Chương 5: Phép cộng và phép nhân như cấu trúc¶
Câu hỏi mở đầu
Ta đã có số, có thứ tự, có cách viết. Nhưng con số chưa làm được gì. Khi gộp hai nhóm lại, như hai đàn cừu nhập một, số lượng mới phụ thuộc thế nào vào hai số lượng cũ? Và khi gộp nhiều nhóm bằng nhau, như năm chuồng mỗi chuồng bảy con, có cách nào "đếm nhanh" mà không phải đếm lại từ đầu?
Gộp lại thì được bao nhiêu?¶
Hai đàn cừu, một đàn 23 con và một đàn 19 con, nhập làm một. Muốn biết đàn mới có bao nhiêu con, ta có thể đếm lại từ đầu. Nhưng hãy nghĩ một chút trước khi đếm. Ở Chương 4, ta đã thấy số lượng của một nhóm chỉ phụ thuộc vào việc nhóm ấy ghép cặp được với những nhóm nào, không phụ thuộc vào từng con cừu cụ thể. Vậy thì số lượng của đàn mới cũng phải được quyết định hoàn toàn bởi hai con số 23 và 19. Phải có một quy tắc đi thẳng từ hai số cũ tới số mới. Quy tắc ấy là phép cộng (addition).
Tương tự, năm chuồng, mỗi chuồng bảy con: tổng số cừu phải được quyết định bởi hai con số 5 và 7. Quy tắc đi từ chúng tới 35 là phép nhân (multiplication).
Ở trường, ta học những "luật" như \(a + b = b + a\) hay \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\), thường như những điều phải thuộc lòng. Chương này cho thấy chúng không phải luật ai đặt ra. Chúng là hệ quả bắt buộc của việc gộp nhóm và xếp lưới, và ai hiểu hai hành động ấy thì không cần thuộc lòng gì cả.
Gộp nhóm và xếp lưới¶
Cộng là gộp. Để cộng hai số, lấy một nhóm có số lượng bằng số thứ nhất, một nhóm có số lượng bằng số thứ hai, sao cho hai nhóm không có vật chung, gộp chúng lại rồi đếm. Điều kiện "không có vật chung" là cốt lõi: nếu có 10 người thích trà và 8 người thích cà phê, thì chưa chắc có 18 người, vì có thể có người thích cả hai và bị tính hai lần.
Ba tính chất sau buộc phải đúng, chỉ vì bản chất của việc gộp:
- Gộp đàn thứ nhất vào đàn thứ hai hay gộp đàn thứ hai vào đàn thứ nhất, ta được cùng một đàn. Vậy thứ tự hai số khi cộng không quan trọng.
- Gộp ba đàn, dù gộp hai đàn đầu trước hay hai đàn sau trước, cuối cùng vẫn là cùng một đàn. Vậy cách nhóm các số khi cộng không quan trọng.
- Gộp một đàn với một nhóm rỗng thì đàn không đổi. Vậy cộng với 0 không làm thay đổi gì.
Nhân là xếp lưới. Năm chuồng, mỗi chuồng bảy con: hãy xếp chúng thành một lưới năm hàng, mỗi hàng bảy con. Đếm theo hàng, ta được \(7 + 7 + 7 + 7 + 7\). Nhưng đếm theo cột, ta được bảy cột, mỗi cột năm con: \(5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5\). Cùng một lưới nên hai tổng này bằng nhau.
Nếu chỉ coi phép nhân là "cộng lặp", thì việc "năm lần bảy bằng bảy lần năm" không hề hiển nhiên: hai tổng trên trông khác hẳn nhau. Nhìn vào lưới thì nó hiển nhiên: xoay lưới đi một góc vuông, hàng thành cột, cột thành hàng, và số chấm không đổi.
Lưới còn cho thêm ba điều:
- Một hàng gồm \(a\) vật là \(a\) vật: nhân với 1 không thay đổi gì.
- Xếp các lưới chồng lên nhau thành một hình hộp khối, ta đếm được số khối theo hai cách: từng lớp nằm ngang, hoặc từng lát đứng. Vậy cách nhóm các thừa số khi nhân không quan trọng.
- Một lưới có \(a\) hàng và \(b + c\) cột có thể cắt dọc thành một lưới \(a\) hàng \(b\) cột và một lưới \(a\) hàng \(c\) cột. Vậy nhân một số với một tổng thì bằng tổng các tích.
Ký hiệu¶
Kết quả của phép cộng gọi là tổng (sum), các số được cộng gọi là số hạng (term). Kết quả của phép nhân gọi là tích (product), các số được nhân gọi là thừa số (factor). Sách này viết phép nhân bằng dấu chấm, \(a \cdot b\); dấu \(\times\) dành cho kích thước (lưới \(3 \times 5\)) và ký hiệu khoa học. Đó chỉ là quy ước.
Những điều ta vừa thấy, viết bằng chữ cái, trở thành các luật. Với mọi số tự nhiên \(a\), \(b\), \(c\):
| Luật | Phép cộng | Phép nhân |
|---|---|---|
| tính giao hoán (commutativity) | \(a + b = b + a\) | \(a \cdot b = b \cdot a\) |
| tính kết hợp (associativity) | \((a + b) + c = a + (b + c)\) | \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) |
| phần tử trung hòa (identity element) | \(a + 0 = a\) | \(a \cdot 1 = a\) |
và tính phân phối, mà ta đã gặp ở Chương 2, nối hai phép toán với nhau:
Mỗi dòng là một khẳng định "với mọi": một dòng ngắn nén vô số sự thật, như ở Chương 1. Nhờ tính kết hợp, ta có thể viết \(a + b + c\) mà không cần dấu ngoặc: nhóm cách nào cũng ra cùng kết quả.
Có một quy ước viết khác cần phân biệt với các luật trên. Trong \(2 + 3 \cdot 4\), ta quy ước làm phép nhân trước, được \(2 + 12 = 14\). Đây là thứ tự thực hiện phép tính (order of operations), một quy ước để khỏi phải viết dấu ngoặc, chứ không phải một sự thật về số. Nếu mọi người thống nhất làm lần lượt từ trái sang phải, biểu thức ấy sẽ có nghĩa là \((2 + 3) \cdot 4 = 20\). Ngược lại, tính phân phối không phải quy ước: không có cách thống nhất nào làm cho \(3 \cdot (4 + 2)\) khác \(3 \cdot 4 + 3 \cdot 2\).
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (tính nhẩm nhờ các luật). Tính \(17 + 38 + 83\), \(25 \cdot 36\) và \(101 \cdot 37\).
Với tổng thứ nhất, nhờ giao hoán và kết hợp, ta được phép sắp lại: \(17 + 38 + 83 = (17 + 83) + 38 = 100 + 38 = 138\).
Với tích thứ hai, tách \(36 = 4 \cdot 9\) rồi nhóm lại nhờ tính kết hợp: \(25 \cdot 36 = 25 \cdot (4 \cdot 9) = (25 \cdot 4) \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900\).
Với tích thứ ba, tách \(101 = 100 + 1\) rồi dùng tính phân phối (và giao hoán): \(101 \cdot 37 = (100 + 1) \cdot 37 = 100 \cdot 37 + 1 \cdot 37 = 3700 + 37 = 3737\).
Mọi mẹo tính nhẩm đều là những cách dùng khéo các luật này. Không có luật thì không có mẹo nào hợp lệ.
Ví dụ 2 (mô hình diện tích). Tính \(23 \cdot 47\).
Coi \(23 \cdot 47\) là số ô của một lưới 23 hàng, 47 cột. Cắt các hàng thành \(20 + 3\) và các cột thành \(40 + 7\), lưới vỡ thành bốn mảnh chữ nhật:
Phép nhân đặt tính theo cột mà ta học ở trường làm đúng việc này, chỉ gom các mảnh theo cách khác: nó tính \(47 \cdot 3 = 141\) (hàng dưới của hình), rồi \(47 \cdot 20 = 940\) (hàng trên), rồi cộng: \(141 + 940 = 1081\). Thuật toán ấy là một cách ghi chép gọn của tính phân phối cộng với giá trị vị trí ở Chương 4. Đây cũng là hình hằng đẳng thức \((a + b)^2\) của Chương 2, chỉ khác là hai cạnh không bằng nhau.
Ví dụ 3 (hai bậc thang). Tính \(1 + 2 + 3 + \dots + 100\).
Xếp tổng thành một bậc thang: cột thứ nhất 1 ô, cột thứ hai 2 ô, và cứ thế tới cột thứ 100 cao 100 ô. Lấy một bậc thang y hệt, lật ngược rồi ghép vào: cột nào của bậc thang thứ nhất cao \(k\) ô thì cột tương ứng của bậc thang thứ hai cao \(101 - k\) ô, nên mỗi cột ghép lại cao đúng 101 ô. Ta được một hình chữ nhật 100 cột, 101 hàng.
Hai bậc thang có \(100 \cdot 101 = 10100\) ô, nên một bậc thang có một nửa số đó: \(1 + 2 + \dots + 100 = 5050\). Để ý rằng đây là cùng ý tưởng ghép cặp đã dùng cho tổng các số lẻ ở Chương 1: viết tổng xuôi và ngược rồi cộng theo từng cột.
Khi thứ tự và cách nhóm có quan trọng¶
Các luật trên đến từ cấu trúc của việc gộp nhóm và xếp lưới. Ở đâu thiếu cấu trúc ấy, các luật có thể hỏng. Nhận ra điều đó cũng quan trọng như biết các luật.
Không phải thao tác nào cũng giao hoán. Mang tất rồi đi giày khác hẳn đi giày rồi mang tất. Phép trừ không giao hoán: \(5 - 3 = 2\), còn \(3 - 5\) thậm chí chưa có nghĩa trong các số tự nhiên. Phép lũy thừa không giao hoán: \(2^3 = 8\) còn \(3^2 = 9\), nên \(2^3 \neq 3^2\).
Không phải thao tác nào cũng kết hợp. \((8 - 4) - 2 = 2\) nhưng \(8 - (4 - 2) = 6\). Với lũy thừa, \((2^3)^2 = 8^2 = 64\) nhưng \(2^{(3^2)} = 2^9 = 512\). Với những phép toán này, dấu ngoặc mang thông tin, và bỏ chúng đi là làm mất nghĩa.
Gộp không phải lúc nào cũng là cộng. Đổ một lít nước vào một lít cồn, ta được một hỗn hợp có thể tích ít hơn hai lít một chút, vì các phân tử của hai chất len vào khoảng trống của nhau. Toán học không sai: thể tích của chất lỏng không phải là số lượng những vật tách biệt, nên cấu trúc "gộp rồi đếm" không áp dụng. Tương tự, 10 người thích trà và 8 người thích cà phê chỉ cộng thành 18 khi không ai thích cả hai; điều kiện "không có vật chung" không thể bỏ qua.
Thứ tự thực hiện phép tính là quy ước, nên có thể khác nhau. Một số máy tính bỏ túi đơn giản tính lần lượt từ trái sang phải, nên bấm \(2 + 3 \times 4\) sẽ ra 20 thay vì 14. Không máy nào sai; chúng chỉ theo hai quy ước khác nhau. Khi có nghi ngờ, hãy dùng dấu ngoặc.
Phát biểu chặt chẽ¶
Định nghĩa 1 (phép cộng). Cho hai số tự nhiên \(a\) và \(b\). Chọn một nhóm \(A\) có \(a\) phần tử và một nhóm \(B\) có \(b\) phần tử, không có phần tử chung. Tổng \(a + b\) là số phần tử của nhóm gộp gồm mọi phần tử của \(A\) và mọi phần tử của \(B\).
Mệnh đề 1 (tổng không phụ thuộc cách chọn nhóm). Nếu \(A'\), \(B'\) là hai nhóm khác cũng không có phần tử chung, với \(A'\) có \(a\) phần tử và \(B'\) có \(b\) phần tử, thì nhóm gộp của \(A'\) và \(B'\) có cùng số lượng với nhóm gộp của \(A\) và \(B\).
Chứng minh. Có một tương ứng một-một giữa \(A\) và \(A'\) (cả hai có \(a\) phần tử) và một tương ứng một-một giữa \(B\) và \(B'\). Ghép mỗi phần tử của nhóm gộp \(A\), \(B\) theo tương ứng của nhóm chứa nó. Vì \(A\) và \(B\) không có phần tử chung, mỗi phần tử nằm trong đúng một nhóm, nên được ghép với đúng một phần tử của nhóm gộp \(A'\), \(B'\). Vì \(A'\) và \(B'\) không có phần tử chung, mỗi phần tử bên phải cũng nhận đúng một bạn ghép. Đó là một tương ứng một-một. \(\square\)
Mệnh đề này là lý do phép cộng số tồn tại được: kết quả chỉ phụ thuộc vào hai số, không phụ thuộc vào con cừu nào.
Định nghĩa 2 (phép nhân). Tích \(a \cdot b\) là số ô của một lưới \(a\) hàng, \(b\) cột, tức số cặp \((i; j)\) với \(i\) là một trong các số \(1, \dots, a\) và \(j\) là một trong các số \(1, \dots, b\).
Định lý 2 (các luật của phép cộng và phép nhân). Với mọi số tự nhiên \(a\), \(b\), \(c\), các luật giao hoán, kết hợp, phần tử trung hòa của cả hai phép toán và tính phân phối trong bảng ở mục Ký hiệu đều đúng.
Chứng minh. Các luật của phép cộng: trong mỗi luật, hai vế là số phần tử của cùng một nhóm gộp (gộp theo thứ tự hay cách nhóm khác nhau vẫn là cùng những phần tử ấy), và gộp với nhóm rỗng không thêm phần tử nào.
Giao hoán của phép nhân: ghép ô \((i; j)\) của lưới \(a \times b\) với ô \((j; i)\) của lưới \(b \times a\). Mỗi ô bên này có đúng một bạn ghép bên kia, nên đây là một tương ứng một-một, và hai lưới có cùng số ô.
Kết hợp của phép nhân: cả \((a \cdot b) \cdot c\) lẫn \(a \cdot (b \cdot c)\) đều đếm số bộ ba \((i; j; k)\) với \(i\) từ 1 tới \(a\), \(j\) từ 1 tới \(b\), \(k\) từ 1 tới \(c\), tức số khối của một hình hộp \(a \times b \times c\). Vế trái đếm theo \(c\) lớp, mỗi lớp là một lưới \(a \times b\); vế phải đếm theo \(a\) lát, mỗi lát là một lưới \(b \times c\).
Phần tử trung hòa của phép nhân: lưới \(a \times 1\) gồm các ô \((1; 1), (2; 1), \dots, (a; 1)\), tức \(a\) ô.
Phân phối: chia các cột của lưới \(a \times (b + c)\) thành \(b\) cột đầu và \(c\) cột sau. Các ô ở \(b\) cột đầu tạo thành một lưới \(a \times b\), các ô ở \(c\) cột sau tạo thành một lưới \(a \times c\), và hai phần không có ô chung. Theo định nghĩa phép cộng, số ô của cả lưới là \(a \cdot b + a \cdot c\). \(\square\)
Mệnh đề 3 (nhân với 0). Với mọi số tự nhiên \(a\), ta có \(a \cdot 0 = 0\).
Chứng minh thứ nhất. Một lưới không có cột nào thì không có ô nào.
Chứng minh thứ hai, chỉ dùng các luật. Đặt \(x = a \cdot 0\). Vì \(0 + 0 = 0\), tính phân phối cho
Nếu \(x \geq 1\) thì \(x + x\) lớn hơn \(x\) (thêm vào ít nhất một vật thì nhóm nhiều hơn), trái với \(x + x = x\). Vậy \(x = 0\). \(\square\)
Chứng minh thứ hai quan trọng hơn vẻ ngoài của nó: nó cho thấy "nhân với 0 được 0" bị các luật ép buộc, chứ không cần nhìn vào lưới. Khi mở rộng sang số âm ở Chương 7, ta sẽ không còn lưới để nhìn, nhưng vẫn còn các luật, và chính các luật sẽ quyết định mọi thứ.
Sợi chỉ
- S3. Thứ tự của biến đổi. Với phép cộng và phép nhân các số, thứ tự và cách nhóm không quan trọng (giao hoán, kết hợp). Với tất và giày, với phép trừ, với lũy thừa, chúng quan trọng. Sợi chỉ này sẽ trở lại mạnh mẽ khi ta hợp các biến đổi với nhau ở Phần III và nhân ma trận ở Phần VI.
- S1. Bất biến qua biến đổi. Tổng và tích không đổi khi ta đổi thứ tự hay cách nhóm, cũng như số lượng không đổi khi đổi thứ tự đếm ở Chương 4.
- S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Phép nhân vừa là cộng lặp, vừa là lưới, vừa là diện tích, vừa là hình hộp; mỗi biểu diễn làm hiển nhiên một luật khác. Thuật toán nhân theo cột chỉ là một cách ghi chép mô hình diện tích.
Tóm tắt¶
- Cộng là gộp hai nhóm không có vật chung rồi đếm; kết quả chỉ phụ thuộc vào hai số, không phụ thuộc vào nhóm cụ thể được chọn.
- Nhân là xếp lưới: \(a \cdot b\) là số ô của lưới \(a\) hàng, \(b\) cột.
- Giao hoán, kết hợp và phần tử trung hòa của phép cộng bị ép buộc bởi bản chất của việc gộp; giao hoán, kết hợp và phần tử trung hòa của phép nhân bị ép buộc bởi việc xoay lưới, đếm hình hộp theo hai cách, và lưới một hàng.
- Tính phân phối là việc cắt một lưới thành hai; mọi mẹo tính nhẩm và thuật toán nhân theo cột đều dựa vào nó.
- "Nhân với 0 được 0" bị chính các luật ép buộc, không cần nhìn lưới.
- Phép trừ và lũy thừa không giao hoán, không kết hợp; và không phải việc gộp nào ngoài đời (như trộn chất lỏng) cũng là phép cộng.
- Thứ tự thực hiện phép tính là một quy ước viết, còn các luật là cấu trúc.
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. Vì sao đẳng thức \(3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5\) không hiển nhiên nếu ta chỉ coi phép nhân là "cộng lặp"? Hình ảnh nào làm nó hiển nhiên, và vì sao?
Lời giải
Nếu chỉ coi nhân là cộng lặp, vế trái là năm lần số 3 và vế phải là ba lần số 5: hai phép tính khác nhau, với số lần cộng khác nhau và số hạng khác nhau. Muốn biết chúng bằng nhau, ta phải tính cả hai ra 15, và vẫn chưa hiểu vì sao.
Xếp 15 vật thành lưới 3 hàng, mỗi hàng 5 vật: đếm theo hàng được \(5 + 5 + 5\), đếm theo cột được năm cột mỗi cột 3 vật, tức \(3 + 3 + 3 + 3 + 3\). Hai tổng đếm cùng một lưới theo hai cách, nên buộc phải bằng nhau, với mọi kích thước lưới chứ không chỉ \(3 \times 5\). Hình ảnh lưới biến một sự trùng hợp số học thành một điều hiển nhiên về hình dạng.
A2. Hãy tìm hai việc trong đời sống mà thứ tự làm không ảnh hưởng tới kết quả, và hai việc mà thứ tự có ảnh hưởng. Điều gì trong mỗi việc quyết định chuyện đó?
Lời giải
Thứ tự không ảnh hưởng: bỏ đường rồi rót sữa vào cà phê, hay rót sữa rồi bỏ đường, ta được cùng một cốc (các thành phần chỉ gộp lại); trả hai hóa đơn theo thứ tự nào thì tổng tiền bỏ ra cũng như nhau (phép cộng giao hoán).
Thứ tự có ảnh hưởng: mang tất rồi đi giày khác đi giày rồi mang tất; giặt quần áo rồi sấy khác sấy rồi giặt. Ở những việc này, bước sau hành động lên kết quả của bước trước, nên bước trước làm thay đổi đối tượng mà bước sau gặp. Khi các bước chỉ gộp thêm những thứ độc lập vào một chỗ, thứ tự thường không quan trọng; khi bước này biến đổi thứ mà bước kia sẽ xử lý, thứ tự thường quan trọng.
A3. Vì sao "1 lít nước cộng 1 lít cồn" không cho đúng 2 lít, còn "1 con cừu cộng 1 con cừu" luôn cho đúng 2 con cừu? Hãy nêu điều kiện để phép cộng số mô tả đúng việc gộp.
Lời giải
Phép cộng số được xây từ việc gộp hai nhóm những vật tách biệt, không có vật chung, và mỗi vật vẫn còn nguyên sau khi gộp. Những con cừu thỏa cả ba điều kiện. Thể tích chất lỏng thì không: khi trộn nước với cồn, các phân tử len vào khoảng trống của nhau, nên "lượng không gian chiếm chỗ" không được bảo toàn khi gộp.
Điều kiện để phép cộng mô tả đúng: các thứ được gộp phải là những đơn vị tách biệt, không trùng nhau, và việc gộp không làm chúng mất đi hay nhập vào nhau. Đây lại là câu hỏi mô hình hóa của Chương 1: một cấu trúc toán học có áp dụng cho một tình huống hay không phải được kiểm tra riêng.
B. Tính toán¶
B1. Tính nhẩm, nói rõ đã dùng luật nào: (a) \(17 + 45 + 83 + 55\); (b) \(4 \cdot 17 \cdot 25\); (c) \(102 \cdot 45\); (d) \(125 \cdot 48\).
Lời giải
(a) Giao hoán và kết hợp: \((17 + 83) + (45 + 55) = 100 + 100 = 200\).
(b) Giao hoán và kết hợp: \((4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700\).
(c) Phân phối: \((100 + 2) \cdot 45 = 4500 + 90 = 4590\).
(d) Tách \(48 = 8 \cdot 6\) và dùng kết hợp: \(125 \cdot 48 = (125 \cdot 8) \cdot 6 = 1000 \cdot 6 = 6000\).
B2. Dùng mô hình diện tích để tính \(34 \cdot 26\).
Lời giải
Cắt \(34 = 30 + 4\) và \(26 = 20 + 6\):
B3. Dùng mô hình diện tích để tính \(123 \cdot 45\). Lưới bị cắt thành bao nhiêu mảnh?
Lời giải
Cắt \(123 = 100 + 20 + 3\) và \(45 = 40 + 5\): lưới vỡ thành \(3 \cdot 2 = 6\) mảnh.
(Các mảnh theo thứ tự là \(100 \cdot 40\), \(100 \cdot 5\), \(20 \cdot 40\), \(20 \cdot 5\), \(3 \cdot 40\), \(3 \cdot 5\).)
B4. Tính \(1 + 2 + \dots + 50\) và \(1 + 2 + \dots + 1000\) bằng cách ghép hai bậc thang.
Lời giải
Hai bậc thang \(1 + 2 + \dots + 50\) ghép thành hình chữ nhật \(50 \times 51\), có 2550 ô, nên tổng là \(2550 : 2 = 1275\).
Tương tự, \(1 + 2 + \dots + 1000\) bằng một nửa của \(1000 \cdot 1001 = 1001000\), tức \(500500\).
B5. Tính \(51 + 52 + \dots + 100\) theo hai cách.
Lời giải
Cách thứ nhất: lấy tổng từ 1 đến 100 trừ đi tổng từ 1 đến 50: \(5050 - 1275 = 3775\).
Cách thứ hai: có 50 số hạng; ghép số đầu với số cuối, \(51 + 100 = 151\), được 25 cặp, mỗi cặp bằng 151. Tổng là \(25 \cdot 151 = 3775\).
B6. Một hình hộp gồm các khối lập phương nhỏ xếp thành 4 hàng, 5 cột và 6 lớp. Đếm số khối theo hai cách khác nhau và giải thích vì sao hai cách phải cho cùng kết quả.
Lời giải
Theo lớp: mỗi lớp là lưới \(4 \times 5 = 20\) khối, có 6 lớp, nên \((4 \cdot 5) \cdot 6 = 20 \cdot 6 = 120\) khối.
Theo lát đứng: mỗi lát là lưới \(5 \times 6 = 30\) khối, có 4 lát, nên \(4 \cdot (5 \cdot 6) = 4 \cdot 30 = 120\) khối.
Hai cách đếm cùng một hình hộp, nên phải bằng nhau: đó chính là tính kết hợp của phép nhân.
B7. Một quán có 4 loại bánh và 3 loại nước; mỗi suất gồm một bánh và một nước. Có bao nhiêu suất khác nhau? Nếu mỗi suất còn thêm một trong 2 món tráng miệng thì sao?
Lời giải
Xếp các suất thành lưới: hàng là loại bánh, cột là loại nước. Mỗi ô là một suất, nên có \(4 \cdot 3 = 12\) suất.
Thêm món tráng miệng: mỗi suất cũ đi kèm 2 lựa chọn, nên có \(12 \cdot 2 = 24\) suất. Đó là số khối của một hình hộp \(4 \times 3 \times 2\), và cũng bằng \(4 \cdot (3 \cdot 2) = 24\). Cách đếm này sẽ trở thành "quy tắc nhân" (multiplication principle) ở Phần V.
B8. Kiểm tra bằng số rằng phép trừ, phép chia và phép lũy thừa không có tính kết hợp: so sánh \((20 - 8) - 3\) với \(20 - (8 - 3)\); \((48 : 4) : 2\) với \(48 : (4 : 2)\); \((2^3)^2\) với \(2^{(3^2)}\).
Lời giải
\((20 - 8) - 3 = 12 - 3 = 9\), còn \(20 - (8 - 3) = 20 - 5 = 15\).
\((48 : 4) : 2 = 12 : 2 = 6\), còn \(48 : (4 : 2) = 48 : 2 = 24\).
\((2^3)^2 = 8^2 = 64\), còn \(2^{(3^2)} = 2^9 = 512\).
Trong cả ba trường hợp, hai cách nhóm cho hai kết quả khác nhau, nên dấu ngoặc là bắt buộc.
B9. (a) Dùng tính phân phối để tính \((10 + 2)(10 + 3)\) bằng bốn mảnh. (b) Theo quy ước thứ tự thực hiện phép tính, \(2 + 3 \cdot 4\) bằng bao nhiêu? Nếu tính lần lượt từ trái sang phải thì bằng bao nhiêu?
Lời giải
(a) \((10 + 2)(10 + 3) = 10 \cdot 10 + 10 \cdot 3 + 2 \cdot 10 + 2 \cdot 3 = 100 + 30 + 20 + 6 = 156\). Kiểm lại: \(12 \cdot 13 = 156\).
(b) Theo quy ước nhân trước cộng sau: \(2 + 12 = 14\). Tính từ trái sang phải: \((2 + 3) \cdot 4 = 20\). Hai kết quả khác nhau vì hai quy ước khác nhau, không phải vì số học khác nhau.
B10. Cộng hai số trong hệ nhị phân: \(1011_2 + 110_2\), bằng cách đặt tính theo cột như ở hệ thập phân (nhớ rằng \(1 + 1 = 10_2\)). Kiểm tra lại bằng hệ thập phân.
Lời giải
Đặt thẳng cột từ phải sang trái:
- cột thứ nhất: \(1 + 0 = 1\);
- cột thứ hai: \(1 + 1 = 10_2\), viết 0 nhớ 1;
- cột thứ ba: \(0 + 1 + 1\) (nhớ) \(= 10_2\), viết 0 nhớ 1;
- cột thứ tư: \(1 + 0 + 1\) (nhớ) \(= 10_2\), viết 0 nhớ 1;
- cột thứ năm: chỉ còn số nhớ 1.
Kết quả: \(10001_2\). Kiểm tra: \(1011_2 = 11\), \(110_2 = 6\), \(11 + 6 = 17\), và \(10001_2 = 16 + 1 = 17\). Phép cộng là cấu trúc (gộp rồi đếm); thuật toán đặt tính theo cột chỉ đổi theo cơ số.
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(a\), \(b\), \(c\), \(d\):
và nói rõ mỗi bước dùng luật nào.
Lời giải
Coi \((a + b)\) là một số duy nhất và dùng tính phân phối:
Dùng tính giao hoán của phép nhân để đưa \((a + b)\) ra sau: \((a + b)c = c(a + b)\) và \((a + b)d = d(a + b)\). Dùng tính phân phối lần nữa: \(c(a + b) = ca + cb\) và \(d(a + b) = da + db\). Dùng giao hoán của phép nhân lần nữa: \(ca = ac\), \(cb = bc\), \(da = ad\), \(db = bd\). Cuối cùng, dùng giao hoán và kết hợp của phép cộng để sắp lại:
Đây là bản chữ cái của mô hình diện tích ở Ví dụ 2, với bốn mảnh \(ac\), \(ad\), \(bc\), \(bd\).
C2. Chứng minh rằng nếu \(a\) và \(b\) là hai số tự nhiên có \(a \cdot b = 0\), thì \(a = 0\) hoặc \(b = 0\). (Chương 2 đã dùng sự thật này để giải phương trình.)
Lời giải
Giả sử ngược lại, cả \(a\) lẫn \(b\) đều khác 0, tức \(a \geq 1\) và \(b \geq 1\). Khi đó lưới \(a\) hàng, \(b\) cột có ít nhất một ô, là ô \((1; 1)\), nên \(a \cdot b \geq 1\), trái với \(a \cdot b = 0\). Vậy ít nhất một trong hai số bằng 0. \(\square\)
Đây là một chứng minh phản chứng: giả sử điều cần bác bỏ, rồi chỉ ra nó mâu thuẫn với giả thiết.
C3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\),
Lời giải
Gọi \(S\) là tổng và viết nó hai lần, xuôi và ngược:
Ở cột thứ \(k\), dòng trên có số \(k\), dòng dưới có số \(n + 1 - k\); tổng của cột là \(n + 1\), không phụ thuộc \(k\). Có \(n\) cột, nên \(2S = n(n + 1)\), suy ra \(S = \frac{n(n + 1)}{2}\). \(\square\)
Đây chính là hai bậc thang ở Ví dụ 3, viết bằng ký hiệu: dòng dưới là bậc thang lật ngược. Kiểm tra với \(n = 100\): \(\frac{100 \cdot 101}{2} = 5050\).
Câu hỏi để ngỏ¶
Phép cộng và phép nhân đi từ hai số tới một số mới. Nhưng nhiều khi ta cần đi theo chiều ngược lại: biết đàn cừu sau khi nhập có 42 con và một đàn có 23 con, đàn kia có bao nhiêu con? Biết 35 con được chia đều vào 5 chuồng, mỗi chuồng bao nhiêu con? Nếu biết kết quả của một phép cộng hay phép nhân và một trong hai số, có tìm lại được số kia không? Phép toán nào có thể "tháo ngược"?