bởi mọi chữ số trước chu kỳ và \(y\) như trên. Vậy \(x = \frac{N + y}{10^m}\) là phân số, vì tổng và thương của các phân số là phân số (Chương 10). \(\square\)

Hệ quả 6. Một số thập phân là số hữu tỉ khi và chỉ khi nó hữu hạn hoặc tuần hoàn. Vì vậy các chữ số thập phân của \(\sqrt2\) không bao giờ lặp lại theo chu kỳ, dù ta tính bao xa. Ngược lại, \(0{,}101001000100001\ldots\) không tuần hoàn, nên nó là số vô tỉ.

Nguyên lý 7 (tính liền mạch của trục số thực). Nếu \([a_1; b_1]\), \([a_2; b_2]\), ... là một dãy khoảng lồng nhau mà độ dài \(b_n - a_n\) rồi sẽ nhỏ hơn mọi số dương cho trước, thì có đúng một số thực nằm trong mọi khoảng.

Nguyên lý 7 không được chứng minh ở đây; nó là tính chất ta đòi hỏi ở các số thực, cách nói chính xác của ý "trục số không có lỗ". Phần "nhiều nhất một số" thì dễ: hai số khác nhau không thể cùng nằm trong một khoảng ngắn hơn khoảng cách giữa chúng. Phần "ít nhất một số" là chỗ các số hữu tỉ thất bại, như dãy khoảng quanh \(\sqrt2\).

Sợi chỉ

• S5. Rời rạc và liên tục. Phân số dày đặc nhưng vẫn có lỗ; số thực lấp đầy các lỗ. Dãy khoảng lồng nhau là cây cầu giữa hai thế giới: mỗi bước là một thao tác rời rạc (chia đôi, viết thêm một chữ số), nhưng vô số bước kẹp được một điểm của đường thẳng liên tục. Đây là những con số mới mà việc đo ở Chương 4 đã hẹn.
• S7. Xấp xỉ và sai số. Mỗi bước chia đôi giảm sai số một nửa; sau \(n\) bước, sai số không quá \(\frac{1}{2^n}\) lần độ dài ban đầu. Ta không bao giờ viết hết \(\sqrt2\), nhưng luôn biết mình sai nhiều nhất bao nhiêu. Máy tính chỉ lưu xấp xỉ, như phép cộng \(0{,}1 + 0{,}2\) ở Chương 2.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. \(0{,}999\ldots\) và 1 là hai tên của một số, như \(\frac12\) và \(\frac24\) ở Chương 10. \(\sqrt2\) là cạnh của hình vuông diện tích 2, một điểm dựng bằng compa, một số thập phân không tuần hoàn, điểm chung của một dãy khoảng lồng nhau.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Trong một số chính phương, mỗi số nguyên tố xuất hiện một số chẵn lần. Tính chẵn lẻ ấy là bất biến ngăn mọi phân số trúng \(\sqrt2\), cũng như tính chẵn lẻ của số ô sẫm và ô sáng trên bàn cờ ở Chương 1.

Tóm tắt

• Đường chéo của hình vuông cạnh 1 là một số \(d\) với \(d^2 = 2\), vì hình vuông dựng trên đường chéo gồm bốn nửa ô vuông.
• Không phân số nào có bình phương bằng 2: nếu \(p^2 = 2q^2\) thì thừa số 2 xuất hiện vừa chẵn lần vừa lẻ lần. Vậy \(\sqrt2\) là số vô tỉ.
• Mọi phân số là số thập phân hữu hạn hoặc tuần hoàn, vì số dư phải lặp lại; ngược lại, mọi số thập phân tuần hoàn là phân số (nhân với \(10^k\) rồi trừ).
• Số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số vô tỉ; \(0{,}999\ldots\) và 1 là hai cách viết của cùng một số.
• Chia đôi, hay viết thêm từng chữ số thập phân, tạo ra các khoảng lồng nhau kẹp một số với sai số nhỏ tùy ý.
• Số thực gồm số hữu tỉ và số vô tỉ; trục số thực liền mạch: mỗi dãy khoảng lồng nhau co dần kẹp đúng một số thực, điều các phân số không làm được.
• Tổng hay tích hai số vô tỉ có thể hữu tỉ; không phải căn nào cũng vô tỉ; máy tính chỉ lưu xấp xỉ.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Một người nói: "Máy tính của tôi hiện \(\sqrt2 = 1{,}414213562\). Vậy \(\sqrt2\) là phân số \(\frac{1.414.213.562}{1.000.000.000}\)." Lập luận sai ở đâu?

Lời giải

Máy tính chỉ hiện hữu hạn chữ số, tức một xấp xỉ đã làm tròn. Phân số ấy có bình phương \(1{,}999999998944727844\), khác 2, nên nó không phải \(\sqrt2\). Theo Định lý 2, không màn hình nào, dài đến đâu, hiện đúng \(\sqrt2\); máy chỉ cho biết \(\sqrt2\) nằm rất gần con số hiện ra.

A2. "Các phân số dày đặc trên trục số" và "các phân số để hở những lỗ trên trục số". Hai câu này có mâu thuẫn không?

Lời giải

Không. "Dày đặc" nghĩa là quanh mỗi điểm, dù nhìn gần đến đâu, cũng có phân số. "Có lỗ" nghĩa là có những điểm không phải phân số, như \(\sqrt2\): quanh nó có vô số phân số sát nó tùy ý (\(\frac{99}{70}\), \(\frac{239}{169}\), ...), nhưng không phân số nào nằm đúng ở đó. Dày đặc không có nghĩa là phủ kín, giống như bụi rắc khắp mặt bàn: chỗ nào cũng có, nhưng không che hết mặt bàn.

A3. Một người nói: "\(0{,}999\ldots\) luôn nhỏ hơn 1 một chút, vì dù viết bao nhiêu chữ số 9, nó vẫn chưa tới 1." Người ấy đúng ở đâu và nhầm ở đâu?

Lời giải

Người ấy đúng về những số có hữu hạn chữ số 9: \(0{,}9\), \(0{,}99\), \(0{,}999\), ... đều nhỏ hơn 1. Nhưng \(0{,}999\ldots\) không phải số nào trong dãy ấy; nó có vô hạn chữ số 9, và như Ví dụ 3 đã chỉ ra, không còn số dương nào để làm "một chút" chênh lệch. Trực giác "vẫn chưa tới" nói về một quá trình đang diễn ra; còn \(0{,}999\ldots\) là nơi quá trình ấy dẫn tới, một ý mà Phần IV sẽ làm chính xác bằng khái niệm giới hạn.

A4. Nếu không phân số nào đo đúng đường chéo, thì có thể nói đường chéo "không có độ dài" không? Theo nghĩa nào đường chéo tồn tại trước khi có số thực?

Lời giải

Đường chéo tồn tại như một đoạn thẳng: gấp giấy được, căng dây được, dựng bằng compa rồi đặt lên trục số được. Chỉ có hệ thống số đang có (các phân số) là không đủ để gọi tên độ dài ấy. Kết luận hợp lý không phải "đường chéo không có độ dài", mà là "hệ thống số phải được mở rộng". Cấu trúc có trước cái tên \(\sqrt2\); con người chỉ đặt tên và mở rộng ngôn ngữ số cho khớp với nó.

B. Tính toán

B1. Viết thành số thập phân: (a) \(\frac38\); (b) \(\frac{5}{12}\); (c) \(\frac27\); (d) \(\frac{7}{40}\).

Lời giải

(a) \(\frac38 = \frac{375}{1000} = 0{,}375\).

(b) \(\frac{5}{12} = 0{,}41666\ldots = 0{,}41(6)\).

(c) Chia 2 cho 7, các số dư lần lượt là 6, 4, 5, 1, 3, 2 rồi quay lại: \(\frac27 = 0{,}(285714)\). Để ý rằng chu kỳ này là chu kỳ \(142857\) của \(\frac17\) bắt đầu từ một chỗ khác, vì phép chia đi vào cùng vòng số dư, chỉ khác điểm vào.

(d) \(\frac{7}{40} = \frac{175}{1000} = 0{,}175\).

B2. Viết thành phân số tối giản: (a) \(0{,}(6)\); (b) \(0{,}(12)\); (c) \(2{,}(3)\); (d) \(0{,}2(45)\).

Lời giải

(a) \(10x - x = 6\), nên \(9x = 6\) và \(x = \frac23\).

(b) \(100x - x = 12\), nên \(99x = 12\) và \(x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}\).

(c) \(10x = 23{,}333\ldots\), nên \(10x - x = 21\), \(9x = 21\) và \(x = \frac{21}{9} = \frac73\).

(d) \(10x = 2{,}4545\ldots\) và \(1000x = 245{,}4545\ldots\) Trừ: \(990x = 243\), nên \(x = \frac{243}{990} = \frac{27}{110}\).

B3. Không dùng máy tính: (a) \(\sqrt{50}\) nằm giữa hai số nguyên liên tiếp nào? (b) \(\sqrt{200}\) thì sao? (c) Tìm hai chữ số thập phân đầu của \(\sqrt3\).

Lời giải

(a) \(7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2\), nên \(7 < \sqrt{50} < 8\).

(b) \(14^2 = 196 < 200 < 225 = 15^2\), nên \(14 < \sqrt{200} < 15\).

(c) \(1{,}7^2 = 2{,}89 < 3 < 3{,}24 = 1{,}8^2\), rồi \(1{,}73^2 = 2{,}9929 < 3 < 3{,}0276 = 1{,}74^2\). Vậy \(\sqrt3 = 1{,}73\ldots\)

B4. Làm bốn bước chia đôi, bắt đầu từ khoảng \([1; 2]\), để kẹp \(\sqrt3\). Khoảng cuối cùng dài bao nhiêu?

Lời giải

• Bước 1: \(1{,}5^2 = 2{,}25 < 3\), giữ \([1{,}5; 2]\).
• Bước 2: \(1{,}75^2 = 3{,}0625 > 3\), giữ \([1{,}5; 1{,}75]\).
• Bước 3: \(1{,}625^2 = 2{,}640625 < 3\), giữ \([1{,}625; 1{,}75]\).
• Bước 4: \(1{,}6875^2 = 2{,}84765625 < 3\), giữ \([1{,}6875; 1{,}75]\).

Khoảng cuối dài \(\frac{1}{16} = 0{,}0625\). Quả thật \(\sqrt3 \approx 1{,}732\) nằm trong khoảng ấy.

B5. Bắt đầu từ một khoảng dài 1, cần ít nhất bao nhiêu bước chia đôi để khoảng dài dưới \(0{,}001\)? Dưới một phần triệu?

Lời giải

Sau \(n\) bước, khoảng dài \(\frac{1}{2^n}\). Cần \(2^n > 1000\): vì \(2^9 = 512\) và \(2^{10} = 1024\), cần 10 bước. Cần \(2^n > 1.000.000\): vì \(2^{19} = 524.288\) và \(2^{20} = 1.048.576\), cần 20 bước. Cứ mười bước chia đôi được thêm khoảng ba chữ số thập phân, vì \(2^{10} \approx 10^3\).

B6. Dùng mẹo hình vuông nghiêng, tính đường chéo của hình chữ nhật: (a) \(6 \times 8\); (b) \(5 \times 12\); (c) \(1 \times 3\). Đường chéo nào là số nguyên?

Lời giải

Với hình chữ nhật \(a \times b\): hình vuông lớn có cạnh \(a + b\), bốn tam giác mỗi tam giác có diện tích \(\frac{ab}{2}\).

(a) \(14^2 - 4 \cdot 24 = 196 - 96 = 100\), đường chéo dài 10.

(b) \(17^2 - 4 \cdot 30 = 289 - 120 = 169\), đường chéo dài 13.

(c) \(4^2 - 4 \cdot \frac32 = 16 - 6 = 10\), đường chéo dài \(\sqrt{10}\), là số vô tỉ vì 10 không phải số chính phương (bài C3).

B7. Số nào hữu tỉ, số nào vô tỉ: \(\sqrt{\frac{9}{25}}\); \(\sqrt8\); \(\sqrt2 \cdot \sqrt8\); \(1 + \sqrt2\); \(0{,}1010010001\ldots\) (số chữ số 0 tăng dần); \(\frac{22}{7}\)?

Lời giải

• \(\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac35\): hữu tỉ.
• \(\sqrt8\): vô tỉ, vì 8 không phải số chính phương (bài C3).
• \(\sqrt2 \cdot \sqrt8\): số này dương và có bình phương bằng \(2 \cdot 8 = 16\), nên nó bằng 4, hữu tỉ.
• \(1 + \sqrt2\): vô tỉ (bài C2).
• \(0{,}1010010001\ldots\): không tuần hoàn, nên vô tỉ (Hệ quả 6).
• \(\frac{22}{7}\): hữu tỉ, vì nó là một phân số. Nó chỉ gần bằng \(\pi\).

B8. (a) Với mỗi phân số \(\frac pq\) trong dãy \(\frac32\), \(\frac75\), \(\frac{17}{12}\), \(\frac{41}{29}\), \(\frac{99}{70}\), tính \(p^2 - 2q^2\). (b) Mỗi phân số tiếp theo có dạng \(\frac{p + 2q}{p + q}\). Tìm phân số đứng sau \(\frac{99}{70}\) và kiểm tra lại (a) với nó. (c) Chứng minh rằng \((p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)\), rồi giải thích vì sao các phân số này tới gần \(\sqrt2\) nhưng không bao giờ trúng.

Lời giải

(a) \(9 - 8 = 1\); \(49 - 50 = -1\); \(289 - 288 = 1\); \(1681 - 1682 = -1\); \(9801 - 9800 = 1\).

(b) \(\frac{99 + 140}{99 + 70} = \frac{239}{169}\). Ta có \(239^2 = 57.121\) và \(2 \cdot 169^2 = 2 \cdot 28.561 = 57.122\), nên \(p^2 - 2q^2 = -1\).

(c) Khai triển: \((p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = p^2 + 4pq + 4q^2 - 2p^2 - 4pq - 2q^2 = -p^2 + 2q^2\). Vậy mỗi bước, \(p^2 - 2q^2\) đổi dấu nhưng giữ nguyên độ lớn 1. Chia cho \(q^2\): \(\left(\frac pq\right)^2 - 2 = \pm \frac{1}{q^2}\). Mẫu số \(q\) lớn dần, nên bình phương của phân số tới gần 2 tùy ý; nhưng hiệu luôn là \(\pm \frac{1}{q^2}\), khác 0, đúng như Định lý 2 đòi hỏi. Chẳng hạn \(\left(\frac{99}{70}\right)^2 - 2 = \frac{1}{4900}\).

B9. Trong các phân số \(\frac18\), \(\frac{1}{20}\), \(\frac{1}{12}\), \(\frac{1}{15}\), \(\frac{1}{125}\), \(\frac17\), phân số nào là số thập phân hữu hạn? Tìm quy luật và giải thích.

Lời giải

\(\frac18 = 0{,}125\), \(\frac{1}{20} = 0{,}05\) và \(\frac{1}{125} = 0{,}008\) là hữu hạn. \(\frac{1}{12} = 0{,}08(3)\), \(\frac{1}{15} = 0{,}0(6)\) và \(\frac17 = 0{,}(142857)\) là tuần hoàn.

Quy luật: một phân số tối giản là số thập phân hữu hạn khi và chỉ khi mẫu số của nó không có ước nguyên tố nào ngoài 2 và 5. Lý do: số thập phân hữu hạn là phân số có mẫu \(10^n = 2^n \cdot 5^n\). Nếu mẫu \(q\) chỉ có thừa số 2 và 5, nhân cả tử và mẫu với các thừa số 2 hoặc 5 còn thiếu sẽ được mẫu \(10^n\), như \(\frac18 = \frac{125}{1000}\). Ngược lại, nếu \(\frac pq = \frac{N}{10^n}\) với \(\frac pq\) tối giản thì \(p \cdot 10^n = N \cdot q\); mỗi ước nguyên tố của \(q\) chia hết \(p \cdot 10^n\) nhưng không chia hết \(p\), nên theo bổ đề Euclid (Chương 8) nó chia hết \(10^n\), tức nó là 2 hoặc 5.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. (a) Chứng minh \(\sqrt3\) là số vô tỉ. (b) Thử "chứng minh" \(\sqrt4\) là số vô tỉ bằng đúng lối lập luận của Định lý 2. Lập luận hỏng ở bước nào?

Lời giải

(a) Trước hết, nếu \(n\) không chia hết cho 3 thì \(n = 3k + 1\) hoặc \(n = 3k + 2\), và \(n^2\) lần lượt bằng \(3(3k^2 + 2k) + 1\) hoặc \(3(3k^2 + 4k + 1) + 1\), không chia hết cho 3. Vậy nếu \(n^2\) chia hết cho 3 thì \(n\) chia hết cho 3.

Giả sử \(\sqrt3 = \frac pq\) tối giản, với \(p\), \(q\) nguyên dương. Khi đó \(p^2 = 3q^2\), nên \(p^2\) chia hết cho 3, và do đó \(p\) chia hết cho 3: \(p = 3k\). Thay vào, \(9k^2 = 3q^2\), tức \(q^2 = 3k^2\), nên \(q\) cũng chia hết cho 3. Cả \(p\) và \(q\) chia hết cho 3, trái với giả thiết tối giản. Vậy \(\sqrt3\) vô tỉ. \(\square\)

(b) Giả sử \(\sqrt4 = \frac pq\) tối giản. Khi đó \(p^2 = 4q^2\), nên \(p^2\) chẵn và \(p\) chẵn: \(p = 2k\). Thay vào, \(4k^2 = 4q^2\), tức \(k^2 = q^2\). Đến đây lập luận tắc: từ \(k^2 = q^2\) không suy ra được \(q\) chẵn. Ở Định lý 2, bước này cho \(q^2 = 2k^2\), với một thừa số 2 "lẻ loi" buộc \(q\) phải chẵn; với số 4, các thừa số 2 đã đi thành cặp. Quả thật \(k = q\), \(p = 2q\), và vì \(\frac pq\) tối giản nên \(q = 1\), \(p = 2\): \(\sqrt4 = 2\).

C2. (a) Chứng minh rằng nếu \(r\) hữu tỉ và \(x\) vô tỉ thì \(r + x\) vô tỉ. (b) Chứng minh rằng nếu thêm điều kiện \(r \neq 0\) thì \(r \cdot x\) vô tỉ. (c) Tìm hai số vô tỉ có tổng hữu tỉ, và hai số vô tỉ có tích hữu tỉ.

Lời giải

(a) Giả sử \(r + x = s\) là số hữu tỉ. Khi đó \(x = s - r\) là hiệu của hai số hữu tỉ, nên hữu tỉ (Chương 10), trái với giả thiết \(x\) vô tỉ. Vậy \(r + x\) vô tỉ. \(\square\)

(b) Giả sử \(r \cdot x = s\) là số hữu tỉ. Vì \(r \neq 0\), ta chia được: \(x = s : r\) là số hữu tỉ (Mệnh đề 4 của Chương 10), mâu thuẫn. Vậy \(r \cdot x\) vô tỉ. \(\square\) Nếu \(r = 0\) thì \(r \cdot x = 0\) là hữu tỉ, nên điều kiện \(r \neq 0\) là cần.

(c) \(\sqrt2\) và \(-\sqrt2\) có tổng bằng 0; \(\sqrt2\) và \(\sqrt2\) có tích bằng 2. Ít hiển nhiên hơn: \(1 + \sqrt2\) và \(1 - \sqrt2\) đều vô tỉ theo (a), nhưng tổng của chúng là 2 và tích là \(1 - 2 = -1\).

C3. Chứng minh rằng nếu \(n\) là số nguyên dương và \(\sqrt n\) là số hữu tỉ thì \(n\) là số chính phương. Suy ra \(\sqrt2\), \(\sqrt3\), \(\sqrt5\), \(\sqrt6\), \(\sqrt8\), \(\sqrt{10}\) đều vô tỉ. (Gợi ý: nếu \(\sqrt n = \frac pq\) thì \(n \cdot q^2 = p^2\); đếm số lần mỗi số nguyên tố xuất hiện ở hai vế.)

Lời giải

Giả sử \(\sqrt n = \frac pq\) với \(p\), \(q\) nguyên dương. Khi đó \(n \cdot q^2 = p^2\). Lấy một số nguyên tố \(s\) bất kỳ, và gọi \(e\) là số lần \(s\) xuất hiện trong phân tích của \(n\). Trong \(q^2\) và trong \(p^2\), \(s\) xuất hiện một số chẵn lần, vì mọi nguyên tử của một số chính phương đi thành cặp. Theo định lý cơ bản của số học (Chương 8), số lần \(s\) xuất hiện ở hai vế phải bằng nhau: \(e\) cộng một số chẵn bằng một số chẵn, nên \(e\) chẵn. Như vậy mọi số nguyên tố xuất hiện trong \(n\) một số chẵn lần. Lấy mỗi số nguyên tố với một nửa số lần của nó, ta được một số nguyên \(m\) với \(m \cdot m = n\): \(n\) là số chính phương. \(\square\)

Các số chính phương nhỏ là \(1; 4; 9; 16; \dots\) Các số 2, 3, 5, 6, 8, 10 không phải số chính phương, nên căn bậc hai của chúng đều vô tỉ.

Câu hỏi để ngỏ

Căn bậc hai tháo ngược phép bình phương, tức phép nhân một số với chính nó. Nhân một số với chính nó nhiều lần tạo ra những con số khổng lồ hoặc tí hon. Có luật nào chi phối phép "nhân lặp" ấy không? Và có thể mở rộng nó để nói về "nhân lặp 0 lần", "nhân lặp \(-3\) lần", thậm chí "nhân lặp nửa lần" không? Nếu "2 nhân lặp nửa lần" có nghĩa, liệu nó có phải là \(\sqrt2\)?