Chương 22: Hàm như quy luật

Câu hỏi mở đầu

Trong nghĩa tập hợp, một hàm là một bảng khổng lồ các cặp. Nhưng trong đời sống, ta gặp hàm như một quy luật biến đổi: nhiệt độ theo giờ, tiền lãi theo năm, quãng đường theo thời gian. Nhìn hàm như một quy luật, một cỗ máy, thì thấy thêm được gì?

Cỗ máy

Chương 20 trả lời câu hỏi hàm là gì: một tập cặp, mỗi đầu vào đúng một đầu ra. Câu trả lời ấy chính xác nhưng tĩnh, như một cuốn danh bạ. Trong đời sống, ta gặp hàm theo cách khác: như một cỗ máy. Bỏ vào một quãng đường, đồng hồ tính cước trả ra một số tiền; bỏ vào một giờ trong ngày, nhiệt kế trả ra một nhiệt độ; bỏ vào một số năm gửi tiết kiệm, sổ ngân hàng trả ra một số dư. Cách nhìn này hỏi một câu khác: hàm làm gì?

Cỗ máy có hai luật, và chỉ hai. Cùng một đầu vào luôn cho cùng một đầu ra: cỗ máy không tùy hứng. Hai đầu vào khác nhau được phép cho cùng một đầu ra: cỗ máy bình phương trả ra 9 cho cả 3 lẫn \(-3\). Đó đúng là hai điều kiện của Chương 20, nhìn từ phía người dùng máy.

Cỗ máy bình phương: mỗi đầu vào cho đúng một đầu ra, và hai đầu vào khác nhau (3 và \(-3\)) có thể cho cùng một đầu ra.

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì mỗi khi một đại lượng được xác định bởi một đại lượng khác, ta đã có một hàm. Nói "cước taxi phụ thuộc quãng đường" là nói: biết quãng đường thì biết cước, không còn gì mơ hồ. "Được xác định bởi" và "là một hàm của" là cùng một câu; chữ "hàm" chỉ đặt tên cho sự phụ thuộc ấy.

Nhìn như cỗ máy, ta thấy thêm ba điều mà tập cặp để ẩn. Thứ nhất, quy luật áp dụng được cho cả những đầu vào chưa ai thử: một cách tính cước nói trước giá của mọi chuyến đi. Thứ hai, quy luật thường gọn hơn hẳn bảng: một dòng công thức thay cho vô số cặp. Thứ ba, ta có thể hỏi về hành vi: khi đầu vào tăng, đầu ra tăng hay giảm; đổi dấu đầu vào thì đầu ra làm gì. Những câu hỏi ấy là nội dung của chương này.

Bốn cách trình bày một quy luật

Diện tích một hình vuông phụ thuộc cạnh của nó. Có bốn cách nói điều này.

• Bằng lời: "diện tích bằng cạnh nhân với chính nó". Lời giữ được ý nghĩa, nhưng dài và khó tính toán.
• Bằng bảng: cạnh 1, 2, 3, 4 cho diện tích 1, 4, 9, 16. Bảng cho con số cụ thể, nhưng chỉ cho hữu hạn cặp.
• Bằng công thức: \(A(x) = x^2\). Công thức nén vô số cặp vào vài ký hiệu. Nhưng Chương 21 đã cho thấy các công thức chỉ đếm được, nên phần lớn các quy luật không có công thức nào.
• Bằng hình vẽ: mỗi cặp (cạnh; diện tích) là một điểm, đi sang phải theo cạnh, đi lên theo diện tích, như cách Chương 19 đọc một cặp số thực. Tập mọi điểm như thế là đồ thị (graph) của hàm. Hình vẽ cho thấy hành vi ngay tức khắc: đường cong đi lên, và càng lúc càng dốc. Chương 23 sẽ nói chính xác "vẽ" nghĩa là gì.

Bốn cách trình bày cùng một quy luật. Mỗi cách làm lộ ra một điều mà các cách khác giấu đi.

Không cách nào là "hàm thật"; cả bốn chỉ là những cách chỉ ra cùng một tập cặp. Hiểu một hàm là đi lại được giữa bốn cách ấy: đọc được hành vi từ công thức, đoán được công thức từ bảng, và biết lúc nào lời đoán ấy có thể sai.

Ký hiệu

Như ở Chương 20, viết \(f: D \to \mathbb{R}\) cho một hàm từ tập \(D\) tới \(\mathbb{R}\), và \(x \mapsto f(x)\) cho quy luật. Khi \(D \subseteq \mathbb{R}\), \(f\) là một hàm số. Chữ \(x\) chỉ là chỗ trống cho đầu vào, như ở Chương 6: \(f(x) = x^2\) và \(f(t) = t^2\) là cùng một hàm.

Khi một hàm số chỉ được cho bằng công thức, người ta ngầm hiểu miền xác định của nó là tập mọi số thực \(x\) làm công thức có nghĩa; tập ấy gọi là miền xác định tự nhiên (natural domain). Sách giáo khoa gọi nó là tập xác định của hàm số.

Miền xác định hay là một khoảng kéo dài mãi về một phía hoặc cả hai phía. Dùng ký hiệu vô cực \(\infty\) của Chương 9, ta viết

\[ (a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}, \qquad [a; +\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq a\}, \qquad (-\infty; b) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}, \]

tương tự cho \((-\infty; b]\), và \(\mathbb{R} = (-\infty; +\infty)\). Vì \(\infty\) không phải một số, phía có \(\infty\) luôn dùng ngoặc tròn.

Một hàm từng khúc (piecewise function) được cho bằng những công thức khác nhau trên những phần khác nhau của miền xác định, viết với một dấu ngoặc nhọn như ở Ví dụ 1.

Hàm \(f\) là hàm tăng (increasing function) trên một tập \(K\) nếu đầu vào lớn hơn luôn cho đầu ra lớn hơn: với mọi \(x_1, x_2 \in K\), \(x_1 < x_2\) kéo theo \(f(x_1) < f(x_2)\). Nó là hàm giảm (decreasing function) trên \(K\) nếu \(x_1 < x_2\) kéo theo \(f(x_1) > f(x_2)\). Sách giáo khoa gọi hai tính chất này là đồng biến và nghịch biến.

Cho \(f\) có miền xác định \(D\) đối xứng qua 0, nghĩa là \(x \in D\) kéo theo \(-x \in D\). Hàm \(f\) là hàm chẵn (even function) nếu \(f(-x) = f(x)\) với mọi \(x \in D\), và là hàm lẻ (odd function) nếu \(f(-x) = -f(x)\) với mọi \(x \in D\). Hàm \(x^2\) chẵn, hàm \(x^3\) lẻ; tên gọi đến từ số mũ của chúng.

Hàm làm tròn xuống (floor function) gán cho mỗi số thực \(x\) số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\), viết \(\lfloor x \rfloor\). Với \(x \geq 0\), đó là phần nguyên của Chương 11; với số âm phải cẩn thận: \(\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3\), không phải \(-2\).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (cước taxi, số liệu giả định). Một hãng taxi giả định tính 12.000 đồng cho km đầu tiên, kể cả khi đi chưa hết 1 km, và 15.000 đồng cho mỗi km tiếp theo, tính theo quãng đường thực đi. Cước \(f(x)\), tính bằng đồng, của một chuyến đi dài \(x\) km, với \(x > 0\), là một hàm từng khúc:

\[ f(x) = \begin{cases} 12.000 & \text{nếu } 0 < x \leq 1, \\ 12.000 + 15.000 \cdot (x - 1) & \text{nếu } x > 1. \end{cases} \]

Chẳng hạn \(f(0{,}4) = 12.000\), \(f(3) = 12.000 + 15.000 \cdot 2 = 42.000\), và \(f(7{,}5) = 12.000 + 15.000 \cdot 6{,}5 = 109.500\). Hai khúc nối liền nhau tại \(x = 1\), vì cả hai công thức cho \(12.000\) ở đó. Hỏi ngược lại: có 60.000 đồng thì đi được bao xa? Giải \(12.000 + 15.000 \cdot (x - 1) = 60.000\) được \(x = 4{,}2\) km.

Cước taxi giả định theo quãng đường, tính bằng nghìn đồng: một khúc nằm ngang cho km đầu, rồi một khúc đi lên đều 15 nghìn đồng mỗi km. Chấm rỗng ở \(x = 0\): chuyến đi phải dài hơn 0 km.

Ví dụ 2 (miền xác định tự nhiên).

• \(\sqrt{x}\): cần \(x \geq 0\); miền xác định là \([0; +\infty)\).
• \(\frac{1}{x}\): cần \(x \neq 0\) (Chương 9); miền xác định là \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
• \(\sqrt{4 - x}\): cần \(4 - x \geq 0\), tức \(x \leq 4\); miền xác định là \((-\infty; 4]\).
• \(\frac{1}{x^2 - 9}\): cần \(x^2 \neq 9\), tức \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\); miền xác định là \(\mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\).

Miền xác định tự nhiên là một quy ước về công thức, không về tình huống. Công thức \(x^2\) có miền xác định tự nhiên là \(\mathbb{R}\), nhưng cạnh của một hình vuông thật phải dương. Khi hàm mô tả một tình huống, chính tình huống quyết định miền xác định.

Ví dụ 3 (cộng đầu vào có cộng được đầu ra không?). Với hàm bình phương, \((2 + 3)^2 = 25\), còn \(2^2 + 3^2 = 13\): cộng hai đầu vào không cộng hai đầu ra. Với \(f(x) = 3x\) thì được: \(f(2 + 3) = 15 = f(2) + f(3)\), và tổng quát \(f(kx) = 3kx = k \cdot f(x)\): nhân đầu vào lên \(k\) lần thì đầu ra cũng nhân lên \(k\) lần, tức đầu ra tỉ lệ thuận với đầu vào (Chương 10). Với \(g(x) = 3x + 5\) thì hỏng: \(g(2 + 3) = 20\) trong khi \(g(2) + g(3) = 11 + 14 = 25\), và \(g(2 \cdot 1) = 11\) trong khi \(2 \cdot g(1) = 16\). Chỗ hỏng nằm ở độ lệch cố định 5. Ta có \(g(0) = 5\): gốc không còn biến thành gốc, và mỗi lần cộng hay nhân đầu vào, hằng số 5 không chịu cộng hay nhân theo.

Ví dụ 4 (lập bảng, xét tăng giảm). Bảng giá trị của \(x^2\) và \(x^3\):

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(x^2\)	9	4	1	0	1	4	9
\(x^3\)	\(-27\)	\(-8\)	\(-1\)	0	1	8	27

Bảng gợi ý: \(x^2\) giảm khi \(x\) đi từ \(-3\) tới 0 rồi tăng; \(x^3\) tăng suốt. Dòng \(x^2\) đối xứng quanh cột giữa, vì \(x\) và \(-x\) cho cùng giá trị: hàm chẵn. Dòng \(x^3\) đổi dấu, vì \((-x)^3 = -x^3\): hàm lẻ. Nhưng bảng chỉ có bảy điểm, còn "tăng" là một khẳng định về mọi cặp \(x_1 < x_2\), nên cần chứng minh (Mệnh đề 4).

Ví dụ 5 (hàm làm tròn xuống). \(\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2\), \(\lfloor 3 \rfloor = 3\), \(\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1\), \(\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3\). Mọi số trong \([2; 3)\) cho cùng đầu ra 2, nên đồ thị là những bậc thang. Hàm này làm mất nhiều thông tin: biết \(\lfloor x \rfloor = 2\) chỉ cho biết \(x\) nằm đâu đó trong \([2; 3)\), đúng như việc làm tròn ở Chương 6. Nó không bao giờ đi xuống, nhưng cũng không tăng theo nghĩa của mục Ký hiệu: \(\lfloor 2{,}1 \rfloor = \lfloor 2{,}9 \rfloor\).

Hàm làm tròn xuống: mỗi bậc gồm các số từ một số nguyên \(k\) tới ngay trước \(k + 1\). Chấm đặc là điểm thuộc đồ thị, chấm rỗng thì không.

Ví dụ 6 (một quy luật không có công thức). Một trạm đo ghi nhiệt độ mỗi ba giờ trong một ngày (số liệu giả định):

Giờ	0	3	6	9	12	15	18	21
Nhiệt độ (độ C)	24	23	22	26	31	32	29	26

Nhiệt độ theo thời gian là một hàm: tại mỗi thời điểm, không khí ở trạm có đúng một nhiệt độ. Nhưng không ai có công thức cho nó, và bảng chỉ cho tám giá trị. Các số đo tăng dần từ 6 giờ tới 15 giờ; còn giữa hai lần đo nhiệt độ lên xuống thế nào, và lúc 10 giờ 30 là bao nhiêu, thì bảng không nói.

Ranh giới

Bảng không quyết định hàm ở giữa các điểm. Đoán giá trị ở giữa hai điểm đo gọi là nội suy (interpolation). Nối thẳng hai số đo lúc 9 giờ (26 độ) và 12 giờ (31 độ), ta đoán 28,5 độ lúc 10 giờ 30. Đó là một giả định chứ không phải một suy luận: bảng tương thích với vô số hàm khác nhau. Hai hàm \(f(x) = x\) và \(g(x) = x + x(x - 1)(x - 2)\) có cùng giá trị tại 0, 1 và 2, nên bảng ba điểm của chúng giống hệt; vậy mà \(f(\frac12) = 0{,}5\) còn \(g(\frac12) = 0{,}875\), và \(f(3) = 3\) còn \(g(3) = 9\). Đây lại là bài học của Chương 1: vài giá trị không buộc được quy luật.

Hai hàm cho cùng giá trị tại 0, 1, 2 nhưng khác nhau ở mọi điểm khác. Một bảng hữu hạn không quyết định được hàm ở giữa các điểm của nó.

Quy luật không nhất thiết có công thức. Nhiệt độ theo giờ, giá một cổ phiếu theo ngày, chiều cao của một đứa trẻ theo tuổi: đều là hàm, và không cái nào có công thức. Theo Chương 21, ngay cả những hàm từ \(\mathbb{N}\) vào \(\{0; 1\}\) cũng không đếm được, trong khi các công thức chỉ đếm được. Công thức là ngoại lệ quý, không phải quy tắc chung.

Cộng đầu vào không cộng đầu ra. Đẳng thức \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) nói chung sai: \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\) (Chương 2); \(\sqrt{9 + 16} = 5\) còn \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 7\); \(\frac{1}{1 + 1} = \frac12\) còn \(\frac11 + \frac11 = 2\). "Phân phối" một hàm qua dấu cộng là một trong những lỗi phổ biến nhất khi tính toán; nó chỉ đúng với những hàm rất đặc biệt, như \(x \mapsto 3x\) (Mệnh đề 7).

Chẵn và lẻ không chia đôi mọi hàm. Hàm \(x + 1\) không chẵn, cũng không lẻ: \(f(-1) = 0\) còn \(f(1) = 2\). Hầu hết các hàm không chẵn, không lẻ; chỉ hàm luôn bằng 0 là vừa chẵn vừa lẻ (Mệnh đề 6). Hàm \(\sqrt{x}\) thậm chí không thể xét chẵn lẻ, vì miền xác định \([0; +\infty)\) không đối xứng qua 0.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (hàm số). Một hàm số là một hàm \(f: D \to \mathbb{R}\) với \(D \subseteq \mathbb{R}\), theo Định nghĩa 3 của Chương 20. Nếu chỉ cho công thức, \(D\) là miền xác định tự nhiên: tập mọi \(x \in \mathbb{R}\) làm công thức có nghĩa.

Định nghĩa 2 (tăng, giảm). Cho \(K \subseteq D\). Hàm \(f\) tăng trên \(K\) nếu

\[ \forall x_1, x_2 \in K\ \big(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\big), \]

và giảm trên \(K\) nếu \(\forall x_1, x_2 \in K\ \big(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\big)\).

Định nghĩa 3 (chẵn, lẻ). Cho \(D\) đối xứng qua 0, tức \(\forall x \in D\ (-x \in D)\). Hàm \(f\) chẵn nếu \(\forall x \in D\ \ f(-x) = f(x)\), và lẻ nếu \(\forall x \in D\ \ f(-x) = -f(x)\).

Mệnh đề 4. Hàm \(x \mapsto x^2\) giảm trên \((-\infty; 0]\) và tăng trên \([0; +\infty)\). Hàm \(x \mapsto x^3\) tăng trên \(\mathbb{R}\).

Chứng minh. Cho \(x_1 < x_2\). Ta có \(x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1)\), với \(x_2 - x_1 > 0\). Nếu \(0 \leq x_1 < x_2\) thì \(x_2 + x_1 > 0\), nên \(x_2^2 > x_1^2\). Nếu \(x_1 < x_2 \leq 0\) thì \(x_2 + x_1 < 0\), nên \(x_2^2 < x_1^2\).

Với lập phương, \(x_2^3 - x_1^3 = (x_2 - x_1)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2)\), và

\[ x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = \left(x_1 + \frac{x_2}{2}\right)^2 + \frac{3x_2^2}{4}. \]

Đây là tổng của hai số không âm; nó chỉ bằng 0 khi \(x_2 = 0\) và \(x_1 = -\frac{x_2}{2} = 0\), điều không thể vì \(x_1 < x_2\). Vậy \(x_2^3 - x_1^3 > 0\). \(\square\)

Mệnh đề 5 (tăng thì không mất thông tin). Một hàm tăng, hay giảm, trên \(K\) là đơn ánh trên \(K\).

Chứng minh. Cho \(x_1 \neq x_2\) trong \(K\), chẳng hạn \(x_1 < x_2\). Khi đó \(f(x_1) < f(x_2)\) (hoặc \(f(x_1) > f(x_2)\) nếu \(f\) giảm), nên \(f(x_1) \neq f(x_2)\). \(\square\)

Theo Mệnh đề 4 và 5, hàm bình phương trên \([0; +\infty)\) là đơn ánh, dù trên \(\mathbb{R}\) thì không. Chương 25 sẽ dùng đúng điều này để tháo ngược nó bằng căn bậc hai.

Mệnh đề 6. Nếu \(f\) vừa chẵn vừa lẻ trên \(D\) thì \(f(x) = 0\) với mọi \(x \in D\).

Chứng minh. Với mọi \(x \in D\), \(f(x) = f(-x) = -f(x)\), nên \(2f(x) = 0\). \(\square\)

Mệnh đề 7. Nếu \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\), thì \(f(0) = 0\), \(f\) là hàm lẻ, và \(f(na) = n \cdot f(a)\) với mọi \(a \in \mathbb{R}\) và mọi số tự nhiên \(n\).

Chứng minh. Lấy \(a = b = 0\): \(f(0) = 2f(0)\), nên \(f(0) = 0\). Lấy \(b = -a\): \(0 = f(0) = f(a) + f(-a)\), nên \(f(-a) = -f(a)\). Cuối cùng, quy nạp theo \(n\) (Chương 18): \(f(0 \cdot a) = 0 = 0 \cdot f(a)\), và nếu \(f(na) = n \cdot f(a)\) thì \(f((n + 1)a) = f(na) + f(a) = (n + 1) \cdot f(a)\). \(\square\)

Hàm \(g(x) = 3x + 5\) của Ví dụ 3 có \(g(0) = 5 \neq 0\), nên theo Mệnh đề 7 nó không thể thỏa \(g(a + b) = g(a) + g(b)\) với mọi \(a\), \(b\).

Sợi chỉ

• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Một quy luật là lời, bảng, công thức, hình vẽ; lời giữ ý nghĩa, bảng cho con số, công thức nén vô số cặp, hình vẽ cho thấy hành vi. Tính chẵn là đối xứng của bảng quanh cột 0, và của hình vẽ qua đường thẳng đứng đi qua 0.
• S5. Rời rạc và liên tục. Bảng số liệu là rời rạc, quy luật thì liền. Nội suy là bước nhảy từ rời rạc sang liên tục, và luôn là một giả định. Hàm làm tròn xuống đi theo chiều ngược lại: từ trục số liền mạch về các bậc rời rạc.
• S2. Thông tin và khả nghịch. Nhiều đầu vào chung một đầu ra là mất thông tin: làm tròn xuống gộp cả một khoảng vào một số, bình phương gộp \(x\) với \(-x\). Một hàm tăng không mất thông tin (Mệnh đề 5), nên tháo ngược được trên tập ảnh, như Chương 20 đã chỉ ra.

Tóm tắt

• Nhìn như cỗ máy, một hàm là một quy luật: cùng một đầu vào luôn cho cùng một đầu ra, còn hai đầu vào khác nhau được phép chung một đầu ra. Mỗi khi một đại lượng được xác định bởi một đại lượng khác, ta có một hàm.
• Một quy luật có bốn cách trình bày: lời, bảng, công thức, hình vẽ (đồ thị). Công thức chỉ là một cách nén, và phần lớn các quy luật không có công thức.
• Hàm số cho bằng công thức có miền xác định tự nhiên, tập mọi \(x\) làm công thức có nghĩa; khi hàm mô tả một tình huống, tình huống quyết định miền xác định.
• Hàm từng khúc dùng những công thức khác nhau trên những phần khác nhau của miền xác định, như cước taxi.
• Hàm tăng, hàm giảm, hàm chẵn, hàm lẻ được định nghĩa bằng lượng từ; một bảng giá trị chỉ gợi ý, chứng minh mới quyết định. Hàm tăng hay giảm thì không mất thông tin.
• \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) nói chung sai; nó đúng với \(x \mapsto 3x\) nhưng hỏng với \(x \mapsto 3x + 5\), vì độ lệch cố định làm gốc không còn biến thành gốc.
• Một bảng hữu hạn không quyết định hàm ở giữa các điểm; nội suy là một giả định.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Mỗi quy tắc sau có phải một hàm không? Nếu phải, đầu vào và đầu ra là gì? (a) Mỗi người ứng với mẹ ruột của người ấy. (b) Mỗi người ứng với con của người ấy. (c) Mỗi số thực dương ứng với những số có bình phương bằng nó. (d) Mỗi ngày trong một năm ứng với nhiệt độ cao nhất ở một thành phố trong ngày đó.

Lời giải

(a) Là hàm: mỗi người có đúng một mẹ ruột; hai anh em ruột cùng cho ra một đầu ra, điều hàm cho phép. (b) Không: có người không có con, có người có nhiều con. (c) Không: mỗi số dương có hai số như thế, như \(2\) và \(-2\) với số 4; muốn thành hàm phải chọn một, như Chương 20 đã làm với căn bậc hai. (d) Là hàm: mỗi ngày có đúng một nhiệt độ cao nhất, dù không có công thức nào cho nó.

A2. Vì sao miền xác định là một phần của hàm chứ không phải chi tiết phụ? Hãy trả lời câu hỏi "hàm \(x \mapsto x^2\) có tăng không?" theo hai miền xác định khác nhau.

Lời giải

Nhiều tính chất quan trọng thay đổi theo miền xác định. Trên \([0; +\infty)\), hàm \(x \mapsto x^2\) tăng (Mệnh đề 4), nên là đơn ánh và có thể tháo ngược bằng căn bậc hai. Trên \(\mathbb{R}\), nó không tăng, không giảm, và không đơn ánh, vì \((-2)^2 = 2^2\). Cùng công thức, câu trả lời ngược nhau; vì thế một hàm là quy luật cùng với miền xác định của nó, như Chương 20 đã nói.

A3. Một người nói: "Muốn biết một quy luật, chỉ cần đo thật nhiều điểm." Đo dày đến đâu thì bảng số liệu cho biết chắc chắn giá trị ở giữa hai điểm đo?

Lời giải

Không bao giờ chắc chắn. Dù đo dày đến đâu, giữa hai điểm đo vẫn có khoảng trống, và luôn có những hàm khác nhau cùng đi qua mọi điểm đo, như \(f\) và \(g\) ở mục Ranh giới. Đo dày chỉ làm cho giả định "hàm không đổi đột ngột giữa hai lần đo" trở nên hợp lý hơn; giả định ấy đến từ hiểu biết về hiện tượng (nhiệt độ không khí thay đổi từ từ), không đến từ bảng. Giải tích ở Phần IV sẽ nói chính xác "không đổi đột ngột" nghĩa là gì.

B. Tính toán

B1. Với cước taxi ở Ví dụ 1: (a) tính \(f(0{,}8)\), \(f(1)\), \(f(2{,}4)\), \(f(10)\); (b) có 100.000 đồng thì đi được tối đa bao nhiêu km (làm tròn tới hai chữ số thập phân)?

Lời giải

(a) \(f(0{,}8) = f(1) = 12.000\); \(f(2{,}4) = 12.000 + 15.000 \cdot 1{,}4 = 33.000\); \(f(10) = 12.000 + 15.000 \cdot 9 = 147.000\).

(b) Giải \(12.000 + 15.000 \cdot (x - 1) = 100.000\): \(x - 1 = \frac{88.000}{15.000} \approx 5{,}87\), nên \(x \approx 6{,}87\) km.

B2. Một hãng khác (giả định) cũng lấy 12.000 đồng cho km đầu và 15.000 đồng mỗi km tiếp theo, nhưng mỗi km đã bắt đầu đi đều tính trọn một km. Viết cước \(h(x)\) của hãng này theo số km được tính, và tính \(h(3)\), \(h(3{,}01)\), \(h(7{,}5)\). Đồ thị của \(h\) có hình dạng gì?

Lời giải

Gọi \(n\) là số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn \(x\) (số km được tính). Khi đó \(h(x) = 12.000 + 15.000 \cdot (n - 1)\). Với \(x = 3\): \(n = 3\), \(h(3) = 42.000\). Với \(x = 3{,}01\): \(n = 4\), \(h(3{,}01) = 57.000\). Với \(x = 7{,}5\): \(n = 8\), \(h(7{,}5) = 117.000\). Đồ thị là một bậc thang: nằm ngang trên mỗi khoảng \((n - 1; n]\) rồi nhảy lên 15.000 đồng, khác với khúc đi lên liền của Ví dụ 1. Chỉ 0,01 km đi thêm đã đổi 42.000 thành 57.000 đồng.

B3. Tìm miền xác định tự nhiên: (a) \(\sqrt{x - 2}\); (b) \(\frac{1}{x - 5}\); (c) \(\sqrt{9 - x^2}\); (d) \(\frac{1}{\sqrt{x}}\); (e) \(\frac{x + 1}{x^2 - 4}\).

Lời giải

(a) \(x - 2 \geq 0\): \([2; +\infty)\). (b) \(x \neq 5\): \(\mathbb{R} \setminus \{5\}\). (c) \(9 - x^2 \geq 0\), tức \(-3 \leq x \leq 3\): \([-3; 3]\). (d) Cần \(x \geq 0\) để có căn và \(\sqrt{x} \neq 0\) để chia được, tức \(x > 0\): \((0; +\infty)\). (e) \(x^2 \neq 4\): \(\mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\).

B4. Cho \(f(x) = x^2 - 2x\). Tính \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(-1)\) và \(f(a + 1)\) theo \(a\). So sánh \(f(2 + 3)\) với \(f(2) + f(3)\).

Lời giải

\(f(0) = 0\), \(f(2) = 0\), \(f(-1) = 1 + 2 = 3\), và \(f(a + 1) = (a + 1)^2 - 2(a + 1) = a^2 - 1\). Có \(f(2 + 3) = f(5) = 15\), còn \(f(2) + f(3) = 0 + 3 = 3\). Hai đầu vào 0 và 2 cho cùng đầu ra 0, nên \(f\) không đơn ánh trên \(\mathbb{R}\).

B5. Tính \(\lfloor 3{,}99 \rfloor\), \(\lfloor -3{,}01 \rfloor\), \(\lfloor -7 \rfloor\). So sánh \(\lfloor 0{,}5 \rfloor + \lfloor 0{,}5 \rfloor\) với \(\lfloor 0{,}5 + 0{,}5 \rfloor\). Tìm mọi \(x\) với \(\lfloor x \rfloor = 4\).

Lời giải

\(\lfloor 3{,}99 \rfloor = 3\), \(\lfloor -3{,}01 \rfloor = -4\), \(\lfloor -7 \rfloor = -7\). Có \(\lfloor 0{,}5 \rfloor + \lfloor 0{,}5 \rfloor = 0\) còn \(\lfloor 0{,}5 + 0{,}5 \rfloor = 1\): làm tròn xuống cũng không "phân phối" qua dấu cộng. \(\lfloor x \rfloor = 4\) khi và chỉ khi \(4 \leq x < 5\), tức \(x \in [4; 5)\).

B6. Mỗi hàm sau chẵn, lẻ hay không? (a) \(x^4 - 3x^2\); (b) \(x^3 - x\); (c) \(x^2 + x\); (d) \(\frac{1}{x}\); (e) \(|x|\); (f) \(\sqrt{x}\).

Lời giải

(a) Chẵn: \((-x)^4 - 3(-x)^2 = x^4 - 3x^2\). (b) Lẻ: \((-x)^3 - (-x) = -(x^3 - x)\). (c) Không: tại \(x = 1\) được 2, tại \(x = -1\) được 0; \(0 \neq 2\) và \(0 \neq -2\). (d) Lẻ, trên miền đối xứng \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\): \(\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}\). (e) Chẵn: \(|-x| = |x|\). (f) Không xét được: miền xác định \([0; +\infty)\) không đối xứng qua 0.

B7. Chứng minh bằng định nghĩa: \(f(x) = 2x + 1\) tăng trên \(\mathbb{R}\), và \(g(x) = 5 - 3x\) giảm trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Cho \(x_1 < x_2\). Khi đó \(f(x_2) - f(x_1) = 2(x_2 - x_1) > 0\), nên \(f(x_1) < f(x_2)\). Còn \(g(x_2) - g(x_1) = -3(x_2 - x_1) < 0\), nên \(g(x_1) > g(x_2)\). \(\square\)

B8. Với bảng nhiệt độ ở Ví dụ 6, nội suy thẳng nhiệt độ lúc 13 giờ 30 và lúc 19 giờ 30. Kết quả dựa trên giả định nào?

Lời giải

Lúc 13 giờ 30, nằm giữa 12 giờ (31 độ) và 15 giờ (32 độ): \(31 + 1 \cdot \frac{1{,}5}{3} = 31{,}5\) độ. Lúc 19 giờ 30, giữa 18 giờ (29 độ) và 21 giờ (26 độ): \(29 - 3 \cdot \frac{1{,}5}{3} = 27{,}5\) độ. Cả hai dựa trên giả định rằng giữa hai lần đo, nhiệt độ thay đổi đều theo thời gian. Bảng không bảo đảm điều đó; một cơn mưa lúc 13 giờ có thể làm nhiệt độ lúc 13 giờ 30 thấp hơn nhiều.

B9. Chứng minh rằng \(f(x) = 3x\) thỏa \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) với mọi \(a\), \(b\). Với \(g(x) = 3x + 5\), tìm mọi cặp \(a\), \(b\) mà \(g(a + b) = g(a) + g(b)\).

Lời giải

\(f(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b)\). Với \(g\): \(g(a + b) = 3a + 3b + 5\), còn \(g(a) + g(b) = 3a + 3b + 10\). Hai vế luôn chênh nhau 5, nên không có cặp nào. Hằng số 5 được cộng một lần ở vế trái nhưng hai lần ở vế phải.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh: nếu \(f\) và \(g\) đều tăng trên \(\mathbb{R}\) thì hàm \(x \mapsto f(x) + g(x)\) tăng trên \(\mathbb{R}\). Cho một phản ví dụ cho thấy tích \(x \mapsto f(x) \cdot g(x)\) của hai hàm tăng không nhất thiết tăng.

Lời giải

Cho \(x_1 < x_2\). Theo định nghĩa ở Chương 7, \(a < b\) nghĩa là \(b - a\) dương. Hai hiệu \(f(x_2) - f(x_1)\) và \(g(x_2) - g(x_1)\) đều dương, nên tổng của chúng, \(\big(f(x_2) + g(x_2)\big) - \big(f(x_1) + g(x_1)\big)\), cũng dương. \(\square\)

Phản ví dụ cho tích: \(f(x) = g(x) = x\) đều tăng trên \(\mathbb{R}\), nhưng \(f(x) \cdot g(x) = x^2\) giảm trên \((-\infty; 0]\) (Mệnh đề 4). Chỗ hỏng: nhân hai bất đẳng thức chỉ an toàn khi các số đều dương.

C2. Cho \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) với mọi \(a\), \(b\). Chứng minh \(f(q) = q \cdot f(1)\) với mọi số hữu tỉ \(q\).

Lời giải

Theo Mệnh đề 7, \(f(na) = n \cdot f(a)\) với mọi số tự nhiên \(n\), và \(f\) lẻ. Với \(n \geq 1\): \(f(1) = f\big(n \cdot \frac1n\big) = n \cdot f\big(\frac1n\big)\), nên \(f\big(\frac1n\big) = \frac{f(1)}{n}\). Với \(m \in \mathbb{N}\): \(f\big(\frac{m}{n}\big) = f\big(m \cdot \frac1n\big) = m \cdot \frac{f(1)}{n} = \frac{m}{n} f(1)\). Với số hữu tỉ âm \(-\frac{m}{n}\), tính lẻ cho \(f\big(-\frac{m}{n}\big) = -\frac{m}{n} f(1)\). \(\square\)

Vậy trên \(\mathbb{Q}\), một hàm "phân phối qua dấu cộng" buộc phải là \(x \mapsto kx\) với \(k = f(1)\): chỉ có những hàm tỉ lệ thuận.

C3. Chứng minh rằng mọi hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) đều viết được thành tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ. Tìm hai phần ấy cho \(f(x) = x^2 + x\) và cho \(f(x) = 2^x\).

Lời giải

Đặt \(c(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}\) và \(l(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}\). Khi đó \(c(x) + l(x) = f(x)\); \(c(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = c(x)\), nên \(c\) chẵn; \(l(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -l(x)\), nên \(l\) lẻ. \(\square\)

Với \(x^2 + x\): phần chẵn là \(x^2\), phần lẻ là \(x\). Với \(2^x\): phần chẵn là \(\frac{2^x + 2^{-x}}{2}\), phần lẻ là \(\frac{2^x - 2^{-x}}{2}\).

Câu hỏi để ngỏ

Một quy luật có thể vẽ thành hình. Nhưng "vẽ" nghĩa là gì: làm sao biến các cặp số thành các điểm, và biến câu hỏi hình học thành câu hỏi về số?