Chương 24: Hợp hàm

Câu hỏi mở đầu

Nếu một hàm là một cỗ máy, nối đầu ra của cỗ máy này vào đầu vào của cỗ máy kia thì được gì? Thứ tự nối có quan trọng không?

Dây chuyền

Một quầy đổi tiền (số liệu giả định) đổi mỗi đô la thành 25.000 đồng, rồi trừ một khoản phí cố định 30.000 đồng cho mỗi lần đổi. Có hai cỗ máy nối tiếp: cỗ máy đầu nhận \(x\) đô la và trả ra \(25.000x\) đồng; cỗ máy sau nhận một số tiền \(y\) đồng và trả ra \(y - 30.000\) đồng.

flowchart LR
  A["x đô la"] --> B["đổi tiền: nhân 25.000"]
  B --> C["trừ phí 30.000 đồng"]
  C --> D["số đồng nhận được"]

Nhìn từ ngoài, cả dây chuyền lại là một cỗ máy: bỏ vào \(x\) đô la, nhận ra \(25.000x - 30.000\) đồng. Với 100 đô la, đó là \(2.500.000 - 30.000 = 2.470.000\) đồng. Nối hai hàm theo cách này gọi là hợp hai hàm.

Một ví dụ khác cho thấy dây chuyền có thể gọn hơn các khâu của nó. Đổi nhiệt độ từ độ C sang độ F theo quy tắc \(F = 1{,}8\,C + 32\); rồi đổi từ độ F sang kelvin theo quy tắc \(K = \frac{F - 32}{1{,}8} + 273{,}15\). Nối hai khâu, số 32 bị trừ đi đúng phần vừa cộng vào, hệ số 1,8 bị chia đi đúng phần vừa nhân vào, và cả dây chuyền chỉ còn là \(K = C + 273{,}15\).

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì mọi quy trình nhiều bước đều là một dây chuyền: mỗi bước nhận kết quả của bước trước. Nếu mỗi bước là một hàm, tức kết quả của nó được xác định bởi đầu vào, thì kết quả cuối cũng được xác định bởi đầu vào đầu tiên: cả quy trình là một hàm. Nấu ăn theo công thức, tính thuế theo từng bậc, một chương trình máy tính chạy từng dòng, đều là hợp của những hàm nhỏ.

Thứ tự và cách nhóm

"Nhân 3 rồi cộng 5" và "cộng 5 rồi nhân 3" dùng cùng hai cỗ máy, chỉ khác thứ tự nối. Với đầu vào 1, dây chuyền thứ nhất cho 8, dây chuyền thứ hai cho 18. Tổng quát, cách thứ nhất cho \(3x + 5\), cách thứ hai cho \(3(x + 5) = 3x + 15\). Thứ tự nối nói chung có quan trọng, như chuyện mang tất và giày ở Chương 6.

Cùng hai cỗ máy "nhân 3" và "cộng 5", nối theo hai thứ tự, cho hai kết quả khác nhau: 8 và 18.

Còn cách nhóm thì không quan trọng. Với ba cỗ máy nối tiếp, ta có thể coi hai máy đầu là một khối rồi nối với máy thứ ba, hoặc coi hai máy sau là một khối; dây chuyền vẫn là một, vì một đầu vào vẫn đi qua ba máy theo cùng thứ tự. Thứ tự quan trọng mà cách nhóm thì không: đó là cấu trúc của mọi việc làm tuần tự.

Ký hiệu

Cho hai hàm \(f: A \to B\) và \(g: B \to C\). Hàm hợp (composition) của \(g\) và \(f\), viết \(g \circ f\) và đọc là "g hợp f", là hàm từ \(A\) tới \(C\) cho bởi

\[ (g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big). \]

Cần để ý thứ tự đọc: trong \(g \circ f\), hàm \(f\) đứng bên phải nhưng làm trước. Đó là hệ quả của thói quen viết tên hàm bên trái đầu vào: trong \(g(f(x))\), hàm nằm gần \(x\) nhất tác động đầu tiên. Đây chỉ là một quy ước ký hiệu, nhưng là quy ước của sách giáo khoa và của phần lớn sách toán; đọc sai chiều là lỗi phổ biến nhất với ký hiệu này. Với các hàm số, \(g \circ f\) xác định tại những \(x\) thuộc miền xác định của \(f\) mà \(f(x)\) thuộc miền xác định của \(g\).

Hàm đồng nhất (identity function) trên tập \(A\), viết \(\mathrm{id}_A\), là hàm \(x \mapsto x\): cỗ máy không làm gì. Nối nó vào trước hay sau một hàm \(f: A \to B\) đều không thay đổi gì: \(f \circ \mathrm{id}_A = f\) và \(\mathrm{id}_B \circ f = f\).

Nối một cỗ máy với chính nó nhiều lần là phép lặp (iteration): từ \(x_0\), tính \(x_1 = f(x_0)\), \(x_2 = f(x_1)\), và cứ thế, \(x_{n+1} = f(x_n)\), như một định nghĩa đệ quy của Chương 18. Một số \(p\) với \(f(p) = p\) gọi là điểm bất động (fixed point) của \(f\): cỗ máy trả nó về nguyên vẹn. Sách không viết \(f^2\) cho \(f \circ f\), vì \(f^2(x)\) cũng hay được dùng với nghĩa \(\big(f(x)\big)^2\).

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (hai thứ tự). Với \(f(x) = 2x + 3\) và \(g(x) = x^2\):

\[ (g \circ f)(x) = (2x + 3)^2, \qquad (f \circ g)(x) = 2x^2 + 3. \]

Tại \(x = 1\): \((g \circ f)(1) = 5^2 = 25\), còn \((f \circ g)(1) = 2 + 3 = 5\). Hai hàm hợp khác nhau ngay cả về hình dạng: \(g \circ f\) không bao giờ âm và bằng 0 tại \(x = -\frac32\), còn \(f \circ g\) không bao giờ nhỏ hơn 3.

Ví dụ 2 (tách một hàm phức tạp). Hàm \(h(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) là một dây chuyền ba khâu: bình phương, cộng 1, lấy căn. Viết bằng ký hiệu, \(h = r \circ c \circ b\) với \(b(x) = x^2\), \(c(u) = u + 1\), \(r(v) = \sqrt{v}\). Tách như thế có ích: mỗi khâu dễ hiểu, và tính chất của cả dây chuyền suy ra từ tính chất của từng khâu. Chẳng hạn, trên \([0; +\infty)\) cả ba khâu đều tăng, nên \(h\) tăng (Định lý 5). Tương tự, \((3x - 1)^5\) là "nhân 3, trừ 1, rồi lũy thừa 5", và \(\frac{1}{x^2 + 1}\) là "bình phương, cộng 1, rồi lấy nghịch đảo".

Những hệ thống trí tuệ nhân tạo hiện nay được xây theo đúng lối này. Một mạng nơ-ron (neural network), về mặt toán học, là hợp của nhiều tầng, mỗi tầng là một hàm khá đơn giản; sức mạnh đến từ việc nối rất nhiều tầng. Chương 59 sẽ trở lại chuyện này.

Ví dụ 3 (miền xác định của hàm hợp). Với \(f(x) = 1 - x^2\) và \(g(u) = \sqrt{u}\), hàm \(g \circ f\) là \(\sqrt{1 - x^2}\), xác định khi \(1 - x^2 \geq 0\), tức \(x \in [-1; 1]\). Còn \(f \circ g\) là \(1 - (\sqrt{x})^2\). Công thức này rút gọn được thành \(1 - x\), một biểu thức có nghĩa với mọi \(x\); nhưng hàm hợp chỉ xác định khi \(\sqrt{x}\) có nghĩa, tức \(x \geq 0\). Rút gọn công thức có thể xóa mất dấu vết của miền xác định; hàm \(f \circ g\) là \(x \mapsto 1 - x\) trên \([0; +\infty)\), không phải trên cả \(\mathbb{R}\).

Ví dụ 4 (nhiệt độ). Gọi \(F(C) = 1{,}8\,C + 32\) và \(K(F) = \frac{F - 32}{1{,}8} + 273{,}15\). Với \(C = 25\): \(F = 77\) và \(K = \frac{45}{1{,}8} + 273{,}15 = 298{,}15\). Tổng quát,

\[ (K \circ F)(C) = \frac{(1{,}8\,C + 32) - 32}{1{,}8} + 273{,}15 = C + 273{,}15. \]

Ví dụ 5 (biến đổi đồ thị là hợp hàm). Với \(f(x) = x^2 - 2x\), các biến đổi đồ thị của Chương 23 đều là hợp hàm:

• \(f(x - 1) = (f \circ t)(x)\) với \(t(x) = x - 1\): nối một máy vào trước \(f\), tác động lên đầu vào, nên đồ thị dời theo chiều ngang, ngược dấu: sang phải 1;
• \(f(2x) = (f \circ n)(x)\) với \(n(x) = 2x\): cũng tác động lên đầu vào, nên đồ thị co theo chiều ngang: mọi hoành độ chia đôi;
• \(f(x) + 3 = (s \circ f)(x)\) với \(s(y) = y + 3\): nối một máy vào sau \(f\), tác động lên đầu ra, nên đồ thị dời theo chiều đứng, cùng dấu: lên 3.

Với \(f(x) = x^2 - 2x\): đồ thị của \(f(x - 1)\) dời sang phải 1, đồ thị của \(f(2x)\) co theo chiều ngang một nửa. Điểm thấp nhất đi từ \((1; -1)\) tới \((2; -1)\) và \((0{,}5; -1)\); tung độ không đổi, vì hai biến đổi chỉ chạm vào đầu vào.

Cách nhìn này giải thích bài B7 của Chương 23: dời ngang (máy nối trước) và kéo giãn theo chiều đứng (máy nối sau) đổi chỗ được cho nhau, vì \((s \circ f) \circ t = s \circ (f \circ t)\), đúng tính kết hợp. Hai biến đổi cùng tác động lên đầu ra, như dời lên và kéo giãn theo chiều đứng, thì là hai máy nối tiếp ở cùng một phía, và thứ tự của chúng có quan trọng.

Ví dụ 6 (lặp một hàm). Lặp \(f(x) = \frac{x}{2} + 1\) từ \(x_0 = 0\):

\[ 0, \quad 1, \quad 1{,}5, \quad 1{,}75, \quad 1{,}875, \quad 1{,}9375, \quad \dots \]

Các số dồn về 2, và 2 là điểm bất động: \(\frac22 + 1 = 2\). Khoảng cách tới 2 giảm một nửa sau mỗi bước: \(2, 1, 0{,}5, 0{,}25, \dots\) (Mệnh đề 6). Trên hình, phép lặp là một đường gấp khúc giữa đồ thị của \(f\) và đường \(y = x\): đi thẳng đứng tới đồ thị để tính \(f\), rồi đi ngang tới đường \(y = x\) để biến đầu ra thành đầu vào mới. Hình như thế gọi là sơ đồ mạng nhện (cobweb diagram).

Ví dụ 7 (lặp và dãy Fibonacci). Lặp \(f(x) = 1 + \frac{1}{x}\) từ \(x_0 = 1\):

\[ 1, \quad 2, \quad \frac32, \quad \frac53, \quad \frac85, \quad \frac{13}{8}, \quad \frac{21}{13}, \quad \dots \]

Đó là tỉ số của hai số Fibonacci liên tiếp (Chương 18): nếu \(x_n = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\) thì \(x_{n+1} = 1 + \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}} = \frac{F_{n+2} + F_{n+1}}{F_{n+2}} = \frac{F_{n+3}}{F_{n+2}}\), và quy nạp làm nốt phần còn lại. Các số lần lượt nhảy qua lại quanh một điểm bất động \(p\) với \(p = 1 + \frac1p\), tức \(p^2 = p + 1\); nghiệm dương của nó là \(p = \frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618\), gọi là tỉ số vàng (golden ratio). Phần IV sẽ nói chính xác vì sao và theo nghĩa nào dãy này "dồn về" \(p\).

Sơ đồ mạng nhện. Bên trái, phép lặp \(x \mapsto \frac{x}{2} + 1\) leo thang tới điểm bất động 2. Bên phải, phép lặp \(x \mapsto 1 + \frac1x\) xoáy dần vào tỉ số vàng.

Ranh giới

Hàm hợp không xác định khi hai khâu không khớp. Với \(f(x) = x - 5\) và \(g(u) = \sqrt{u}\), \((g \circ f)(3) = \sqrt{-2}\) không có nghĩa: đầu ra của \(f\) rơi ra ngoài miền xác định của \(g\). Ở quầy đổi tiền, không thể trừ phí 30.000 đồng trước khi đổi, vì cỗ máy trừ phí chỉ nhận tiền đồng, còn đầu vào lúc ấy là đô la. Nối hai cỗ máy đòi đầu ra của máy trước phải là thứ máy sau nhận được.

Đôi khi thứ tự không quan trọng. Hai phép cộng hằng số đổi chỗ được: cộng 2 rồi cộng 5 hay cộng 5 rồi cộng 2 đều là cộng 7. \(x^2\) và \(x^3\) cũng vậy: \((x^2)^3 = (x^3)^2 = x^6\). Mọi hàm đổi chỗ được với chính nó và với hàm đồng nhất. Nhưng đó là những trường hợp đặc biệt; "hợp hàm giao hoán" nói chung sai, như Ví dụ 1 cho thấy.

Phép lặp không phải lúc nào cũng hội tụ (converge). Lặp \(x \mapsto 2x - 2\), cũng có điểm bất động 2, từ \(x_0 = 2{,}1\): được \(2{,}2\), \(2{,}4\), \(2{,}8\), \(3{,}6\), .... Khoảng cách tới 2 nhân đôi sau mỗi bước, và dãy chạy xa mãi. Lặp \(x \mapsto -x\) từ 1 thì nhảy qua lại \(1, -1, 1, -1, \dots\) quanh điểm bất động 0 mà không bao giờ tới gần. Một điểm bất động có thể hút, có thể đẩy, có thể chẳng làm gì cả; Mệnh đề 6 phân biệt các trường hợp với những hàm dạng \(ax + b\).

Phép lặp \(x \mapsto 2x - 2\) bắt đầu gần điểm bất động 2 nhưng bị đẩy ra xa: khoảng cách tới 2 nhân đôi sau mỗi bước.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (hàm hợp). Cho \(f: A \to B\) và \(g: B \to C\). Hàm hợp \(g \circ f: A \to C\) là hàm \(a \mapsto g(f(a))\). Với hai hàm số \(f\), \(g\) bất kỳ, \(g \circ f\) có miền xác định là \(\{x \in D_f \mid f(x) \in D_g\}\), trong đó \(D_f\), \(D_g\) là miền xác định của \(f\) và \(g\).

Định nghĩa 2 (hàm đồng nhất, điểm bất động). Hàm đồng nhất trên \(A\) là \(\mathrm{id}_A: A \to A\), \(\mathrm{id}_A(a) = a\). Điểm bất động của \(f: A \to A\) là một \(p \in A\) với \(f(p) = p\).

Định lý 3 (tính kết hợp). Cho \(f: A \to B\), \(g: B \to C\), \(h: C \to D\). Khi đó \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\). Ngoài ra \(f \circ \mathrm{id}_A = f = \mathrm{id}_B \circ f\).

Chứng minh. Hai vế cùng là hàm từ \(A\) tới \(D\). Với mọi \(a \in A\):

\[ \big(h \circ (g \circ f)\big)(a) = h\big((g \circ f)(a)\big) = h\big(g(f(a))\big), \qquad \big((h \circ g) \circ f\big)(a) = (h \circ g)\big(f(a)\big) = h\big(g(f(a))\big). \]

Hai hàm cùng miền xác định, cùng đối miền và cùng giá trị tại mọi điểm, nên bằng nhau (Chương 20, Định nghĩa 3). Hai đẳng thức với hàm đồng nhất kiểm tương tự: cả ba hàm đều gửi \(a\) tới \(f(a)\). \(\square\)

Nhờ tính kết hợp, ta viết \(h \circ g \circ f\) không cần dấu ngoặc, như đã làm ở Ví dụ 2.

Định lý 4 (hợp của hai song ánh). Nếu \(f: A \to B\) và \(g: B \to C\) là song ánh thì \(g \circ f\) là song ánh.

Chứng minh. Đơn ánh: nếu \(g(f(a)) = g(f(a'))\) thì \(f(a) = f(a')\) vì \(g\) đơn ánh, rồi \(a = a'\) vì \(f\) đơn ánh. Toàn ánh: cho \(c \in C\), có \(b \in B\) với \(g(b) = c\) vì \(g\) toàn ánh, rồi có \(a \in A\) với \(f(a) = b\) vì \(f\) toàn ánh; khi đó \((g \circ f)(a) = c\). \(\square\)

Định lý 5 (hợp của hai hàm tăng). Cho \(f\) tăng trên \(D\) và \(g\) tăng trên một tập chứa mọi giá trị \(f(x)\) với \(x \in D\). Khi đó \(g \circ f\) tăng trên \(D\).

Chứng minh. Cho \(x_1 < x_2\) trong \(D\). Vì \(f\) tăng, \(f(x_1) < f(x_2)\). Vì \(g\) tăng, \(g(f(x_1)) < g(f(x_2))\). \(\square\)

Mệnh đề 6 (lặp một hàm dạng \(ax + b\)). Cho \(f(x) = ax + b\) với \(a \neq 1\), và dãy \(x_{n+1} = f(x_n)\). Khi đó \(f\) có đúng một điểm bất động \(p = \frac{b}{1 - a}\), và

\[ x_n - p = a^n (x_0 - p) \quad \text{với mọi } n \in \mathbb{N}. \]

Chứng minh. \(f(p) = p\) khi và chỉ khi \(ap + b = p\), tức \(p(1 - a) = b\); vì \(a \neq 1\), nghiệm duy nhất là \(p = \frac{b}{1 - a}\). Với mọi \(n\), \(x_{n+1} - p = (a x_n + b) - (ap + b) = a(x_n - p)\). Quy nạp theo \(n\): với \(n = 0\), \(x_0 - p = a^0 (x_0 - p)\); nếu \(x_n - p = a^n(x_0 - p)\) thì \(x_{n+1} - p = a \cdot a^n (x_0 - p) = a^{n+1}(x_0 - p)\). \(\square\)

Vậy với \(|a| < 1\), khoảng cách tới \(p\) nhân với \(|a|\) sau mỗi bước và thu dần về 0 (Ví dụ 6, \(a = \frac12\)); với \(|a| > 1\), nó bị nhân lên và dãy chạy xa, trừ khi bắt đầu đúng tại \(p\) (mục Ranh giới, \(a = 2\)); với \(a = -1\), dãy nhảy qua lại giữa hai giá trị.

Sợi chỉ

• S3. Thứ tự của biến đổi. Đây là chương gốc của sợi chỉ: \(g \circ f\) nói chung khác \(f \circ g\), nhưng \(h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\). Thứ tự quan trọng, cách nhóm thì không; mang tất rồi đi giày ở Chương 6 và các biến đổi đồ thị ở Chương 23 đều là trường hợp riêng.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Một công thức phức tạp là một dây chuyền những cỗ máy đơn giản. Biến đổi đồ thị là hợp hàm: máy nối trước tác động lên đầu vào (chiều ngang, ngược dấu), máy nối sau tác động lên đầu ra (chiều đứng, cùng dấu). Phép lặp là một đường gấp khúc trên sơ đồ mạng nhện.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Điểm bất động là một giá trị không đổi qua biến đổi; với \(x \mapsto ax + b\) và \(|a| < 1\), mọi điểm xuất phát bị kéo về nó. Nhiệt độ 25 độ C, đi qua độ F rồi về kelvin, vẫn là cùng một mức nóng.

Tóm tắt

• Hàm hợp \(g \circ f\) là dây chuyền "làm \(f\) rồi làm \(g\)": \((g \circ f)(x) = g(f(x))\); đọc từ phải sang trái, vì hàm gần \(x\) nhất làm trước.
• Hợp hàm nói chung không giao hoán ("nhân 3 rồi cộng 5" khác "cộng 5 rồi nhân 3"), nhưng luôn kết hợp; hàm đồng nhất là cỗ máy không làm gì.
• Hàm hợp chỉ xác định khi đầu ra của khâu trước nằm trong miền xác định của khâu sau; rút gọn công thức có thể xóa mất điều kiện này.
• Một hàm phức tạp tách được thành dây chuyền những hàm đơn giản; tính chất của từng khâu (như tăng) truyền qua dây chuyền.
• Biến đổi đồ thị là hợp hàm: nối trước là biến đổi ngang (ngược dấu), nối sau là biến đổi đứng (cùng dấu).
• Lặp một hàm cho một dãy \(x_{n+1} = f(x_n)\); điểm bất động \(f(p) = p\) có thể hút hay đẩy các điểm gần nó. Lặp \(1 + \frac1x\) cho tỉ số các số Fibonacci, dồn về tỉ số vàng.
• Hợp của hai song ánh là song ánh; hợp của hai hàm tăng là hàm tăng.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao trong ký hiệu \(g \circ f\), hàm \(f\) viết bên phải lại là hàm làm trước? Nếu ta quen viết đầu vào bên trái tên hàm, chẳng hạn \((x)f\), thì ký hiệu hợp hàm tự nhiên sẽ ra sao?

Lời giải

Vì ta viết tên hàm bên trái đầu vào: \(g(f(x))\) phải tính từ trong ra ngoài, và hàm đứng sát \(x\) tác động trước. Ký hiệu \(g \circ f\) chỉ giữ nguyên thứ tự chữ của \(g(f(x))\). Nếu viết đầu vào bên trái, "làm \(f\) rồi làm \(g\)" sẽ là \(((x)f)g\), và ký hiệu hợp tự nhiên sẽ đọc từ trái sang phải, trùng thứ tự thực hiện. Một số sách về đại số trừu tượng dùng đúng lối viết ấy; sự khác nhau chỉ là quy ước, như mọi ký hiệu.

A2. Ở quầy đổi tiền giả định, người ta có thể tính phí theo hai kiểu: trừ 30.000 đồng sau khi đổi, hoặc trừ 1% số tiền sau khi đổi. Với kiểu nào thì việc "trừ phí trước rồi mới đổi" (trừ tương ứng bằng đô la) cho cùng kết quả với "đổi rồi trừ phí"? Vì sao?

Lời giải

Với phí 1%: đổi rồi trừ phí được \(0{,}99 \cdot 25.000x\); trừ 1% số đô la rồi đổi được \(25.000 \cdot 0{,}99x\); hai số bằng nhau, vì hai phép nhân đổi chỗ được. Với phí cố định 30.000 đồng, muốn trừ trước thì phải trừ đúng \(30.000 : 25.000 = 1{,}2\) đô la; kết quả \(25.000(x - 1{,}2) = 25.000x - 30.000\) cũng bằng. Nhưng lúc ấy ta đã phải đổi khoản phí sang đô la, tức đã đổi cỗ máy trừ phí: máy trừ 30.000 đồng không nhận được đầu vào bằng đô la. Đổi chỗ hai khâu chỉ có nghĩa khi đầu ra và đầu vào khớp nhau.

A3. Một người nói: "Muốn hiểu một hàm phức tạp, hãy tìm xem nó là dây chuyền của những cỗ máy nào." Minh họa bằng hàm \(h(x) = \sqrt{x^2 + 1}\): từ các khâu, hãy suy ra rằng \(h(x) \geq 1\) với mọi \(x\), và rằng \(h\) là hàm chẵn.

Lời giải

\(h\) là "bình phương, cộng 1, lấy căn". Khâu bình phương cho một số không âm; cộng 1 được một số ít nhất bằng 1; căn bậc hai của một số ít nhất bằng 1 thì ít nhất bằng 1. Vậy \(h(x) \geq 1\). Khâu đầu tiên cho cùng đầu ra với \(x\) và \(-x\); các khâu sau chỉ nhận đầu ra ấy, nên \(h(-x) = h(x)\): \(h\) chẵn. Mỗi tính chất được đọc ra từ một khâu, không cần tính toán trên cả công thức.

B. Tính toán

B1. Cho \(f(x) = 2x + 3\) và \(g(x) = x^2\). Tìm công thức của \(g \circ f\), \(f \circ g\), \(f \circ f\), \(g \circ g\), và tính \((g \circ f)(-2)\), \((f \circ g)(-2)\).

Lời giải

\((g \circ f)(x) = (2x + 3)^2\), \((f \circ g)(x) = 2x^2 + 3\), \((f \circ f)(x) = 2(2x + 3) + 3 = 4x + 9\), \((g \circ g)(x) = (x^2)^2 = x^4\). Tại \(x = -2\): \((g \circ f)(-2) = (-1)^2 = 1\) và \((f \circ g)(-2) = 8 + 3 = 11\).

B2. Viết mỗi hàm sau thành hợp của những hàm đơn giản: (a) \((3x - 1)^5\); (b) \(\sqrt{4 - x^2}\); (c) \(\frac{1}{x^2 + 1}\); (d) \(|x - 3|\); (e) \(2^{x + 1}\).

Lời giải

(a) \(u \mapsto u^5\) sau \(x \mapsto 3x - 1\) (mà chính nó là "nhân 3" rồi "trừ 1"). (b) \(v \mapsto \sqrt{v}\) sau \(u \mapsto 4 - u\) sau \(x \mapsto x^2\). (c) \(v \mapsto \frac1v\) sau \(u \mapsto u + 1\) sau \(x \mapsto x^2\). (d) \(u \mapsto |u|\) sau \(x \mapsto x - 3\). (e) \(u \mapsto 2^u\) sau \(x \mapsto x + 1\). Cách tách không duy nhất: chẳng hạn (a) cũng là \(u \mapsto (u - 1)^5\) sau \(x \mapsto 3x\).

B3. Cho \(f(x) = x - 4\) và \(g(x) = \sqrt{x}\). Tìm công thức và miền xác định của \(g \circ f\) và \(f \circ g\).

Lời giải

\((g \circ f)(x) = \sqrt{x - 4}\), xác định khi \(x - 4 \geq 0\): miền là \([4; +\infty)\). \((f \circ g)(x) = \sqrt{x} - 4\), xác định khi \(x \geq 0\): miền là \([0; +\infty)\).

B4. Dùng Ví dụ 4, đổi \(100\) độ C sang độ F rồi sang kelvin, và kiểm tra kết quả bằng công thức gộp \(C + 273{,}15\).

Lời giải

\(F = 1{,}8 \cdot 100 + 32 = 212\); \(K = \frac{212 - 32}{1{,}8} + 273{,}15 = 100 + 273{,}15 = 373{,}15\). Công thức gộp cho ngay \(100 + 273{,}15 = 373{,}15\).

B5. Ở quầy đổi tiền giả định (25.000 đồng mỗi đô la, phí 30.000 đồng mỗi lần đổi): (a) đổi 100 đô la nhận được bao nhiêu đồng? (b) Muốn nhận đúng 1.000.000 đồng thì phải đổi bao nhiêu đô la?

Lời giải

(a) \(25.000 \cdot 100 - 30.000 = 2.470.000\) đồng. (b) Giải \(25.000x - 30.000 = 1.000.000\): \(x = \frac{1.030.000}{25.000} = 41{,}2\) đô la.

B6. (a) Lặp \(x \mapsto \frac{x}{2} + 1\) bắt đầu từ 10, viết năm số đầu. (b) Tìm điểm bất động của \(x \mapsto \frac{x}{3} + 4\), và lặp ba bước từ 0.

Lời giải

(a) \(10, 6, 4, 3, 2{,}5\): khoảng cách tới điểm bất động 2 là \(8, 4, 2, 1, 0{,}5\), giảm một nửa mỗi bước.

(b) \(p = \frac{p}{3} + 4\) cho \(p = 6\) (hay theo Mệnh đề 6, \(p = \frac{4}{1 - 1/3} = 6\)). Từ 0: \(4\), \(\frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\), \(\frac{16}{9} + 4 = \frac{52}{9} \approx 5{,}78\). Khoảng cách tới 6 là \(6, 2, \frac23, \frac29\): nhân \(\frac13\) mỗi bước.

B7. Lặp \(x \mapsto 1 + \frac1x\) từ \(x_0 = 1\): tính \(x_1\) đến \(x_7\) dưới dạng phân số, so với tỉ số \(\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\) của dãy Fibonacci, và kiểm tra rằng \(p = \frac{1 + \sqrt5}{2}\) thỏa \(p = 1 + \frac1p\).

Lời giải

\(x_1 = 2\), \(x_2 = \frac32\), \(x_3 = \frac53\), \(x_4 = \frac85\), \(x_5 = \frac{13}{8}\), \(x_6 = \frac{21}{13}\), \(x_7 = \frac{34}{21}\): đúng là \(\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}\) với \(F_1, F_2, \dots = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34\). Với \(p = \frac{1 + \sqrt5}{2}\): \(p^2 = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2} = p + 1\); chia hai vế cho \(p \neq 0\) được \(p = 1 + \frac1p\). Số thập phân: \(x_7 = \frac{34}{21} \approx 1{,}619\), còn \(p \approx 1{,}618\).

B8. Với \(f(x) = x^2 - 2x\), viết công thức của \(f(x - 1)\), \(f(2x)\), \(f(x) + 3\), và tìm điểm thấp nhất của mỗi đồ thị.

Lời giải

Viết \(f(x) = (x - 1)^2 - 1\): điểm thấp nhất \((1; -1)\). Khi đó \(f(x - 1) = (x - 2)^2 - 1\), điểm thấp nhất \((2; -1)\); \(f(2x) = (2x - 1)^2 - 1 = 4x^2 - 4x\), điểm thấp nhất \((0{,}5; -1)\); \(f(x) + 3 = (x - 1)^2 + 2\), điểm thấp nhất \((1; 2)\).

B9. Tìm mọi hàm \(f(x) = ax + b\) sao cho \(f \circ f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\), tức làm hai lần thì trở về như cũ.

Lời giải

\((f \circ f)(x) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b\). Muốn bằng \(x\) với mọi \(x\), cần \(a^2 = 1\) và \(ab + b = 0\). Nếu \(a = 1\) thì \(2b = 0\), nên \(f(x) = x\), hàm đồng nhất. Nếu \(a = -1\) thì \(ab + b = 0\) với mọi \(b\), nên mọi hàm \(f(x) = b - x\) đều thỏa: chẳng hạn \(x \mapsto 10 - x\), làm hai lần thì \(10 - (10 - x) = x\).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh: nếu \(f\) giảm trên \(D\) và \(g\) giảm trên một tập chứa mọi giá trị của \(f\), thì \(g \circ f\) tăng; nếu \(f\) tăng và \(g\) giảm, thì \(g \circ f\) giảm. So sánh với quy tắc dấu của phép nhân.

Lời giải

Cho \(x_1 < x_2\) trong \(D\). Nếu \(f\) giảm thì \(f(x_1) > f(x_2)\); nếu thêm \(g\) giảm thì \(g(f(x_1)) < g(f(x_2))\): \(g \circ f\) tăng. Nếu \(f\) tăng thì \(f(x_1) < f(x_2)\); nếu \(g\) giảm thì \(g(f(x_1)) > g(f(x_2))\): \(g \circ f\) giảm. \(\square\) Coi "tăng" như dấu cộng và "giảm" như dấu trừ, thì tính tăng giảm của hàm hợp theo đúng quy tắc dấu của Chương 7: hai lần đảo chiều thì thành thuận chiều.

C2. Tìm mọi hàm \(f(x) = ax + b\) đổi chỗ được với \(n(x) = 2x\), tức \(f \circ n = n \circ f\).

Lời giải

\((f \circ n)(x) = 2ax + b\) và \((n \circ f)(x) = 2ax + 2b\). Hai hàm bằng nhau khi và chỉ khi \(b = 2b\), tức \(b = 0\). Vậy chỉ những hàm \(x \mapsto ax\) đổi chỗ được với phép nhân đôi; một độ lệch \(b \neq 0\) bị nhân đôi theo một thứ tự mà không bị nhân đôi theo thứ tự kia.

C3. Đúng hay sai? Chứng minh hoặc cho phản ví dụ. (a) Nếu \(g \circ f\) là đơn ánh thì \(f\) là đơn ánh. (b) Nếu \(g \circ f\) là đơn ánh thì \(g\) là đơn ánh.

Lời giải

(a) Đúng. Nếu \(f(a) = f(a')\) thì \(g(f(a)) = g(f(a'))\), và vì \(g \circ f\) đơn ánh, \(a = a'\). \(\square\)

(b) Sai. Lấy \(f: [0; +\infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x\), và \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(u) = u^2\). Khi đó \((g \circ f)(x) = x^2\) trên \([0; +\infty)\) là đơn ánh (Chương 22), nhưng \(g\) không đơn ánh trên \(\mathbb{R}\), vì \(g(-1) = g(1)\). Khâu sau có thể làm mất thông tin ở những chỗ mà khâu trước không bao giờ gửi tới.

Câu hỏi để ngỏ

Có cỗ máy nào "tháo ngược" được một cỗ máy khác, sao cho nối chúng lại thì không có gì thay đổi? Khi nào cỗ máy tháo ngược như vậy tồn tại?