Chương 4: Đếm và số

Câu hỏi mở đầu

Ta đã biết cách coi những vật khác nhau là "cùng loại", để mỗi con cừu chỉ tính là "một con cừu". Nhưng người chăn cừu chưa biết đếm vẫn chưa trả lời được câu hỏi của mình: đàn cừu tối nay có nhiều như đàn cừu sáng nay không? Làm sao biết hai nhóm có "nhiều như nhau" mà không cần biết đếm?

Một túi sỏi

Người chăn cừu có thể làm thế này. Buổi sáng, mỗi khi một con cừu ra khỏi chuồng, anh bỏ một viên sỏi vào túi. Buổi tối, mỗi khi một con cừu về chuồng, anh lấy một viên sỏi ra. Nếu con cừu cuối cùng đã vào chuồng mà túi còn sỏi, đàn cừu đã thiếu. Nếu túi hết sỏi mà vẫn còn cừu đứng ngoài, đàn cừu đã thừa ra, có lẽ một con nhà hàng xóm đi lạc theo. Túi vừa hết đúng lúc con cừu cuối cùng vào chuồng thì đàn cừu đủ.

Anh vừa so sánh hai nhóm mà không dùng một con số nào. Cái anh dùng là việc ghép cặp: mỗi con cừu với đúng một viên sỏi. Ta làm việc này hằng ngày mà không để ý. Bước vào một phòng họp, thấy mọi người đã ngồi và không còn ghế trống, ta biết số người bằng số ghế mà không cần đếm ai.

Chương này đi từ việc ghép cặp ấy tới con số, rồi tới cách ta viết con số. Và ta sẽ gặp lại bài học của Chương 1: con số là cấu trúc, còn cách viết nó là quy ước.

Ghép cặp: số lượng trước cả con số

Hai nhóm \(A\) và \(B\) được ghép cặp một-một khi mỗi vật của \(A\) được nối với đúng một vật của \(B\), và mỗi vật của \(B\) được nối với đúng một vật của \(A\): không vật nào bị bỏ sót, không vật nào bị dùng hai lần. Cách ghép như vậy gọi là một tương ứng một-một (one-to-one correspondence).

Bên trái: ghép vừa khít, số người bằng số ghế. Bên phải: mọi người đều có ghế mà vẫn thừa ghế, nên số người ít hơn số ghế. Không cần đếm.

Nếu ghép được như vậy, ta nói hai nhóm nhiều như nhau, hay có cùng số lượng (cardinality). Nếu \(A\) ghép hết vào một phần của \(B\) mà \(B\) còn thừa, ta nói \(A\) ít hơn \(B\). Chưa có con số nào được dùng.

"Nhiều như nhau" là một cách đồng nhất. Ở Chương 3, ta đã thấy mọi cách đồng nhất hợp lệ phải có ba tính chất. "Nhiều như nhau" có đủ cả ba:

• phản xạ: nhóm nào cũng nhiều như chính nó (ghép mỗi vật với chính nó);
• đối xứng: nếu \(A\) ghép được với \(B\) thì \(B\) ghép được với \(A\) (đọc các cặp theo chiều ngược lại);
• bắc cầu: nếu cừu ghép được với sỏi và sỏi ghép được với các vạch khắc trên một cây gậy, thì cừu ghép được với các vạch khắc (đi từ con cừu tới viên sỏi của nó, rồi tới vạch khắc của viên sỏi).

Vậy "nhiều như nhau" chia các nhóm vật thành các lớp. Mọi nhóm "ba vật" (ba con cừu, ba viên sỏi, ba ngày, ba ý tưởng) nằm trong cùng một lớp. Con số ba chính là cái mà mọi nhóm trong lớp ấy cùng chia sẻ, khi ta đã quên mọi chi tiết khác: đó đúng là trừu tượng hóa theo nghĩa của Chương 3. Một số tự nhiên (natural number) là cái chung của một lớp các nhóm nhiều như nhau.

Nhóm không có vật nào, như cái túi đã hết sỏi, cũng có số lượng của nó: số 0. Hai nhóm rỗng ghép cặp được với nhau một cách hiển nhiên, vì chẳng có gì phải ghép.

Đếm là ghép cặp với một dãy chuẩn. Việc đếm quen thuộc chỉ là một cách ghép cặp đặc biệt: ta ghép từng vật với các từ "một", "hai", "ba", ... theo đúng thứ tự, và từ cuối cùng được nói ra là số lượng của nhóm. Dãy từ đếm là một "túi sỏi" chuẩn mà mọi người dùng chung.

Có một điều đáng ngạc nhiên nếu ta dừng lại mà nghĩ: đếm một giỏ táo theo thứ tự nào thì kết quả cũng như nhau. Hai thứ tự khác nhau là hai cách ghép cặp khác nhau, vậy mà từ cuối cùng luôn trùng nhau.

Hai thứ tự đếm là hai cách ghép cặp khác nhau với dãy từ đếm, nhưng cả hai đều dừng ở "năm".

Số lượng là một bất biến khi ta đổi thứ tự đếm. Điều này không hiển nhiên, và phần phát biểu chặt chẽ sẽ chứng minh nó.

Thứ tự. Việc ghép cặp cho ta luôn cả thứ tự (order) giữa các số: số \(a\) nhỏ hơn số \(b\) khi một nhóm \(a\) vật ghép hết được vào một phần của một nhóm \(b\) vật mà vẫn còn thừa. Quan hệ "nhỏ hơn" bắc cầu nhưng không đối xứng, đúng như Chương 3 đã báo trước: nó xếp hàng các số chứ không gom lớp. Và hàng ấy không bao giờ dừng: thêm một vật vào bất kỳ nhóm nào cũng được một nhóm nhiều hơn.

Ký hiệu: số và cách viết số

Con số và cách viết con số là hai thứ khác nhau. Số năm là cái chung của mọi nhóm năm vật. Còn chữ "năm", ký hiệu "5", chữ La Mã "V", dãy "101" trong hệ nhị phân, hay năm vạch khắc trên gậy là những cách ghi số năm theo các quy ước khác nhau. Một ký hiệu dùng để ghi số gọi là một chữ số (digit).

Ghi số bằng cách bó nhóm. Muốn ghi số lớn mà không cần một ký hiệu riêng cho mỗi số, người ta bó các vật thành từng nhóm bằng nhau. Với 23 que tính: bó được 2 bó mười que, còn thừa 3 que. Ta viết "23": chữ số 2 ở cột trái đếm số bó mười, chữ số 3 ở cột phải đếm số que lẻ. Cùng một chữ số 2, đặt ở cột khác thì mang giá trị khác. Cách ghi này gọi là hệ ghi số theo vị trí (positional notation).

Trên: 23 que là 2 bó mười và 3 que lẻ. Dưới: giá trị của mỗi cột trong hệ thập phân và trong hệ nhị phân.

Trong hệ quen thuộc, mỗi cột gấp 10 lần cột bên phải nó:

\[ 2025 = 2 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0 . \]

Ở đây \(10^3\) là cách viết gọn của \(10 \cdot 10 \cdot 10\), còn \(10^1 = 10\) và \(10^0 = 1\) (Chương 12 sẽ cho thấy vì sao quy ước \(10^0 = 1\) là bắt buộc). Số 10 gọi là cơ số (base) của hệ, và hệ này gọi là hệ thập phân (decimal system).

Chữ số 0 trong 2025 là một phát minh quan trọng: nó giữ chỗ cho một cột trống. Không có nó, ta không phân biệt được 25 với 205.

Số 10 không có gì đặc biệt. Chọn một cơ số \(b\) bất kỳ lớn hơn 1, ta dùng các chữ số từ 0 tới \(b - 1\), và mỗi cột gấp \(b\) lần cột bên phải. Để khỏi nhầm, ta ghi cơ số ở chân: \(101101_2\) là một số viết trong hệ nhị phân (cơ số 2), \(31100_5\) là một số viết trong hệ cơ số 5. Tổng quát, dãy chữ số \(d_k \dots d_1 d_0\) trong cơ số \(b\) có nghĩa là

\[ (d_k \dots d_1 d_0)_b = d_k \cdot b^k + \dots + d_1 \cdot b + d_0 . \]

Máy tính dùng cơ số 2 vì mạch điện chỉ cần phân biệt hai trạng thái. Giờ, phút, giây dùng cơ số 60, một quy ước rất lâu đời còn dùng đến nay.

Số La Mã (Roman numerals) theo một nguyên tắc khác. Mỗi ký hiệu có giá trị cố định: \(\mathrm{I} = 1\), \(\mathrm{V} = 5\), \(\mathrm{X} = 10\), \(\mathrm{L} = 50\), \(\mathrm{C} = 100\), \(\mathrm{D} = 500\), \(\mathrm{M} = 1000\). Các giá trị được cộng lại, trừ khi một ký hiệu nhỏ đứng ngay trước một ký hiệu lớn hơn thì nó bị trừ đi: \(\mathrm{IV} = 4\), \(\mathrm{XL} = 40\). Hệ này không có chữ số 0 và không theo vị trí, nên làm tính trên giấy rất khó.

Cuối cùng, ta dùng \(\mathbb{N}\) để chỉ nhóm tất cả các số tự nhiên: \(\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\}\). Theo quy ước của sách giáo khoa Việt Nam, \(\mathbb{N}\) gồm cả số 0; nhóm các số tự nhiên khác 0 được viết là \(\mathbb{N}^*\). Dấu \(a < b\) nghĩa là "\(a\) nhỏ hơn \(b\)", còn \(a \leq b\) nghĩa là "\(a\) nhỏ hơn hoặc bằng \(b\)".

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (từ hệ thập phân sang hệ nhị phân). Viết 45 trong hệ nhị phân.

Ý tưởng: bó 45 que thành từng đôi, rồi bó các đôi thành từng đôi, và cứ thế. Mỗi lần chia cho 2, số dư (0 hoặc 1) cho biết cột ấy có một que lẻ hay không:

\[ \begin{aligned} 45 &= 2 \cdot 22 + 1, \\ 22 &= 2 \cdot 11 + 0, \\ 11 &= 2 \cdot 5 + 1, \\ 5 &= 2 \cdot 2 + 1, \\ 2 &= 2 \cdot 1 + 0, \\ 1 &= 2 \cdot 0 + 1 . \end{aligned} \]

Đọc các số dư từ dưới lên: \(45 = 101101_2\). Kiểm lại theo chiều ngược, đúng như công cụ "làm ngược lại" ở Chương 2: \(101101_2 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45\).

Ví dụ 2 (từ hệ nhị phân sang hệ thập phân). Các cột trong hệ nhị phân, từ phải sang trái, có giá trị 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... Vậy \(1011_2 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11\), và \(11111_2 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31\). Để ý rằng \(100000_2 = 32\), đúng bằng \(31 + 1\): cộng 1 vào một dãy toàn chữ số 1 thì mọi cột đều "nhớ" sang cột bên trái. Bài C3 sẽ khai thác điều này.

Ví dụ 3 (số La Mã). Đọc \(\mathrm{XLIV}\) và \(\mathrm{MMXXV}\), rồi tính \(\mathrm{XLIV} + \mathrm{XXIX}\).

\(\mathrm{XLIV} = \mathrm{XL} + \mathrm{IV} = 40 + 4 = 44\). \(\mathrm{MMXXV} = 1000 + 1000 + 10 + 10 + 5 = 2025\). Để cộng, cách dễ nhất là đổi sang hệ thập phân: \(\mathrm{XXIX} = 10 + 10 + 9 = 29\), nên tổng là \(44 + 29 = 73 = \mathrm{LXXIII}\). Con số 73 không phụ thuộc vào cách viết; chỉ có công sức tính toán là phụ thuộc.

Ví dụ 4 (cơ số 60). 3 giờ 25 phút là bao nhiêu phút? 10.000 giây là mấy giờ, mấy phút, mấy giây?

\(3 \cdot 60 + 25 = 205\) phút. Với 10.000 giây: một giờ có \(60 \cdot 60 = 3600\) giây, và \(10000 = 3600 \cdot 2 + 2800\); rồi \(2800 = 60 \cdot 46 + 40\). Vậy 10.000 giây là 2 giờ 46 phút 40 giây. Kiểm lại: \(2 \cdot 3600 + 46 \cdot 60 + 40 = 7200 + 2760 + 40 = 10000\).

Ranh giới

Đếm sai là ghép sai. Đếm trùng một vật là dùng một vật hai lần; bỏ sót một vật là để nó không được ghép. Cả hai lỗi đều là vi phạm định nghĩa tương ứng một-một. Đếm người trong một đám đông đang di chuyển khó chính vì khó giữ được một cách ghép cặp ổn định.

Đếm cần những đơn vị rời rạc và bền vững. Như những giọt nước ở Chương 1 cho thấy, việc đếm chỉ áp dụng được cho những thứ tách biệt và không nhập vào nhau. Nước, cát chảy, thời gian thì ta không đếm mà đo, và việc đo sẽ cần những con số mới (phân số, số thực) ở các chương sau.

Với nhóm vô hạn, ghép cặp cho kết quả lạ. Nhóm các số chẵn \(0, 2, 4, 6, \dots\) chỉ là một phần của \(\mathbb{N}\): mọi số lẻ đều bị bỏ ra ngoài. Vậy mà hai nhóm này ghép cặp một-một được, không thừa không thiếu: ghép \(n\) với \(2n\).

Mỗi số tự nhiên \(n\) ghép với số chẵn \(2n\). Mỗi số chẵn có đúng một bạn ghép, nên số chẵn "nhiều như" số tự nhiên, dù chỉ là một phần của chúng.

Với nhóm hữu hạn, điều này không thể xảy ra: một phần thực sự luôn ít hơn toàn thể (bài C2). Với nhóm vô hạn, trực giác "toàn thể lớn hơn một phần" hỏng. Đây không phải một nghịch lý mà là một tính chất của cái vô hạn; Chương 21 sẽ đi đến tận cùng của nó.

Không có số tự nhiên lớn nhất. Với bất kỳ số \(n\) nào, số \(n + 1\) lớn hơn. Nhưng mỗi nhóm cụ thể mà ta đếm luôn có hữu hạn vật. "Vô hạn" không phải một số tự nhiên rất lớn; nó là việc dãy số không bao giờ dừng.

Không phải số nào cũng viết gọn trong mọi cơ số. Với số tự nhiên, cơ số nào cũng dùng được. Nhưng với các số không nguyên, cách ghi theo vị trí có thể kéo dài mãi: \(\frac13 = 0{,}333\ldots\) trong hệ thập phân, còn \(0{,}1\) không viết được bằng hữu hạn chữ số trong hệ nhị phân. Đó chính là nguồn gốc của phép cộng \(0{,}1 + 0{,}2\) "lạ" ở Chương 2.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (tương ứng một-một). Cho hai nhóm \(A\) và \(B\). Một tương ứng một-một giữa \(A\) và \(B\) là một cách ghép mỗi phần tử của \(A\) với đúng một phần tử của \(B\), sao cho mỗi phần tử của \(B\) được ghép với đúng một phần tử của \(A\).

Định nghĩa 2 (cùng số lượng). Hai nhóm có cùng số lượng khi có một tương ứng một-một giữa chúng. Với số tự nhiên \(n \geq 1\), một nhóm có \(n\) phần tử khi nó có cùng số lượng với nhóm \(\{1; 2; \dots; n\}\); nhóm rỗng có 0 phần tử.

Mệnh đề 1. "Có cùng số lượng" là một quan hệ tương đương.

Chứng minh. Phản xạ: ghép mỗi phần tử của \(A\) với chính nó. Đối xứng: đọc ngược các cặp của một tương ứng một-một giữa \(A\) và \(B\), ta được một cách ghép mỗi phần tử của \(B\) với đúng một phần tử của \(A\), và ngược lại; đó là một tương ứng một-một giữa \(B\) và \(A\). Bắc cầu: bài C1. \(\square\)

Mệnh đề 2 (kết quả đếm không phụ thuộc thứ tự). Nếu có một tương ứng một-một giữa \(\{1; 2; \dots; m\}\) và \(\{1; 2; \dots; n\}\) thì \(m = n\). Do đó một nhóm không thể vừa có \(m\) phần tử vừa có \(n\) phần tử với \(m \neq n\): đếm theo cách nào cũng ra cùng một số.

Chứng minh. Giả sử có một tương ứng một-một như vậy. Nếu \(m = 0\), nhóm bên trái rỗng; khi đó nhóm bên phải cũng phải rỗng, vì mỗi phần tử của nó cần một bạn ghép ở bên trái. Vậy \(n = 0\). Tương tự, nếu \(n = 0\) thì \(m = 0\).

Nếu \(m \geq 1\) và \(n \geq 1\), xét số \(n\) ở bên phải; nó được ghép với một số \(k\) nào đó ở bên trái. Nếu \(k \neq m\), thì số \(m\) ở bên trái được ghép với một số \(j \neq n\) ở bên phải; ta đổi chỗ, ghép \(k\) với \(j\) và ghép \(m\) với \(n\). Ta vẫn có một tương ứng một-một, và giờ \(m\) được ghép với \(n\). Bỏ cặp ấy đi, ta được một tương ứng một-một giữa \(\{1; \dots; m - 1\}\) và \(\{1; \dots; n - 1\}\).

Lặp lại bước này, mỗi lần hai nhóm cùng mất một phần tử. Khi một bên đã rỗng, theo đoạn đầu, bên kia cũng rỗng; vậy hai bên mất hết phần tử sau cùng một số bước, tức \(m = n\). Đây là một lập luận quy nạp toán học (mathematical induction) trá hình; Chương 18 sẽ làm cho nó hoàn toàn chính thức.

Cuối cùng, nếu một nhóm \(X\) ghép được với cả \(\{1; \dots; m\}\) lẫn \(\{1; \dots; n\}\), thì theo tính đối xứng và bắc cầu ở Mệnh đề 1, \(\{1; \dots; m\}\) ghép được với \(\{1; \dots; n\}\), nên \(m = n\). \(\square\)

Định lý 3 (viết số theo cơ số). Cho số tự nhiên \(b \geq 2\). Mọi số tự nhiên \(n \geq 1\) viết được theo đúng một cách dưới dạng

\[ n = d_k \cdot b^k + \dots + d_1 \cdot b + d_0 , \]

trong đó mỗi chữ số \(d_i\) là một số tự nhiên từ 0 đến \(b - 1\) và chữ số đầu \(d_k\) khác 0.

Chứng minh. Sự tồn tại: chia \(n\) cho \(b\), được \(n = b \cdot q_0 + d_0\) với \(0 \leq d_0 \leq b - 1\). Nếu thương \(q_0\) khác 0, lại chia \(q_0\) cho \(b\): \(q_0 = b \cdot q_1 + d_1\), và cứ thế. Khi số bị chia khác 0, thương luôn nhỏ hơn số bị chia (vì \(b \geq 2\)), nên các thương giảm dần và sau hữu hạn bước thì bằng 0. Thay ngược các đẳng thức vào nhau, ta được biểu diễn cần tìm, đúng như Ví dụ 1.

Sự duy nhất: giả sử \(n = d_k b^k + \dots + d_1 b + d_0\). Viết lại \(n = b \cdot (d_k b^{k - 1} + \dots + d_1) + d_0\) với \(0 \leq d_0 \leq b - 1\). Nghĩa là \(d_0\) chính là số dư khi chia \(n\) cho \(b\), và phần trong ngoặc là thương. Số dư và thương của một phép chia là duy nhất (Chương 6 sẽ chứng minh điều này), nên \(d_0\) bị \(n\) quyết định hoàn toàn, và các chữ số còn lại chính là biểu diễn của thương, một số nhỏ hơn \(n\). Lặp lại lập luận cho thương, ta thấy mọi chữ số đều bị quyết định. \(\square\)

Một mệnh đề quan trọng đã được chứng minh, như Định lý 3 ở trên, gọi là một định lý (theorem).

Ý nghĩa của định lý nối thẳng với Chương 1: số là cấu trúc, dãy chữ số là quy ước. Nhưng một khi đã chọn cơ số, dãy chữ số bị con số quyết định hoàn toàn. Con người chọn luật chơi; hệ quả thì không.

Sợi chỉ

• S1. Bất biến qua biến đổi. Số lượng của một nhóm không đổi khi ta đổi thứ tự đếm (Mệnh đề 2), giống như sự bất khả trên bàn cờ bị cắt góc không đổi dù ta đặt domino ở đâu.
• S2. Thông tin và khả nghịch. Đổi một số sang cơ số khác không làm mất thông tin: từ dãy chữ số luôn tìm lại được đúng con số (Định lý 3). Hãy so với việc đi từ một số tới lớp của nó ở Chương 3, nơi thông tin bị mất.
• S5. Rời rạc và liên tục. Đếm là công cụ của thế giới rời rạc, nơi các vật tách biệt và bền vững. Những thứ trôi chảy như nước hay thời gian thì phải đo, và sẽ cần những con số mới.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. \(45 = 101101_2 = \mathrm{XLV}\): một số, nhiều cách viết, như ba cách viết của \(2 + 3 = 5\) ở Chương 1.

Tóm tắt

• Hai nhóm có cùng số lượng khi ghép cặp được một-một, không thừa không thiếu; điều này so sánh được mà chưa cần con số nào.
• "Có cùng số lượng" là một quan hệ tương đương, và một số tự nhiên là cái chung của một lớp các nhóm nhiều như nhau; số 0 là số lượng của nhóm rỗng.
• Đếm là ghép cặp với dãy từ đếm chuẩn; kết quả không phụ thuộc thứ tự đếm, vì \(\{1; \dots; m\}\) chỉ ghép một-một được với \(\{1; \dots; n\}\) khi \(m = n\).
• Việc ghép cặp cũng cho thứ tự giữa các số, và dãy số tự nhiên không có phần tử lớn nhất.
• Hệ ghi số theo vị trí là quy ước bó nhóm; với mỗi cơ số \(b \geq 2\), mọi số tự nhiên có đúng một cách viết, tìm được bằng cách chia liên tiếp cho \(b\).
• Với nhóm vô hạn, một phần có thể nhiều như toàn thể: số chẵn ghép cặp một-một được với số tự nhiên.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Giải thích vì sao túi sỏi cho người chăn cừu biết đàn cừu đủ hay thiếu mà không cần biết số cừu. Nếu buổi tối túi hết sỏi trước khi con cừu cuối cùng vào chuồng, điều đó nói gì? Có cách giải thích nào khác ngoài "cừu lạ nhập đàn" không?

Lời giải

Buổi sáng, túi sỏi được dựng thành một nhóm ghép cặp một-một với đàn cừu: mỗi con cừu ra chuồng ứng với đúng một viên sỏi bỏ vào. Buổi tối, mỗi con về ứng với một viên lấy ra. Nếu túi hết đúng lúc con cuối về, đàn cừu tối ghép một-một được với đàn cừu sáng (qua túi sỏi, nhờ tính bắc cầu), nên hai đàn nhiều như nhau.

Túi hết sỏi trước khi con cuối vào chuồng nghĩa là đàn tối có nhiều con hơn số sỏi, tức nhiều hơn đàn sáng. Có thể có cừu lạ nhập đàn; nhưng cũng có thể một viên sỏi đã rơi mất khỏi túi trong ngày. Lập luận ghép cặp chỉ đúng khi "túi sỏi" bền vững, không mất, không thêm; đó là đòi hỏi "đơn vị bền vững" ở phần ranh giới.

A2. Chữ "năm", ký hiệu "5", chữ La Mã "V", dãy "101" trong hệ nhị phân và năm vạch khắc: cái nào là số, cái nào là cách viết số? Vì sao nói con số không phụ thuộc vào hệ ghi số?

Lời giải

Tất cả đều là cách viết (các quy ước ghi). Con số là cái chung của mọi nhóm năm vật, tức cái mà năm ngón tay, năm viên sỏi và năm ngày cùng chia sẻ. Con số không phụ thuộc hệ ghi vì mọi phép so sánh số lượng (bằng ghép cặp) đều cho cùng một kết quả dù ta ghi số bằng cách nào. Đổi hệ ghi chỉ đổi cách viết, như đổi ngôn ngữ để gọi tên một đồ vật, chứ không đổi chính đồ vật.

A3. Vì sao hệ ghi số theo vị trí cần một chữ số 0 để giữ chỗ, còn số La Mã thì không? Cái giá phải trả của việc không có số 0 là gì?

Lời giải

Trong hệ theo vị trí, giá trị của một chữ số phụ thuộc vào cột nó đứng. Nếu một cột trống mà không có ký hiệu gì, các chữ số bên trái sẽ bị "trượt" sang phải và đổi giá trị: không có chữ số 0 thì 205 và 25 trông như nhau. Số La Mã thì mỗi ký hiệu có giá trị cố định bất kể vị trí (chỉ có quy tắc trừ khi ký hiệu nhỏ đứng trước ký hiệu lớn), nên không có "cột trống" nào cần giữ.

Cái giá của việc không có số 0 và không theo vị trí là làm tính rất khó: không có thuật toán cộng, nhân theo cột như ta học ở trường. Muốn tính, người ta phải dựa vào bảng đếm hoặc đổi sang một hệ khác.

B. Tính toán

B1. Viết các số 13, 64 và 100 trong hệ nhị phân.

Lời giải

Chia liên tiếp cho 2 và đọc số dư từ dưới lên:

• \(13\): \(13 = 2 \cdot 6 + 1\), \(6 = 2 \cdot 3 + 0\), \(3 = 2 \cdot 1 + 1\), \(1 = 2 \cdot 0 + 1\), nên \(13 = 1101_2\) (kiểm lại: \(8 + 4 + 1 = 13\)).
• \(64 = 2^6\), nên \(64 = 1000000_2\) (một chữ số 1 và sáu chữ số 0).
• \(100\): các số dư lần lượt là 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, nên \(100 = 1100100_2\) (kiểm lại: \(64 + 32 + 4 = 100\)).

B2. Đổi sang hệ thập phân: \(11111_2\), \(100000_2\), \(110011_2\).

Lời giải

\(11111_2 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31\). \(100000_2 = 32\). \(110011_2 = 32 + 16 + 2 + 1 = 51\).

B3. Viết 2025 trong hệ cơ số 5, rồi kiểm lại.

Lời giải

Chia liên tiếp cho 5: \(2025 = 5 \cdot 405 + 0\), \(405 = 5 \cdot 81 + 0\), \(81 = 5 \cdot 16 + 1\), \(16 = 5 \cdot 3 + 1\), \(3 = 5 \cdot 0 + 3\). Đọc từ dưới lên: \(2025 = 31100_5\).

Kiểm lại: các cột có giá trị \(625\), \(125\), \(25\), \(5\), \(1\), nên \(31100_5 = 3 \cdot 625 + 1 \cdot 125 + 1 \cdot 25 = 1875 + 125 + 25 = 2025\).

B4. Đọc số La Mã \(\mathrm{MCMXCIX}\). Viết 2024 và 49 bằng số La Mã.

Lời giải

\(\mathrm{MCMXCIX} = \mathrm{M} + \mathrm{CM} + \mathrm{XC} + \mathrm{IX} = 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999\).

\(2024 = 1000 + 1000 + 10 + 10 + 4 = \mathrm{MMXXIV}\). \(49 = 40 + 9 = \mathrm{XLIX}\).

B5. 7384 giây là mấy giờ, mấy phút, mấy giây? Một ngày 3 giờ 20 phút là bao nhiêu phút?

Lời giải

\(7384 = 3600 \cdot 2 + 184\) và \(184 = 60 \cdot 3 + 4\), nên 7384 giây là 2 giờ 3 phút 4 giây. Kiểm lại: \(7200 + 180 + 4 = 7384\).

Một ngày có \(24 \cdot 60 = 1440\) phút, nên một ngày 3 giờ 20 phút là \(1440 + 3 \cdot 60 + 20 = 1640\) phút.

B6. Cần viết bao nhiêu chữ số để ghi tất cả các số từ 1 đến 100? Từ 1 đến 1000?

Lời giải

Từ 1 đến 100: có 9 số có một chữ số (1 đến 9), 90 số có hai chữ số (10 đến 99), và số 100 có ba chữ số. Tổng: \(9 + 90 \cdot 2 + 3 = 192\) chữ số.

Từ 1 đến 1000: thêm 900 số có ba chữ số (100 đến 999) và số 1000 có bốn chữ số. Tổng: \(9 + 180 + 900 \cdot 3 + 4 = 2893\) chữ số.

B7. Có bao nhiêu số tự nhiên viết được bằng đúng 3 chữ số trong hệ thập phân (chữ số đầu khác 0)? Trong hệ nhị phân? Tổng quát, trong hệ cơ số \(b\) có bao nhiêu số viết bằng đúng \(k\) chữ số?

Lời giải

Hệ thập phân: các số từ 100 đến 999, có \(999 - 100 + 1 = 900\) số. Cách khác: chữ số đầu có 9 lựa chọn (1 đến 9), mỗi chữ số sau có 10 lựa chọn, nên có \(9 \cdot 10 \cdot 10 = 900\) số.

Hệ nhị phân: chữ số đầu phải là 1, hai chữ số sau mỗi chữ số có 2 lựa chọn, nên có \(1 \cdot 2 \cdot 2 = 4\) số: \(100_2\), \(101_2\), \(110_2\), \(111_2\), tức 4, 5, 6, 7.

Tổng quát: chữ số đầu có \(b - 1\) lựa chọn, mỗi chữ số trong \(k - 1\) chữ số sau có \(b\) lựa chọn, nên có \((b - 1) \cdot b^{k - 1}\) số.

B8. Số lớn nhất viết được bằng 8 chữ số nhị phân là bao nhiêu? Bằng 3 chữ số thập phân? Em nhận thấy quy luật gì?

Lời giải

Tám chữ số nhị phân lớn nhất là \(11111111_2 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255\). Ba chữ số thập phân lớn nhất là 999.

Quy luật: số tiếp theo là \(100000000_2 = 256 = 2^8\) và \(1000 = 10^3\). Vậy số lớn nhất viết được bằng \(k\) chữ số trong cơ số \(b\) là \(b^k - 1\): cộng thêm 1 thì mọi cột đều nhớ sang một cột mới.

B9. Trong một hội trường có 30 ghế. Khi mọi người ngồi xuống thì còn 4 ghế trống: có bao nhiêu người? Hôm sau, mọi ghế đều có người ngồi và còn 3 người phải đứng: có bao nhiêu người?

Lời giải

Ngày đầu, mọi người ghép được với 26 ghế có người ngồi, còn 4 ghế thừa: có \(30 - 4 = 26\) người. Ngày sau, 30 người ghép với 30 ghế, thêm 3 người không có ghế: có \(30 + 3 = 33\) người.

Để ý rằng phép trừ và phép cộng ở đây mô tả đúng việc "thừa ra" và "thiếu đi" trong cách ghép cặp. Chương sau sẽ xây phép cộng từ đúng ý tưởng này.

B10. Ghép mỗi số tự nhiên \(n\) với số \(3n\). Số 20 được ghép với số nào? Số 600 là bạn ghép của số nào? Số 100 có bạn ghép không? Cách ghép này cho thấy điều gì về nhóm các bội của 3?

Lời giải

Số 20 ghép với \(3 \cdot 20 = 60\). Số 600 là bạn ghép của \(600 : 3 = 200\). Số 100 không chia hết cho 3 nên không phải bội của 3, và không có trong nhóm bên phải; nó không cần bạn ghép.

Mỗi bội của 3, tức mỗi số dạng \(3n\), có đúng một bạn ghép là \(n\), và mỗi số tự nhiên có đúng một bạn ghép. Vậy nhóm các bội của 3 (0, 3, 6, 9, ...) nhiều như nhóm tất cả các số tự nhiên, dù nó bỏ ra ngoài hai phần ba số tự nhiên.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh tính bắc cầu của "có cùng số lượng": nếu có một tương ứng một-một giữa \(A\) và \(B\), và một tương ứng một-một giữa \(B\) và \(C\), thì có một tương ứng một-một giữa \(A\) và \(C\).

Lời giải

Với mỗi \(a\) trong \(A\), gọi \(b\) là bạn ghép của \(a\) trong \(B\), rồi gọi \(c\) là bạn ghép của \(b\) trong \(C\). Ta ghép \(a\) với \(c\). Như vậy mỗi \(a\) được ghép với đúng một \(c\), vì \(b\) và \(c\) đều được xác định duy nhất.

Còn phải kiểm tra rằng mỗi \(c\) trong \(C\) được ghép với đúng một \(a\). Có ít nhất một: \(c\) có đúng một bạn ghép \(b\) trong \(B\), và \(b\) có đúng một bạn ghép \(a\) trong \(A\); theo cách ghép trên, \(a\) được ghép với \(c\). Không có hai: nếu \(a\) và \(a'\) khác nhau cùng được ghép với \(c\), thì bạn ghép của chúng trong \(B\) đều phải là bạn ghép duy nhất \(b\) của \(c\), nên \(a\) và \(a'\) cùng là bạn ghép của \(b\) trong \(A\). Nhưng \(b\) chỉ có một bạn ghép trong \(A\), mâu thuẫn. Vậy đây là một tương ứng một-một giữa \(A\) và \(C\). \(\square\)

C2. (a) Chứng minh rằng một nhóm có \(n\) phần tử (\(n \geq 1\)) không ghép một-một được với nhóm có được khi bỏ đi một phần tử của nó. (b) Vì sao lập luận này không áp dụng được cho \(\mathbb{N}\) và nhóm các số chẵn?

Lời giải

(a) Nhóm \(X\) có \(n\) phần tử. Bỏ đi một phần tử, ta được nhóm \(Y\). Ghép từng phần tử của \(X\) với các số \(1, 2, \dots, n\) sao cho phần tử bị bỏ ghép với \(n\) (đổi chỗ nếu cần, như trong chứng minh Mệnh đề 2); khi đó \(Y\) ghép được với \(\{1; \dots; n - 1\}\), tức \(Y\) có \(n - 1\) phần tử. Nếu \(X\) ghép một-một được với \(Y\), thì theo tính bắc cầu, \(\{1; \dots; n\}\) ghép được với \(\{1; \dots; n - 1\}\), nên theo Mệnh đề 2, \(n = n - 1\): vô lý. \(\square\)

(b) Lập luận dựa vào việc \(X\) có \(n\) phần tử với một số tự nhiên \(n\) nào đó. \(\mathbb{N}\) không có \(n\) phần tử với bất kỳ số tự nhiên \(n\) nào: nó không ghép một-một được với nhóm \(\{1; \dots; n\}\) nào cả. Vì vậy bước đầu tiên của lập luận không bắt đầu được, và kết luận "một phần thực sự luôn ít hơn toàn thể" không còn được bảo đảm. Ví dụ ghép \(n\) với \(2n\) cho thấy nó thật sự sai với \(\mathbb{N}\).

C3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\), ta có \(1 + 2 + 4 + \dots + 2^{k - 1} = 2^k - 1\), bằng cách viết hai vế trong hệ nhị phân.

Lời giải

Tổng \(1 + 2 + 4 + \dots + 2^{k - 1}\) có mỗi lũy thừa (power) của 2 từ \(2^0\) đến \(2^{k - 1}\) đúng một lần, nên trong hệ nhị phân nó được viết là \(\underbrace{11 \dots 1}_{k}{}_2\), một dãy \(k\) chữ số 1.

Cộng thêm 1 vào dãy này: ở cột phải cùng, \(1 + 1 = 2 = 10_2\), viết 0 nhớ 1 sang cột bên trái. Cột bên trái lại có \(1 + 1\), viết 0 nhớ 1, và cứ thế qua cả \(k\) cột. Kết quả là chữ số 1 theo sau bởi \(k\) chữ số 0, tức \(2^k\). Vậy dãy \(k\) chữ số 1 bằng \(2^k - 1\), và

\[ 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{k - 1} = 2^k - 1 . \quad \square \]

Kiểm tra với \(k = 5\): \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 = 32 - 1\), đúng như \(11111_2 = 31\) ở Ví dụ 2.

Câu hỏi để ngỏ

Ta đã có số, có thứ tự, có cách viết. Nhưng con số chưa làm được gì. Khi gộp hai nhóm lại, như hai đàn cừu nhập một, số lượng mới phụ thuộc thế nào vào hai số lượng cũ? Và khi gộp nhiều nhóm bằng nhau, như năm chuồng mỗi chuồng bảy con, có cách nào "đếm nhanh" mà không phải đếm lại từ đầu?