Chương 9: Chia cho 0

Câu hỏi mở đầu

Phép chia có dư luôn làm được khi số chia khác 0, và ta đã hiểu khá rõ số nào chia hết cho số nào. Nhưng còn một trường hợp mà mọi định lý ở chương trước đều né tránh: số chia bằng 0. Vì sao ai cũng nói "không được chia cho 0"? Đó chỉ là một lệnh cấm do người ta đặt ra, hay nếu cố tình cho phép, thì sẽ có điều gì sụp đổ?

Một lệnh cấm hay một sự bất khả?

Ai cũng từng nghe "không được chia cho 0". Bấm \(7 : 0\) trên máy tính bỏ túi, màn hình báo lỗi. Trong nhiều chương trình máy tính, một phép chia cho 0 làm chương trình dừng giữa chừng. Nhưng một lệnh cấm chưa phải là một lời giải thích.

Ta đã gặp hai loại "không được". Loại thứ nhất là quy ước: ở Chương 5, thứ tự thực hiện phép tính là một thỏa thuận viết; ta có thể thỏa thuận khác mà không có gì sụp đổ. Loại thứ hai là sự bất khả về cấu trúc: ở Chương 1, không ai lát kín được bàn cờ bị cắt hai góc, dù được phép thử bao nhiêu lần. Còn một bài học nữa từ Chương 7: khi \(3 - 5\) không có đáp án, ta đã thêm số mới và mọi thứ vẫn ổn. Vậy "không được chia cho 0" thuộc loại nào? Có thể thêm một số mới làm đáp án cho \(7 : 0\), như đã làm với số âm, không?

Chương này sẽ cho thấy câu trả lời: đây là một sự bất khả về cấu trúc. Và không giống như phép trừ, ở đây mở rộng thế giới số không cứu được gì, trừ khi ta chịu phá bỏ chính những luật đã làm nên số học.

Chia là hỏi "bao nhiêu lần"

Chia 12 cho 3 là hỏi: phải lấy bao nhiêu lần 3 để được 12? Câu trả lời là 4, vì \(3 + 3 + 3 + 3 = 12\). Theo ngôn ngữ của Chương 6, đó là tìm số \(x\) sao cho \(3 \cdot x = 12\).

Giờ hỏi: phải lấy bao nhiêu lần 0 để được 12? Cộng bao nhiêu số 0 vào với nhau thì vẫn chỉ được 0, không bao giờ tới được 12. Không có đáp án nào.

Còn câu hỏi: phải lấy bao nhiêu lần 0 để được 0? Một lần cũng được, bảy lần cũng được, một nghìn lần cũng được. Đáp án nào cũng đúng, nên câu hỏi "là bao nhiêu" không có một đáp án.

Đây là hai kiểu thất bại khác nhau:

• \(12 : 0\) thất bại vì không có số nào thỏa;
• \(0 : 0\) thất bại vì số nào cũng thỏa.

Cả hai quy về một sự thật đã biết: nhân với 0 thì được 0, bất kể nhân với số nào. Theo ngôn ngữ của Chương 6, biến đổi "nhân với 0" dồn mọi đầu vào về một đầu ra duy nhất. Nó làm mất sạch thông tin, nên không có phép tháo ngược: đầu ra 12 không có đầu vào nào dẫn tới, còn đầu ra 0 thì mọi đầu vào đều dẫn tới.

"Nhân với 0" đưa mọi đầu vào về 0. Muốn tháo ngược: từ 12 không có đường nào quay về; từ 0 thì có quá nhiều đường.

Chia cho những số rất nhỏ. Dù không chia được cho 0, ta vẫn chia được cho những số rất gần 0 (các số thập phân quen thuộc ở trường, sẽ được dựng lại cẩn thận ở hai chương sau). Một chia cho 0,1 là hỏi phải lấy bao nhiêu lần 0,1 để được 1: mười lần. Chia cho 0,01 thì cần một trăm lần, chia cho 0,001 thì cần một nghìn lần. Số chia càng nhỏ, thương càng lớn, và lớn không giới hạn.

Với những số âm rất gần 0 thì ngược lại: \(1 : (-0{,}1) = -10\), \(1 : (-0{,}01) = -100\). Thương lao xuống, âm không giới hạn.

Khi \(x\) tiến gần 0, thương \(1 : x\) vọt lên nếu \(x\) dương và lao xuống nếu \(x\) âm. Không một giá trị nào tại \(x = 0\) có thể nối liền hai nhánh.

Hình vẽ cho thấy thêm một lý do để không gán cho \(1 : 0\) một giá trị nào: từ hai phía, các thương đi về hai hướng ngược nhau. Không có con số nào "nằm cuối" cả hai nhánh.

Ký hiệu

Ta nói một biểu thức là không xác định (undefined) khi nó không chỉ ra một số nào. \(12 : 0\) không xác định. \(0 : 0\) cũng không xác định; riêng kiểu này còn được gọi là vô định (indeterminate), để nhấn mạnh rằng vấn đề nằm ở chỗ có quá nhiều ứng viên. Tên gọi "vô định" sẽ quay lại ở Phần IV, nơi những biểu thức có dạng "\(0 : 0\)" hóa ra là cửa ngõ của cả môn giải tích.

Với phương trình \(b \cdot x = a\), cùng hai kiểu thất bại có tên quen thuộc: phương trình vô nghiệm (has no solution) khi không số nào thỏa, và có vô số nghiệm (infinitely many solutions) khi vô số số thỏa. Khi \(b = 0\): nếu \(a \neq 0\) thì vô nghiệm; nếu \(a = 0\) thì mọi \(x\) đều là nghiệm.

Ký hiệu \(\infty\), đọc là vô cực (infinity), dùng để nói "lớn không giới hạn", như trong câu "khi \(x\) dương tiến về 0, \(1 : x\) tiến ra \(+\infty\)". Nó không phải một số tự nhiên hay số nguyên nào, và viết \(1 : 0 = \infty\) trong số học thông thường là một lỗi. Phần IV sẽ cho các câu có \(\infty\) một nghĩa chính xác.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (chia 0 thì được, chia cho 0 thì không). Tính \(0 : 7\), và giải thích vì sao \(7 : 0\) và \(0 : 0\) không xác định.

\(0 : 7\) là số \(x\) với \(7 \cdot x = 0\). Có đúng một số như vậy: \(x = 0\) (theo luật giản ước của Chương 6, vì \(7 \neq 0\)). Vậy \(0 : 7 = 0\): chia 0 cái bánh cho 7 người thì mỗi người được 0 cái. \(7 : 0\) là số \(x\) với \(0 \cdot x = 7\); nhưng \(0 \cdot x = 0 \neq 7\) với mọi \(x\), nên không có số nào. \(0 : 0\) là số \(x\) với \(0 \cdot x = 0\), và mọi \(x\) đều thỏa, nên không có một số nào để chọn.

Ví dụ 2 (tìm bước sai). Dưới đây là một "chứng minh" quen thuộc rằng \(2 = 1\). Hãy tìm bước sai.

Mỗi bước trông hợp lệ, trừ bước được khoanh: chia hai vế cho \(a - b\), trong khi giả thiết \(a = b\) làm cho \(a - b = 0\).

Hãy kiểm tra từng dòng với \(a = b = 1\) (công cụ "thay số cụ thể" của Chương 2). Dòng 1: \(1 = 1\), đúng. Dòng 2: \(1 = 1\), đúng. Dòng 3: \(0 = 0\), đúng. Dòng 4: \(0 \cdot 2 = 1 \cdot 0\), tức \(0 = 0\), đúng. Dòng 5: \(2 = 1\), sai. Vậy bước hỏng là bước từ dòng 4 sang dòng 5. Ở bước ấy, ta "giản ước" thừa số \(a - b\) ở hai vế, tức chia hai vế cho \(a - b\). Nhưng \(a - b = 0\), và từ \(0 \cdot 2 = 0 \cdot 1\) không suy ra được \(2 = 1\). Luật giản ước của phép nhân chỉ đúng khi thừa số bị giản ước khác 0.

Ví dụ 3 (mất nghiệm khi chia). Giải phương trình \(x(x - 2) = 3(x - 2)\) trong các số nguyên.

Nếu vội chia hai vế cho \(x - 2\), ta được \(x = 3\) và bỏ sót một nghiệm. Cách làm đúng: chuyển vế, \(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0\), tức \((x - 2)(x - 3) = 0\). Một tích bằng 0 khi có một thừa số bằng 0 (bài C3), nên \(x = 2\) hoặc \(x = 3\). Kiểm lại \(x = 2\): vế trái \(2 \cdot 0 = 0\), vế phải \(3 \cdot 0 = 0\), đúng. Nghiệm \(x = 2\) chính là giá trị làm cho "số chia" \(x - 2\) bằng 0, nên nó biến mất khi ta chia.

Ví dụ 4 (tỉ lệ khi chưa có gì để chia). Đội A thắng 3 trong 5 trận, đội B thắng 0 trong 4 trận, đội C chưa đá trận nào. Tỉ lệ thắng của mỗi đội là bao nhiêu?

Đội A: \(3 : 5 = 0{,}6\), tức 60%. Đội B: \(0 : 4 = 0\), tức 0%. Đội C: \(0 : 0\), không xác định. Ghi 0% cho đội C là sai, vì nó nói đội C "thua mọi trận"; ghi 100% cũng sai. Cách đúng là ghi "chưa có dữ liệu". Các bảng thống kê cẩn thận làm đúng như vậy: chúng phân biệt "bằng 0" với "không xác định".

Nếu cứ thêm một số mới thì sao?

Ở Chương 7, phép trừ gặp khó và ta đã thêm số âm. Hãy thử làm y như vậy: thêm một số mới, đặt tên là \(\omega\), với tính chất \(0 \cdot \omega = 1\) (tức \(\omega = 1 : 0\)), và giữ nguyên mọi luật của phép cộng và phép nhân. Điều gì xảy ra?

Vì \(0 = 0 + 0\), tính phân phối cho

\[ 1 = 0 \cdot \omega = (0 + 0) \cdot \omega = 0 \cdot \omega + 0 \cdot \omega = 1 + 1 = 2 . \]

Ta được \(1 = 2\). Việc thêm \(\omega\) đã phá hỏng cả hệ thống. Lối thoát duy nhất là từ bỏ ít nhất một luật, mà mỗi luật đều đang đỡ cho những điều ta cần. Phần phát biểu chặt chẽ sẽ cho thấy tình hình còn tệ hơn: một hệ thống giữ mọi luật mà chia được cho 0 chỉ có thể có đúng một số, là số 0.

Có những hệ thống chịu trả giá. Trong toán học có những cấu trúc thêm một "điểm vô cực" vào các số, và chúng rất hữu ích ở những lĩnh vực chuyên sâu. Nhưng cái giá phải trả là một số luật quen thuộc không còn đúng. Chẳng hạn, nếu \(1 + \infty = \infty = 0 + \infty\) mà vẫn giữ luật giản ước của phép cộng, ta sẽ suy ra \(1 = 0\). Vì thế các hệ thống ấy phải để những biểu thức như \(\infty - \infty\) hay \(0 \cdot \infty\) không xác định (bài C2). Không có bữa trưa miễn phí.

Máy tính cũng phải chọn. Chuẩn số dấu phẩy động mà nhiều máy tính dùng có sẵn những giá trị đặc biệt: một phép chia số dương cho 0 cho ra một giá trị gọi là "vô cực", còn \(0 : 0\) cho ra một giá trị gọi là "không phải số" (thường viết tắt là NaN). Một số ngôn ngữ lập trình dùng các giá trị ấy, số khác thì báo lỗi. Đây là quy ước kỹ thuật để một phép tính hỏng không làm sụp cả chương trình. Và quy ước ấy có hệ quả lạ: giá trị "không phải số" được quy định là không bằng chính nó. Tính phản xạ của dấu bằng, một trong ba tính chất bắt buộc của mọi cách đồng nhất ở Chương 3, bị cố ý phá đi, để mọi phép so sánh liên quan tới dữ liệu hỏng đều báo "sai".

Gần 0 thì có nghĩa, đúng bằng 0 thì không. Câu hỏi "chia cho một số rất nhỏ thì được gì" có câu trả lời rõ ràng: một số rất lớn. Câu hỏi "chia cho đúng 0 thì được gì" thì không. Khoảng cách giữa "rất gần" và "đúng bằng" này sẽ là trung tâm của Phần IV. Ở đó ta sẽ gặp một biểu thức có dạng \(0 : 0\) mang ý nghĩa rất thật: vận tốc tức thời, tức quãng đường đi được trong một khoảng thời gian bằng 0, chia cho chính khoảng thời gian ấy.

Một ví dụ báo trước: hai biểu thức \((x^2 - x) : (x - 1)\) và \((2x - 2) : (x - 1)\) đều có dạng \(0 : 0\) khi \(x = 1\). Với mọi \(x \neq 1\), biểu thức thứ nhất bằng \(x\), biểu thức thứ hai bằng 2.

Cả hai biểu thức đều có "lỗ" tại \(x = 1\), nơi chúng có dạng \(0 : 0\). Quanh lỗ, biểu thức thứ nhất gần 1, biểu thức thứ hai gần 2. Nếu \(0 : 0\) có một giá trị cố định, nó không thể vừa là 1 vừa là 2.

Phát biểu chặt chẽ

Trong chương này, "một hệ số tuân theo các luật" nghĩa là một hệ thống có phép cộng, phép nhân, các số 0 và 1, thỏa mọi luật đã dùng ở Chương 7: giao hoán, kết hợp của cả hai phép toán; \(a + 0 = a\); \(a \cdot 1 = a\); mọi phần tử có số đối; và tính phân phối. Các số nguyên là một hệ như vậy.

Định nghĩa (phép chia). Trong một hệ số, \(a : b\) là số \(x\) duy nhất thỏa \(b \cdot x = a\), nếu có đúng một số như vậy. Nếu không có số nào, hoặc có nhiều hơn một số, thì \(a : b\) không xác định.

Mệnh đề 1. Trong một hệ số tuân theo các luật, với mọi \(x\) ta có \(0 \cdot x = 0\). Do đó: nếu \(a \neq 0\), không có \(x\) nào thỏa \(0 \cdot x = a\); và mọi \(x\) đều thỏa \(0 \cdot x = 0\). Nếu hệ có ít nhất hai phần tử, thì \(a : 0\) không xác định với mọi \(a\).

Chứng minh. Đẳng thức \(0 \cdot x = 0\) là Mệnh đề 2 ở Chương 7, chỉ dùng các luật. Nếu \(a \neq 0\) thì \(0 \cdot x = 0 \neq a\) với mọi \(x\): không có nghiệm. Nếu \(a = 0\) thì mọi \(x\) đều là nghiệm; khi hệ có ít nhất hai phần tử, nghiệm không duy nhất. Trong cả hai trường hợp, \(a : 0\) không xác định. \(\square\)

Mệnh đề 2 (chia được cho 0 thì mọi thứ sụp đổ). Nếu trong một hệ số tuân theo các luật có một phần tử \(\omega\) với \(0 \cdot \omega = 1\), thì \(1 = 0\), và mọi phần tử của hệ đều bằng 0.

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1, \(0 \cdot \omega = 0\). Kết hợp với giả thiết \(0 \cdot \omega = 1\), ta được \(1 = 0\). Khi đó, với mọi phần tử \(a\), dùng phần tử trung hòa của phép nhân rồi Mệnh đề 1:

\[ a = a \cdot 1 = a \cdot 0 = 0 . \quad \square \]

Mệnh đề 2 trả lời dứt khoát câu hỏi mở đầu. "Không được chia cho 0" không phải một lệnh cấm tùy tiện. Nó là cái giá bắt buộc của việc giữ các luật cộng và nhân: muốn chia được cho 0, hệ số của ta phải co lại chỉ còn một phần tử, và mọi phép tính đều cho kết quả 0.

Mệnh đề 3 (giản ước khi nhân). Trong các số nguyên, nếu \(c \neq 0\) và \(a \cdot c = b \cdot c\) thì \(a = b\). Nếu \(c = 0\) thì từ \(a \cdot c = b \cdot c\) không suy ra được gì về \(a\) và \(b\).

Chứng minh. Từ \(a \cdot c = b \cdot c\) suy ra \((a - b) \cdot c = 0\). Theo bài C3, một tích số nguyên bằng 0 thì có một thừa số bằng 0; vì \(c \neq 0\) nên \(a - b = 0\), tức \(a = b\). Khi \(c = 0\), đẳng thức \(a \cdot 0 = b \cdot 0\) đúng với mọi \(a\), \(b\), chẳng hạn \(2 \cdot 0 = 1 \cdot 0\) mà \(2 \neq 1\). \(\square\)

Mệnh đề 3 là lý do toán học đằng sau Ví dụ 2 và Ví dụ 3: mỗi lần "giản ước" hay "chia hai vế", phải hỏi thừa số ấy có thể bằng 0 không.

Sợi chỉ

• S2. Thông tin và khả nghịch. "Nhân với 0" dồn mọi đầu vào về một đầu ra, mất sạch thông tin, nên không có phép tháo ngược: đây là lý do sâu xa khiến phép chia cho 0 không tồn tại, đúng theo tinh thần của Chương 6.
• S4. Cục bộ và toàn cục. Ở gần 0, biểu thức \(1 : x\) hành xử hoàn toàn khác mọi chỗ khác: vọt lên từ bên phải, lao xuống từ bên trái. Muốn hiểu một biểu thức ở gần một điểm mà không đụng vào chính điểm ấy, ta cần công cụ riêng, và Phần IV sẽ xây nó.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Các luật cộng và nhân là cái ta muốn giữ bất biến khi mở rộng hệ số; Mệnh đề 2 cho thấy giữ chúng và thêm một đáp án cho \(1 : 0\) là hai mong muốn không thể cùng đạt được.

Tóm tắt

• Chia \(a\) cho \(b\) là tìm số \(x\) duy nhất với \(b \cdot x = a\); phép chia là phép tháo ngược của phép nhân.
• \(a : 0\) với \(a \neq 0\) không xác định vì không có số nào thỏa; \(0 : 0\) không xác định (vô định) vì mọi số đều thỏa.
• Cả hai đều bắt nguồn từ một sự thật: nhân với 0 được 0, tức "nhân với 0" làm mất sạch thông tin và không có phép tháo ngược.
• Thêm một số mới làm đáp án cho \(1 : 0\) mà vẫn giữ các luật thì suy ra \(1 = 0\) và mọi số đều bằng 0; vì thế "không chia cho 0" là một sự bất khả, không phải một lệnh cấm tùy tiện.
• Những hệ thống có "vô cực" phải hy sinh một số luật; máy tính dùng các giá trị đặc biệt như một quy ước kỹ thuật.
• Chia hai vế một phương trình cho một biểu thức có thể bằng 0 là nguồn gốc của những "chứng minh" sai và những nghiệm bị bỏ sót.
• Chia cho những số rất gần 0 thì có nghĩa và cho kết quả rất lớn; khoảng cách giữa "rất gần 0" và "đúng bằng 0" là cửa ngõ của giải tích.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Giải thích bằng lời của mình vì sao \(12 : 0\) và \(0 : 0\) đều không xác định nhưng vì hai lý do khác nhau. Dùng hình ảnh "phải lấy bao nhiêu lần 0".

Lời giải

\(12 : 0\) hỏi: phải lấy bao nhiêu lần 0 để được 12? Cộng bao nhiêu số 0 cũng chỉ được 0, không bao giờ tới 12. Câu hỏi không có đáp án nào: đó là thất bại vì thiếu.

\(0 : 0\) hỏi: phải lấy bao nhiêu lần 0 để được 0? Lấy một lần, hai lần hay một nghìn lần đều được. Câu hỏi có quá nhiều đáp án, nên không chỉ ra một số nào: đó là thất bại vì thừa. Một phép toán phải cho đúng một kết quả, và cả hai trường hợp đều vi phạm yêu cầu ấy, theo hai hướng ngược nhau.

A2. Một bảng xếp hạng ghi tỉ lệ thắng của một đội chưa đá trận nào là "chưa có dữ liệu", thay vì 0% hay 100%. Vì sao cách ghi này là đúng? Nếu một phần mềm tự động ghi 0% thì có thể dẫn tới quyết định sai nào?

Lời giải

Tỉ lệ thắng là số trận thắng chia cho số trận đã đá. Với đội chưa đá trận nào, đó là \(0 : 0\), không xác định: đội ấy chưa thắng, cũng chưa thua. Ghi 0% là khẳng định sai rằng đội thua mọi trận; ghi 100% là khẳng định sai rằng đội thắng mọi trận.

Nếu phần mềm ghi 0%, một người xem bảng có thể xếp đội ấy vào nhóm yếu nhất, hoặc một thuật toán tính điểm trung bình sẽ kéo điểm trung bình của cả giải xuống vì một con số không có thật. Phân biệt "bằng 0" với "không xác định" là phân biệt "đã đo và được 0" với "chưa đo được gì".

A3. Trong nhiều máy tính, phép \(0{,}0 : 0{,}0\) cho ra giá trị "không phải số" (NaN), và giá trị này được quy định là không bằng chính nó. Tính chất nào ở Chương 3 bị phá? Vì sao các kỹ sư vẫn chọn quy ước này?

Lời giải

Tính phản xạ của quan hệ bằng nhau (\(a = a\) với mọi \(a\)) bị phá: có một giá trị không bằng chính nó. Theo Chương 3, một quan hệ thiếu tính phản xạ không phải là một cách đồng nhất hợp lệ; nghĩa là máy tính cố ý coi "không phải số" là thứ nằm ngoài mọi phép so sánh bình thường.

Các kỹ sư chọn quy ước này vì mục đích thực tế: khi một phép tính hỏng, thay vì dừng cả chương trình, giá trị hỏng được mang theo trong các phép tính tiếp, và mọi phép so sánh với nó đều cho "sai", nên nó không thể lặng lẽ lọt qua một phép kiểm tra "có bằng nhau không". Đây là một quy ước kỹ thuật phục vụ an toàn, không phải một sự thật toán học về số; và vì phá tính phản xạ, nó phải được dùng rất cẩn thận.

B. Tính toán

B1. Tính giá trị, hoặc giải thích vì sao không xác định: (a) \(0 : 7\); (b) \(7 : 0\); (c) \(0 : 0\); (d) \((5 - 5) : 3\); (e) \(3 : (5 - 5)\).

Lời giải

(a) \(0\), vì \(7 \cdot 0 = 0\) và đó là số duy nhất như vậy. (b) Không xác định: không có \(x\) nào thỏa \(0 \cdot x = 7\). (c) Không xác định (vô định): mọi \(x\) đều thỏa \(0 \cdot x = 0\). (d) \((5 - 5) : 3 = 0 : 3 = 0\). (e) \(3 : (5 - 5) = 3 : 0\), không xác định. Để ý rằng (d) và (e) chỉ khác nhau ở chỗ số 0 nằm ở tử hay ở số chia.

B2. Tính \(1 : 0{,}5\), \(1 : 0{,}25\), \(1 : 0{,}2\), \(1 : 0{,}1\), \(1 : 0{,}05\) và \(1 : (-0{,}5)\), \(1 : (-0{,}1)\). Em nhận thấy gì khi số chia tiến gần 0 từ hai phía?

Lời giải

\(1 : 0{,}5 = 2\) (hai lần 0,5 được 1); \(1 : 0{,}25 = 4\); \(1 : 0{,}2 = 5\); \(1 : 0{,}1 = 10\); \(1 : 0{,}05 = 20\). Và \(1 : (-0{,}5) = -2\); \(1 : (-0{,}1) = -10\).

Khi số chia dương nhỏ dần về 0, thương lớn dần không giới hạn; khi số chia âm tiến về 0, thương âm và lao xuống không giới hạn. Hai phía đi về hai hướng ngược nhau, nên không có giá trị nào hợp lý cho \(1 : 0\).

B3. Giải trong các số nguyên: (a) \(x(x - 2) = 3(x - 2)\); (b) \(0 \cdot x = 5\); (c) \(0 \cdot x = 0\); (d) \((x + 1)(x - 4) = 0\).

Lời giải

(a) Chuyển vế: \((x - 2)(x - 3) = 0\), nên \(x = 2\) hoặc \(x = 3\). (Chia hai vế cho \(x - 2\) sẽ làm mất nghiệm \(x = 2\).)

(b) Vô nghiệm, vì \(0 \cdot x = 0 \neq 5\) với mọi \(x\).

(c) Mọi số nguyên đều là nghiệm: vô số nghiệm.

(d) Tích bằng 0 khi có một thừa số bằng 0: \(x = -1\) hoặc \(x = 4\).

B4. Với \(x \neq 1\), rút gọn \((x^2 - x) : (x - 1)\) và \((2x - 2) : (x - 1)\). Thay \(x = 1{,}1\) và \(x = 0{,}9\) vào mỗi biểu thức đã rút gọn. Giải thích vì sao ví dụ này cho thấy \(0 : 0\) không thể có một giá trị cố định.

Lời giải

\((x^2 - x) : (x - 1) = x(x - 1) : (x - 1) = x\), và \((2x - 2) : (x - 1) = 2(x - 1) : (x - 1) = 2\), với mọi \(x \neq 1\).

Tại \(x = 1{,}1\): biểu thức thứ nhất bằng 1,1, biểu thức thứ hai bằng 2. Tại \(x = 0{,}9\): biểu thức thứ nhất bằng 0,9, biểu thức thứ hai bằng 2.

Tại đúng \(x = 1\), cả hai biểu thức ban đầu đều có dạng \(0 : 0\). Nhưng quanh \(x = 1\), biểu thức thứ nhất rất gần 1, còn biểu thức thứ hai luôn bằng 2. Nếu gán cho \(0 : 0\) một giá trị cố định, nó không thể phù hợp với cả hai: dạng \(0 : 0\) tự nó không mang thông tin, thông tin nằm ở cách tử và mẫu cùng tiến về 0.

B5. Một chiếc xe đi 120 km trong 2 giờ. Vận tốc trung bình là bao nhiêu? Nếu ai đó nói một chiếc xe "đi 120 km trong 0 giờ", vận tốc trung bình có nghĩa không? Còn "đi 0 km trong 0 giờ" thì sao?

Lời giải

Vận tốc trung bình là \(120 : 2 = 60\) km/giờ.

"120 km trong 0 giờ" cho \(120 : 0\), không xác định: không có chuyển động thật nào đi được quãng đường khác 0 trong thời gian bằng 0. "0 km trong 0 giờ" cho \(0 : 0\), vô định: câu ấy không cho biết gì về vận tốc. Nhưng câu hỏi "vận tốc tại đúng một thời điểm" chính là cố gắng hiểu \(0 : 0\) theo cách có nghĩa, bằng cách xét những khoảng thời gian ngày càng ngắn; đó là việc của Phần IV.

B6. Muốn \(1 : x\) lớn hơn 1.000.000, với \(x\) là một số dương, thì \(x\) phải nhỏ hơn bao nhiêu? Muốn \(1 : x\) nhỏ hơn \(-1.000.000\) thì sao?

Lời giải

Với \(x\) dương, \(1 : x > 1.000.000\) khi và chỉ khi \(x < 1 : 1.000.000 = 0{,}000001\). Vậy mọi số dương nhỏ hơn một phần triệu đều cho thương vượt một triệu.

Với \(x\) âm, \(1 : x < -1.000.000\) khi và chỉ khi \(x\) nằm giữa \(-0{,}000001\) và 0. Ta chọn được thương lớn tùy ý bằng cách chọn số chia đủ gần 0: đó là ý nghĩa chính xác của câu "thương lớn không giới hạn".

B7. Định lý chia có dư ở Chương 6 đòi hỏi số chia \(b \geq 1\). Thử áp dụng nó với \(b = 0\): có tồn tại \(q\), \(r\) với \(17 = 0 \cdot q + r\) và \(0 \leq r < 0\) không?

Lời giải

Điều kiện \(0 \leq r < 0\) không có số nào thỏa: không số nào vừa lớn hơn hoặc bằng 0 vừa nhỏ hơn 0. Vậy không có cặp \(q\), \(r\) nào. Ngay cả khi nới điều kiện của \(r\), đẳng thức \(17 = 0 \cdot q + r\) buộc \(r = 17\) với mọi \(q\), nên thương không xác định được. Điều kiện \(b \geq 1\) trong định lý không phải một chi tiết thừa.

B8. Kiểm tra từng dòng của "chứng minh" \(2 = 1\) ở Ví dụ 2 với \(a = b = 3\). Dòng nào là dòng sai đầu tiên?

Lời giải

Dòng 1: \(3 = 3\). Dòng 2: \(9 = 9\). Dòng 3: \(9 - 9 = 9 - 9\), tức \(0 = 0\). Dòng 4: \((3 - 3)(3 + 3) = 3 \cdot (3 - 3)\), tức \(0 = 0\). Dòng 5: \(3 + 3 = 3\), tức \(6 = 3\): sai. Dòng sai đầu tiên là dòng 5, ra đời từ việc chia hai vế cho \(a - b = 0\).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng trong các số nguyên, nếu \(c \neq 0\) thì phương trình \(c \cdot x = 0\) chỉ có nghiệm \(x = 0\), còn nếu \(c = 0\) thì mọi \(x\) đều là nghiệm.

Lời giải

Nếu \(c = 0\), theo Mệnh đề 1, \(0 \cdot x = 0\) với mọi \(x\), nên mọi số nguyên đều là nghiệm.

Nếu \(c \neq 0\) và \(c \cdot x = 0\), theo bài C3 thì \(c = 0\) hoặc \(x = 0\); vì \(c \neq 0\), ta có \(x = 0\). Ngược lại \(c \cdot 0 = 0\), nên \(x = 0\) đúng là nghiệm. \(\square\)

C2. Giả sử có người thêm vào các số nguyên một ký hiệu mới \(\infty\) với quy tắc \(a + \infty = \infty\) cho mọi số nguyên \(a\). Chứng minh rằng nếu luật giản ước của phép cộng (nếu \(a + x = b + x\) thì \(a = b\)) còn đúng khi \(x = \infty\), thì \(1 = 0\). Suy ra trong hệ thống ấy, \(\infty\) không thể có số đối, tức \(\infty - \infty\) không xác định được.

Lời giải

Theo quy tắc, \(1 + \infty = \infty\) và \(0 + \infty = \infty\), nên \(1 + \infty = 0 + \infty\). Nếu luật giản ước đúng với \(x = \infty\), ta suy ra \(1 = 0\), vô lý.

Nếu \(\infty\) có một số đối \(-\infty\) với \(\infty + (-\infty) = 0\), thì cộng \(-\infty\) vào hai vế của \(1 + \infty = 0 + \infty\) và dùng tính kết hợp, ta được \(1 = 0\), cũng vô lý. Vậy \(\infty\) không thể có số đối, và biểu thức \(\infty - \infty\), nếu hiểu là \(\infty + (-\infty)\), không có nghĩa. Muốn giữ \(\infty\), hệ thống phải bỏ luật giản ước cho nó. \(\square\)

C3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(a\), \(b\): nếu \(a \cdot b = 0\) thì \(a = 0\) hoặc \(b = 0\).

Lời giải

Giả sử ngược lại, \(a \neq 0\) và \(b \neq 0\). Khi đó \(|a| \geq 1\) và \(|b| \geq 1\) là hai số tự nhiên khác 0. Theo quy tắc dấu ở Chương 7, \(a \cdot b\) bằng \(|a| \cdot |b|\) hoặc bằng số đối của nó. Theo bài C2 của Chương 5, tích của hai số tự nhiên khác 0 thì khác 0, nên \(|a| \cdot |b| \geq 1\). Vậy \(a \cdot b \neq 0\), trái với giả thiết. Do đó \(a = 0\) hoặc \(b = 0\). \(\square\)

Câu hỏi để ngỏ

Chia cho 0 là không thể, dù ta mở rộng thế giới số theo cách nào mà vẫn giữ được các luật. Nhưng \(7 : 2\) thì khác: nó không có đáp án chỉ vì trong các số nguyên chưa có số nào để trả lời, chứ không phải vì một sự bất khả. Vậy để \(7 : 2\) có đáp án, ta phải thêm những số mới nào? Chúng phải tuân theo những luật gì để các luật cũ không bị phá, và lần này việc mở rộng có thành công không?