Chương 3: Phân biệt và đồng nhất¶
Câu hỏi mở đầu
Hai chương đầu đã nói nhiều về cấu trúc, quy ước và cách kiểm chứng. Nhưng nếu gỡ bỏ hết tên gọi, con số và ký hiệu, thì còn lại gì làm điểm xuất phát? Trước cả khi biết đếm, hành động tư duy nguyên thủy nhất mà mọi toán học dựa vào là gì?
Trước cả con số¶
Hãy tưởng tượng một người chăn cừu chưa biết đếm, muốn biết tối nay đàn cừu có đủ không. Trước khi có bất kỳ con số nào, người ấy phải làm được hai việc.
Việc thứ nhất: nhận ra con cừu này không phải con cừu kia. Nếu không tách được từng con, người ấy có thể tính một con hai lần, hoặc bỏ sót một con đứng khuất.
Việc thứ hai, ngược hướng với việc thứ nhất: coi mọi con cừu là như nhau, theo một nghĩa nào đó. Con trắng, con đen, con to, con nhỏ, con nào cũng chỉ tính là "một con cừu". Nếu cứ khăng khăng rằng không con nào giống con nào, thì chẳng có gì để đếm: chỉ có những cá thể không lặp lại.
Hai việc này là phân biệt (distinction) và đồng nhất (identification). Chúng kéo về hai phía ngược nhau: phân biệt tách thế giới ra, đồng nhất gom thế giới lại. Chương này cho thấy toán học bắt đầu từ chỗ cân bằng hai lực ấy, và rằng việc đồng nhất, dù là lựa chọn của ta, vẫn phải tuân theo những luật mà ta không chọn được.
Hai hành động nguyên thủy¶
Phân biệt là nói "cái này không phải cái kia". Đây là hành động nhỏ nhất mà mọi suy nghĩ cần: không phân biệt được thì không nói được gì về cái gì.
Đồng nhất là nói "hai cái này khác nhau, nhưng về điều ta đang quan tâm thì chúng như nhau". Chữ quan trọng là "về điều ta đang quan tâm". Hai tờ tiền 100.000 đồng có số sê-ri khác nhau là hai vật khác nhau, nhưng khi trả tiền thì chúng như nhau. Chữ "a" in đậm và chữ "a" viết tay khác nhau về hình dáng, nhưng khi đọc thì như nhau. Mười ba giờ và một giờ là hai thời điểm khác nhau, nhưng kim giờ chỉ cùng một vị trí.
Đồng nhất là cố ý quên đi một số chi tiết. Khi quên đủ nhiều, cái còn lại chính là điều mà các vật cùng chia sẻ. Hành động ấy gọi là trừu tượng hóa (abstraction). Ở chương sau, con số "ba" sẽ xuất hiện đúng theo cách này: nó là cái còn lại khi ta quên rằng ba quả táo là táo, ba viên sỏi là sỏi.
Cùng một nhóm đồ vật có thể được đồng nhất theo nhiều cách, tùy ta quan tâm điều gì:
Vì thế, câu "hai vật này bằng nhau" luôn ngầm hỏi: bằng nhau theo nghĩa nào? Theo nghĩa giá trị, tờ tiền nào cũng "bằng" mọi tờ cùng mệnh giá; theo nghĩa vật thể, không tờ nào "bằng" tờ nào khác.
Việc đồng nhất phải tuân theo luật gì? Ta được tự do chọn đồng nhất theo khía cạnh nào. Nhưng một khi đã muốn dùng việc đồng nhất để xếp đồ vật vào các hộp, sao cho "cùng hộp" nghĩa đúng là "như nhau", thì cách coi là như nhau buộc phải có ba tính chất:
- Mỗi vật như chính nó. Nếu có một vật không như chính nó, nó không biết nằm ở hộp nào.
- Nếu A như B thì B như A. Nếu không, A được xếp vào hộp của B nhưng B lại "không chịu" nằm chung với A.
- Nếu A như B và B như C thì A như C. Nếu không, A và B phải chung một hộp, B và C phải chung một hộp, nên A và C chung một hộp, vậy mà A và C lại "không như nhau".
Không ai đặt ra ba luật này. Chúng là cái giá bắt buộc của mong muốn chia thành hộp. Đó đúng là tinh thần của câu hỏi dẫn đường: dù chưa ai đặt tên cho chúng, chúng vẫn phải xuất hiện, ngay khi ta muốn phân loại.
Ký hiệu¶
Một quy tắc cho biết, với mỗi cặp đối tượng, chúng có liên hệ nào đó với nhau hay không, được gọi là một quan hệ (relation). "Cùng màu", "cùng hình dạng", "nhỏ hơn", "là bạn của" đều là những quan hệ.
Khi đang xét một cách đồng nhất, ta viết \(a \sim b\) (đọc là "\(a\) tương đương \(b\)") để nói \(a\) được coi là như \(b\), và \(a \not\sim b\) để nói điều ngược lại. Dấu \(\sim\) chỉ là một quy ước; dùng dấu khác cũng được, miễn là nói rõ.
Ba tính chất ở trên, viết bằng ký hiệu, là:
- tính phản xạ (reflexive): \(a \sim a\) với mọi \(a\);
- tính đối xứng (symmetric): nếu \(a \sim b\) thì \(b \sim a\);
- tính bắc cầu (transitive): nếu \(a \sim b\) và \(b \sim c\) thì \(a \sim c\).
Mỗi "hộp" gọi là một lớp. Lớp chứa \(a\) được viết là \([a]\): đó là nhóm gồm mọi đối tượng \(x\) mà \(x \sim a\). Ta liệt kê một nhóm bằng cách viết các phần tử (element) trong dấu ngoặc nhọn; chẳng hạn, khi đồng nhất các số giờ theo vị trí của kim giờ, \([1] = \{1; 13; 25; \dots\}\). Mỗi phần tử của một lớp là một đại diện (representative) của lớp ấy: \(1\), \(13\), \(25\) đều đại diện cho cùng một lớp, và \([1] = [13] = [25]\).
Dấu bằng \(=\) là cách đồng nhất mạnh nhất: \(a = b\) nghĩa là \(a\) và \(b\) là cùng một đối tượng, chỉ được gọi bằng hai tên. Nó hiển nhiên có cả ba tính chất. Mọi cách đồng nhất khác đều "thô" hơn: chúng gộp lại những thứ mà dấu bằng vẫn tách riêng.
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (lớp theo số dư). Đồng nhất hai số tự nhiên khi chúng có cùng số dư (remainder) khi chia cho 3. Hãy chia các số từ 0 đến 20 thành các lớp.
Số dư khi chia cho 3 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2, nên có ba lớp. Để biết 17 nằm ở lớp nào, ta chia: \(17 = 3 \cdot 5 + 2\), số dư là 2. Làm như vậy với mọi số:
- số dư 0: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18;
- số dư 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19;
- số dư 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20.
Mỗi lớp có 7 số, và \(7 + 7 + 7 = 21\), đúng bằng số các số từ 0 đến 20. Không số nào nằm ở hai lớp, không số nào bị bỏ sót. Lớp thứ ba có thể gọi là \([2]\), hay \([5]\), hay \([17]\): cùng một lớp, nhiều đại diện.
Ví dụ 2 (đồng hồ). Bây giờ là 7 giờ. Sau 8 tiếng nữa, kim giờ chỉ số mấy? Sau 100 tiếng nữa thì sao?
Ta có \(7 + 8 = 15\). Trên mặt đồng hồ 12 giờ, 15 giờ và 3 giờ cùng một vị trí vì \(15 = 12 + 3\); vậy kim giờ chỉ số 3. Cách đồng nhất ở đây là: hai số giờ như nhau khi chúng hơn kém nhau một bội của 12, tức khi chúng có cùng số dư khi chia cho 12.
Với 100 tiếng: \(7 + 100 = 107 = 12 \cdot 8 + 11\), nên kim giờ chỉ số 11.
Một điều đáng để ý: ta có thể "cộng các lớp" mà không sợ kết quả phụ thuộc vào đại diện được chọn. Thay 7 bằng 19 (cùng lớp, vì \(19 = 12 + 7\)) và thay 8 bằng 32 (cùng lớp, vì \(32 = 24 + 8\)): \(19 + 32 = 51 = 12 \cdot 4 + 3\), vẫn là lớp của 3. Điều này không hiển nhiên; Chương 8 sẽ chứng minh vì sao nó luôn đúng.
Ví dụ 3 (kiểm tra ba tính chất). Quan hệ nào sau đây trên các số tự nhiên là một cách đồng nhất hợp lệ?
(a) "\(a \sim b\) khi \(a\) và \(b\) có cùng chữ số tận cùng." Phản xạ: số nào cũng có cùng chữ số tận cùng với chính nó. Đối xứng: nếu \(a\) và \(b\) có cùng chữ số tận cùng thì \(b\) và \(a\) cũng vậy. Bắc cầu: giả sử \(a \sim b\) và \(b \sim c\), và gọi \(d\) là chữ số tận cùng của \(b\) (mỗi số chỉ có một chữ số tận cùng). Vì \(a \sim b\), số \(a\) tận cùng bằng \(d\); vì \(b \sim c\), số \(c\) cũng tận cùng bằng \(d\); vậy \(a \sim c\). Cả ba tính chất đều có. Có đúng 10 lớp, ứng với 10 chữ số tận cùng từ 0 đến 9.
(b) "\(a \sim b\) khi \(a\) và \(b\) hơn kém nhau không quá 1." Phản xạ: \(a\) hơn kém chính nó 0 đơn vị, được. Đối xứng: được. Bắc cầu: \(3 \sim 4\) và \(4 \sim 5\), nhưng 3 và 5 hơn kém nhau 2, nên \(3 \not\sim 5\). Tính bắc cầu hỏng, và quan hệ này không chia được các số vào hộp: 3 phải chung hộp với 4, 4 phải chung hộp với 5, nhưng 3 lại không được chung hộp với 5.
Khi "như nhau" không chia được thành hộp¶
Ví dụ 3(b) không phải trò chơi chữ. Nó nằm ngay trong cách ta nhìn thế giới.
Gần bằng không bắc cầu. Xếp một dãy cốc nước, mỗi cốc đầy hơn cốc trước một chút, ít đến mức mắt thường khó phân biệt hai cốc cạnh nhau. Cốc thứ nhất "trông như" cốc thứ hai, cốc thứ hai "trông như" cốc thứ ba, và cứ thế. Nhưng cốc đầu và cốc cuối khác hẳn nhau.
"Trông như nhau" có tính phản xạ và đối xứng, nhưng không bắc cầu. Vì thế không thể dùng nó để chia các cốc thành những nhóm "có cùng lượng nước". Các nhà triết học biết hiện tượng này từ lâu dưới tên nghịch lý đống cát (sorites paradox): bớt một hạt khỏi một đống cát thì vẫn còn một đống cát; lặp lại đủ lâu, "đống cát" chỉ còn một hạt. Chỗ hỏng nằm ở chỗ "gần như nhau" không bắc cầu. Toán học tránh cái bẫy này bằng cách đòi mọi cách đồng nhất phải có đủ ba tính chất, và khi cần nói về "gần", nó nói rõ gần đến mức nào; Phần IV sẽ làm đúng việc đó.
Những quan hệ khác. "Là bạn của" thường đối xứng nhưng không bắc cầu: bạn của bạn bạn chưa chắc là bạn của bạn. "Nhỏ hơn" thì bắc cầu nhưng không đối xứng, cũng không phản xạ: nó không gom mà xếp hàng các đối tượng. Đó là một cấu trúc khác, cấu trúc thứ tự, sẽ xuất hiện ngay ở chương sau khi ta đếm.
Đồng nhất theo khía cạnh nào là lựa chọn của ta. Hình gom lớp ở đầu chương cho thấy hai cách chia khác nhau của cùng một nhóm đồ vật, và không cách nào đúng hơn cách nào. Đây lại là bài học của Chương 1: ta chọn quy ước (đồng nhất theo màu hay theo hình), nhưng một khi đã chọn, cấu trúc của các lớp (rời nhau, phủ kín mọi thứ) là bắt buộc, như phần sau sẽ chứng minh.
Phát biểu chặt chẽ¶
Cho một nhóm đối tượng \(X\).
Định nghĩa 1 (quan hệ tương đương). Một quan hệ \(\sim\) giữa các đối tượng của \(X\) là một quan hệ tương đương (equivalence relation) nếu nó có ba tính chất: phản xạ (\(a \sim a\) với mọi \(a\)), đối xứng (nếu \(a \sim b\) thì \(b \sim a\)) và bắc cầu (nếu \(a \sim b\) và \(b \sim c\) thì \(a \sim c\)).
Định nghĩa 2 (lớp tương đương). Với mỗi \(a\) thuộc \(X\), lớp tương đương (equivalence class) của \(a\), ký hiệu \([a]\), là nhóm gồm mọi \(x\) thuộc \(X\) mà \(x \sim a\).
Định nghĩa 3 (phân hoạch). Một phân hoạch (partition) của \(X\) là một cách chia \(X\) thành các nhóm con, mỗi nhóm có ít nhất một đối tượng, sao cho mỗi đối tượng của \(X\) nằm trong đúng một nhóm.
Mệnh đề 1. Cho \(\sim\) là một quan hệ tương đương trên \(X\). Khi đó, với mọi \(a\), \(b\) thuộc \(X\):
(a) \(a\) thuộc lớp \([a]\);
(b) nếu \(a \sim b\) thì \([a] = [b]\), tức hai lớp có đúng cùng những phần tử;
(c) nếu \(a \not\sim b\) thì \([a]\) và \([b]\) không có phần tử chung.
Do đó các lớp tương đương tạo thành một phân hoạch của \(X\).
Chứng minh. (a) Theo tính phản xạ, \(a \sim a\), nên \(a\) thuộc \([a]\).
(b) Giả sử \(a \sim b\). Lấy một \(x\) bất kỳ thuộc \([a]\), tức \(x \sim a\). Từ \(x \sim a\) và \(a \sim b\), tính bắc cầu cho \(x \sim b\), nên \(x\) thuộc \([b]\). Ngược lại, lấy \(x\) thuộc \([b]\), tức \(x \sim b\). Tính đối xứng cho \(b \sim a\) từ \(a \sim b\); rồi tính bắc cầu cho \(x \sim a\) từ \(x \sim b\) và \(b \sim a\), nên \(x\) thuộc \([a]\). Vậy hai lớp có đúng cùng những phần tử.
(c) Giả sử \([a]\) và \([b]\) có một phần tử chung \(x\), tức \(x \sim a\) và \(x \sim b\). Tính đối xứng cho \(a \sim x\); tính bắc cầu với \(a \sim x\) và \(x \sim b\) cho \(a \sim b\), trái với giả thiết \(a \not\sim b\). Vậy hai lớp không có phần tử chung.
Cuối cùng, theo (a), mỗi \(a\) nằm trong ít nhất một lớp, là \([a]\). Nếu \(a\) nằm trong hai lớp \([b]\) và \([c]\), thì \(a \sim b\) và \(a \sim c\); theo (b), \([a] = [b]\) và \([a] = [c]\), nên hai lớp ấy thật ra là một. Vậy mỗi đối tượng nằm trong đúng một lớp. \(\square\)
Để ý rằng chứng minh dùng cả ba tính chất, và mỗi tính chất được dùng ở một chỗ cụ thể. Bỏ tính bắc cầu, các bước (b) và (c) sụp đổ, đúng như dãy cốc nước cho thấy.
Mệnh đề 2. Ngược lại, cho một phân hoạch của \(X\). Quan hệ "\(a \sim b\) khi \(a\) và \(b\) nằm trong cùng một nhóm" là một quan hệ tương đương, và các lớp tương đương của nó chính là các nhóm của phân hoạch.
Chứng minh. Mỗi \(a\) nằm trong một nhóm, nên nằm cùng nhóm với chính nó: phản xạ. Nếu \(a\) cùng nhóm với \(b\) thì \(b\) cùng nhóm với \(a\): đối xứng. Nếu \(a\) cùng nhóm với \(b\) và \(b\) cùng nhóm với \(c\), thì vì \(b\) chỉ nằm trong đúng một nhóm, cả ba cùng một nhóm: bắc cầu. Lớp \([a]\) gồm mọi đối tượng cùng nhóm với \(a\), tức chính là nhóm chứa \(a\). \(\square\)
Hai mệnh đề cho thấy "quan hệ tương đương" và "phân hoạch" là hai cách nhìn cùng một cấu trúc: một bên nói về từng cặp đối tượng, một bên nói về toàn bộ các hộp. Chương 20 sẽ viết lại tất cả điều này trong ngôn ngữ tập hợp (set).
Sợi chỉ
- S1. Bất biến qua biến đổi. Đồng nhất nghĩa là giữ lại một điều bất biến (màu, hình dạng, số dư, vị trí kim giờ) và bỏ qua mọi thứ khác. Cách tô màu bàn cờ ở Chương 1 chính là một phân hoạch: đồng nhất hai ô khi tổng số hàng và số cột của chúng cùng chẵn hoặc cùng lẻ, được đúng hai lớp.
- S2. Thông tin và khả nghịch. Đi từ một số tới lớp của nó là cố ý làm mất thông tin: biết kim giờ chỉ số 3, ta không biết đó là 3 giờ hay 15 giờ. Từ lớp, không có đường quay về đúng đối tượng ban đầu.
- S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Một lớp có nhiều đại diện (\([2] = [5] = [17]\)), và quan hệ tương đương với phân hoạch là hai mặt của cùng một cấu trúc. Ở Chương 10, hai phân số \(\frac12\) và \(\frac24\) sẽ hiện ra đúng như hai đại diện của một lớp.
Tóm tắt¶
- Hai hành động nguyên thủy của tư duy là phân biệt (cái này không phải cái kia) và đồng nhất (hai cái khác nhau được coi là như nhau về một khía cạnh).
- Đồng nhất là cố ý quên chi tiết; "bằng nhau" luôn phải đi kèm câu hỏi "theo nghĩa nào".
- Ta tự do chọn đồng nhất theo khía cạnh nào, nhưng muốn chia được thành các lớp thì cách đồng nhất buộc phải phản xạ, đối xứng và bắc cầu: đó là một quan hệ tương đương.
- Một quan hệ tương đương chia các đối tượng thành các lớp rời nhau, mỗi đối tượng nằm trong đúng một lớp; ngược lại, mỗi phân hoạch cho một quan hệ tương đương.
- Mỗi lớp có nhiều đại diện; các lớp theo số dư, như trên mặt đồng hồ, còn cộng được với nhau mà kết quả không phụ thuộc vào đại diện.
- "Gần bằng" và "là bạn của" không bắc cầu nên không dùng để phân loại được; "nhỏ hơn" không đối xứng, nó xếp thứ tự chứ không gom lớp.
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. Hai tờ tiền 100.000 đồng khác số sê-ri có "bằng nhau" không? Hai bản in của cùng một cuốn sách thì sao? Với mỗi trường hợp, nêu một khía cạnh theo đó chúng bằng nhau và một khía cạnh theo đó chúng khác nhau.
Lời giải
Hai tờ tiền bằng nhau về giá trị: đổi tờ này lấy tờ kia, không ai được hay mất gì. Chúng khác nhau như hai vật thể: số sê-ri khác, độ cũ mới có thể khác. Hai bản in của một cuốn sách bằng nhau về nội dung: đọc bản nào cũng được cùng một văn bản. Chúng khác nhau như hai vật thể: một bản có thể bị gạch chân, một bản còn mới.
Bài học: câu hỏi "có bằng nhau không?" chỉ có câu trả lời khi đã nói rõ quan hệ đồng nhất nào đang được dùng.
A2. Ở trường, "hai tam giác bằng nhau" (congruent) nghĩa là có thể đặt chồng khít lên nhau, còn "hai tam giác đồng dạng" (similar) nghĩa là có cùng hình dạng nhưng có thể khác kích thước. Mỗi cách đồng nhất bỏ qua những chi tiết nào? Cách nào gom nhiều hơn?
Lời giải
Đồng nhất theo "bằng nhau" bỏ qua vị trí và hướng của tam giác: nó nằm ở đâu trên trang giấy, bị xoay hay lật thế nào. Đồng nhất theo "đồng dạng" bỏ qua thêm cả kích thước.
Cách "đồng dạng" gom nhiều hơn: hai tam giác bằng nhau thì chắc chắn đồng dạng, nhưng hai tam giác đồng dạng thì chưa chắc bằng nhau (một cái có thể to gấp đôi cái kia). Mỗi lớp của quan hệ đồng dạng chứa nhiều lớp của quan hệ bằng nhau. Quên nhiều chi tiết hơn thì lớp to hơn.
A3. Vì sao không thể dùng quan hệ "hai điểm cách nhau dưới 1 cm" để chia các điểm trên một đoạn thẳng dài 10 cm thành những nhóm "các điểm gần nhau"?
Lời giải
Quan hệ này phản xạ và đối xứng nhưng không bắc cầu. Chẳng hạn, các điểm ở vị trí 0 cm, 0,9 cm và 1,8 cm: điểm thứ nhất gần điểm thứ hai, điểm thứ hai gần điểm thứ ba, nhưng điểm thứ nhất và điểm thứ ba cách nhau 1,8 cm.
Tệ hơn nữa, nếu cứ ép "gần nhau thì cùng nhóm", thì vì hai đầu đoạn thẳng nối được với nhau bằng một chuỗi điểm liên tiếp gần nhau, mọi điểm sẽ phải nằm chung một nhóm, trái với ý định chia nhỏ. Muốn chia nhóm, ta phải chọn ranh giới, chẳng hạn các đoạn từ 0 đến 1 cm, từ 1 đến 2 cm, và cứ thế. Đó là một quy ước; nó cho một phân hoạch hợp lệ, nhưng hai điểm rất gần nhau ở hai bên một ranh giới sẽ nằm ở hai nhóm khác nhau.
B. Tính toán¶
B1. Chia các số từ 1 đến 30 thành các lớp theo số dư khi chia cho 4. Mỗi lớp có bao nhiêu số? Số 27 thuộc lớp nào?
Lời giải
Có bốn lớp, ứng với số dư 0, 1, 2, 3:
- số dư 0: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (7 số);
- số dư 1: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 (8 số);
- số dư 2: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 (8 số);
- số dư 3: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 (7 số).
Kiểm tra: \(7 + 8 + 8 + 7 = 30\). Vì \(27 = 4 \cdot 6 + 3\), số 27 thuộc lớp số dư 3.
B2. Bây giờ là 10 giờ. Sau 50 tiếng nữa, kim giờ chỉ số mấy? Sau 1000 tiếng nữa thì sao?
Lời giải
Sau 50 tiếng: \(10 + 50 = 60 = 12 \cdot 5\), số dư 0. Trên mặt đồng hồ, lớp số dư 0 được ghi bằng số 12 (một quy ước nữa!), nên kim giờ chỉ số 12.
Sau 1000 tiếng: \(10 + 1000 = 1010 = 12 \cdot 84 + 2\), nên kim giờ chỉ số 2.
B3. Hôm nay là thứ Tư. 100 ngày nữa là thứ mấy? 365 ngày nữa là thứ mấy?
Lời giải
Các ngày trong tuần lặp lại sau mỗi 7 ngày, nên ta đồng nhất hai ngày khi chúng cách nhau một bội của 7. Có \(100 = 7 \cdot 14 + 2\): sau 100 ngày, thứ trong tuần giống như sau 2 ngày, tức thứ Sáu.
Có \(365 = 7 \cdot 52 + 1\): sau 365 ngày, thứ trong tuần giống như sau 1 ngày, tức thứ Năm. (Đó là lý do một ngày kỷ niệm thường lùi sang thứ kế tiếp sau mỗi năm không nhuận.)
B4. Với mỗi quan hệ sau trên các số tự nhiên, kiểm tra ba tính chất và cho biết nó có phải quan hệ tương đương không:
(a) "\(a + b\) là số chẵn"; (b) "\(a\) là ước của \(b\)", tức \(b\) chia hết cho \(a\); (c) "\(a\) và \(b\) có cùng số chữ số"; (d) "\(a \leq b\)".
Lời giải
(a) Phản xạ: \(a + a = 2a\) chẵn. Đối xứng: \(a + b = b + a\). Bắc cầu: nếu \(a + b\) và \(b + c\) chẵn thì \(a + c = (a + b) + (b + c) - 2b\) là tổng và hiệu của các số chẵn, nên chẵn. Đây là quan hệ tương đương, với hai lớp: các số chẵn và các số lẻ.
(b) Phản xạ: \(a\) là ước của chính nó. Không đối xứng: 2 là ước của 4, nhưng 4 không là ước của 2. Bắc cầu: nếu \(b\) chia hết cho \(a\) và \(c\) chia hết cho \(b\) thì \(c\) chia hết cho \(a\). Không phải quan hệ tương đương.
(c) Cả ba tính chất đều có, vì "số chữ số" là một đặc điểm của từng số và ta đồng nhất theo đặc điểm ấy. Đây là quan hệ tương đương với vô số lớp: các số có 1 chữ số, các số có 2 chữ số, và cứ thế.
(d) Phản xạ: \(a \leq a\). Không đối xứng: \(2 \leq 5\) nhưng không có \(5 \leq 2\). Bắc cầu: nếu \(a \leq b\) và \(b \leq c\) thì \(a \leq c\). Không phải quan hệ tương đương; đây là một quan hệ thứ tự (order relation).
B5. Đồng nhất các số tự nhiên theo "có cùng chữ số tận cùng" thì có bao nhiêu lớp? Theo "có cùng hai chữ số tận cùng" thì sao (coi các số nhỏ hơn 10 như có chữ số hàng chục là 0)?
Lời giải
Chữ số tận cùng có thể là 0, 1, ..., 9, và chữ số nào cũng xuất hiện, nên có 10 lớp.
Hai chữ số tận cùng tạo thành một cặp từ \(00\) đến \(99\), và cặp nào cũng xuất hiện (chẳng hạn ở chính các số từ 0 đến 99), nên có \(10 \cdot 10 = 100\) lớp. Đó cũng là số lớp theo số dư khi chia cho 100.
B6. Liệt kê mọi phân hoạch của nhóm ba đối tượng \(\{a; b; c\}\). Có bao nhiêu phân hoạch?
Lời giải
Có 5 phân hoạch:
- một nhóm gồm cả ba: \(\{a; b; c\}\);
- một nhóm hai và một nhóm một: \(\{a; b\}\) và \(\{c\}\); \(\{a; c\}\) và \(\{b\}\); \(\{b; c\}\) và \(\{a\}\);
- ba nhóm một: \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\).
Theo Mệnh đề 2, mỗi phân hoạch ứng với đúng một quan hệ tương đương. Phân hoạch đầu tiên ứng với quan hệ "mọi thứ đều như nhau"; phân hoạch cuối ứng với dấu bằng.
B7. Có bao nhiêu phân hoạch của nhóm bốn đối tượng \(\{a; b; c; d\}\)? (Gợi ý: phân loại theo cỡ các nhóm: 4; \(3 + 1\); \(2 + 2\); \(2 + 1 + 1\); \(1 + 1 + 1 + 1\).)
Lời giải
Đếm theo từng kiểu:
- một nhóm 4: 1 cách;
- một nhóm 3 và một nhóm 1: chọn đối tượng đứng riêng, 4 cách;
- hai nhóm 2: đối tượng \(a\) đi cùng \(b\), \(c\) hoặc \(d\), hai đối tượng còn lại thành nhóm kia, 3 cách;
- một nhóm 2 và hai nhóm 1: chọn cặp đi chung trong 4 đối tượng, 6 cách (\(ab\), \(ac\), \(ad\), \(bc\), \(bd\), \(cd\));
- bốn nhóm 1: 1 cách.
Tổng cộng \(1 + 4 + 3 + 6 + 1 = 15\) phân hoạch.
B8. Đồng nhất hai cặp số \((a; b)\) và \((c; d)\), với \(b\) và \(d\) khác 0, khi \(a \cdot d = b \cdot c\). Trong các cặp \((2; 4)\), \((3; 5)\), \((5; 10)\), \((7; 14)\), \((6; 13)\), \((50; 100)\), cặp nào tương đương với \((1; 2)\)?
Lời giải
Với cặp \((c; d)\), cần kiểm tra \(1 \cdot d = 2 \cdot c\), tức \(d = 2c\):
- \((2; 4)\): \(4 = 2 \cdot 2\), có;
- \((3; 5)\): \(5 \neq 6\), không;
- \((5; 10)\): \(10 = 2 \cdot 5\), có;
- \((7; 14)\): \(14 = 2 \cdot 7\), có;
- \((6; 13)\): \(13 \neq 12\), không;
- \((50; 100)\): \(100 = 2 \cdot 50\), có.
Lớp của \((1; 2)\) chứa \((2; 4)\), \((5; 10)\), \((7; 14)\), \((50; 100)\). Nếu viết \((a; b)\) thành \(\frac ab\), đây chính là các cách viết khác nhau của phân số \(\frac12\). Chương 10 sẽ đi tiếp từ đúng chỗ này.
B9. Đồng nhất các học sinh trong một lớp theo tháng sinh. Có tối đa bao nhiêu lớp tương đương? Nếu lớp học có 30 học sinh, vì sao chắc chắn có một tháng mà ít nhất 3 bạn sinh vào tháng đó?
Lời giải
Có 12 tháng, nên có tối đa 12 lớp (có thể ít hơn nếu có tháng không ai sinh).
Nếu mỗi tháng có nhiều nhất 2 bạn thì lớp học có nhiều nhất \(12 \cdot 2 = 24\) học sinh. Lớp có 30 học sinh, nhiều hơn 24, nên phải có một tháng có ít nhất 3 bạn. Lối lập luận "nhiều vật hơn chỗ chứa" này sẽ có tên riêng ở Chương 17: nguyên lý chuồng bồ câu (pigeonhole principle).
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Chứng minh rằng quan hệ "\(a\) và \(b\) có cùng số dư khi chia cho 3" trên các số tự nhiên là một quan hệ tương đương.
Lời giải
Với mỗi số tự nhiên \(a\), gọi \(r(a)\) là số dư của \(a\) khi chia cho 3. Quan hệ đang xét là: \(a \sim b\) khi \(r(a) = r(b)\).
Phản xạ: \(r(a) = r(a)\), nên \(a \sim a\). Đối xứng: nếu \(r(a) = r(b)\) thì \(r(b) = r(a)\). Bắc cầu: nếu \(r(a) = r(b)\) và \(r(b) = r(c)\) thì \(r(a) = r(c)\). \(\square\)
Lập luận này cho thấy một điều tổng quát hơn: mọi quan hệ dạng "có cùng giá trị của một đặc điểm nào đó" (cùng số dư, cùng màu, cùng số chữ số) đều là quan hệ tương đương, vì dấu bằng giữa các giá trị đã có sẵn ba tính chất.
C2. (a) Chứng minh: nếu một quan hệ \(\sim\) trên \(X\) có tính đối xứng và bắc cầu, và mỗi đối tượng \(a\) của \(X\) đều có liên hệ với ít nhất một đối tượng nào đó, thì quan hệ ấy có tính phản xạ. (b) Tìm một quan hệ đối xứng, bắc cầu nhưng không phản xạ, để thấy điều kiện "mỗi đối tượng có liên hệ với ít nhất một đối tượng" là cần thiết.
Lời giải
(a) Lấy \(a\) bất kỳ trong \(X\). Theo giả thiết, có một \(b\) với \(a \sim b\). Tính đối xứng cho \(b \sim a\). Từ \(a \sim b\) và \(b \sim a\), tính bắc cầu cho \(a \sim a\). Vậy quan hệ có tính phản xạ. \(\square\)
(b) Trên nhóm \(\{1; 2\}\), cho quan hệ chỉ gồm một liên hệ duy nhất: \(1 \sim 1\). Quan hệ này đối xứng (liên hệ duy nhất đọc xuôi hay ngược đều như nhau) và bắc cầu (chỉ có một chuỗi \(1 \sim 1\), \(1 \sim 1\), cho \(1 \sim 1\), đúng). Nhưng nó không phản xạ, vì không có \(2 \sim 2\). Chỗ hỏng chính là: 2 không có liên hệ với đối tượng nào, nên lập luận ở (a) không bắt đầu được.
C3. Chứng minh rằng ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu là độc lập với nhau: với mỗi tính chất, hãy tìm một quan hệ có hai tính chất kia nhưng không có tính chất ấy.
Lời giải
Thiếu bắc cầu: "hơn kém nhau không quá 1" trên các số tự nhiên, phản xạ và đối xứng, nhưng \(3 \sim 4\), \(4 \sim 5\) mà \(3 \not\sim 5\) (Ví dụ 3).
Thiếu đối xứng: "\(a \leq b\)", phản xạ và bắc cầu, nhưng \(2 \leq 5\) mà không có \(5 \leq 2\).
Thiếu phản xạ: trên các số tự nhiên, "\(a \sim b\) khi \(a = b\) và \(a\) khác 0". Quan hệ này đối xứng và bắc cầu (vì dấu bằng có hai tính chất ấy), nhưng \(0 \not\sim 0\).
Vậy không tính chất nào suy ra được từ hai tính chất kia, và định nghĩa quan hệ tương đương cần đủ cả ba. \(\square\)
Câu hỏi để ngỏ¶
Ta đã biết cách coi những vật khác nhau là "cùng loại", để mỗi con cừu chỉ tính là "một con cừu". Nhưng người chăn cừu chưa biết đếm vẫn chưa trả lời được câu hỏi của mình: đàn cừu tối nay có nhiều như đàn cừu sáng nay không? Làm sao biết hai nhóm có "nhiều như nhau" mà không cần biết đếm?