Chương 12: Lũy thừa¶
Câu hỏi mở đầu
Căn bậc hai tháo ngược phép bình phương, tức phép nhân một số với chính nó. Nhân một số với chính nó nhiều lần tạo ra những con số khổng lồ hoặc tí hon. Có luật nào chi phối phép "nhân lặp" ấy không? Và có thể mở rộng nó để nói về "nhân lặp 0 lần", "nhân lặp \(-3\) lần", thậm chí "nhân lặp nửa lần" không? Nếu "2 nhân lặp nửa lần" có nghĩa, liệu nó có phải là \(\sqrt2\)?
Gấp đôi, rồi lại gấp đôi¶
Lấy một tờ giấy dày 0,1 mm và gấp đôi: được 2 lớp. Gấp đôi lần nữa: 4 lớp. Lần thứ ba: 8 lớp. Mỗi lần gấp, số lớp nhân đôi.
Sau 10 lần gấp, số lớp là tích của mười thừa số 2, tức 1024 lớp, dày khoảng 10 cm. Sau 20 lần, hơn một triệu lớp, dày khoảng 105 m. Sau 42 lần, độ dày khoảng 440.000 km, xa hơn khoảng cách trung bình từ Trái Đất tới Mặt Trăng (khoảng 384.400 km). Dĩ nhiên không ai gấp được một tờ giấy nhiều lần như thế; đây là một phép tính, không phải một thí nghiệm. Nhưng phép tính ấy đúng, và nó cho thấy trực giác dễ sai thế nào trước phép nhân lặp: xếp chồng 42 tờ giấy chỉ dày 4,2 mm.
Ở Chương 5, một cách nhìn phép nhân là phép cộng lặp: \(3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4\). Chương này leo thêm một bậc: phép nhân lặp. Và ta sẽ lặp lại câu hỏi quen thuộc của Chương 7 và Chương 10: những luật nào chi phối phép toán mới, và các luật ấy cho phép mở rộng nó đến đâu?
Đếm thừa số¶
Viết \(2^5\) thay cho \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) là một cách viết gọn: số nhỏ phía trên cho biết có bao nhiêu thừa số. Hãy xem điều gì xảy ra khi nhân hai lũy thừa của cùng một số:
Không có gì phải học thuộc: ba thừa số cộng bốn thừa số là bảy thừa số. Luật "nhân thì cộng số mũ" chỉ là đếm gộp, và nó đúng vì tính kết hợp cho phép bỏ dấu ngoặc.
Lũy thừa của một lũy thừa: \((2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^6\). Đó là hai nhóm, mỗi nhóm ba thừa số, như một lưới \(2 \times 3\) ô: "lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ".
Lũy thừa của một tích: \((2 \cdot 5)^3 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5^3\), vì tính giao hoán cho phép xếp lại các thừa số. Đó là lý do \(10^3 = 8 \cdot 125\).
Chia: trong \(2^7 : 2^3\), ba thừa số 2 của số chia triệt tiêu ba thừa số 2 của số bị chia, còn lại \(2^4\). "Chia thì trừ số mũ", ít nhất khi số mũ của số bị chia lớn hơn.
Cả bốn luật đều không phải quy ước. Chúng là hệ quả của việc đếm thừa số, cũng như các luật của phép nhân là hệ quả của việc xếp lưới.
Còn một điều lũy thừa không có. Chương 5 đã chỉ ra rằng lũy thừa không giao hoán (\(2^3 = 8\) nhưng \(3^2 = 9\)) và không kết hợp (\((2^3)^2 = 64\) nhưng \(2^{(3^2)} = 512\)). Vì thế khi viết chồng \(2^{3^2}\) không có ngoặc, người ta phải chọn một cách đọc, và cách đọc chung là từ trên xuống: \(2^{3^2} = 2^{(3^2)} = 2^9\). Việc lũy thừa không kết hợp là cấu trúc; cách đọc từ trên xuống là quy ước.
Ký hiệu¶
Với một số \(a\) và một số nguyên dương \(n\), lũy thừa (power) \(a^n\) là tích của \(n\) thừa số cùng bằng \(a\), đọc là "\(a\) mũ \(n\)". Số \(a\) gọi là cơ số (base). Nó cùng tên với cơ số của hệ ghi số ở Chương 4, và không phải ngẫu nhiên: trong hệ cơ số \(b\), các hàng bên trái hàng đơn vị có giá trị \(b\), \(b^2\), \(b^3\), ... Số \(n\) gọi là số mũ (exponent). \(a^2\) còn đọc là "\(a\) bình phương", \(a^3\) là "\(a\) lập phương", theo tên hình vuông và hình lập phương cạnh \(a\).
Căn bậc hai của Chương 11 có những người anh em. Với \(a \geq 0\) và số nguyên dương \(n\), căn bậc \(n\) (n-th root) của \(a\), viết \(\sqrt[n]{a}\), là số không âm có lũy thừa bậc \(n\) bằng \(a\). Chẳng hạn \(\sqrt[3]{8} = 2\) vì \(2^3 = 8\), và \(\sqrt[4]{81} = 3\) vì \(3^4 = 81\). Căn bậc hai là trường hợp \(n = 2\), vẫn viết \(\sqrt{a}\). Căn bậc \(n\) của một số dương luôn tồn tại: có thể kẹp nó bằng cách chia đôi như Ví dụ 4 của Chương 11.
Hai quy ước về thứ tự tính: lũy thừa được làm trước phép nhân và trước dấu trừ đứng đầu, nên \(2 \cdot 3^2 = 18\) và \(-3^2 = -9\) (Chương 7, bài B3). Ký hiệu khoa học ở Chương 2 viết một số dương thành \(m \times 10^k\); mục sau sẽ cho thấy vì sao \(k\) được phép âm.
Mở rộng mà vẫn giữ luật¶
Đến đây \(a^n\) mới có nghĩa khi \(n\) là số nguyên dương: "nhân \(a\) với chính nó \(n\) lần". "Nhân lặp 0 lần", "\(-3\) lần", "nửa lần" nghe vô nghĩa, cũng như "3 trừ 5" từng vô nghĩa trước Chương 7 và "7 chia 2" trước Chương 10. Ta làm lại đúng việc đã làm hai lần: không hỏi \(2^0\) là gì, mà hỏi \(2^0\) phải là gì để luật cộng số mũ vẫn đúng. Đó là nguyên lý giữ luật.
Số mũ 0. Nếu luật \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) còn đúng khi \(n = 0\), thì \(a^1 \cdot a^0 = a^{1+0} = a^1\), tức \(a \cdot a^0 = a\). Với \(a \neq 0\), nhân hai vế với số nghịch đảo \(\frac1a\), ta được \(a^0 = 1\). Không còn lựa chọn nào khác. Đây là lời giải thích mà Chương 4 đã hẹn: hàng đơn vị của hệ thập phân có giá trị \(10^0 = 1\) không phải vì ai đó quyết định thế, mà vì luật cộng số mũ buộc thế.
Bậc thang dưới đây cho cùng kết luận theo cách khác. Đi xuống từ \(2^3\), mỗi bậc giảm số mũ đi 1 và chia giá trị cho 2. Giữ nguyên quy luật ấy mà đi tiếp, ta tới \(2^0 = 1\), rồi \(2^{-1} = \frac12\), \(2^{-2} = \frac14\).
Số mũ âm. Với \(a \neq 0\): \(a^n \cdot a^{-n} = a^{n + (-n)} = a^0 = 1\). Vậy \(a^{-n}\) là số nghịch đảo của \(a^n\), tức \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Chẳng hạn \(10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001\). Các chữ số sau dấu phẩy chính là các hàng \(10^{-1}\), \(10^{-2}\), ...:
Hệ ghi số của Chương 4 và các số thập phân của Chương 11 hóa ra là một cấu trúc duy nhất, trải về hai phía của hàng đơn vị.
Số mũ phân số. Nếu luật "lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ" còn đúng với số mũ \(\frac12\), thì \(\left(a^{\frac12}\right)^2 = a^{\frac12 \cdot 2} = a^1 = a\). Vậy \(a^{\frac12}\) phải là một số có bình phương bằng \(a\). Dương hay âm? Luật cộng số mũ trả lời: \(a^{\frac12} = a^{\frac14} \cdot a^{\frac14} = \left(a^{\frac14}\right)^2\) là một bình phương, nên không âm. Vậy với \(a > 0\), \(a^{\frac12} = \sqrt{a}\). Đây là lời giải thích mà Chương 2 đã hẹn khi viết \(\ell^{\frac12}\), và cũng là câu trả lời cho câu hỏi mở đầu: "2 nhân lặp nửa lần" chính là \(\sqrt2\).
Cùng lập luận ấy cho \(a^{\frac1n} = \sqrt[n]{a}\), rồi \(a^{\frac mn} = \left(a^{\frac1n}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\). Chẳng hạn \(8^{\frac13} = 2\) và \(8^{\frac23} = 4\).
Số mũ vô tỉ. Còn \(2^{\sqrt2}\) thì sao? Không thể "nhân lặp \(\sqrt2\) lần", nhưng có thể kẹp. \(\sqrt2\) nằm giữa \(1{,}4\) và \(1{,}5\), nên \(2^{\sqrt2}\) phải nằm giữa \(2^{1{,}4}\) và \(2^{1{,}5}\); kẹp \(\sqrt2\) chặt hơn thì \(2^{\sqrt2}\) cũng bị kẹp chặt hơn, và dãy khoảng lồng nhau của Chương 11 chỉ ra đúng một số. Việc làm điều này cẩn thận để dành cho Chương 29. Ở đây chỉ cần thấy con đường: số mũ đi từ số nguyên dương tới 0, số âm, phân số, rồi mọi số thực, và mỗi bước đều bị các luật dẫn dắt.
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (\(2^{10} \approx 10^3\) và tờ giấy gấp 42 lần). Ta có \(2^{10} = 1024\), rất gần \(1000 = 10^3\). Nhờ luật nhân số mũ, mẹo nhỏ này đi rất xa: \(2^{40} = \left(2^{10}\right)^4 \approx \left(10^3\right)^4 = 10^{12}\). Vậy
Tờ giấy gấp 42 lần có \(2^{42}\) lớp, mỗi lớp dày \(0{,}1\) mm, tức \(10^{-4}\) m. Độ dày khoảng \(4 \cdot 10^{12} \cdot 10^{-4} = 4 \cdot 10^8\) m, tức 400.000 km. Giá trị đúng là \(2^{42} = 4.398.046.511.104\), cho độ dày khoảng 439.805 km, lớn hơn ước lượng khoảng 10%. Lý do: mỗi lần thay 1024 bằng 1000 là chia bớt cho \(1{,}024\), và bốn lần như thế dồn lại theo phép nhân thành \(1{,}024^4 \approx 1{,}0995\).
Ví dụ 2 (số mũ nguyên). Tính \(3^4 \cdot 3^{-2}\) và \(\frac{5^3 \cdot 5^{-1}}{5^{-2}}\).
\(3^4 \cdot 3^{-2} = 3^{4 + (-2)} = 3^2 = 9\). Kiểm lại theo nghĩa: \(81 \cdot \frac19 = 9\).
\(\frac{5^3 \cdot 5^{-1}}{5^{-2}} = 5^{3 - 1 - (-2)} = 5^4 = 625\). Kiểm lại: \(5^3 \cdot 5^{-1} = 125 \cdot \frac15 = 25\), và chia cho \(\frac{1}{25}\) là nhân với 25, được 625.
Ví dụ 3 (số mũ phân số). Tính \(27^{\frac23}\), \(8^{-\frac13}\) và \(\left(\frac49\right)^{-\frac12}\).
\(27^{\frac23} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9\). Cũng có thể đi đường khác: \(\left(27^2\right)^{\frac13} = \sqrt[3]{729} = 9\), vì \(9^3 = 729\). Hai đường cùng tới một đích, đúng như các luật đòi hỏi.
\(8^{-\frac13} = \frac{1}{8^{\frac13}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac12\).
\(\left(\frac49\right)^{-\frac12} = \left(\frac94\right)^{\frac12} = \frac32\), vì số mũ âm lật phân số thành nghịch đảo của nó.
Ví dụ 4 (ký hiệu khoa học). Một đời người 80 năm dài khoảng bao nhiêu giây? Một tỷ giây là bao nhiêu năm?
Một năm 365 ngày có \(365 \cdot 24 \cdot 3600 = 31.536.000 \approx 3{,}15 \times 10^7\) giây. Vậy 80 năm có khoảng \(80 \cdot 3{,}15 \times 10^7 = 252 \times 10^7 = 2{,}52 \times 10^9\) giây: hơn hai tỷ rưỡi giây. Ngược lại, một tỷ giây là \(\frac{10^9}{3{,}15 \times 10^7} = \frac{10^2}{3{,}15} \approx 31{,}7\) năm. Luật trừ số mũ, \(10^9 : 10^7 = 10^2\), làm phần khó nhất của phép chia.
Ranh giới¶
\(0^0\): khi các luật không quyết được. Lập luận cho \(a^0 = 1\) cần nhân với \(\frac1a\), nên hỏng đúng khi \(a = 0\): từ \(0 \cdot 0^0 = 0\) không suy ra được gì, như Chương 9 đã cảnh báo. Hai quy luật kéo về hai phía: \(a^0 = 1\) với mọi \(a \neq 0\) gợi ý \(0^0 = 1\), còn \(0^n = 0\) với mọi \(n \geq 1\) gợi ý \(0^0 = 0\). Các luật không ép được giá trị nào, nên đây là chỗ con người phải chọn. Khi đếm và khi làm đại số, người ta thường chọn \(0^0 = 1\) vì nó làm nhiều công thức gọn hơn; nhiều ngôn ngữ lập trình cũng trả về 1. Khi bàn về giới hạn ở Phần IV, \(0^0\) lại được xếp vào các dạng vô định như \(0 : 0\). Đây là một quy ước thật sự, khác hẳn \(a^0 = 1\) với \(a \neq 0\).
Cơ số âm và số mũ phân số. Với số mũ nguyên, cơ số âm không gây rắc rối: \((-2)^3 = -8\) và \((-2)^{-2} = \frac14\). Với số mũ phân số thì có. Thử đặt \((-8)^{\frac13} = -2\), vì \((-2)^3 = -8\). Nhưng \(\frac13 = \frac26\), và theo luật nhân số mũ thì \((-8)^{\frac26} = \left((-8)^2\right)^{\frac16} = 64^{\frac16} = 2\). Cùng một số mũ mà ra hai đáp số: các luật và cơ số âm không sống chung được. Vì thế lũy thừa với số mũ phân số chỉ được định nghĩa cho cơ số dương. Còn \((-1)^{\frac12}\) phải là một số có bình phương bằng \(-1\), trong khi mọi số thực đều có bình phương không âm; muốn có nó cần những số mới, gọi là số phức (complex numbers), nằm ngoài phạm vi cuốn sách.
Lũy thừa không phân phối với phép cộng. \((ab)^n = a^n b^n\), nhưng \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\): \((1 + 2)^2 = 9\) còn \(1^2 + 2^2 = 5\). Hình vuông cạnh \(a + b\) ở Chương 2 cho thấy phần bị quên: hai hình chữ nhật \(ab\). Tương tự, \(\sqrt{9 + 16} = 5\) còn \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 7\).
Nhân lặp khác nhân với số mũ. \(2^n\), \(n^2\) và \(10n\) dễ bị lẫn, nhưng chúng lớn lên theo những cách rất khác: \(10n\) cộng thêm 10 mỗi bước, \(n^2\) tăng nhanh dần, \(2^n\) nhân đôi mỗi bước. Lúc đầu \(10n\) dẫn trước. Nhưng từ \(n = 5\) trở đi \(2^n\) vượt \(n^2\), từ \(n = 6\) trở đi nó vượt \(10n\), và không bao giờ bị đuổi kịp nữa.
Phát biểu chặt chẽ¶
Định nghĩa 1 (lũy thừa với số mũ nguyên dương). Với mọi số \(a\): \(a^1 = a\), và \(a^{n+1} = a^n \cdot a\) với mọi số nguyên dương \(n\).
Một định nghĩa như thế gọi là định nghĩa đệ quy (recursive definition): nó không nói thẳng \(a^{100}\) là gì, mà nói cách đi từ \(a^n\) tới \(a^{n+1}\). Xuất phát từ \(a^1\), đi từng bước, ta tới được mọi \(a^n\).
Mệnh đề 2. Với mọi số \(a\) và mọi số nguyên dương \(m\), \(n\): \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\).
Chứng minh. Cố định \(m\) và đi theo \(n\). Với \(n = 1\): \(a^m \cdot a^1 = a^m \cdot a = a^{m+1}\) theo Định nghĩa 1. Giả sử đẳng thức đúng với một \(n\) nào đó. Khi đó
lần lượt nhờ Định nghĩa 1, tính kết hợp, điều vừa giả sử, và Định nghĩa 1. Đẳng thức đúng với \(n = 1\), và đúng với \(n\) thì đúng với \(n + 1\); đi từng bước như thế, nó đúng với mọi \(n\). Lối lập luận đi từng bước này sẽ có tên riêng và được xem xét kỹ ở Chương 18. \(\square\)
Mệnh đề 3. Với mọi số \(a\), \(b\) và mọi số nguyên dương \(m\), \(n\): \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\) và \((ab)^n = a^n b^n\) (bài C1).
Mệnh đề 4 (số mũ nguyên bị ép buộc). Cho \(a \neq 0\). Nếu mở rộng \(a^n\) cho mọi số nguyên \(n\) sao cho \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) còn đúng với mọi số nguyên \(m\), \(n\), thì buộc phải có \(a^0 = 1\) và \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Ngược lại, định nghĩa như thế thì luật ấy đúng với mọi số nguyên \(m\), \(n\) (bài C2).
Chứng minh. Lấy \(m = 1\), \(n = 0\): \(a \cdot a^0 = a^1 = a\). Nhân hai vế với \(\frac1a\) được \(a^0 = 1\). Lấy hai số mũ \(n\) và \(-n\): \(a^n \cdot a^{-n} = a^0 = 1\), nên \(a^{-n}\) là số nghịch đảo của \(a^n\) (số này khác 0 vì là tích của các thừa số khác 0). \(\square\)
Mệnh đề 5 (số mũ phân số bị ép buộc). Cho \(a > 0\) và số nguyên dương \(n\). Nếu \(a^{\frac1n}\) là một số thực sao cho các luật \(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\) và \(\left(a^r\right)^s = a^{rs}\) còn đúng với các số mũ phân số, thì \(a^{\frac1n} = \sqrt[n]{a}\).
Chứng minh. Theo luật thứ hai, \(\left(a^{\frac1n}\right)^n = a^1 = a\), nên \(a^{\frac1n}\) là một số có lũy thừa bậc \(n\) bằng \(a\). Theo luật thứ nhất, \(a^{\frac1n} = a^{\frac{1}{2n}} \cdot a^{\frac{1}{2n}} = \left(a^{\frac{1}{2n}}\right)^2 \geq 0\). Mà chỉ có một số không âm có lũy thừa bậc \(n\) bằng \(a\), vì với các số không âm, số lớn hơn có lũy thừa bậc \(n\) lớn hơn. Số ấy chính là \(\sqrt[n]{a}\). \(\square\)
Từ đó \(a^{\frac mn} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\). Giá trị này không phụ thuộc vào cách viết phân số \(\frac mn\) (bài C3), đúng như đòi hỏi của Chương 10 với mọi phép toán trên phân số.
Sợi chỉ
- S1. Bất biến qua biến đổi. Nguyên lý giữ luật lần thứ ba: \(a^0 = 1\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) và \(a^{\frac1n} = \sqrt[n]{a}\) đều bị luật cộng số mũ ép ra, như quy tắc dấu ở Chương 7 và phép cộng phân số ở Chương 10. Lần này còn có một chỗ các luật im lặng, \(0^0\), và chỉ ở đó con người mới phải tự chọn.
- S3. Thứ tự của biến đổi. Lũy thừa không giao hoán, không kết hợp (Chương 5); cách đọc \(2^{3^2}\) từ trên xuống là một quy ước sinh ra từ chính sự không kết hợp ấy.
- S5. Rời rạc và liên tục. Số mũ bắt đầu là một số đếm (bao nhiêu thừa số), rồi được mở rộng tới số nguyên, phân số và qua dãy khoảng lồng nhau của Chương 11 tới mọi số thực: "nhân lặp" từng bước trở thành "lớn lên" liên tục.
- S2. Thông tin và khả nghịch. Lũy thừa có hai phép ngược. Biết số mũ, tìm cơ số: đó là khai căn. Biết cơ số, tìm số mũ: đó là câu hỏi của chương sau.
- S7. Xấp xỉ và sai số. \(2^{10} \approx 10^3\) biến những phép tính khổng lồ thành phép nhẩm, như các ước lượng theo bậc độ lớn ở Chương 2. Nhưng sai số dồn lại theo phép nhân: thay bốn lần 1024 bằng 1000 là hụt gần 10%.
Tóm tắt¶
- \(a^n\) là tích của \(n\) thừa số \(a\); các luật \(a^m a^n = a^{m+n}\), \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\) và \((ab)^n = a^n b^n\) là hệ quả của việc đếm thừa số.
- Lũy thừa không giao hoán, không kết hợp, và không phân phối với phép cộng: \((a + b)^2 \neq a^2 + b^2\).
- Giữ luật cộng số mũ buộc \(a^0 = 1\) và \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) khi \(a \neq 0\); các hàng sau dấu phẩy thập phân là \(10^{-1}\), \(10^{-2}\), ...
- Giữ các luật buộc \(a^{\frac1n} = \sqrt[n]{a}\) và \(a^{\frac mn} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\) khi \(a > 0\); "2 nhân lặp nửa lần" là \(\sqrt2\).
- \(0^0\) không bị luật nào ép, nên là quy ước tùy ngữ cảnh; cơ số âm không đi được với số mũ phân số.
- Nhân lặp rồi sẽ vượt mọi phép cộng lặp: \(2^n\) vượt \(n^2\) từ \(n = 5\) và vượt \(10n\) từ \(n = 6\); \(2^{10} \approx 10^3\) giúp ước lượng nhanh.
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. Giải thích bằng hai cách vì sao \(10^0 = 1\) không phải một quy ước tùy ý. Nếu ai đó "quy ước" \(10^0 = 0\), cách viết \(2025 = 2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0\) của Chương 4 sẽ ra sao?
Lời giải
Cách thứ nhất: luật cộng số mũ cho \(10 \cdot 10^0 = 10^{1 + 0} = 10\), nhân hai vế với \(\frac{1}{10}\) được \(10^0 = 1\). Cách thứ hai: đi xuống bậc thang \(1000\), \(100\), \(10\), mỗi bậc chia cho 10, bậc tiếp theo phải là \(1\).
Nếu đặt \(10^0 = 0\), vế phải thành \(2000 + 0 + 20 + 5 \cdot 0 = 2020\), không phải 2025: hàng đơn vị biến mất. Một quy ước khác đi sẽ làm hỏng cả hệ ghi số, nên nó không phải lựa chọn tự do.
A2. Một người nói: "\(2^{-3}\) là một số âm, vì số mũ âm." Người ấy sai ở đâu?
Lời giải
\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac18\), một số dương. Dấu trừ ở số mũ nghĩa là lấy nghịch đảo (chia thay vì nhân), không phải đổi dấu. Mọi lũy thừa của một số dương đều dương. Dấu trừ ở số mũ và dấu trừ ở cơ số là hai chuyện khác nhau: \((-2)^3 = -8\) âm, còn \(2^{-3} = \frac18\) dương.
A3. Một hồ sen giả định có số lá tăng gấp đôi mỗi ngày, và ngày thứ 30 thì lá phủ kín hồ. Ngày thứ mấy lá phủ nửa hồ? Phủ một phần tám hồ? Điều này nói gì về trực giác của ta trước sự tăng gấp đôi?
Lời giải
Mỗi ngày lá gấp đôi, nên đi lùi mỗi ngày lá giảm một nửa. Lá phủ nửa hồ vào ngày 29, phủ một phần tám hồ vào ngày 27, vì \(\frac18 = 2^{-3}\). Năm ngày trước khi kín hồ, lá chỉ phủ \(\frac{1}{32}\) hồ, khoảng 3%.
Trực giác thường hình dung sự lớn lên đều đặn, như \(10n\). Với sự nhân đôi, gần hết quãng thời gian trông như chẳng có gì xảy ra, rồi mọi thứ ập đến trong vài bước cuối. Người chỉ nhìn thấy một hồ gần như trống ở ngày 25 dễ nghĩ mình còn rất nhiều thời gian.
B. Tính toán¶
B1. Tính: (a) \(2^5 \cdot 2^3\); (b) \(\frac{5^7}{5^4}\); (c) \(\left(3^2\right)^3\); (d) \((2 \cdot 5)^4\); (e) \(10^3 \cdot 10^{-5}\).
Lời giải
(a) \(2^8 = 256\). (b) \(5^3 = 125\). (c) \(3^6 = 729\). (d) \(2^4 \cdot 5^4 = 16 \cdot 625 = 10.000 = 10^4\). (e) \(10^{-2} = 0{,}01\).
B2. Tính: (a) \(2^{-3}\); (b) \(\left(\frac23\right)^{-2}\); (c) \(5^0\); (d) \((-2)^{-3}\); (e) \((-1)^{100}\).
Lời giải
(a) \(\frac18\). (b) \(\left(\frac32\right)^2 = \frac94\). (c) \(1\). (d) \(\frac{1}{(-2)^3} = -\frac18\). (e) \(1\), vì 100 thừa số \(-1\) ghép được thành 50 cặp, mỗi cặp có tích bằng 1.
B3. Tính: (a) \(16^{\frac12}\); (b) \(16^{\frac14}\); (c) \(16^{\frac34}\); (d) \(16^{-\frac12}\); (e) \(32^{\frac25}\); (f) \(\left(\frac{8}{27}\right)^{-\frac23}\).
Lời giải
(a) \(4\). (b) \(2\), vì \(2^4 = 16\). (c) \(2^3 = 8\). (d) \(\frac14\). (e) \(\sqrt[5]{32} = 2\), nên \(32^{\frac25} = 2^2 = 4\). (f) \(\left(\frac{27}{8}\right)^{\frac23} = \left(\frac32\right)^2 = \frac94\).
B4. Viết mỗi số dưới dạng một lũy thừa của 2: (a) \(4^3\); (b) \(8^2 \cdot 2^{-5}\); (c) \(\frac{1}{16}\); (d) \(\sqrt8\); (e) \(\sqrt[3]{4}\).
Lời giải
(a) \(\left(2^2\right)^3 = 2^6\). (b) \(2^6 \cdot 2^{-5} = 2^1\). (c) \(2^{-4}\). (d) \(\left(2^3\right)^{\frac12} = 2^{\frac32}\). (e) \(\left(2^2\right)^{\frac13} = 2^{\frac23}\).
B5. Không dùng máy tính, so sánh: (a) \(2^{30}\) và \(10^9\); (b) \(3^{20}\) và \(2^{30}\).
Lời giải
(a) \(2^{30} = \left(2^{10}\right)^3 = 1024^3 > 1000^3 = 10^9\).
(b) Viết cả hai với số mũ 10: \(3^{20} = \left(3^2\right)^{10} = 9^{10}\) và \(2^{30} = \left(2^3\right)^{10} = 8^{10}\). Vì \(9 > 8\), ta có \(3^{20} > 2^{30}\).
B6. Tính và viết kết quả bằng ký hiệu khoa học: (a) \(\left(4 \times 10^5\right) \cdot \left(2{,}5 \times 10^{-2}\right)\); (b) \(\frac{6 \times 10^{23}}{2 \times 10^{20}}\); (c) \(\left(5 \times 10^{-3}\right)^2\).
Lời giải
(a) \(4 \cdot 2{,}5 = 10\) và \(10^5 \cdot 10^{-2} = 10^3\), nên tích là \(10 \times 10^3 = 1 \times 10^4\).
(b) \(\frac62 = 3\) và \(10^{23} : 10^{20} = 10^3\), nên thương là \(3 \times 10^3\).
(c) \(5^2 = 25\) và \(\left(10^{-3}\right)^2 = 10^{-6}\), nên kết quả là \(25 \times 10^{-6} = 2{,}5 \times 10^{-5}\).
B7. Một tờ giấy dày \(0{,}1\) mm. Phải gấp đôi ít nhất bao nhiêu lần để nó dày hơn 1 m? Hơn 1 km?
Lời giải
Sau \(n\) lần gấp, tờ giấy dày \(2^n \cdot 0{,}1\) mm. Dày hơn 1 m \(= 1000\) mm khi \(2^n > 10.000\): vì \(2^{13} = 8192\) và \(2^{14} = 16.384\), cần 14 lần. Dày hơn 1 km \(= 10^6\) mm khi \(2^n > 10^7\): vì \(2^{23} = 8.388.608\) và \(2^{24} = 16.777.216\), cần 24 lần.
B8. Thử với những số cụ thể để xem các "luật" sau đúng hay sai: (a) \((a + b)^2 = a^2 + b^2\); (b) \(a^m \cdot b^m = (ab)^m\); (c) \(a^m + a^n = a^{m+n}\); (d) \(\sqrt{a + b} = \sqrt a + \sqrt b\); (e) \(\left(a^m\right)^n = a^{\left(m^n\right)}\).
Lời giải
(a) Sai: \((1 + 2)^2 = 9\) còn \(1^2 + 2^2 = 5\).
(b) Đúng (Mệnh đề 3).
(c) Sai: \(2^2 + 2^3 = 12\) còn \(2^5 = 32\). Chú ý: với \(a = 2\) và \(m = n = 1\), ta có \(2^1 + 2^1 = 4 = 2^2\), đúng một cách tình cờ. Một ví dụ đúng không chứng minh được luật; một phản ví dụ thì bác bỏ được nó.
(d) Sai: \(\sqrt{9 + 16} = 5\) còn \(\sqrt9 + \sqrt{16} = 7\).
(e) Sai: \(\left(2^3\right)^2 = 64\) còn \(2^{\left(3^2\right)} = 512\). Luật đúng là \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\).
B9. Tìm \(x\): (a) \(2^x = 32\); (b) \(2^x = \frac18\); (c) \(4^x = 8\); (d) \(9^x = \frac13\).
Lời giải
(a) \(32 = 2^5\), nên \(x = 5\). (b) \(\frac18 = 2^{-3}\), nên \(x = -3\).
(c) Viết mọi thứ theo cơ số 2: \(4^x = \left(2^2\right)^x = 2^{2x}\) và \(8 = 2^3\). Vì các lũy thừa của 2 tăng dần theo số mũ, hai lũy thừa bằng nhau thì số mũ bằng nhau: \(2x = 3\), \(x = \frac32\). Kiểm lại: \(4^{\frac32} = \left(\sqrt4\right)^3 = 8\).
(d) \(9^x = 3^{2x}\) và \(\frac13 = 3^{-1}\), nên \(2x = -1\), \(x = -\frac12\). Kiểm lại: \(9^{-\frac12} = \frac{1}{\sqrt9} = \frac13\).
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Chứng minh rằng với mọi số \(a\), \(b\) và mọi số nguyên dương \(m\), \(n\): \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\) và \((ab)^n = a^n b^n\).
Lời giải
Đi theo \(n\) như trong chứng minh Mệnh đề 2. Với \(n = 1\), cả hai đẳng thức đều hiển nhiên: \(\left(a^m\right)^1 = a^m\) và \((ab)^1 = ab = a^1 b^1\).
Giả sử \(\left(a^m\right)^n = a^{mn}\). Khi đó \(\left(a^m\right)^{n+1} = \left(a^m\right)^n \cdot a^m = a^{mn} \cdot a^m = a^{mn + m} = a^{m(n+1)}\), dùng Định nghĩa 1 rồi Mệnh đề 2.
Giả sử \((ab)^n = a^n b^n\). Khi đó \((ab)^{n+1} = (ab)^n \cdot ab = a^n b^n \cdot ab = \left(a^n \cdot a\right) \cdot \left(b^n \cdot b\right) = a^{n+1} b^{n+1}\), dùng tính giao hoán và kết hợp để xếp lại các thừa số.
Hai đẳng thức đúng với \(n = 1\) và truyền được từ \(n\) sang \(n + 1\), nên đúng với mọi \(n\). \(\square\)
C2. Cho \(a \neq 0\), với \(a^0 = 1\) và \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Chứng minh rằng \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) với mọi số nguyên \(m\), \(n\).
Lời giải
Nếu \(m\) hoặc \(n\) bằng 0, đẳng thức hiển nhiên vì \(a^0 = 1\). Nếu cả hai dương, đó là Mệnh đề 2. Còn ba trường hợp.
Cả hai âm: \(m = -j\), \(n = -k\) với \(j\), \(k\) dương. Khi đó \(a^{-j} \cdot a^{-k} = \frac{1}{a^j} \cdot \frac{1}{a^k} = \frac{1}{a^{j+k}} = a^{-(j+k)}\).
Một dương, một âm: do tính giao hoán, có thể giả sử \(m > 0\) và \(n = -k\) với \(k > 0\). Nếu \(m \geq k\) thì \(a^m = a^{m-k} \cdot a^k\) (Mệnh đề 2, hoặc hiển nhiên khi \(m = k\)), nên \(a^m \cdot \frac{1}{a^k} = a^{m-k}\). Nếu \(m < k\) thì \(a^k = a^m \cdot a^{k-m}\), nên \(a^m \cdot \frac{1}{a^k} = \frac{1}{a^{k-m}} = a^{-(k-m)} = a^{m-k}\). Trong cả hai trường hợp, kết quả là \(a^{m+n}\). \(\square\)
C3. Cho \(a > 0\). (a) Chứng minh rằng nếu \(\frac mn = \frac pq\) (với \(n\), \(q\) nguyên dương) thì \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p\), tức \(a^{\frac mn}\) không phụ thuộc cách viết phân số. (b) Lập luận ở (a) hỏng ở đâu nếu thay \(a\) bằng \(-8\)?
Lời giải
(a) Chỉ cần xét \(m\), \(p\) dương; khi chúng âm hay bằng 0, lấy nghịch đảo hoặc dùng \(a^0 = 1\). Gọi \(u = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m\) và \(v = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p\); cả hai đều dương. Nâng cả hai lên lũy thừa bậc \(nq\), dùng Mệnh đề 3:
Vì \(\frac mn = \frac pq\) nên \(mq = pn\), do đó \(u^{nq} = v^{nq}\). Với các số dương, số lớn hơn có lũy thừa lớn hơn, nên hai số dương có cùng lũy thừa bậc \(nq\) thì bằng nhau: \(u = v\). \(\square\)
(b) Bước cuối cần \(u\) và \(v\) cùng dương. Với \(a = -8\), \(\frac13 = \frac26\): một bên có thể là \(-2\) (vì \((-2)^3 = -8\)), bên kia là \(\sqrt[6]{64} = 2\). Hai số này có cùng lũy thừa bậc 6 là 64, nhưng một âm một dương nên khác nhau. Đó chính là mâu thuẫn ở mục Ranh giới.
Câu hỏi để ngỏ¶
Bài B9 hỏi ngược: 2 mũ bao nhiêu thì bằng 32? Câu trả lời là 5, vì 32 là một lũy thừa "đẹp" của 2. Nhưng 2 mũ bao nhiêu thì bằng 1000? Vì \(2^{10} = 1024\), số mũ ấy nhỏ hơn 10 một chút; nhưng chính xác là bao nhiêu, và tính bằng cách nào? Phép toán tháo ngược lũy thừa, trả lời câu hỏi "số mũ nào?", là gì? Và vì sao người ta nói nó biến phép nhân thành phép cộng?