Chương 37: Tích phân: cộng vô số mảnh nhỏ

Câu hỏi mở đầu

Đạo hàm đi từ một đại lượng tới tốc độ thay đổi của nó. Còn chiều ngược lại: biết vận tốc ở mọi thời điểm, tìm tổng quãng đường đã đi như thế nào, nhất là khi vận tốc thay đổi liên tục?

Quãng đường là một diện tích

Nếu vận tốc không đổi, câu hỏi rất dễ: đi 60 km/h trong 2 giờ thì được 120 km. Vẽ đồ thị vận tốc theo thời gian, ta được một đoạn nằm ngang ở độ cao 60, và 120 chính là diện tích hình chữ nhật dưới nó, cao 60, rộng 2. Quãng đường là vận tốc nhân thời gian, tức chiều cao nhân chiều rộng.

Nếu vận tốc tăng đều, như \(v(t) = 3t\) m/s trong 4 giây đầu, phần dưới đồ thị là một tam giác, diện tích \(\frac12 \cdot 4 \cdot 12 = 24\). Bài C1 của Chương 36 đã chứng minh quãng đường đúng bằng thế: thời gian nhân vận tốc ở chính giữa, \(4 \cdot 6 = 24\) mét.

Còn khi vận tốc thay đổi tùy ý thì sao? Ý tưởng là chia nhỏ. Cắt khoảng thời gian thành nhiều mảnh ngắn. Trong một mảnh đủ ngắn, vận tốc liên tục gần như không đổi, nên quãng đường đi trong mảnh ấy gần bằng vận tốc tại một thời điểm trong mảnh nhân với độ dài mảnh: diện tích một hình chữ nhật mỏng. Cộng các hình chữ nhật lại, ta được một xấp xỉ của quãng đường. Chia càng nhỏ, xấp xỉ càng tốt, và cái đích mà các xấp xỉ dồn về chính là diện tích dưới đồ thị. Cái đích ấy gọi là tích phân (integral).

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì hễ một tổng lượng tích lũy từ một tốc độ thay đổi (quãng đường từ vận tốc, lượng nước từ tốc độ chảy, thể tích từ diện tích các lát cắt), cách duy nhất để tính là chia thành những mảnh mà trong mỗi mảnh tốc độ gần như không đổi, rồi cộng. Đó là mặt kia của cấu trúc ở Chương 34: nhìn đủ gần, mọi thứ gần như đều; cộng đủ nhiều mảnh gần như đều, ta được cái toàn thể. Archimedes, vào thế kỷ 3 trước Công nguyên, đã tính diện tích một mảnh parabol bằng cách vét dần bằng những mảnh ngày càng nhỏ, gần hai nghìn năm trước khi có ký hiệu tích phân.

Kẹp từ hai phía

Xấp xỉ bằng hình chữ nhật có sai số, và ta cần biết sai bao nhiêu. Gọi \(S\) là diện tích dưới parabol \(y = x^2\) trên \([0; 1]\). Chia \([0; 1]\) thành 4 đoạn dài \(\frac14\). Nếu mỗi hình chữ nhật lấy chiều cao ở đầu trái của đoạn, vì \(x^2\) tăng, hình chữ nhật nằm gọn dưới đồ thị, và tổng diện tích là

\[ \frac14\left(0 + \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16}\right) = \frac{14}{64} = 0{,}21875. \]

Lấy chiều cao ở đầu phải, hình chữ nhật trùm lên đồ thị, và tổng là \(\frac14\left(\frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{9}{16} + \frac{16}{16}\right) = \frac{30}{64} = 0{,}46875\). Diện tích thật bị kẹp giữa: \(0{,}21875 \leq S \leq 0{,}46875\). Chia 8 đoạn, cái kẹp chặt hơn: \(0{,}2734375 \leq S \leq 0{,}3984375\). Khoảng cách giữa hai cận đúng bằng \(\frac1n\) khi chia \(n\) đoạn, nên nó dần về 0, và hai tổng kẹp lấy một số duy nhất; Ví dụ 2 cho thấy số ấy là \(\frac13\).

Diện tích \(S\) dưới \(y = x^2\) trên \([0; 1]\). Phần xanh là các hình chữ nhật lấy chiều cao ở đầu trái, nằm dưới đồ thị; xanh cộng cam là các hình chữ nhật lấy chiều cao ở đầu phải, trùm lên đồ thị. Chia càng nhỏ, phần cam, tức khoảng cách giữa hai tổng, càng mỏng.

Đây là cấu trúc nguyên thủy của chương: không cần biết trước diện tích là gì, ta có một cận dưới và một cận trên, cả hai tính được bằng số học, và chúng tiến lại gần nhau. Như các đoạn lồng nhau kẹp \(\sqrt2\) ở Chương 11, một số thực được xác định bằng cách bị kẹp ngày càng chặt. Với một hàm tăng, lý do khoảng cách co lại thấy được bằng mắt: các phần chênh giữa hai tổng, trượt sang phải, xếp chồng thành một cột rộng \(\Delta x\) và cao \(f(b) - f(a)\).

Với một hàm tăng, các hình chữ nhật cam, phần chênh giữa hai tổng, xếp chồng lên nhau thành một cột rộng \(\Delta x\), cao \(f(b) - f(a)\). Chia càng nhỏ, cột càng hẹp.

Ký hiệu

Chữ Hy Lạp \(\Sigma\) (xích-ma viết hoa) dùng để viết gọn một tổng: \(\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n\), với chỉ số \(k\) chạy từ 1 tới \(n\). Đó là ký hiệu tổng (summation notation). Chẳng hạn, Ví dụ 1 của Chương 18 viết gọn thành \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}\).

Cho \(f\) xác định trên đoạn \([a; b]\) và số nguyên dương \(n\). Chia đều đoạn thành \(n\) đoạn con, mỗi đoạn dài \(\Delta x = \frac{b - a}{n}\), bởi các điểm chia \(x_k = a + k\,\Delta x\) với \(k = 0, 1, \dots, n\); cách chia này gọi là phân hoạch đều của đoạn. Chọn một điểm \(c_k\) trong mỗi đoạn con \([x_{k - 1}; x_k]\). Tổng

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x \]

gọi là một tổng Riemann (Riemann sum). Chọn \(c_k\) là đầu trái hay đầu phải của đoạn con, ta có tổng trái hay tổng phải. Nếu trên mỗi đoạn con ta lấy giá trị nhỏ nhất của \(f\), ta có tổng dưới (lower sum) \(L_n\); lấy giá trị lớn nhất, ta có tổng trên (upper sum) \(U_n\). Mọi tổng Riemann nằm giữa \(L_n\) và \(U_n\).

Nếu các tổng Riemann dồn về cùng một số khi \(n\) lớn dần, dù chọn \(c_k\) thế nào, ta nói \(f\) khả tích (integrable) trên \([a; b]\), và số ấy là tích phân của \(f\) trên \([a; b]\), viết

\[ \int_a^b f(x)\,dx. \]

Dấu \(\int\) là chữ S kéo dài, do Leibniz đặt ra, gợi chữ "summa", tức tổng. Phần \(f(x)\,dx\) gợi diện tích một hình chữ nhật cao \(f(x)\), rộng \(dx\); cũng như \(\frac{dy}{dx}\) ở Chương 34, nó là một ký hiệu liền khối, không phải một phép nhân thật. Ta quy ước \(\int_a^a f(x)\,dx = 0\) và \(\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx\).

Khi \(f \geq 0\), tích phân là diện tích dưới đồ thị. Khi \(f\) có chỗ âm, các hình chữ nhật ở dưới trục hoành có "chiều cao" âm, nên tích phân là diện tích phía trên trục trừ diện tích phía dưới trục: một diện tích có dấu (signed area). Với vận tốc, phần âm là lúc đi lùi, và tích phân của vận tốc là vị trí cuối trừ vị trí đầu, không phải tổng quãng đường đã đi.

Hai tính chất được dùng liên tục. Tích phân có tính tuyến tính như đạo hàm: \(\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g\) và \(\int_a^b cf = c\int_a^b f\). Và tích phân cộng theo khoảng: \(\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f\). Cả hai đều hiển nhiên với diện tích; Mệnh đề 5 nói chúng đến từ đâu.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (\(v = 3t\) bằng tổng Riemann). Chia \([0; 4]\) thành \(n\) đoạn dài \(\frac4n\). Tổng phải là

\[ \sum_{k=1}^{n} 3 \cdot \frac{4k}{n} \cdot \frac4n = \frac{48}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{48}{n^2} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = 24 \cdot \frac{n + 1}{n}, \]

và tổng trái, tính tương tự, là \(24 \cdot \frac{n - 1}{n}\). Với \(n = 4\) được 30 và 18; với \(n = 100\) được \(24{,}24\) và \(23{,}76\). Cả hai dồn về 24: \(\int_0^4 3t\,dt = 24\), khớp với diện tích tam giác.

Ví dụ 2 (\(x^2\) trên \([0; 1]\)). Tổng phải với \(n\) đoạn là \(\sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^2 \frac1n = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2\). Công thức tổng các bình phương suy ra từ Chương 18: bài B3 ở đó cho \(\sum_{k=1}^{n} k(k + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\), trừ đi \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}\) được

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} - \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}. \]

Vậy tổng phải là \(\frac{(n + 1)(2n + 1)}{6n^2}\) và tổng trái là \(\frac{(n - 1)(2n - 1)}{6n^2}\). Khi \(n\) lớn dần, cả hai dồn về \(\frac{2}{6} = \frac13\): \(\int_0^1 x^2\,dx = \frac13\). Làm như thế trên \([0; H]\), với các đoạn dài \(\frac Hn\), mọi thứ nhân thêm \(H^3\): \(\int_0^H x^2\,dx = \frac{H^3}{3}\).

Ví dụ 3 (thể tích hình nón bằng lát cắt). Một hình nón có chiều cao \(H\) và bán kính đáy \(R\). Đặt đỉnh ở gốc và trục nón dọc trục hoành. Lát cắt vuông góc với trục tại khoảng cách \(x\) từ đỉnh là một hình tròn bán kính \(\frac{Rx}{H}\), diện tích \(\frac{\pi R^2}{H^2}x^2\). Cắt nón thành \(n\) lát dày \(\Delta x\), mỗi lát gần như một hình trụ dẹt, và thể tích xấp xỉ tổng Riemann của hàm diện tích lát cắt. Chia nhỏ dần, ta được

\[ V = \int_0^H \frac{\pi R^2}{H^2} x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac13 \pi R^2 H. \]

Con số \(\frac13\) trong công thức thể tích hình nón ở trường, thường được học thuộc, chính là \(\frac13\) của Ví dụ 2: nó đến từ việc diện tích lát cắt tăng theo bình phương khoảng cách tới đỉnh.

Hình nón nhìn từ bên cạnh, cắt thành các lát dày \(\Delta x\). Lát ở khoảng cách \(x\) từ đỉnh gần như một hình trụ dẹt, đáy là hình tròn bán kính \(\frac{Rx}{H}\).

Ví dụ 4 (nước chảy vào bể). Một vòi mở dần rồi khóa dần, tốc độ chảy giả định là \(r(t) = 12t - t^2\) lít mỗi phút trong 12 phút. Lượng nước vào bể là \(\int_0^{12} (12t - t^2)\,dt\). Theo tính tuyến tính, đó là \(12\int_0^{12} t\,dt - \int_0^{12} t^2\,dt\). Tích phân thứ nhất là diện tích tam giác \(\frac12 \cdot 12 \cdot 12 = 72\); tích phân thứ hai là \(\frac{12^3}{3} = 576\) (Ví dụ 2). Vậy bể nhận \(12 \cdot 72 - 576 = 288\) lít. Tốc độ đo bằng lít mỗi phút, thời gian đo bằng phút, nên "diện tích" dưới đồ thị đo bằng lít, đúng đơn vị của lượng nước.

Ví dụ 5 (diện tích có dấu). Một xe có vận tốc \(v(t) = 2 - t\) m/s trong 4 giây: 2 giây đầu đi tới, 2 giây sau đi lùi. Tam giác phía trên trục có diện tích 2, tam giác phía dưới có diện tích 2, nên \(\int_0^4 (2 - t)\,dt = 2 - 2 = 0\): xe trở về đúng chỗ xuất phát. Nhưng tổng quãng đường xe đã đi là \(2 + 2 = 4\) mét, tức tích phân của tốc độ \(\lvert v(t) \rvert\) chứ không phải của vận tốc.

Phần phía trên trục (xanh) mang dấu dương, phần phía dưới (cam) mang dấu âm. Tích phân của vận tốc bằng \(2 + (-2) = 0\): xe về chỗ cũ, dù đã đi 4 mét.

Ví dụ 6 (độ dài một đường cong). Cộng vô số mảnh nhỏ còn đo được độ dài. Chương 30 đã nhận từ hình học khái niệm độ dài cung và hẹn định nghĩa nó chặt chẽ; đây là định nghĩa ấy. Chọn trên đường cong các điểm \(P_0, P_1, \dots, P_n\) theo thứ tự, nối chúng thành một đường gấp khúc nội tiếp, rồi cộng độ dài các đoạn thẳng. Độ dài của đường cong là cái đích mà độ dài các đường gấp khúc ấy dồn về khi mọi bước chia nhỏ dần. Với cung của đường tròn đơn vị từ \((1; 0)\) tới \((\cos t; \sin t)\), chia thành \(n\) phần bằng nhau, hai điểm liên tiếp cách nhau \(2\sin\frac{t}{2n}\) (bài B8), nên đường gấp khúc dài

\[ 2n\sin\frac{t}{2n} = t \cdot \frac{\sin\frac{t}{2n}}{\frac{t}{2n}} \to t, \]

theo giới hạn \(\frac{\sin x}{x} \to 1\) của Chương 32. Định nghĩa chặt chẽ khớp với quy ước "đi một quãng dài \(t\)" của Chương 30. Ở đây ta chỉ kiểm tra cách chia đều; rằng mọi cách chia khác cũng cho cùng giới hạn là điều ta nhận không chứng minh. Với cả vòng tròn, \(t = 2\pi\): lục giác đều nội tiếp có chu vi 6, đa giác 12 cạnh có chu vi khoảng \(6{,}2117\), đa giác 96 cạnh, mà Archimedes đã dùng để ước lượng \(\pi\), có chu vi khoảng \(6{,}2821\), trong khi \(2\pi \approx 6{,}2832\).

Đa giác đều 6, 12 và 24 cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị. Chu vi \(2n\sin\frac{\pi}{n}\) tăng dần và dồn về chu vi đường tròn, \(2\pi \approx 6{,}2832\).

Ranh giới

Không phải hàm nào cũng khả tích. Hàm \(D\) của bài C2 ở Chương 33, bằng 1 tại số hữu tỉ và 0 tại số vô tỉ, không khả tích trên \([0; 1]\). Mọi đoạn con, dù ngắn đến đâu, chứa cả số hữu tỉ lẫn số vô tỉ. Chọn mọi \(c_k\) hữu tỉ, tổng Riemann bằng 1; chọn mọi \(c_k\) vô tỉ, tổng bằng 0. Chia nhỏ bao nhiêu, hai lựa chọn vẫn cho 1 và 0, nên không có một đích chung nào. Hàm này nhảy khắp nơi, và không một hình chữ nhật nào xấp xỉ được nó trên một đoạn con.

Tích phân không phải diện tích hình học. \(\int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0\), vì phần dưới trục bên trái đối xứng với phần trên trục bên phải, dù hình giới hạn bởi đồ thị và trục hoành có diện tích dương. Muốn diện tích hình học, phải lấy tích phân của \(\lvert f \rvert\), hay tính riêng từng phần rồi đổi dấu phần âm.

Khoảng vô hạn: một diện tích dài vô tận có thể hữu hạn. Hình nằm dưới \(y = \frac{1}{x^2}\), bên phải \(x = 1\), kéo dài mãi, nhưng diện tích phần từ 1 tới \(N\) luôn nhỏ hơn 2, dù \(N\) lớn đến đâu. Với \(y = \frac1x\), hình trông gần giống thế, nhưng diện tích lớn không giới hạn. Bài C3 chứng minh cả hai bằng cách cắt khoảng thành các đoạn \([1; 2]\), \([2; 4]\), \([4; 8]\), .... Tích phân trên một khoảng vô hạn là giới hạn của tích phân trên \([1; N]\) khi \(N\) lớn dần, nếu giới hạn ấy tồn tại.

Tổng Riemann có sai số, và sai số có cỡ. Với một hàm tăng hay giảm, một tổng Riemann bất kỳ sai khác tích phân không quá \(U_n - L_n = \frac{(b - a)\lvert f(b) - f(a) \rvert}{n}\) (Định lý 2): chia gấp đôi thì sai số, theo cận ấy, giảm một nửa. Máy tính tính tích phân theo đúng ý này, với những cách chọn điểm khéo hơn cho sai số giảm nhanh hơn.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1. Cho \(f\) xác định trên \([a; b]\) và \(n\) nguyên dương. Phân hoạch đều của \([a; b]\) thành \(n\) đoạn con gồm các điểm \(x_k = a + k\,\Delta x\), \(\Delta x = \frac{b - a}{n}\), \(k = 0, \dots, n\). Với mỗi cách chọn \(c_k \in [x_{k - 1}; x_k]\), tổng \(S_n = \sum_{k=1}^{n} f(c_k)\,\Delta x\) là một tổng Riemann. Nếu trên mỗi đoạn con \(f\) có giá trị nhỏ nhất \(m_k\) và lớn nhất \(M_k\), thì \(L_n = \sum_{k=1}^{n} m_k\,\Delta x\) là tổng dưới và \(U_n = \sum_{k=1}^{n} M_k\,\Delta x\) là tổng trên; khi đó \(L_n \leq S_n \leq U_n\).

Định lý 2 (hàm tăng). Nếu \(f\) tăng trên \([a; b]\) thì tổng dưới là tổng trái, tổng trên là tổng phải, và

\[ U_n - L_n = \frac{(b - a)\big(f(b) - f(a)\big)}{n}. \]

Chứng minh. Trên \([x_{k - 1}; x_k]\), \(f\) tăng nên nhỏ nhất tại \(x_{k - 1}\) và lớn nhất tại \(x_k\). Vậy \(U_n - L_n = \Delta x \sum_{k=1}^{n} \big(f(x_k) - f(x_{k - 1})\big)\). Trong tổng này, mỗi \(f(x_k)\) với \(0 < k < n\) xuất hiện một lần với dấu cộng và một lần với dấu trừ, nên chỉ còn \(f(x_n) - f(x_0) = f(b) - f(a)\). \(\square\)

Với hàm giảm, đổi vai tổng trái và tổng phải, và \(U_n - L_n = \frac{(b - a)\big(f(a) - f(b)\big)}{n}\).

Định lý 3 (tích phân của hàm đơn điệu). Cho \(f\) tăng hoặc giảm trên \([a; b]\). Có đúng một số \(I\) sao cho \(L_n \leq I \leq U_n\) với mọi \(n\), và mọi dãy tổng Riemann \(S_n\) dồn về \(I\), dù các điểm \(c_k\) được chọn thế nào. Vậy \(f\) khả tích và \(\int_a^b f(x)\,dx = I\).

Chứng minh. Xét \(f\) tăng; trường hợp giảm tương tự. (i) Chia một đoạn con thành những đoạn nhỏ hơn thì giá trị nhỏ nhất trên mỗi phần không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất trên cả đoạn, và giá trị lớn nhất không lớn hơn; vậy chia nhỏ thêm thì tổng dưới không giảm, tổng trên không tăng. Phân hoạch \(nm\) đoạn chia nhỏ cả phân hoạch \(n\) đoạn lẫn phân hoạch \(m\) đoạn, nên \(L_n \leq L_{nm} \leq U_{nm} \leq U_m\) với mọi \(n\), \(m\). (ii) Theo (i), các đoạn \([L_{2^j}; U_{2^j}]\) lồng nhau, và theo Định lý 2, độ dài của chúng rồi sẽ nhỏ hơn mọi số dương; theo Nguyên lý 7 của Chương 11, chúng có đúng một điểm chung \(I\), và \(U_{2^j}\) dồn về \(I\). (iii) Với \(n\) bất kỳ, nếu \(L_n > I\) thì có \(j\) với \(U_{2^j} < L_n\), trái với (i); vậy \(L_n \leq I\), và tương tự \(I \leq U_n\). Không số nào khác nằm giữa mọi \(L_n\) và \(U_n\), vì \(U_n - L_n \to 0\). (iv) Vì \(S_n\) và \(I\) cùng nằm trong \([L_n; U_n]\), \(\lvert S_n - I \rvert \leq U_n - L_n \to 0\). \(\square\)

Định lý 4 (hàm liên tục, phát biểu). Nếu \(f\) liên tục trên \([a; b]\) thì \(f\) khả tích trên \([a; b]\). Theo định lý giá trị lớn nhất, \(m_k\) và \(M_k\) tồn tại; phần khó là chứng minh \(U_n - L_n \to 0\), cần một dạng mạnh hơn của tính liên tục, và ta nhận định lý này không chứng minh.

Mệnh đề 5 (tính chất). Cho \(f\), \(g\) khả tích trên các đoạn đang xét và \(c\) là hằng số.

1. \(\int_a^b (f + g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx\) và \(\int_a^b cf\,dx = c\int_a^b f\,dx\).
2. Nếu \(f(x) \leq g(x)\) với mọi \(x \in [a; b]\) thì \(\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx\).
3. \(\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx\).

Chứng minh. (1) Với cùng các điểm \(c_k\), tổng Riemann của \(f + g\) là tổng hai tổng Riemann, và tổng Riemann của \(cf\) là \(c\) lần tổng Riemann của \(f\); chuyển qua giới hạn (Chương 32, Định lý 4). (2) Mỗi tổng Riemann của \(f\) không lớn hơn tổng Riemann của \(g\) với cùng các điểm \(c_k\), và bất đẳng thức không ngặt được giữ khi chuyển qua giới hạn. (3) cần những phân hoạch không đều, có \(b\) làm một điểm chia; ta nhận nó không chứng minh. \(\square\)

Định nghĩa 6 (độ dài đường cong). Cho một đường cong đi từ \(P\) tới \(Q\). Mỗi cách chọn các điểm \(P = P_0, P_1, \dots, P_n = Q\) theo thứ tự trên đường cong cho một đường gấp khúc nội tiếp, dài \(\sum_{k=1}^{n} P_{k - 1}P_k\). Nếu độ dài các đường gấp khúc ấy dồn về cùng một số khi khoảng cách giữa hai điểm chia liên tiếp nhỏ dần, số ấy là độ dài của đường cong.

Theo bất đẳng thức tam giác, thêm một điểm chia không bao giờ làm đường gấp khúc ngắn đi, nên độ dài đường cong không nhỏ hơn độ dài của bất kỳ đường gấp khúc nội tiếp nào: chu vi đường tròn đơn vị lớn hơn 6, tức \(\pi > 3\). Vì phép quay giữ nguyên khoảng cách, nó giữ nguyên độ dài mọi đường gấp khúc, và do đó giữ nguyên độ dài cung. Đó là điều thứ hai mà Chương 30 đã nhận từ hình học, giờ suy ra được từ điều thứ nhất.

Sợi chỉ

• S5. Rời rạc và liên tục. Tích phân là giới hạn của những tổng rời rạc: hữu hạn hình chữ nhật, hữu hạn lát cắt, hữu hạn đoạn thẳng. Các công thức tổng rời rạc của Chương 18, \(\sum k\) và \(\sum k^2\), chuyển thành diện tích của tam giác và của mảnh parabol khi chia nhỏ vô hạn.
• S7. Xấp xỉ và sai số. Tổng dưới và tổng trên là hai xấp xỉ có kiểm soát, kẹp giá trị thật từ hai phía; với hàm đơn điệu, khoảng cách giữa chúng giảm như \(\frac1n\) (Định lý 2).
• S4. Cục bộ và toàn cục. Mỗi mảnh chỉ dùng thông tin cục bộ: giá trị của \(f\) ở một điểm trong một đoạn con ngắn. Tích phân cộng vô số mẩu thông tin cục bộ ấy thành một con số toàn cục: quãng đường, thể tích, lượng nước, độ dài.

Tóm tắt

• Quãng đường là diện tích dưới đồ thị vận tốc; muốn tính khi vận tốc thay đổi, chia nhỏ thời gian, coi vận tốc trong mỗi mảnh là không đổi, rồi cộng.
• Tổng Riemann \(\sum f(c_k)\,\Delta x\) xấp xỉ tích phân; tổng dưới và tổng trên kẹp giá trị thật từ hai phía.
• Tích phân \(\int_a^b f(x)\,dx\) là đích chung của các tổng Riemann khi chia nhỏ dần; dấu \(\int\) là chữ S của "summa".
• Với hàm đơn điệu, tổng trên trừ tổng dưới bằng \(\frac{(b - a)\lvert f(b) - f(a) \rvert}{n}\), nên hàm đơn điệu khả tích; hàm liên tục cũng khả tích; hàm bằng 1 tại số hữu tỉ, 0 tại số vô tỉ thì không.
• \(\int_0^1 x^2\,dx = \frac13\), và chính \(\frac13\) ấy nằm trong công thức thể tích hình nón.
• Tích phân là diện tích có dấu; nó tuyến tính và cộng theo khoảng.
• Độ dài một đường cong là giới hạn độ dài các đường gấp khúc nội tiếp; với đường tròn, nó khớp với quy ước của Chương 30.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Quãng đường đo bằng mét, còn diện tích đo bằng mét vuông. Vậy vì sao quãng đường lại là một "diện tích" dưới đồ thị vận tốc?

Lời giải

"Diện tích" dưới đồ thị không đo bằng mét vuông, mà bằng đơn vị của trục đứng nhân đơn vị của trục ngang. Với đồ thị vận tốc, đó là mét mỗi giây nhân giây, tức mét. Mỗi hình chữ nhật mỏng là "vận tốc nhân thời gian", một quãng đường ngắn. Hình ảnh diện tích chỉ là một cách nhìn; cái được cộng là các tích của hai đại lượng, và đơn vị của tích phân luôn là đơn vị của \(f\) nhân đơn vị của \(x\), như lít ở Ví dụ 4.

A2. Với một hàm giảm, tổng trái lớn hơn hay nhỏ hơn tích phân? Vẽ hình để giải thích.

Lời giải

Lớn hơn hoặc bằng. Trên mỗi đoạn con, hàm giảm có giá trị lớn nhất ở đầu trái, nên hình chữ nhật lấy chiều cao ở đầu trái trùm lên đồ thị: tổng trái là tổng trên. Ngược lại, tổng phải là tổng dưới. Với hàm tăng thì đổi vai, như ở mục Kẹp từ hai phía.

A3. Một người đọc đồng hồ tốc độ mỗi phút một lần trong suốt chuyến đi và ghi lại. Làm sao ước lượng quãng đường từ các con số ấy? Sai số phụ thuộc vào những gì?

Lời giải

Nhân mỗi tốc độ đọc được với 1 phút rồi cộng lại: đó là một tổng Riemann với \(\Delta t = 1\) phút. Sai số phụ thuộc vào độ dài mỗi bước và vào mức vận tốc thay đổi trong một bước. Nếu vận tốc chỉ tăng (hay chỉ giảm) trong cả chuyến, Định lý 2 cho cận: sai số không quá \(\Delta t\) nhân với độ chênh giữa vận tốc cuối và vận tốc đầu. Đọc dày hơn thì sai số nhỏ hơn; xe tăng giảm tốc liên tục thì các con số đọc được kém tin cậy hơn.

B. Tính toán

B1. Tính tổng dưới và tổng trên của \(x^2\) trên \([0; 1]\) với \(n = 5\). Kiểm tra rằng hiệu của chúng là \(\frac15\).

Lời giải

Dùng các công thức của Ví dụ 2 với \(n = 5\): tổng dưới \(\frac{4 \cdot 9}{150} = 0{,}24\), tổng trên \(\frac{6 \cdot 11}{150} = 0{,}44\). Hiệu là \(0{,}2 = \frac15\), đúng như Định lý 2 với \(b - a = 1\) và \(f(1) - f(0) = 1\). Tích phân \(\frac13 \approx 0{,}333\) nằm giữa hai số ấy.

B2. Dùng tổng phải để tính \(\int_0^2 x\,dx\), rồi kiểm tra bằng diện tích tam giác.

Lời giải

Với \(n\) đoạn dài \(\frac2n\), tổng phải là \(\sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n} \cdot \frac2n = \frac{4}{n^2} \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{2(n + 1)}{n} \to 2\). Tam giác dưới \(y = x\) trên \([0; 2]\) có diện tích \(\frac12 \cdot 2 \cdot 2 = 2\).

B3. Tính \(\int_0^2 x^2\,dx\) và \(\int_1^2 x^2\,dx\).

Lời giải

Theo Ví dụ 2 với \(H = 2\): \(\int_0^2 x^2\,dx = \frac83\). Theo tính chất cộng khoảng, \(\int_1^2 x^2\,dx = \int_0^2 x^2\,dx - \int_0^1 x^2\,dx = \frac83 - \frac13 = \frac73\).

B4. Tính \(\int_0^1 (3x^2 + 2x + 1)\,dx\).

Lời giải

Theo tính tuyến tính, tích phân bằng \(3\int_0^1 x^2\,dx + 2\int_0^1 x\,dx + \int_0^1 1\,dx = 3 \cdot \frac13 + 2 \cdot \frac12 + 1 = 3\). Ở đây \(\int_0^1 x\,dx = \frac12\) là diện tích tam giác, và \(\int_0^1 1\,dx = 1\) là diện tích hình vuông.

B5. Dùng lát cắt để tính thể tích hình chóp có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và chiều cao \(H\).

Lời giải

Lát cắt song song với đáy, ở khoảng cách \(x\) từ đỉnh, là một hình vuông cạnh \(\frac{ax}{H}\), diện tích \(\frac{a^2}{H^2}x^2\). Vậy \(V = \int_0^H \frac{a^2}{H^2} x^2\,dx = \frac{a^2}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3} = \frac13 a^2 H\). Lại là \(\frac13\), cùng lý do như hình nón: diện tích lát cắt tăng theo bình phương khoảng cách tới đỉnh.

B6. Tính \(\int_0^3 (x - 1)\,dx\) và diện tích hình giới hạn bởi đường \(y = x - 1\), trục hoành và hai đường \(x = 0\), \(x = 3\).

Lời giải

Theo tính tuyến tính, \(\int_0^3 (x - 1)\,dx = \int_0^3 x\,dx - \int_0^3 1\,dx = \frac92 - 3 = \frac32\). Phần dưới trục, từ 0 tới 1, là một tam giác diện tích \(\frac12\); phần trên trục, từ 1 tới 3, là một tam giác diện tích 2. Diện tích hình là \(\frac12 + 2 = \frac52\), còn tích phân là \(2 - \frac12 = \frac32\).

B7. Nước chảy ra khỏi một bể với tốc độ giả định \(r(t) = 50 - 5t\) lít mỗi phút, trong 10 phút. Tính tổng trái và tổng phải với các bước 2 phút, rồi tính lượng nước chảy ra.

Lời giải

Tốc độ tại \(t = 0, 2, 4, 6, 8, 10\) là 50, 40, 30, 20, 10, 0. Tổng trái là \(2(50 + 40 + 30 + 20 + 10) = 300\) lít, tổng phải là \(2(40 + 30 + 20 + 10 + 0) = 200\) lít. Vì \(r\) giảm, tổng trái là tổng trên. Lượng nước thật là diện tích tam giác \(\frac12 \cdot 10 \cdot 50 = 250\) lít, nằm giữa 200 và 300.

B8. Dùng công thức khoảng cách (Chương 23, Hệ quả 2) và công thức cộng để chứng tỏ hai điểm \((\cos s; \sin s)\) và \((\cos(s + u); \sin(s + u))\) cách nhau \(2\sin\frac u2\) với \(0 \leq u \leq 2\pi\). Tính chu vi đa giác đều 96 cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị, và suy ra một cận dưới cho \(\pi\).

Lời giải

Bình phương khoảng cách là \((\cos s - \cos(s + u))^2 + (\sin s - \sin(s + u))^2 = 2 - 2(\cos s\cos(s + u) + \sin s\sin(s + u)) = 2 - 2\cos u\), theo Định lý 4 và Mệnh đề 3 của Chương 30. Mà \(2 - 2\cos u = 4\sin^2\frac u2\), và \(\sin\frac u2 \geq 0\) khi \(0 \leq u \leq 2\pi\), nên khoảng cách là \(2\sin\frac u2\). Đa giác 96 cạnh có chu vi \(2 \cdot 96 \cdot \sin\frac{\pi}{96} \approx 6{,}28206\). Vì chu vi đường tròn \(2\pi\) lớn hơn chu vi mọi đa giác nội tiếp, \(\pi > 3{,}1410\).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Dùng công thức \(1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2\) của Chương 18 để chứng minh \(\int_0^1 x^3\,dx = \frac14\). Nhìn ba kết quả \(\int_0^1 x\,dx = \frac12\), \(\int_0^1 x^2\,dx = \frac13\), \(\int_0^1 x^3\,dx = \frac14\), hãy đoán \(\int_0^1 x^m\,dx\).

Lời giải

Vì \(x^3\) tăng trên \([0; 1]\), tổng phải là tổng trên: \(\sum_{k=1}^{n} \left(\frac kn\right)^3 \frac1n = \frac{1}{n^4}\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 = \frac{(n + 1)^2}{4n^2}\), dồn về \(\frac14\). Tổng dưới là tổng trên trừ \(\frac1n\) (Định lý 2), cũng dồn về \(\frac14\). Theo Định lý 3, \(\int_0^1 x^3\,dx = \frac14\). \(\square\) Mẫu hình gợi ý \(\int_0^1 x^m\,dx = \frac{1}{m + 1}\). Chứng minh bằng tổng cần công thức cho \(1^m + \dots + n^m\), ngày càng rối; Chương 38 sẽ cho một đường tắt.

C2. Chứng minh rằng hàm \(D\) ở mục Ranh giới không khả tích trên \([0; 1]\), còn hàm \(E\) bằng 1 tại \(x = \frac12\) và bằng 0 tại mọi điểm khác thì khả tích, với tích phân 0. Hai hàm đều gián đoạn; khác nhau ở đâu?

Lời giải

Với \(D\): mọi đoạn con chứa cả số hữu tỉ lẫn số vô tỉ, nên chọn mọi \(c_k\) hữu tỉ cho tổng Riemann bằng \(\sum 1 \cdot \Delta x = 1\), còn chọn mọi \(c_k\) vô tỉ cho tổng bằng 0, với mọi \(n\). Hai dãy tổng Riemann dồn về hai số khác nhau, nên \(D\) không khả tích. Với \(E\): một tổng Riemann chỉ khác 0 khi có \(c_k = \frac12\); điểm \(\frac12\) nằm trong nhiều nhất hai đoạn con, nên tổng nằm giữa 0 và \(2\Delta x = \frac2n\), dồn về 0. \(\square\) \(D\) gián đoạn ở mọi điểm, còn \(E\) chỉ gián đoạn ở một điểm: một điểm có "bề rộng" 0 không đóng góp gì vào tổng.

C3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(m\): (a) diện tích dưới \(y = \frac{1}{x^2}\) trên \([1; 2^m]\) nhỏ hơn 2; (b) diện tích dưới \(y = \frac1x\) trên \([1; 2^m]\) lớn hơn hoặc bằng \(\frac m2\). (Gợi ý: cắt thành các đoạn \([2^j; 2^{j + 1}]\) và dùng Mệnh đề 5.)

Lời giải

Đoạn \([2^j; 2^{j + 1}]\) dài \(2^j\). (a) Trên đoạn ấy, \(\frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{4^j}\), nên theo Mệnh đề 5(2), diện tích không quá \(2^j \cdot \frac{1}{4^j} = \frac{1}{2^j}\). Cộng các đoạn với \(j = 0, 1, \dots, m - 1\) (Mệnh đề 5(3)): diện tích không quá \(1 + \frac12 + \dots + \frac{1}{2^{m - 1}} = 2 - \frac{1}{2^{m - 1}} < 2\) (Chương 31, Định lý 1). (b) Trên đoạn ấy, \(\frac1x \geq \frac{1}{2^{j + 1}}\), nên diện tích ít nhất là \(2^j \cdot \frac{1}{2^{j + 1}} = \frac12\); cộng \(m\) đoạn được ít nhất \(\frac m2\). \(\square\) Hai hình trông giống nhau, nhưng \(\frac{1}{x^2}\) giảm đủ nhanh để mỗi đoạn gấp đôi chỉ đóng góp một nửa đoạn trước, còn \(\frac1x\) thì mỗi đoạn gấp đôi vẫn đóng góp ít nhất \(\frac12\), và \(\frac m2\) lớn không giới hạn.

Câu hỏi để ngỏ

Tính tích phân bằng giới hạn của tổng thật cực nhọc, ngay cả với \(x^2\). Có đường tắt nào không? Có mối liên hệ nào giữa cộng dồn (tích phân) và tốc độ (đạo hàm)?