Chương 34: Đạo hàm

Câu hỏi mở đầu

Giờ đã có công cụ chặt chẽ, quay lại câu hỏi mở đầu của Phần IV: vận tốc tức thời, độ dốc tại một điểm của đường cong, chính xác là gì?

Ba câu hỏi, một phép tính

Ba câu hỏi sau trông như thuộc ba lĩnh vực khác nhau.

Câu hỏi của chuyển động: hòn đá của Chương 31 rơi được \(s(t) = 5t^2\) mét sau \(t\) giây; đúng lúc \(t = 2\), nó đang đi nhanh bao nhiêu?

Câu hỏi của hình học: tại điểm \((3; 9)\), đồ thị \(y = x^2\) dốc bao nhiêu? Một đường thẳng dốc như nhau ở mọi nơi, và độ dốc ấy là hệ số góc của nó (Chương 27). Một đường cong thì mỗi chỗ dốc một khác.

Câu hỏi của tính gần đúng: không có máy tính, \(\sqrt{4{,}1}\) vào khoảng bao nhiêu? Ta biết \(\sqrt4 = 2\). Điều cần biết là \(\sqrt x\) nhích lên bao nhiêu khi \(x\) nhích từ 4 lên \(4{,}1\).

Cả ba có chung một dạng. Có một quy luật \(f\) và một điểm \(a\), và ta hỏi: ngay tại \(a\), đầu ra thay đổi nhanh tới mức nào so với đầu vào? Thứ đo được là tỉ số

\[ \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0, \]

tức độ thay đổi của đầu ra trên mỗi đơn vị thay đổi của đầu vào, tính trên đoạn từ \(a\) tới \(a + h\). Với hòn đá, đó là tốc độ trung bình. Với đồ thị, đó là hệ số góc của một cát tuyến. Với căn bậc hai, đó là mức tăng trung bình của \(\sqrt x\) trên đoạn ấy. Không tỉ số nào nói về đúng một điểm, vì đoạn nào cũng có độ dài \(h\) khác 0. Câu trả lời cho cả ba câu hỏi là cái đích mà tỉ số dồn về khi \(h\) dần về 0, và Chương 31, 32 đã cho ta cách nói chính xác "dồn về" nghĩa là gì. Cái đích ấy gọi là đạo hàm (derivative) của \(f\) tại \(a\).

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì hễ một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác, câu hỏi "nó đang thay đổi nhanh tới mức nào, ngay tại đây" tự đặt ra. Câu trả lời trung thực duy nhất phải là một giới hạn: mọi phép đo thật đều cần một khoảng có độ dài dương, còn "ngay tại đây" không có độ dài nào. Lịch sử cho thấy đúng như vậy. Vào cuối thế kỷ 17, Newton đi tới khái niệm này từ chuyển động, Leibniz đi tới nó từ bài toán tiếp tuyến, mỗi người một đường. Hai con đường gặp nhau ở cùng một cấu trúc, vì cấu trúc ấy nằm sẵn trong câu hỏi chứ không nằm trong cách hỏi.

Nhìn đủ gần

Làm phép tính cho câu hỏi thứ hai. Với \(f(x) = x^2\) và \(a = 3\),

\[ f(3 + h) = (3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2. \]

Độ thay đổi \(f(3 + h) - f(3) = 6h + h^2\) gồm hai phần có bản chất khác nhau. Phần \(6h\) tỉ lệ với \(h\): đó là độ thay đổi của một quy luật thay đổi đều, với hệ số góc 6. Phần \(h^2\) là phần "cong", và khi \(h\) nhỏ, nó nhỏ hơn \(h\) rất nhiều. Với \(h = 0{,}1\), hai phần là \(0{,}6\) và \(0{,}01\): phần cong nhỏ hơn 60 lần. Với \(h = 0{,}01\), chúng là \(0{,}06\) và \(0{,}0001\): nhỏ hơn 600 lần. Chia cho \(h\),

\[ \frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = 6 + h, \]

và phần cong chỉ còn là số hạng \(h\), dồn về 0. Đạo hàm của \(x^2\) tại 3 bằng 6.

Đó là cấu trúc nguyên thủy của chương: nhìn đủ gần một điểm, một quy luật trơn tru thay đổi gần như đều. Độ thay đổi của nó là một phần tỉ lệ với \(h\), cộng một phần nhỏ hơn \(h\) rất nhiều. Chương 27 đã thấy điều này bằng mắt: phóng to đồ thị \(y = x^2\) quanh \((1; 1)\), đường cong gần như trùng với một đường thẳng. Đạo hàm là hệ số góc của đường thẳng mà đường cong trông giống khi nhìn đủ gần.

Từ đó, ba câu hỏi ở đầu chương có chung một câu trả lời, nhìn từ ba phía:

• Tốc độ tức thời. Tỉ số là tốc độ trung bình trên đoạn từ \(a\) tới \(a + h\); giới hạn của nó là tốc độ tại đúng \(a\).
• Hệ số góc của tiếp tuyến. Tỉ số là hệ số góc của cát tuyến qua \((a; f(a))\) và \((a + h; f(a + h))\); giới hạn của nó là hệ số góc của tiếp tuyến, đường thẳng mà các cát tuyến dồn về (Chương 31).
• Hệ số của đường thẳng bám sát nhất. Nó là số \(m\) duy nhất sao cho \(f(a + h) \approx f(a) + mh\) với sai số nhỏ hơn \(h\) rất nhiều. Thay một quy luật bằng một quy luật tuyến tính theo cách này gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation).

Đồ thị \(y = x^2\) và hai cát tuyến qua \((3; 9)\), với \(h = 1{,}2\) và \(h = 0{,}5\). Hệ số góc \(6 + h\) của chúng dồn về 6, hệ số góc của tiếp tuyến \(y = 6x - 9\) (đường đứt).

Vì sao lại là "duy nhất"? Thử thay 6 bằng \(6{,}5\). Sai số khi ấy là \(f(3 + h) - 9 - 6{,}5h = -0{,}5h + h^2\), và khi \(h\) nhỏ, nó gần bằng \(-0{,}5h\): cỡ \(h\), không nhỏ hơn \(h\) rất nhiều. Chỉ với hệ số 6, phần tỉ lệ với \(h\) mới biến mất hẳn khỏi sai số. Cách nhìn thứ ba này ít quen nhất, và cũng sâu nhất: đạo hàm là đúng lượng thông tin cần để thay một quy luật phức tạp bằng một quy luật tuyến tính, với cái giá là một sai số có thể bỏ qua khi \(h\) nhỏ.

flowchart LR
  Q["tỉ số thay đổi trên đoạn từ a tới a + h"] -->|"h dần về 0"| D["đạo hàm tại a"]
  D --> V["tốc độ tức thời"]
  D --> S["hệ số góc của tiếp tuyến"]
  D --> L["hệ số của xấp xỉ tuyến tính"]

Ký hiệu

Cho \(f\) xác định trên một khoảng mở chứa \(a\). Nếu giới hạn

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \]

tồn tại và là một số thực (không phải \(+\infty\) hay \(-\infty\)), ta gọi nó là đạo hàm của \(f\) tại \(a\), đọc là "\(f\) phẩy \(a\)", và nói \(f\) khả vi (differentiable) tại \(a\). Đặt \(x = a + h\), cùng giới hạn ấy viết thành \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\). Sách giáo khoa gọi lượng thay đổi \(\Delta x = h\) là số gia (increment) của biến số và \(\Delta y = f(a + h) - f(a)\) là số gia của hàm số; đạo hàm là giới hạn của \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

Làm phép tính ấy tại mọi điểm \(x\) mà \(f\) khả vi, ta được một hàm mới \(x \mapsto f'(x)\), gọi là hàm đạo hàm của \(f\), hay gọn là đạo hàm của \(f\). Ở Chương 22, một hàm là một cỗ máy biến đầu vào thành đầu ra. Phép lấy đạo hàm là một cỗ máy bậc cao hơn: bỏ vào một hàm, nhận ra một hàm, chẳng hạn bỏ vào \(x^2\) thì nhận ra \(2x\) (Ví dụ 1). Nó là một biến đổi của các biến đổi. Chương 35 sẽ hỏi cỗ máy này đối xử thế nào với tổng, tích và hợp của các hàm.

Cách ghi thứ hai, do Leibniz đặt ra, viết đạo hàm của \(y = f(x)\) là \(\frac{dy}{dx}\). Nó gợi lại \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) của Chương 27, với chữ \(d\) nhắc rằng các lượng thay đổi đã được cho nhỏ dần tới giới hạn. Với \(y = x^2\), ta viết \(\frac{dy}{dx} = 2x\), hay \(\frac{d}{dx}x^2 = 2x\); giá trị tại \(a\) viết là \(\frac{dy}{dx}\Big|_{x = a}\). Cách ghi \(f'\) gọn và nhấn vào hàm; cách ghi \(\frac{dy}{dx}\) nói rõ đại lượng nào thay đổi theo đại lượng nào, và mang theo đơn vị: nếu \(y\) đo bằng mét và \(x\) bằng giây thì \(\frac{dy}{dx}\) đo bằng mét mỗi giây. Nói chung, đơn vị của đạo hàm là đơn vị của đầu ra chia cho đơn vị của đầu vào, như hệ số góc ở Chương 27. Nhưng \(\frac{dy}{dx}\) là một ký hiệu liền khối, không phải một phân số: trong cuốn sách này, \(dy\) và \(dx\) không đứng riêng như những con số.

Chương 31 đã hẹn định nghĩa tiếp tuyến cho chính xác, và giờ có thể làm. Nếu \(f\) khả vi tại \(a\), tiếp tuyến của đồ thị tại \((a; f(a))\) là đường thẳng đi qua điểm ấy với hệ số góc \(f'(a)\):

\[ y = f(a) + f'(a)(x - a). \]

Viết \(x = a + h\), vế phải thành \(f(a) + f'(a)h\): đồ thị của xấp xỉ tuyến tính quanh \(a\) chính là tiếp tuyến. Sai số của xấp xỉ, \(r(h) = f(a + h) - f(a) - f'(a)h\), "nhỏ hơn \(h\) rất nhiều" theo một nghĩa chính xác: \(\frac{r(h)}{h} \to 0\) khi \(h \to 0\) (Định lý 3).

Nếu hàm đạo hàm \(f'\) lại khả vi, đạo hàm của nó gọi là đạo hàm bậc hai (second derivative) của \(f\), ký hiệu \(f''\), hay \(\frac{d^2y}{dx^2}\) theo cách ghi của Leibniz. Đạo hàm đo thay đổi; đạo hàm bậc hai đo thay đổi của thay đổi, như sai phân bậc hai ở Chương 28 đo độ thay đổi của các lượng thay đổi.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (\(x^2\) và \(x^3\) tại mọi điểm). Với \(f(x) = x^2\) và một điểm \(a\) bất kỳ,

\[ \frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a. \]

Vậy \((x^2)' = 2x\). Tại 3 được 6, khớp với mục trước, và tiếp tuyến tại \((3; 9)\) là \(y = 9 + 6(x - 3) = 6x - 9\). Với \(x^3\), khai triển \((a + h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3\) cho

\[ \frac{(a + h)^3 - a^3}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2, \]

nên \((x^3)' = 3x^2\). Cả hai lần, khai triển tách độ thay đổi thành một phần tỉ lệ với \(h\), với hệ số \(2a\) hay \(3a^2\), và những phần chứa \(h^2\), \(h^3\), là những phần biến mất sau khi chia cho \(h\) rồi cho \(h\) dần về 0. Với một hàm tuyến tính \(mx + b\), thương bằng đúng \(m\) với mọi \(h\), nên \((mx + b)' = m\): đạo hàm của một quy luật thay đổi đều là tốc độ thay đổi của chính nó, ở mọi điểm, như phải thế. Riêng hàm hằng có đạo hàm 0.

Ví dụ 2 (\(\frac1x\)). Với \(a \neq 0\) và \(h \neq 0\) đủ nhỏ để \(a + h\) cùng dấu với \(a\),

\[ \frac{\frac{1}{a + h} - \frac1a}{h} = \frac{a - (a + h)}{a(a + h)h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to -\frac{1}{a^2}. \]

Bước cuối dùng tính liên tục của thương hai đa thức tại chỗ mẫu khác 0 (Chương 33). Vậy \(\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}\) với mọi \(x \neq 0\). Dấu trừ nói điều hiển nhiên: \(x\) tăng thì \(\frac1x\) giảm. Bình phương ở mẫu nói một điều ít hiển nhiên hơn: gần 0, \(\frac1x\) thay đổi dữ dội; xa 0, nó gần như đứng yên. Tại \(x = 2\), \(\frac1x\) giảm với tốc độ \(\frac14\); tại \(x = 10\), tốc độ ấy chỉ còn \(\frac{1}{100}\).

Ví dụ 3 (\(\sqrt x\) và \(\sqrt{4{,}1}\)). Với \(a > 0\), nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{a + h} + \sqrt a\) để dùng \((u - v)(u + v) = u^2 - v^2\):

\[ \frac{\sqrt{a + h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\left(\sqrt{a + h} + \sqrt a\right)} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt a} \to \frac{1}{2\sqrt a}. \]

Bước cuối cần \(\sqrt{a + h} \to \sqrt a\), và điều đó đúng vì cũng phép nhân ấy cho \(\left\lvert \sqrt{a + h} - \sqrt a \right\rvert = \frac{\lvert h \rvert}{\sqrt{a + h} + \sqrt a} \leq \frac{\lvert h \rvert}{\sqrt a}\). Vậy \(\left(\sqrt x\right)' = \frac{1}{2\sqrt x}\) với mọi \(x > 0\).

Tại \(a = 4\), đạo hàm là \(\frac14\), và xấp xỉ tuyến tính là \(\sqrt{4 + h} \approx 2 + \frac h4\). Với \(h = 0{,}1\), ta được \(\sqrt{4{,}1} \approx 2{,}025\). Giá trị thật, làm tròn, là \(2{,}02485\). Sai số khoảng \(0{,}00015\), nhỏ hơn \(h\) gần 650 lần. Với \(h = 0{,}01\), xấp xỉ cho \(2{,}0025\), còn giá trị thật là \(2{,}0024984\) (làm tròn), nên sai số khoảng \(0{,}0000016\): \(h\) nhỏ đi 10 lần thì sai số nhỏ đi khoảng 100 lần. Sai số hành xử như \(h^2\), giống phần cong \(h^2\) của \(x^2\); bài C3 cho công thức chính xác của nó.

Bên trái: \(y = \sqrt x\) và tiếp tuyến tại \((4; 2)\); nhìn xa, hai đường tách nhau rõ. Bên phải: phóng to quanh \(x = 4\). Tại \(x = 4{,}1\), tiếp tuyến cho \(2{,}025\), đường cong cho khoảng \(2{,}02485\), và hai điểm gần như chồng lên nhau.

Sai số của xấp xỉ \(\sqrt{4 + h} \approx 2 + \frac h4\) so với chính \(h\), với thang logarit trên cả hai trục. Đường sai số dốc gấp đôi đường \(h\): mỗi lần \(h\) nhỏ đi 10 lần, sai số nhỏ đi khoảng 100 lần.

Ví dụ 4 (hòn đá: vận tốc và gia tốc). Với \(s(t) = 5t^2\) mét,

\[ \frac{5(t + h)^2 - 5t^2}{h} = 10t + 5h \to 10t. \]

Vận tốc là \(v(t) = s'(t) = 10t\) m/s: lúc 2 giây là 20 m/s như Chương 31, lúc 3 giây là 30 m/s. Lấy đạo hàm lần nữa, \(\frac{10(t + h) - 10t}{h} = 10\) với mọi \(h\), nên \(s''(t) = v'(t) = 10\), đo bằng mét mỗi giây trên mỗi giây, tức \(10 \text{ m/s}^2\). Đó là gia tốc rơi đã lấy tròn ở Chương 28. Chương 28 đi từ gia tốc lên quãng đường bằng lập luận "vận tốc ở giữa". Ở đây ta đi chiều ngược lại, từ quãng đường xuống vận tốc rồi xuống gia tốc, chỉ bằng định nghĩa: vận tốc là đạo hàm của vị trí, gia tốc là đạo hàm bậc hai.

Ví dụ 5 (chi phí biên). Chi phí giả định để một xưởng làm \(q\) sản phẩm mỗi ngày là \(C(q) = 1000 + 20q + 0{,}1q^2\) nghìn đồng. Trong đó 1.000 nghìn đồng là chi phí cố định, 20 nghìn đồng là vật liệu cho mỗi sản phẩm, còn số hạng \(0{,}1q^2\) nói rằng làm càng nhiều thì mỗi sản phẩm thêm càng tốn, chẳng hạn vì phải trả tiền làm thêm giờ. Từ định nghĩa,

\[ \frac{C(q + h) - C(q)}{h} = \frac{20h + 0{,}1(2qh + h^2)}{h} = 20 + 0{,}2q + 0{,}1h \to 20 + 0{,}2q. \]

Tại \(q = 100\), \(C'(100) = 40\) nghìn đồng mỗi sản phẩm. Kinh tế học gọi \(C'(q)\) là chi phí biên (marginal cost): chi phí tăng thêm trên mỗi sản phẩm, tính tại mức sản lượng \(q\). So với việc làm thêm thật: sản phẩm thứ 101 tốn \(C(101) - C(100) = 4040{,}1 - 4000 = 40{,}1\) nghìn đồng. Đạo hàm cho giá của "thêm một sản phẩm" bằng một con số gọn, chỉ lệch 100 đồng.

Ví dụ 6 (\(f\) và \(f'\) đặt cạnh nhau). Với \(f(x) = x^3 - 3x\), khai triển như Ví dụ 1 cho

\[ \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{3a^2h + 3ah^2 + h^3 - 3h}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 - 3 \to 3a^2 - 3. \]

Vậy \(f'(x) = 3x^2 - 3\). Hàm đạo hàm bằng 0 tại \(x = -1\) và \(x = 1\): tại \((-1; 2)\) và \((1; -2)\), tiếp tuyến nằm ngang. Đặt hai đồ thị cạnh nhau, ta thấy một quy luật: ở đâu \(f'\) dương, \(f\) đi lên; ở đâu \(f'\) âm, \(f\) đi xuống. Đó mới là một quan sát trên hình; Chương 36 sẽ chứng minh nó. Lấy đạo hàm lần nữa, \(\frac{3(a + h)^2 - 3a^2}{h} = 6a + 3h \to 6a\), nên \(f''(x) = 6x\). Khi \(x < 0\), \(f''\) âm: hệ số góc giảm dần khi đi sang phải, và đồ thị cong xuống như một cái mũ úp. Khi \(x > 0\), \(f''\) dương: hệ số góc tăng dần, và đồ thị cong lên như một cái chén. Tại \(x = 0\), đồ thị đổi chiều cong.

Trên: \(f(x) = x^3 - 3x\) với hai tiếp tuyến nằm ngang (đường đứt) tại \(x = -1\) và \(x = 1\). Dưới: hàm đạo hàm \(f'(x) = 3x^2 - 3\), cắt trục hoành đúng tại hai điểm ấy. Nơi \(f'\) dương, \(f\) đi lên; nơi \(f'\) âm, \(f\) đi xuống.

Ranh giới

Góc nhọn: liên tục mà không khả vi. Với \(\lvert x \rvert\) tại 0, thương là \(\frac{\lvert h \rvert}{h}\): bằng 1 khi \(h > 0\) và bằng \(-1\) khi \(h < 0\). Hai giới hạn một phía khác nhau, nên không có giới hạn: \(\lvert x \rvert\) không khả vi tại 0, dù nó liên tục ở đó (bài C1 của Chương 33). Phóng to quanh gốc bao nhiêu lần, hình vẫn là chữ V y nguyên; nó không bao giờ "thẳng ra". Hãy hình dung \(\lvert t \rvert\) là khoảng cách tới bức tường của một quả bóng đập vào tường lúc \(t = 0\) rồi nảy ra, trong một mô hình lý tưởng: vận tốc đổi từ \(-1\) sang \(1\) ngay tức khắc, và đúng lúc chạm tường không có vận tốc nào để nói tới.

Cát tuyến dựng đứng. Với \(\sqrt[3]{x}\) tại 0, thương là \(\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}\), lớn không giới hạn khi \(h\) dần về 0 từ cả hai phía: bằng 100 khi \(h = \pm 0{,}001\), bằng 10.000 khi \(h = \pm 10^{-6}\). Các cát tuyến qua gốc dựng đứng dần và dồn về trục tung. Đồ thị có một tiếp tuyến theo nghĩa hình học, là đường thẳng đứng \(x = 0\), gọi là tiếp tuyến đứng (vertical tangent line). Nhưng đường thẳng đứng không có hệ số góc (Chương 27), giới hạn là \(+\infty\) chứ không phải một số thực, và \(\sqrt[3]{x}\) không khả vi tại 0.

Bên trái: \(y = \lvert x \rvert\) có hệ số góc \(-1\) bên trái gốc, \(1\) bên phải gốc, và một góc nhọn tại gốc, nơi không có tiếp tuyến. Bên phải: \(y = \sqrt[3]{x}\) dựng đứng tại gốc; tiếp tuyến ở đó là trục tung, không có hệ số góc.

Liên tục ở mọi nơi, khả vi ở không nơi nào. Góc nhọn của \(\lvert x \rvert\) chỉ nằm ở một điểm. Năm 1872, Weierstrass trình bày một hàm liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi tại bất kỳ điểm nào: đồ thị của nó liền một nét, nhưng phóng to chỗ nào cũng thấy những nếp gấp mới, không bao giờ thẳng ra. Ta chỉ phát biểu điều này, không dựng hàm ấy. Nó cho thấy liền nét và trơn tru là hai tính chất khác hẳn nhau: hình ảnh "vẽ không nhấc bút" của Chương 33 không nói gì về chuyện có tiếp tuyến hay không. Cấu trúc nguyên thủy của chương này, "nhìn đủ gần thì thành thẳng", là một tính chất mà nhiều quy luật may mắn có, không phải một điều mà mọi quy luật liên tục đều có.

Đạo hàm bậc hai không phải độ cong (curvature). Parabol \(y = x^2\) có \(y'' = 2\) ở mọi nơi, vậy mà nó cong gắt nhất ở đỉnh và gần như thẳng khi ra xa. Lý do: \(f''\) đo tốc độ thay đổi của hệ số góc theo \(x\), còn mắt ta thấy tiếp tuyến quay nhanh hay chậm khi đi dọc đường cong. Ở chỗ dốc, hai thứ ấy khác xa nhau: hai đường thẳng có hệ số góc 10 và 12 nghiêng lệch nhau chưa tới \(1^\circ\). Góc quay (tính bằng radian) của tiếp tuyến trên mỗi đơn vị độ dài dọc đường cong gọi là độ cong; với một đồ thị, nó bằng \(\frac{\lvert f''(x) \rvert}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}\), công thức ta nhận không chứng minh. Với \(y = x^2\), độ cong là 2 tại đỉnh nhưng chỉ khoảng \(0{,}18\) tại \(x = 1\). Dấu của \(f''\) cho biết chiều cong. Về độ lớn, mẫu số không nhỏ hơn 1, nên độ cong không vượt quá \(\lvert f'' \rvert\), và bằng đúng \(\lvert f'' \rvert\) ở chỗ tiếp tuyến nằm ngang.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (đạo hàm). Cho \(f\) xác định trên một khoảng mở chứa \(a\). Nếu giới hạn \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) tồn tại và là một số thực, ta nói \(f\) khả vi tại \(a\) và gọi giới hạn ấy là đạo hàm \(f'(a)\) của \(f\) tại \(a\). Hàm \(f\) khả vi trên một khoảng mở nếu nó khả vi tại mọi điểm của khoảng ấy; khi đó hàm \(x \mapsto f'(x)\) là hàm đạo hàm của \(f\). Nếu \(f'\) khả vi tại \(a\), đạo hàm của nó tại \(a\) là đạo hàm bậc hai \(f''(a)\).

Định nghĩa 2 (tiếp tuyến). Nếu \(f\) khả vi tại \(a\), tiếp tuyến của đồ thị \(f\) tại \((a; f(a))\) là đường thẳng \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\). Nếu \(f\) liên tục tại \(a\) và thương \(\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) dần về \(+\infty\) khi \(h \to 0\), hoặc dần về \(-\infty\), thì tiếp tuyến tại \((a; f(a))\) là đường thẳng đứng \(x = a\).

Định lý 3 (đặc trưng bằng xấp xỉ tuyến tính). Cho \(f\) xác định trên một khoảng mở chứa \(a\). Hàm \(f\) khả vi tại \(a\) khi và chỉ khi có một số \(m\) sao cho

\[ f(a + h) = f(a) + mh + r(h) \quad \text{với} \quad \lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{h} = 0. \]

Khi đó số \(m\) ấy là duy nhất và bằng \(f'(a)\). Hơn nữa, với mọi số \(m' \neq f'(a)\), sai số \(f(a + h) - f(a) - m'h\) chia cho \(h\) dần về \(f'(a) - m' \neq 0\).

Chứng minh. Với một số \(m\) bất kỳ, đẳng thức trên là định nghĩa của \(r(h)\), và với mọi \(h \neq 0\) nhỏ,

\[ \frac{r(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - m. \]

Nếu \(f\) khả vi tại \(a\), chọn \(m = f'(a)\). Theo Định lý 4 của Chương 32 (giới hạn của tổng, ở đây là tổng với hằng số \(-m\)), vế phải dần về \(f'(a) - f'(a) = 0\). Ngược lại, nếu có \(m\) với \(\frac{r(h)}{h} \to 0\), thì thương \(\frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \frac{r(h)}{h} + m\) dần về \(m\) theo cùng định lý: \(f\) khả vi tại \(a\) và \(f'(a) = m\). Vì giới hạn là duy nhất (Định lý 3 của Chương 32), \(m\) là duy nhất. Cuối cùng, với \(m' \neq f'(a)\), cùng đẳng thức, với \(m'\) thay cho \(m\), cho thấy sai số chia cho \(h\) dần về \(f'(a) - m'\). \(\square\)

Với một hàm liên tục tại \(a\), mọi đường thẳng không đứng qua \((a; f(a))\) đều cho sai số dần về 0; nhưng khi \(f\) khả vi, chỉ tiếp tuyến cho sai số nhỏ hơn \(h\) rất nhiều. Chữ "tốt nhất" trong "xấp xỉ tuyến tính tốt nhất" có đúng nghĩa ấy.

Định lý 4 (khả vi thì liên tục). Nếu \(f\) khả vi tại \(a\) thì \(f\) liên tục tại \(a\).

Chứng minh. Đặt \(m = f'(a)\). Dùng định nghĩa giới hạn với lượt thách \(\varepsilon = 1\): có \(\delta_1 > 0\) sao cho khi \(0 < \lvert h \rvert < \delta_1\) thì

\[ \left\lvert \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - m \right\rvert < 1, \quad \text{nên} \quad \left\lvert \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \right\rvert < \lvert m \rvert + 1 \]

theo bất đẳng thức tam giác, tức \(\lvert f(a + h) - f(a) \rvert < (\lvert m \rvert + 1)\lvert h \rvert\). Gần \(a\), \(f\) không thay đổi nhanh hơn một đường thẳng có hệ số góc \(\lvert m \rvert + 1\). Giờ cho \(\varepsilon > 0\) bất kỳ, đáp \(\delta = \min\left(\delta_1; \frac{\varepsilon}{\lvert m \rvert + 1}\right)\). Khi \(0 < \lvert h \rvert < \delta\) thì \(\lvert f(a + h) - f(a) \rvert < (\lvert m \rvert + 1) \cdot \frac{\varepsilon}{\lvert m \rvert + 1} = \varepsilon\), còn khi \(h = 0\) hiệu bằng 0. Vậy \(f\) liên tục tại \(a\). \(\square\)

Chiều ngược lại sai, như \(\lvert x \rvert\) tại 0 cho thấy. Liên tục nói: \(h\) nhỏ thì độ thay đổi nhỏ. Khả vi nói nhiều hơn: \(h\) nhỏ thì độ thay đổi gần như tỉ lệ với \(h\). Theo phản đảo của Định lý 4 (Chương 16), hàm nào không liên tục tại \(a\) thì không khả vi tại \(a\): mọi điểm gián đoạn của Chương 33 đều là điểm không có đạo hàm.

Mệnh đề 5 (những đạo hàm đã tính).

1. Hàm hằng có đạo hàm 0, và \((mx + b)' = m\), tại mọi \(x\).
2. \((x^2)' = 2x\) và \((x^3)' = 3x^2\), tại mọi \(x\).
3. \(\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}\) tại mọi \(x \neq 0\).
4. \(\left(\sqrt x\right)' = \frac{1}{2\sqrt x}\) tại mọi \(x > 0\).

Chứng minh. Ví dụ 1, 2 và 3. \(\square\)

Sợi chỉ

• S7. Xấp xỉ và sai số. Xấp xỉ tuyến tính \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h\) đi kèm một lời hứa chính xác về sai số: chia cho \(h\), nó dần về 0 (Định lý 3). Với \(\sqrt{4{,}1}\), sai số khoảng \(0{,}00015\) khi \(h = 0{,}1\), và nhỏ đi khoảng 100 lần mỗi khi \(h\) nhỏ đi 10 lần. Nhận xét "nhìn đủ gần, quy luật không đều cũng gần như đều" của Chương 27 giờ có nội dung định lượng.
• S4. Cục bộ và toàn cục. \(f'(a)\) chỉ phụ thuộc vào giá trị của \(f\) trong một khoảng nhỏ tùy ý quanh \(a\): hai hàm trùng nhau gần \(a\) có cùng đạo hàm tại \(a\), dù ở xa chúng khác nhau thế nào. Nhưng gom đạo hàm tại mọi điểm thành hàm \(f'\), ta được một đối tượng toàn cục, và hình ở Ví dụ 6 gợi ý rằng dấu của \(f'\) quyết định \(f\) đi lên hay đi xuống trên cả một khoảng. Chương 36 sẽ chứng minh cầu nối ấy.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Một con số, ba cách nhìn: tốc độ tức thời trong vật lý, hệ số góc của tiếp tuyến trong hình học, hệ số của xấp xỉ tuyến tính trong tính toán; kinh tế học còn gọi nó bằng một tên nữa, chi phí biên. Hai cách ghi \(f'\) và \(\frac{dy}{dx}\) cũng là hai biểu diễn của cùng một thứ, mỗi cách làm nổi một khía cạnh: một hàm, hay một tỉ số của các lượng thay đổi.

Tóm tắt

• Đạo hàm \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\), khi giới hạn tồn tại và là một số thực; khi đó \(f\) khả vi tại \(a\).
• Một con số, ba cách nhìn: tốc độ tức thời, hệ số góc của tiếp tuyến, hệ số của xấp xỉ tuyến tính \(f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h\).
• "Tốt nhất" có nghĩa chính xác: chỉ với hệ số \(f'(a)\), sai số chia cho \(h\) mới dần về 0.
• Tính từ định nghĩa: \((x^2)' = 2x\), \((x^3)' = 3x^2\), \(\left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}\), \(\left(\sqrt x\right)' = \frac{1}{2\sqrt x}\).
• Đơn vị của đạo hàm là đơn vị của đầu ra chia cho đơn vị của đầu vào: mét mỗi giây, nghìn đồng mỗi sản phẩm.
• Khả vi thì liên tục; liên tục chưa chắc khả vi: \(\lvert x \rvert\) có góc nhọn tại 0, và có cả những hàm liên tục mà không khả vi ở đâu.
• Đạo hàm bậc hai là thay đổi của thay đổi: gia tốc của chuyển động, và dấu của nó cho biết đồ thị cong lên hay cong xuống.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Một người nói: "Tốc độ tức thời là khái niệm vô nghĩa, vì trong một khoảnh khắc vật không đi được quãng đường nào." Câu này đúng ở đâu, sai ở đâu?

Lời giải

Đúng ở chỗ: trong một khoảnh khắc, quãng đường và thời gian đều bằng 0, và \(0 : 0\) không cho con số nào. Sai ở chỗ: tốc độ tức thời không được định nghĩa bằng phép chia ấy. Nó là giới hạn của các tốc độ trung bình trên những khoảng thời gian ngày càng ngắn. Mỗi tốc độ trung bình là một phép chia hợp lệ cho một số khác 0, và định nghĩa không lần nào chia 0 cho 0. Với hòn đá, các tốc độ trung bình \(20{,}5\); \(20{,}05\); \(20{,}005\) m/s đều đo được, và chúng cùng chỉ về 20.

A2. "Tiếp tuyến là đường thẳng chỉ chạm đồ thị tại một điểm." Tìm phản ví dụ cho cả hai chiều: một tiếp tuyến gặp đồ thị ở một điểm khác nữa, và một đường thẳng chỉ gặp đồ thị tại một điểm mà không phải tiếp tuyến.

Lời giải

Tiếp tuyến của \(f(x) = x^3 - 3x\) tại \((1; -2)\) là đường nằm ngang \(y = -2\) (Ví dụ 6), và nó gặp đồ thị lần nữa tại \(x = -2\), vì \(f(-2) = -8 + 6 = -2\). Tiếp tuyến của \(y = x^3\) tại gốc là \(y = 0\), vì \((x^3)' = 0\) tại 0, và nó cắt ngang đồ thị: đồ thị nằm dưới nó bên trái, trên nó bên phải. Chiều kia: trục tung \(x = 0\) gặp parabol \(y = x^2\) tại đúng một điểm là gốc, nhưng tiếp tuyến tại gốc là \(y = 0\). "Chỉ chạm tại một điểm" đúng với đường tròn, và hình ảnh ấy không mang sang được đồ thị nói chung. Tiếp tuyến là một khái niệm cục bộ: nó nói về đồ thị ngay gần tiếp điểm, không nói gì về những chỗ xa.

A3. Gọi \(T(t)\) là nhiệt độ (độ C) của một cốc cà phê sau \(t\) phút. Đẳng thức \(T'(5) = -2\) nói gì, với đơn vị nào? Có suy ra được rằng trong 10 phút tiếp theo cà phê nguội thêm 20 độ không?

Lời giải

Đơn vị là độ C mỗi phút: đúng lúc phút thứ 5, cà phê đang nguội với tốc độ 2 độ mỗi phút. Theo xấp xỉ tuyến tính, trong một khoảng ngắn sau đó, chẳng hạn nửa phút, nó nguội khoảng \(2 \cdot 0{,}5 = 1\) độ. Nhưng không suy ra được 20 độ trong 10 phút: xấp xỉ tuyến tính chỉ tốt khi \(h\) nhỏ, và chính tốc độ nguội cũng thay đổi, vì cà phê càng gần nhiệt độ phòng thì nguội càng chậm. Đạo hàm là thông tin tại một thời điểm, không phải một lời hứa cho cả một khoảng dài.

A4. Với chi phí giả định của Ví dụ 5, tại mức \(q = 50\) sản phẩm, tính chi phí trung bình mỗi sản phẩm \(\frac{C(50)}{50}\) và chi phí biên \(C'(50)\). Làm thêm sản phẩm sẽ kéo chi phí trung bình lên hay xuống? Ở mức \(q = 100\) thì sao?

Lời giải

\(C(50) = 1000 + 1000 + 250 = 2250\), nên chi phí trung bình là 45 nghìn đồng, còn \(C'(50) = 20 + 10 = 30\) nghìn đồng. Sản phẩm tiếp theo tốn khoảng 30, ít hơn mức trung bình 45, nên nó kéo trung bình xuống, như thêm vào lớp một học sinh có điểm thấp hơn điểm trung bình thì điểm trung bình giảm. Ở \(q = 100\), trung bình là \(\frac{4000}{100} = 40\), đúng bằng chi phí biên \(C'(100) = 40\): sản phẩm tiếp theo tốn ngang mức trung bình, và trung bình thôi giảm. Quả thật 40 là mức trung bình thấp nhất: \(\frac{C(q)}{q} = 20 + \frac{1000}{q} + 0{,}1q\), và \(\frac{1000}{q} + 0{,}1q - 20 = \left(\sqrt{\frac{1000}{q}} - \sqrt{0{,}1q}\right)^2 \geq 0\), với dấu bằng khi \(\frac{1000}{q} = 0{,}1q\), tức \(q = 100\).

A5. Phép lấy đạo hàm biến mỗi hàm khả vi thành một hàm. Nó có phải một đơn ánh (Chương 20) không? Nếu không, thông tin nào bị mất?

Lời giải

Không. \(x^2\) và \(x^2 + 5\) có cùng đạo hàm \(2x\): cộng một hằng số không làm thay đổi thương \(\frac{f(a + h) - f(a)}{h}\) nào, vì hằng số bị trừ đi. Đạo hàm chỉ ghi lại độ thay đổi, không ghi lại mức xuất phát, nên thông tin về "mức" bị mất: biết vận tốc ở mọi lúc chưa đủ để biết vị trí, còn phải biết vị trí ban đầu. Chương 38 sẽ gặp lại phần thông tin bị mất này dưới dạng một hằng số.

B. Tính toán

B1. Từ định nghĩa, tính đạo hàm của \(f(x) = x^2\) tại \(a = -1\), rồi viết phương trình tiếp tuyến tại \((-1; 1)\).

Lời giải

\(\frac{(-1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{-2h + h^2}{h} = -2 + h \to -2\). Vậy \(f'(-1) = -2\), và tiếp tuyến là \(y = 1 - 2(x + 1) = -2x - 1\). Kiểm tra: phương trình \(x^2 = -2x - 1\), tức \((x + 1)^2 = 0\), chỉ có nghiệm kép \(x = -1\); đường thẳng gặp parabol đúng tại tiếp điểm.

B2. Tính thương \(\frac{(2 + h)^3 - 8}{h}\) với \(h = 0{,}1\); \(0{,}01\); \(-0{,}01\). Các số ấy dồn về đâu, và vì sao?

Lời giải

Theo Ví dụ 1 với \(a = 2\), thương bằng \(12 + 6h + h^2\), cho \(12{,}61\); \(12{,}0601\); \(11{,}9401\). Chúng dồn về \(3 \cdot 2^2 = 12\), đạo hàm của \(x^3\) tại 2. Phần lệch \(6h + h^2\) chủ yếu là \(6h\), nên đổi dấu theo \(h\): từ bên phải, thương lớn hơn 12; từ bên trái, nhỏ hơn 12.

B3. Từ định nghĩa, tính đạo hàm của \(g(x) = 3x^2 - 5x + 2\) tại một điểm \(a\) bất kỳ. Tiếp tuyến nằm ngang ở đâu?

Lời giải

\(g(a + h) - g(a) = 3(2ah + h^2) - 5h\), nên thương là \(6a + 3h - 5 \to 6a - 5\). Vậy \(g'(x) = 6x - 5\), bằng 0 khi \(x = \frac56\). Tiếp tuyến nằm ngang tại đỉnh parabol, đúng hoành độ đỉnh \(p = \frac{5}{2 \cdot 3} = \frac56\) của Mệnh đề 2 ở Chương 28.

B4. Dùng xấp xỉ tuyến tính của \(\sqrt x\) để ước lượng \(\sqrt{9{,}2}\) (quanh 9) và \(\sqrt{24}\) (quanh 25). So với giá trị thật.

Lời giải

Quanh 9: \(\sqrt{9 + h} \approx 3 + \frac{h}{6}\); với \(h = 0{,}2\) được khoảng \(3{,}0333\), còn giá trị thật khoảng \(3{,}03315\), nên sai số khoảng \(0{,}0002\). Quanh 25: \(\sqrt{25 + h} \approx 5 + \frac{h}{10}\); với \(h = -1\) được \(4{,}9\), còn giá trị thật khoảng \(4{,}89898\), nên sai số khoảng \(0{,}001\), nhỏ dù \(h = -1\) không hề nhỏ.

B5. Dùng Ví dụ 2 tại \(a = 1\) để chứng tỏ \(\frac{1}{1 + h} \approx 1 - h\) khi \(h\) nhỏ. Ước lượng \(\frac{1}{0{,}98}\) và \(\frac{1}{1{,}05}\), rồi chứng minh sai số đúng bằng \(\frac{h^2}{1 + h}\).

Lời giải

Tại 1, \(\frac1x\) có giá trị 1 và đạo hàm \(-1\), nên \(\frac{1}{1 + h} \approx 1 - h\). Với \(h = -0{,}02\): \(\frac{1}{0{,}98} \approx 1{,}02\) (giá trị thật \(1{,}020408\ldots\)). Với \(h = 0{,}05\): \(\frac{1}{1{,}05} \approx 0{,}95\) (giá trị thật \(0{,}952380\ldots\)). Sai số là \(\frac{1}{1 + h} - (1 - h) = \frac{1 - (1 - h)(1 + h)}{1 + h} = \frac{h^2}{1 + h}\), tức \(0{,}000408\ldots\) và \(0{,}00238\ldots\) ở hai trường hợp. Chia cho \(h\), sai số còn \(\frac{h}{1 + h} \to 0\), đúng như Định lý 3. Chia cho \(0{,}98\) gần như nhân với \(1{,}02\): một mẹo tính nhẩm có cơ sở.

B6. Một vật ném thẳng lên có độ cao \(y(t) = 20t - 5t^2\) mét sau \(t\) giây (Ví dụ 5 của Chương 28, đổi tên hàm để chữ \(h\) dành cho lượng thay đổi). Từ định nghĩa, tìm vận tốc \(v(t)\) và gia tốc. Khi nào vận tốc bằng 0, và lúc ấy vật ở đâu?

Lời giải

\(\frac{y(t + h) - y(t)}{h} = \frac{20h - 5(2th + h^2)}{h} = 20 - 10t - 5h \to 20 - 10t\), nên \(v(t) = 20 - 10t\) m/s. Tiếp theo, \(\frac{v(t + h) - v(t)}{h} = -10\) với mọi \(h\), nên gia tốc là \(-10 \text{ m/s}^2\); dấu trừ vì chiều dương hướng lên còn trọng lực kéo xuống. Vận tốc bằng 0 khi \(t = 2\), lúc vật ở độ cao \(y(2) = 40 - 20 = 20\) mét: đỉnh parabol mà Chương 28 tìm bằng cách hoàn thành bình phương. Ở điểm cao nhất, vật dừng lại trong một khoảnh khắc, và tiếp tuyến nằm ngang.

B7. Với chi phí giả định \(C(q) = 1000 + 20q + 0{,}1q^2\), tính \(C'(50)\) và \(C'(200)\), rồi so với \(C(51) - C(50)\) và \(C(201) - C(200)\). Vì sao chênh lệch luôn là \(0{,}1\)?

Lời giải

\(C'(q) = 20 + 0{,}2q\) cho \(C'(50) = 30\) và \(C'(200) = 60\) nghìn đồng mỗi sản phẩm. Làm thật: \(C(51) - C(50) = 20 + 0{,}1(2601 - 2500) = 30{,}1\) và \(C(201) - C(200) = 20 + 0{,}1(40401 - 40000) = 60{,}1\). Tổng quát, thương ở Ví dụ 5 với \(h = 1\) cho \(C(q + 1) - C(q) = 20 + 0{,}2q + 0{,}1 = C'(q) + 0{,}1\). Phần chênh \(0{,}1\) là số hạng cong \(0{,}1h^2\) với \(h = 1\), và nó không phụ thuộc \(q\).

B8. Dùng giới hạn \(\frac{\sin x}{x} \to 1\) khi \(x \to 0\) (Ví dụ 6 của Chương 32) để tính đạo hàm của \(\sin\) tại 0, với góc đo bằng radian. Nếu đo góc bằng độ, tức xét \(g(x) = \sin\frac{\pi x}{180}\), thì đạo hàm tại 0 là bao nhiêu?

Lời giải

\(\frac{\sin(0 + h) - \sin 0}{h} = \frac{\sin h}{h} \to 1\): đạo hàm của \(\sin\) tại 0 là 1, và tiếp tuyến tại gốc là \(y = x\). Với độ, đặt \(u = \frac{\pi h}{180}\); khi đó \(\frac{g(h) - g(0)}{h} = \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin u}{u}\), và \(u \to 0\) khi \(h \to 0\), nên đạo hàm là \(\frac{\pi}{180} \approx 0{,}01745\). Đo bằng radian, hằng số phiền phức ấy biến mất. Đó là điều Chương 30 đã hẹn: các công thức về tốc độ thay đổi của \(\sin\) chỉ gọn khi dùng radian.

B9. Đi quãng đường 120 km với tốc độ không đổi \(v\) km/h mất \(T(v) = \frac{120}{v}\) giờ. Từ định nghĩa, tính \(T'(60)\), nêu đơn vị và ý nghĩa, rồi so với \(T(61) - T(60)\).

Lời giải

\(\frac{T(60 + h) - T(60)}{h} = \frac1h\left(\frac{120}{60 + h} - 2\right) = \frac{120 - 120 - 2h}{h(60 + h)} = -\frac{2}{60 + h} \to -\frac{1}{30}\). Đơn vị là giờ trên mỗi km/h: đang đi 60 km/h, tăng tốc thêm 1 km/h thì bớt được khoảng \(\frac{1}{30}\) giờ, tức 2 phút. Làm thật: \(T(61) - T(60) = \frac{120}{61} - 2 \approx -0{,}0328\) giờ, khoảng \(1{,}97\) phút. Ở 30 km/h, phép tính tương tự cho \(-\frac{120}{900}\) giờ mỗi km/h, tức 8 phút: tăng tốc có lợi nhiều nhất khi đang đi chậm.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh \(f(x) = x \lvert x \rvert\) khả vi tại 0 và tính \(f'(0)\). So sánh với \(\lvert x \rvert\).

Lời giải

\(\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h \lvert h \rvert}{h} = \lvert h \rvert \to 0\), nên \(f'(0) = 0\) và tiếp tuyến tại gốc là trục hoành. Đồ thị gồm nửa parabol \(y = x^2\) bên phải và nửa parabol \(y = -x^2\) bên trái, và cả hai nửa đều nằm ngang tại gốc, nên chúng nối nhau trơn tru. Với \(\lvert x \rvert\), thương là \(\pm 1\) tùy phía; nhân thêm thừa số \(x\), thương thành \(\pm h\), và cả hai phía cùng dồn về 0. Góc nhọn biến mất.

C2. Cho \(f(x) = 1\) khi \(x > 0\), \(f(0) = 0\), và \(f(x) = -1\) khi \(x < 0\). Chứng minh rằng thương \(\frac{f(h) - f(0)}{h}\) dần về \(+\infty\) khi \(h\) dần về 0 từ cả hai phía, nhưng \(f\) không khả vi tại 0. Vì sao Định nghĩa 2 đòi \(f\) liên tục trước khi nói tới tiếp tuyến đứng?

Lời giải

Với \(h > 0\), thương là \(\frac{1}{h}\); với \(h < 0\), thương là \(\frac{-1}{h}\). Cả hai đều bằng \(\frac{1}{\lvert h \rvert}\), lớn không giới hạn. Nhưng \(f\) có một bước nhảy tại 0, nên không liên tục ở đó, và theo phản đảo của Định lý 4, nó không khả vi tại 0. Đồ thị không dựng đứng ở gốc: chỉ có những cát tuyến nối gốc với hai bậc thang, dốc dần khi \(h\) nhỏ. Nếu bỏ điều kiện liên tục, Định nghĩa 2 sẽ gọi trục tung là "tiếp tuyến" của một bước nhảy. Điều kiện ấy loại trường hợp này và giữ lại những trường hợp như \(\sqrt[3]{x}\), nơi đồ thị thật sự dựng đứng và liền nét qua gốc.

C3. Chứng minh rằng với mọi \(h > -4\),

\[ 2 + \frac{h}{4} - \sqrt{4 + h} = \frac{h^2}{16\left(2 + \frac h4 + \sqrt{4 + h}\right)}, \]

rồi suy ra ba điều: tiếp tuyến của \(y = \sqrt x\) tại \((4; 2)\) không bao giờ nằm dưới đồ thị; sai số của xấp xỉ \(\sqrt{4 + h} \approx 2 + \frac h4\) nhỏ hơn \(\frac{h^2}{16}\) khi \(h \neq 0\); và sai số chia cho \(h\) dần về 0.

Lời giải

Đặt \(u = 2 + \frac h4\) và \(v = \sqrt{4 + h}\). Khi \(h > -4\) thì \(u > 1\) và \(v \geq 0\), nên \(u + v > 1\) và \(u - v = \frac{u^2 - v^2}{u + v}\). Mà \(u^2 - v^2 = 4 + h + \frac{h^2}{16} - (4 + h) = \frac{h^2}{16}\), nên \(u - v = \frac{h^2}{16(u + v)}\), đúng đẳng thức cần chứng minh. Vế phải không âm, nên \(2 + \frac h4 \geq \sqrt{4 + h}\): tiếp tuyến không nằm dưới đồ thị. Vì \(u + v > 1\), sai số nhỏ hơn \(\frac{h^2}{16}\) khi \(h \neq 0\). Chia cho \(h\), trị tuyệt đối của thương nhỏ hơn \(\frac{\lvert h \rvert}{16}\), dần về 0, đúng như Định lý 3 bảo đảm. Khi \(h\) gần 0, \(u + v\) gần 4, nên sai số gần \(\frac{h^2}{64}\): với \(h = 0{,}1\), con số ấy là \(\frac{0{,}01}{64} \approx 0{,}000156\), rất gần sai số thật \(0{,}000154\) của Ví dụ 3.

C4. Chứng minh rằng nếu \(f\) khả vi tại \(a\) thì \(\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} \to f'(a)\) khi \(h \to 0\). Điều ngược lại có đúng không? Thử với \(\lvert x \rvert\) tại 0.

Lời giải

Viết

\[ \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = \frac12 \cdot \frac{f(a + h) - f(a)}{h} + \frac12 \cdot \frac{f(a - h) - f(a)}{-h}. \]

Khi \(h \to 0\), thương thứ nhất dần về \(f'(a)\). Thương thứ hai là thương của định nghĩa với lượng thay đổi \(k = -h\), mà \(k \to 0\) khi \(h \to 0\), nên nó cũng dần về \(f'(a)\). Nhân một hàm với hằng số \(\frac12\) thì giới hạn cũng nhân với \(\frac12\) (với lượt thách \(\varepsilon\), dùng lời đáp của lượt thách \(2\varepsilon\)), nên theo giới hạn của tổng, vế trái dần về \(\frac12 f'(a) + \frac12 f'(a) = f'(a)\). Điều ngược lại sai: với \(\lvert x \rvert\) tại 0, \(\frac{\lvert h \rvert - \lvert -h \rvert}{2h} = 0\) với mọi \(h \neq 0\), nên giới hạn là 0, dù \(\lvert x \rvert\) không khả vi tại 0. Thương đối xứng nhìn hai phía cùng lúc và để hai hệ số góc 1 và \(-1\) triệt tiêu nhau; nó che mất góc nhọn thay vì phát hiện ra.

Câu hỏi để ngỏ

Tính đạo hàm từ định nghĩa mỗi lần thật vất vả. Có những quy tắc tính nhanh không, và quan trọng hơn, vì sao chúng buộc phải đúng?