Chương 28: Hàm bậc hai

Câu hỏi mở đầu

Khi tốc độ thay đổi không còn là hằng số mà chính nó thay đổi đều đặn, như một vật rơi càng lúc càng nhanh, thì hình dạng của quy luật là gì?

Khi tốc độ cũng thay đổi đều

Thả một hòn đá từ trên cao. Bỏ qua sức cản của không khí và lấy tròn gia tốc rơi gần mặt đất là \(10 \text{ m/s}^2\) (giá trị đo được khoảng \(9{,}8\)): mỗi giây, vận tốc của hòn đá tăng thêm 10 m/s. Vận tốc thay đổi đều, nên theo Chương 27 nó là một hàm tuyến tính của thời gian: \(v = 10t\). Còn quãng đường rơi thì sao?

Trong giây đầu, vận tốc tăng đều từ 0 lên 10 m/s. Tăng đều thì nửa đầu giây chậm hơn mức giữa bao nhiêu, nửa sau nhanh hơn mức giữa bấy nhiêu, nên hòn đá đi được đúng quãng đường của một vật đi đều với vận tốc ở giữa, 5 m/s: được 5 m. Phần IV sẽ chứng minh chặt chẽ lập luận "lấy vận tốc ở giữa" này; ở đây ta dùng nó như một điều hợp lý. Giây thứ hai, vận tốc đi từ 10 lên 20, ở giữa là 15: hòn đá rơi thêm 15 m. Giây thứ ba thêm 25 m, và cứ thế.

\(t\) (giây)	0	1	2	3	4	5
quãng đường đã rơi (m)	0	5	20	45	80	125
rơi thêm trong giây vừa qua (m)		5	15	25	35	45

Quãng đường không thay đổi đều: mỗi giây hòn đá đi thêm một lượng khác. Nhưng chính lượng đi thêm thì thay đổi đều: mỗi giây nhiều hơn giây trước đúng 10 m. Lấy hiệu một lần, ta được một dãy tăng đều; lấy hiệu lần nữa, cái không đổi hiện ra.

Bên trái: quãng đường rơi sau mỗi giây; các đoạn đứng là lượng rơi thêm trong từng giây. Bên phải: các lượng ấy xếp thành cột, và đỉnh các cột nằm trên một đường thẳng.

Hàng số 5, 20, 45, 80, 125 chính là 5 lần các số chính phương 1, 4, 9, 16, 25. Bạn đã gặp cấu trúc này ở Chương 1: muốn đi từ hình vuông sỏi này tới hình vuông kế tiếp, ta thêm một chữ L, và mỗi chữ L nhiều hơn chữ L trước đúng 2 viên. Sau \(t\) giây, hòn đá đã rơi \(5t^2\) mét.

Vì sao bình phương buộc phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Giả sử một đại lượng mỗi bước tăng thêm một lượng, và lượng ấy mỗi bước lại lớn hơn một chút cố định. Sau \(n\) bước, tổng các lượng đã thêm bằng \(n\) nhân với lượng trung bình, mà lượng trung bình cũng lớn dần đều theo \(n\). Nhân \(n\) với một thứ lớn dần đều theo \(n\), ta được một biểu thức chứa \(n^2\). Không ai chọn điều đó: hễ tốc độ thay đổi đều, bình phương có mặt.

Đó không phải con đường duy nhất dẫn tới bình phương. Lấy tích hai đại lượng cùng thay đổi tuyến tính theo một biến: dài nhân rộng khi chu vi cố định, giá nhân lượng bán khi giá càng cao thì bán càng ít. Hoặc đếm các cặp: \(n\) người bắt tay nhau từng đôi một thì mỗi người bắt tay \(n - 1\) người khác, mỗi cái bắt tay được đếm hai lần, nên có \(\frac{n(n - 1)}{2}\) cái bắt tay. Ba con đường ấy (thay đổi của thay đổi, tích của hai quy luật tuyến tính, đếm cặp) cùng dẫn tới một dạng: \(ax^2 + bx + c\).

Hình vuông thiếu một góc

Tìm số \(x\) mà bình phương của nó cộng sáu lần nó được 16, tức \(x^2 + 6x = 16\). Đoán mò thì lâu; hãy nhìn bằng hình. \(x^2\) là một hình vuông cạnh \(x\); \(6x\) là một hình chữ nhật cạnh \(6\) và \(x\). Cắt dải \(6x\) làm đôi, ghép hai nửa vào hai cạnh của hình vuông. Ta được một hình gần vuông, cạnh \(x + 3\), chỉ thiếu một góc \(3 \times 3\).

Bên trái: \(x^2 + 6x\) là một hình vuông cộng một dải. Bên phải: cắt dải làm đôi, ghép vào hai cạnh; thêm góc \(3 \times 3 = 9\) thì được hình vuông cạnh \(x + 3\).

Thêm 9 vào để lấp góc: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\). Vậy \(x^2 + 6x = 16\) nghĩa là \((x + 3)^2 = 25\): hình vuông lớn có diện tích 25, cạnh 5. Do đó \(x + 3 = 5\), tức \(x = 2\); kiểm: \(4 + 12 = 16\). Đại số còn thấy một nghiệm mà hình không vẽ được: \(x + 3 = -5\), tức \(x = -8\); kiểm: \(64 - 48 = 16\). Một cạnh hình vuông không thể âm, một số thì có thể.

Cách làm này gọi là hoàn thành bình phương (completing the square). Nó cũ hơn ký hiệu đại số: vào thế kỷ 9, al-Khwarizmi đã giải bài \(x^2 + 10x = 39\) bằng đúng cách ghép hình này, diễn đạt hoàn toàn bằng lời (bài B4). Cấu trúc có trước tên gọi và ký hiệu.

Hình vuông thiếu góc cho biết nhiều hơn một mẹo giải phương trình. Với mọi số \(b\),

\[ x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \frac{b^2}{4}, \]

tức \(x^2 + bx\) luôn là một hình vuông cạnh \(x + \frac{b}{2}\) bớt đi một góc. Vì thế mọi biểu thức \(ax^2 + bx + c\) với \(a \neq 0\) đều viết được thành \(a(x - p)^2 + q\): bình phương của một số, co giãn rồi dời chỗ. Mọi quy luật dạng ấy đều là quy luật \(x^2\) nhìn từ một chỗ khác.

Ký hiệu

Một hàm bậc hai (quadratic function) là hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dạng \(f(x) = ax^2 + bx + c\), trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực cho trước và \(a \neq 0\). Điều kiện \(a \neq 0\) là thiết yếu: không có nó, hàm chỉ còn là hàm tuyến tính \(bx + c\) của Chương 27. Đồ thị của hàm bậc hai là một parabol (Chương 23).

Viết \(f(x) = a(x - p)^2 + q\) là viết \(f\) ở dạng đỉnh (vertex form). Điểm \((p; q)\) là đỉnh của parabol (vertex): điểm thấp nhất khi \(a > 0\), cao nhất khi \(a < 0\). Đường thẳng đứng \(x = p\) là trục đối xứng (axis of symmetry) của parabol: lật parabol qua đường ấy, ta được lại chính nó. Dấu của \(a\) cho biết parabol mở lên hay úp xuống; \(|a|\) càng lớn, parabol càng hẹp.

Các parabol \(y = ax^2\). Với \(a > 0\) (xanh) parabol mở lên, với \(a < 0\) (cam) úp xuống; \(|a|\) càng lớn, parabol càng hẹp. Mọi parabol ở đây có chung đỉnh \((0; 0)\) và trục đối xứng là trục tung.

Phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a \neq 0\) là phương trình bậc hai (quadratic equation). Số

\[ D = b^2 - 4ac \]

là biệt thức (discriminant) của nó; "biệt" theo nghĩa phân biệt, vì dấu của \(D\) phân biệt ba trường hợp. Sách giáo khoa viết biệt thức là \(\Delta\). Sách này viết \(D\), vì \(\Delta\) đã được dùng cho độ thay đổi ở Chương 27. Hai chữ khác nhau chỉ cùng một số: ký hiệu là quy ước. Khi \(D > 0\), phương trình có hai nghiệm, cho bởi công thức nghiệm (quadratic formula)

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Dấu \(\pm\) nén hai công thức vào một dòng: \(x_1\) lấy dấu cộng, \(x_2\) lấy dấu trừ. Khi \(D = 0\), hai công thức cho cùng một số \(-\frac{b}{2a}\), gọi là nghiệm kép (double root). Tổng và tích hai nghiệm có công thức rất gọn, \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) và \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\), gọi là định lý Vi-ét (Vieta's formulas), theo tên nhà toán học Pháp François Viète.

Cho một dãy giá trị \(y_0, y_1, y_2, \dots\) đo tại những đầu vào cách đều nhau. Hiệu \(y_{n+1} - y_n\) của hai giá trị liên tiếp là một sai phân (finite difference). Sai phân của dãy các sai phân là sai phân bậc hai (second difference):

\[ (y_{n+2} - y_{n+1}) - (y_{n+1} - y_n) = y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n. \]

Xếp các giá trị, các sai phân, các sai phân bậc hai thành từng hàng, ta có một bảng sai phân. Với hòn đá rơi, hàng sai phân là 5, 15, 25, 35, 45 và hàng sai phân bậc hai là 10, 10, 10, 10.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (hoàn thành bình phương). Với \(f(x) = x^2 + 6x + 5\): nửa hệ số của \(x\) là 3, nên \(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\), và

\[ f(x) = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4. \]

Đỉnh là \((-3; -4)\), trục đối xứng là \(x = -3\). Vì \((x + 3)^2 \geq 0\), ta có \(f(x) \geq -4\) với mọi \(x\), và \(f(x) = -4\) chỉ khi \(x = -3\). Giải \(f(x) = 0\): \((x + 3)^2 = 4\), nên \(x + 3 = 2\) hoặc \(x + 3 = -2\), tức \(x = -1\) hoặc \(x = -5\). Kiểm: \(1 - 6 + 5 = 0\) và \(25 - 30 + 5 = 0\). Hai nghiệm nằm đối xứng qua trục: \(-3 + 2\) và \(-3 - 2\).

Parabol \(y = x^2 + 6x + 5\) là parabol \(y = x^2\) dời sang trái 3 và xuống dưới 4 (mũi tên). Hai giao điểm với trục hoành, \(-5\) và \(-1\), nằm đối xứng qua trục \(x = -3\).

Ví dụ 2 (công thức nghiệm). Giải \(2x^2 - 3x - 2 = 0\). Ở đây \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -2\), nên \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\) và \(\sqrt{D} = 5\):

\[ x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4}, \qquad x_1 = 2, \quad x_2 = -\frac12. \]

Kiểm: \(2 \cdot 4 - 6 - 2 = 0\) và \(2 \cdot \frac14 + \frac32 - 2 = 0\). Kiểm bằng định lý Vi-ét: \(x_1 + x_2 = \frac32 = -\frac{b}{a}\) và \(x_1 x_2 = -1 = \frac{c}{a}\). Từ hai nghiệm còn suy ra cách viết thành tích: \(2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \frac12\right) = (x - 2)(2x + 1)\). Chương 26 hẹn giải được mọi phương trình dạng này, kể cả khi không nhìn ra cách phân tích; công thức nghiệm giữ lời hẹn ấy.

Ví dụ 3 (tỉ số vàng). Chương 24 nói tỉ số vàng là nghiệm dương của \(p^2 = p + 1\), nhưng chưa giải phương trình ấy. Viết lại thành \(p^2 - p - 1 = 0\): \(D = 1 + 4 = 5\), nên \(p = \frac{1 \pm \sqrt5}{2}\). Nghiệm dương là \(\frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618\); nghiệm kia là \(\frac{1 - \sqrt5}{2} \approx -0{,}618\). Định lý Vi-ét cho thêm hai điều: tổng hai nghiệm là 1 và tích là \(-1\), nên nghiệm âm vừa bằng \(1 - p\), vừa bằng \(-\frac1p\). Suy ra \(\frac1p = p - 1 \approx 0{,}618\): nghịch đảo của tỉ số vàng có cùng phần sau dấu phẩy với nó.

Ví dụ 4 (hàng rào). Có 40 m lưới để rào một mảnh đất hình chữ nhật. Nửa chu vi là 20 m, nên nếu một cạnh dài \(x\) mét thì cạnh kia dài \(20 - x\) mét, với \(0 < x < 20\). Diện tích là

\[ A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x = -(x - 10)^2 + 100. \]

Vì \((x - 10)^2 \geq 0\), ta có \(A(x) \leq 100\), và dấu bằng xảy ra khi \(x = 10\): mảnh đất hình vuông \(10 \times 10\) có diện tích lớn nhất, \(100 \text{ m}^2\). Chương 16 đã có kết luận này nhờ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân; ở đây nó hiện ra từ đỉnh của một parabol úp xuống. Trục đối xứng \(x = 10\) có một nghĩa rất cụ thể: đổi \(x\) thành \(20 - x\) là đổi vai hai cạnh, và diện tích không đổi. Chẳng hạn \(A(8) = A(12) = 96\).

Ví dụ 5 (vật ném lên). Ném một vật thẳng đứng lên trên với vận tốc 20 m/s, vẫn bỏ qua sức cản không khí và lấy tròn gia tốc rơi là \(10 \text{ m/s}^2\). Vận tốc giảm đều 10 m/s mỗi giây, và theo cùng lập luận "vận tốc ở giữa" như ở đầu chương, độ cao sau \(t\) giây là \(h(t) = 20t - 5t^2\) mét. Hoàn thành bình phương:

\[ h(t) = -5(t^2 - 4t) = -5\big((t - 2)^2 - 4\big) = -5(t - 2)^2 + 20. \]

Vật lên cao nhất 20 m lúc \(t = 2\), đúng lúc vận tốc giảm về 0. Nó chạm đất khi \(h(t) = 0\), tức \(5t(4 - t) = 0\): \(t = 0\) (lúc ném) hoặc \(t = 4\). Đồ thị đối xứng qua trục \(t = 2\), nên \(h(1) = h(3) = 15\): vật đi lên và đi xuống qua cùng một độ cao sau những khoảng thời gian bằng nhau tính từ đỉnh. Bảng sai phân: các giá trị 0, 15, 20, 15, 0; sai phân 15, 5, \(-5\), \(-15\); sai phân bậc hai \(-10\), \(-10\), \(-10\), không đổi, và âm vì vận tốc giảm.

Độ cao \(h(t) = 20t - 5t^2\) của vật ném lên. Đỉnh \((2; 20)\) là lúc vật cao nhất; hai thời điểm cách đỉnh 1 giây cho cùng độ cao 15 m.

Ví dụ 6 (doanh thu). Một quán (số liệu giả định) bán được \(100 - 2p\) ly mỗi ngày khi giá là \(p\) nghìn đồng một ly, với \(0 \leq p \leq 50\). Doanh thu, tức giá nhân lượng bán, là

\[ R(p) = p(100 - 2p) = -2p^2 + 100p = -2(p - 25)^2 + 1250. \]

Giá 25 nghìn đồng cho doanh thu lớn nhất, 1.250 nghìn đồng mỗi ngày. Hai nghiệm của \(R(p) = 0\) là \(p = 0\) (bán không lấy tiền) và \(p = 50\) (không ai mua), và giá tốt nhất nằm chính giữa hai nghiệm ấy. Tăng giá có hai tác dụng ngược chiều: mỗi ly thu nhiều hơn, nhưng bán được ít ly hơn. Tích của hai đại lượng tuyến tính biến đổi ngược chiều nhau là một parabol úp xuống, và đỉnh là chỗ hai tác dụng cân bằng.

Ranh giới

Biệt thức âm: không có nghiệm thực. \(x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \geq 1\) với mọi \(x\), nên biểu thức này không bao giờ bằng 0: parabol nằm hẳn phía trên trục hoành. Công thức nghiệm báo đúng điều ấy: \(D = 4 - 8 = -4 < 0\), và \(\sqrt{-4}\) không có nghĩa, vì căn bậc hai chỉ được định nghĩa cho số không âm (Chương 11). Công thức không hỏng. Chỗ thiếu nằm ở thế giới số thực: không số thực nào có bình phương âm (Chương 7, quy tắc dấu). Mở rộng thế giới số thêm một lần nữa, tới số phức, thì những phương trình như thế cũng có nghiệm; như Chương 12 đã nói, đó là câu chuyện nằm ngoài cuốn sách này.

Ba parabol cùng trục đối xứng \(x = 1\), khác nhau một phép dời lên xuống. Biệt thức dương: cắt trục hoành tại hai điểm. Bằng 0: chạm trục hoành tại đỉnh. Âm: không chạm.

\(a = 0\) thì không còn bậc hai. Phương trình \(0 \cdot x^2 + 2x - 4 = 0\) chính là \(2x - 4 = 0\), có nghiệm \(x = 2\). Công thức nghiệm thì cho \(\frac{-2 \pm 2}{0}\), một phép chia cho 0 vô nghĩa (Chương 9). Mọi kết luận của chương này dựa vào \(a \neq 0\). Không có điều kiện ấy, đồ thị là một đường thẳng, không có đỉnh, không có trục đối xứng, và phương trình \(bx + c = 0\) có thể có một nghiệm, không có nghiệm nào, hay nhận mọi số làm nghiệm.

Mô hình vật ném bỏ qua không khí. Công thức \(h(t) = 20t - 5t^2\) tả khá đúng một hòn đá, kém hơn với một quả bóng nhẹ, và sai hẳn với một tờ giấy: sức cản của không khí làm vật chậm lại theo một quy luật mà mô hình không có. Mô hình cũng chỉ có nghĩa trên đoạn \([0; 4]\): công thức vẫn cho \(h(5) = -25\), nhưng không hòn đá nào ở sâu 25 m dưới mặt đất. Một công thức không tự biết nó đúng trên miền nào; người dùng nó phải biết.

Hình chữ U chưa chắc là parabol. Đồ thị \(y = x^4\) cũng có hình chữ U và cũng đối xứng qua trục tung. Bảng sai phân phân biệt được hai loại: tại \(x = 0, 1, 2, 3, 4\), hàm \(x^4\) cho 0, 1, 16, 81, 256; sai phân là 1, 15, 65, 175; sai phân bậc hai là 14, 50, 110, thay đổi chứ không đứng yên. Nhìn bằng mắt không đủ; phải đo.

Sai phân chỉ có nghĩa khi bước đều. Lấy các giá trị của \(x^2\) tại \(x = 0, 1, 3, 4\), tức 0, 1, 9, 16. Sai phân là 1, 8, 7; sai phân bậc hai là 7 và \(-1\), trông chẳng giống bậc hai chút nào, chỉ vì bước từ 1 tới 3 dài gấp đôi các bước khác. Trước khi lấy hiệu, phải chắc các đầu vào cách đều nhau.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1. Hàm bậc hai là hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = ax^2 + bx + c\), với \(a, b, c \in \mathbb{R}\) và \(a \neq 0\). Phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a \neq 0\) là phương trình bậc hai; biệt thức của nó là \(D = b^2 - 4ac\).

Mệnh đề 2 (dạng đỉnh). Với \(a \neq 0\) và mọi \(x \in \mathbb{R}\),

\[ ax^2 + bx + c = a(x - p)^2 + q, \qquad \text{trong đó} \quad p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{D}{4a}. \]

Chứng minh. Khai triển vế phải:

\[ a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a} + c = ax^2 + bx + c. \qquad \square \]

Hệ quả 3 (đỉnh và trục đối xứng). Cho \(f(x) = ax^2 + bx + c\) với \(a \neq 0\), và \(p\), \(q\) như trong Mệnh đề 2. Khi đó:

1. đồ thị của \(f\) là đồ thị của \(y = ax^2\) dời sang phải \(p\) và lên trên \(q\) (sang trái nếu \(p < 0\), xuống dưới nếu \(q < 0\));
2. \(f(p + t) = f(p - t)\) với mọi \(t\), nên đồ thị đối xứng qua đường thẳng \(x = p\);
3. nếu \(a > 0\) thì \(f(x) \geq q\) với mọi \(x\); nếu \(a < 0\) thì \(f(x) \leq q\) với mọi \(x\); trong cả hai trường hợp, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = p\).

Chứng minh. (1) Ta có \(f(x) = g(x - p) + q\) với \(g(x) = ax^2\); áp dụng Mệnh đề 6 của Chương 23. (2) Cả hai vế đều bằng \(at^2 + q\). Lật qua đường \(x = p\) biến điểm \((p + t; y)\) thành điểm \((p - t; y)\), nên (2) nói rằng phép lật ấy giữ nguyên đồ thị. (3) \((x - p)^2 \geq 0\), và bằng 0 khi và chỉ khi \(x = p\). Nhân với \(a > 0\) giữ chiều bất đẳng thức, nhân với \(a < 0\) thì đảo chiều (Chương 7, Mệnh đề 4; chứng minh ở đó dùng được nguyên văn cho số thực). Cộng \(q\) vào hai vế. \(\square\)

Định lý 4 (công thức nghiệm). Cho phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a \neq 0\) và \(D = b^2 - 4ac\).

1. Nếu \(D < 0\), phương trình vô nghiệm trên \(\mathbb{R}\).
2. Nếu \(D = 0\), phương trình có đúng một nghiệm, \(x = -\frac{b}{2a}\).
3. Nếu \(D > 0\), phương trình có đúng hai nghiệm, \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) và \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

Nói gọn: phương trình bậc hai có nghiệm thực khi và chỉ khi \(D \geq 0\).

Chứng minh. Nhân hai vế với \(4a \neq 0\) là một bước tương đương (Chương 26, Mệnh đề 3): \(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\). Cộng \(b^2 - 4ac\) vào hai vế, cũng là bước tương đương:

\[ 4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac, \qquad \text{tức} \qquad (2ax + b)^2 = D. \]

Đây chính là hình vuông thiếu góc: \((2ax)^2 + 2 \cdot (2ax) \cdot b\) là một hình vuông cạnh \(2ax\) cộng hai dải, và \(b^2\) là góc còn thiếu. Nhân với \(4a\) chỉ để các cạnh không phải là phân số.

(1) Nếu \(D < 0\): vế trái là một bình phương nên không âm, còn vế phải âm; không \(x\) nào thỏa. (2) Nếu \(D = 0\): \((2ax + b)^2 = 0\) khi và chỉ khi \(2ax + b = 0\) (tích bằng 0, Chương 26, Mệnh đề 5), tức \(x = -\frac{b}{2a}\). (3) Nếu \(D > 0\) thì \(D = (\sqrt{D})^2\), nên theo Mệnh đề 4 của Chương 26, \((2ax + b)^2 = (\sqrt{D})^2\) khi và chỉ khi \(2ax + b = \sqrt{D}\) hoặc \(2ax + b = -\sqrt{D}\), tức \(x = x_1\) hoặc \(x = x_2\). Hai nghiệm khác nhau vì \(\sqrt{D} \neq -\sqrt{D}\) khi \(D > 0\). \(\square\)

Định lý 5 (Vi-ét). Giả sử \(D \geq 0\), và \(x_1\), \(x_2\) là hai số cho bởi các công thức ở Định lý 4(3) (khi \(D = 0\) chúng trùng nhau, bằng \(-\frac{b}{2a}\)). Khi đó

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}, \]

và \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) với mọi \(x\). Ngược lại, nếu hai số \(u\), \(v\) có \(u + v = S\) và \(uv = P\), thì \(u\) và \(v\) là nghiệm của phương trình \(X^2 - SX + P = 0\).

Chứng minh. Cộng hai công thức, phần \(\pm\sqrt{D}\) triệt tiêu, còn lại \(\frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}\). Nhân hai công thức, dùng \((u + v)(u - v) = u^2 - v^2\):

\[ x_1 x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{D})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}. \]

Do đó \(a(x - x_1)(x - x_2) = a\big(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\big) = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = ax^2 + bx + c\). Chiều ngược lại: \((X - u)(X - v) = X^2 - (u + v)X + uv = X^2 - SX + P\), và vế trái bằng 0 tại \(X = u\) và tại \(X = v\). \(\square\)

Mệnh đề 6 (sai phân bậc hai không đổi).

1. Với \(f(x) = ax^2 + bx + c\) và một bước \(h > 0\): \(f(x + h) - f(x) = 2ah\,x + ah^2 + bh\), một hàm tuyến tính của \(x\) với hệ số góc \(2ah\). Do đó sai phân bậc hai \(f(x + 2h) - 2f(x + h) + f(x)\) luôn bằng \(2ah^2\).

2. Ngược lại, nếu mọi sai phân bậc hai của dãy \(y_0, y_1, y_2, \dots\) đều bằng cùng một số \(k\), thì với mọi \(n \in \mathbb{N}\),

   \[ y_n = y_0 + dn + \frac{k\,n(n - 1)}{2}, \qquad \text{với} \quad d = y_1 - y_0. \]

   Khi \(k \neq 0\), đó là giá trị tại \(n\) của hàm bậc hai \(\frac{k}{2}x^2 + \left(d - \frac{k}{2}\right)x + y_0\).

Chứng minh. (1) \(f(x + h) - f(x) = a(2xh + h^2) + bh\). Viết đẳng thức ấy tại \(x + h\) rồi trừ đi đẳng thức tại \(x\): \(\big(2ah(x + h) + ah^2 + bh\big) - \big(2ahx + ah^2 + bh\big) = 2ah^2\).

(2) Đặt \(d_n = y_{n+1} - y_n\). Giả thiết nói \(d_{n+1} - d_n = k\) với mọi \(n\), nên quy nạp (Chương 18) cho \(d_n = d + kn\). Cộng dồn các sai phân:

\[ y_n = y_0 + d_0 + d_1 + \dots + d_{n-1} = y_0 + dn + k\big(1 + 2 + \dots + (n - 1)\big) = y_0 + dn + \frac{k\,n(n - 1)}{2}, \]

theo công thức \(1 + 2 + \dots + m = \frac{m(m + 1)}{2}\) của Chương 18 với \(m = n - 1\) (khi \(n = 0\) hay \(n = 1\), tổng trong ngoặc là tổng rỗng, bằng 0, và đẳng thức kiểm được trực tiếp). \(\square\)

Mệnh đề 6 là câu trả lời cho câu hỏi mở đầu. Chương 27 cho thấy thay đổi đều là dấu hiệu của quy luật tuyến tính; ở đây, trên những đầu vào cách đều, sai phân bậc hai không đổi và khác 0 khi và chỉ khi các giá trị là của một hàm bậc hai. Vật rơi có vận tốc tăng đều, tức sai phân bậc hai của quãng đường không đổi, nên tại các giây nguyên, quãng đường buộc phải khớp với một hàm bậc hai của thời gian. Phần IV sẽ cho thấy điều ấy đúng ở mọi thời điểm.

Sợi chỉ

• S5. Rời rạc và liên tục. Bảng sai phân là phiên bản rời rạc của câu hỏi "tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi". Sai phân không đổi đặc trưng cho quy luật tuyến tính (Chương 27, Định lý 2), sai phân bậc hai không đổi và khác 0 đặc trưng cho quy luật bậc hai (Mệnh đề 6), và dấu của nó cho biết đồ thị cong lên hay cong xuống. Phần IV sẽ làm điều này cho thay đổi liên tục.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Lật qua trục \(x = p\) không làm đổi parabol: \(f(p + t) = f(p - t)\). Trong bài hàng rào, phép lật ấy là đổi vai hai cạnh, \(x \mapsto 20 - x\). Hai nghiệm của một phương trình bậc hai luôn nằm đối xứng qua trục, nên trung bình cộng của chúng là \(-\frac{b}{2a}\).
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Hoàn thành bình phương vừa là một hình (hình vuông thiếu góc, họ hàng của hình vuông cắt bốn mảnh ở Chương 2), vừa là một dòng đại số; công thức nghiệm chỉ là hình ấy viết cho mọi \(a\), \(b\), \(c\). Ba cách viết một hàm bậc hai, \(ax^2 + bx + c\), \(a(x - p)^2 + q\) và \(a(x - x_1)(x - x_2)\), mỗi cách cho thấy ngay một điều: giao điểm với trục tung, đỉnh, giao điểm với trục hoành.
• S2. Thông tin và khả nghịch. Dấu \(\pm\) trong công thức nghiệm là thông tin về dấu mà phép bình phương đã làm mất (Chương 25): biết \((2ax + b)^2\) thì chỉ biết \(2ax + b\) sai khác một dấu, nên phải giữ cả hai khả năng.

Tóm tắt

• Khi lượng thay đổi của một đại lượng tự nó thay đổi đều, như quãng đường của vật rơi, đại lượng ấy theo quy luật bậc hai: trên những đầu vào cách đều, sai phân bậc hai không đổi và khác 0 khi và chỉ khi các giá trị là của một hàm bậc hai.
• Dạng \(ax^2 + bx + c\) với \(a \neq 0\) còn xuất hiện khi nhân hai đại lượng tuyến tính (dài nhân rộng, giá nhân lượng bán) và khi đếm các cặp.
• Hoàn thành bình phương, tức ghép hình vuông thiếu góc, đưa mọi hàm bậc hai về dạng đỉnh \(a(x - p)^2 + q\): đồ thị là parabol \(y = ax^2\) dời chỗ, đối xứng qua trục \(x = p\), với đỉnh \((p; q)\) là điểm thấp nhất khi \(a > 0\) và cao nhất khi \(a < 0\).
• Phương trình bậc hai có nghiệm thực khi và chỉ khi biệt thức \(D = b^2 - 4ac\) không âm, và các nghiệm là \(\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\); công thức này được suy ra từ hình vuông thiếu góc, không cần học thuộc.
• Định lý Vi-ét: tổng hai nghiệm là \(-\frac{b}{a}\), tích là \(\frac{c}{a}\); hai số có tổng \(S\) và tích \(P\) là hai nghiệm của \(X^2 - SX + P = 0\).
• Bài toán tìm chỗ lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm bậc hai được giải bằng đỉnh: diện tích khi chu vi cố định, độ cao của vật ném, doanh thu.
• Biệt thức âm nghĩa là parabol không chạm trục hoành; \(a = 0\) thì không còn bậc hai; một mô hình bậc hai chỉ đúng trong miền mà giả thiết của nó còn đúng.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao "vận tốc tăng đều" lại làm quãng đường tăng theo bình phương của thời gian, chứ không tăng đều? Giải thích bằng lời, dùng các chữ L của Chương 1.

Lời giải

Mỗi giây vật đi thêm nhiều hơn giây trước một lượng cố định, như mỗi chữ L nhiều hơn chữ L trước 2 viên sỏi. Sau \(n\) giây, quãng đường là tổng của \(n\) lượng đi thêm, và tổng ấy bằng \(n\) nhân với lượng trung bình. Nhưng lượng trung bình cũng lớn dần đều theo \(n\), vì các lượng sau càng lúc càng lớn. Nhân \(n\) với một thứ lớn dần đều theo \(n\), ta được một biểu thức chứa \(n^2\). Với hòn đá rơi, trong \(n\) giây đầu, trung bình mỗi giây rơi \(5n\) mét (trung bình của 5 và \(10n - 5\)), nên tổng là \(5n \cdot n = 5n^2\). Hình vuông sỏi cũng vậy: \(n\) chữ L đầu tiên có trung bình \(n\) viên mỗi chữ, tổng \(n \cdot n = n^2\).

A2. Một bạn nói: "Phương trình \(x^2 + x + 1 = 0\) vô nghiệm, nghĩa là công thức nghiệm không dùng được cho nó." Bạn ấy đúng tới đâu?

Lời giải

Công thức vẫn dùng được: nó tính \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), và Định lý 4 kết luận phương trình vô nghiệm trên \(\mathbb{R}\). Đó là một câu trả lời đúng, chứ không phải một thất bại: tập nghiệm là tập rỗng. Hình giải thích vì sao: \(x^2 + x + 1 = \left(x + \frac12\right)^2 + \frac34 \geq \frac34\), nên parabol nằm hẳn trên trục hoành. Cái không làm được là lấy căn bậc hai của số âm trong số thực. Câu nói đúng hơn là: "Công thức cho biết phương trình vô nghiệm."

A3. Vì sao đỉnh của một parabol cắt trục hoành tại hai điểm luôn nằm chính giữa hai điểm ấy (theo chiều ngang)? Nêu hai lý do: một dùng tính đối xứng, một dùng định lý Vi-ét.

Lời giải

Đối xứng: theo Hệ quả 3, \(f(p + t) = f(p - t)\). Viết một nghiệm là \(x_1 = p + t\); khi đó \(p - t\) cũng là nghiệm. Nó khác \(x_1\), vì nếu \(t = 0\) thì đỉnh nằm trên trục hoành và phương trình chỉ có nghiệm kép. Phương trình có đúng hai nghiệm, nên nghiệm kia là \(p - t\), và trung điểm của hai nghiệm là \(p\). Vi-ét: \(\frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a} = p\). Hai lý do cho cùng kết luận: đỉnh nằm trên trục đối xứng, và hai nghiệm là ảnh của nhau qua trục ấy.

B. Tính toán

B1. Lập bảng sai phân của (a) \(3n^2 - n + 2\) và (b) \(n^3\), với \(n = 0, 1, 2, 3, 4\). Dãy nào có sai phân bậc hai không đổi? So sánh với Mệnh đề 6.

Lời giải

(a) Giá trị 2, 4, 12, 26, 46; sai phân 2, 8, 14, 20; sai phân bậc hai 6, 6, 6. Không đổi, và đúng bằng \(2ah^2 = 2 \cdot 3 \cdot 1^2 = 6\). (b) Giá trị 0, 1, 8, 27, 64; sai phân 1, 7, 19, 37; sai phân bậc hai 6, 12, 18. Chúng thay đổi, nên \(n^3\) không theo quy luật bậc hai. (Lấy sai phân thêm một lần nữa thì được 6, 6: với \(n^3\), phải tới sai phân bậc ba mới không đổi.)

B2. Viết dưới dạng đỉnh, rồi cho biết đỉnh, trục đối xứng và parabol mở lên hay úp xuống: (a) \(x^2 - 4x + 1\); (b) \(2x^2 + 8x + 5\); (c) \(-x^2 + 6x - 4\).

Lời giải

(a) \((x - 2)^2 - 3\): đỉnh \((2; -3)\), trục \(x = 2\), mở lên. (b) \(2(x^2 + 4x) + 5 = 2\big((x + 2)^2 - 4\big) + 5 = 2(x + 2)^2 - 3\): đỉnh \((-2; -3)\), trục \(x = -2\), mở lên. (c) \(-(x^2 - 6x) - 4 = -\big((x - 3)^2 - 9\big) - 4 = -(x - 3)^2 + 5\): đỉnh \((3; 5)\), trục \(x = 3\), úp xuống; hàm đạt lớn nhất bằng 5 tại \(x = 3\).

B3. Giải bằng công thức nghiệm: (a) \(x^2 - 2x - 3 = 0\); (b) \(4x^2 - 4x + 1 = 0\); (c) \(x^2 + x + 1 = 0\); (d) \(3x^2 - 5x + 1 = 0\).

Lời giải

(a) \(D = 4 + 12 = 16\), \(x = \frac{2 \pm 4}{2}\): \(x = 3\) hoặc \(x = -1\). (b) \(D = 16 - 16 = 0\): nghiệm kép \(x = \frac{4}{8} = \frac12\); quả thật \(4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2\). (c) \(D = 1 - 4 = -3 < 0\): vô nghiệm. (d) \(D = 25 - 12 = 13\), \(x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}\), tức \(x \approx 1{,}434\) hoặc \(x \approx 0{,}232\).

B4. Bài của al-Khwarizmi: giải \(x^2 + 10x = 39\) bằng cách hoàn thành bình phương, và mô tả hình vuông thiếu góc ứng với nghiệm dương.

Lời giải

Cắt dải \(10x\) thành hai dải \(5x\), ghép vào hai cạnh của hình vuông \(x^2\); góc còn thiếu là hình vuông \(5 \times 5\). Thêm 25 vào hai vế: \((x + 5)^2 = 64\). Hình vuông lớn có cạnh 8, nên \(x + 5 = 8\), tức \(x = 3\); kiểm: \(9 + 30 = 39\). Đại số cho thêm \(x + 5 = -8\), tức \(x = -13\); kiểm: \(169 - 130 = 39\).

B5. (a) Tìm hai số có tổng 11 và tích 28. (b) Không giải phương trình \(2x^2 - 7x + 3 = 0\), hãy tính tổng, tích và tổng các bình phương của hai nghiệm; rồi giải phương trình để kiểm tra.

Lời giải

(a) Hai số là nghiệm của \(X^2 - 11X + 28 = 0\): \(D = 121 - 112 = 9\), \(X = \frac{11 \pm 3}{2}\), tức 7 và 4. (b) \(D = 49 - 24 = 25 > 0\), nên có hai nghiệm. Tổng là \(\frac72\), tích là \(\frac32\), và \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = \frac{49}{4} - 3 = \frac{37}{4}\). Giải: \(x = \frac{7 \pm 5}{4}\), tức 3 và \(\frac12\); tổng \(\frac72\), tích \(\frac32\), tổng các bình phương \(9 + \frac14 = \frac{37}{4}\). Khớp.

B6. Có 40 m lưới để rào ba cạnh của một mảnh đất hình chữ nhật; cạnh thứ tư là một bức tường có sẵn. Kích thước nào cho diện tích lớn nhất? Vì sao đáp án không phải hình vuông như ở Ví dụ 4?

Lời giải

Gọi \(x\) là độ dài hai cạnh vuông góc với tường; cạnh song song với tường dài \(40 - 2x\), với \(0 < x < 20\). Diện tích \(A(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x = -2(x - 10)^2 + 200\), lớn nhất bằng \(200 \text{ m}^2\) khi \(x = 10\): mảnh đất \(10 \times 20\) m. Đáp án không phải hình vuông vì hai loại cạnh không tốn lưới như nhau: chiều song song với tường chỉ phải rào một lần, chiều vuông góc phải rào hai lần. Hình vuông rào ba cạnh có cạnh \(\frac{40}{3}\) m, chỉ được \(\frac{1600}{9} \approx 177{,}8 \text{ m}^2\).

B7. Từ độ cao 20 m, ném một vật thẳng đứng lên trên với vận tốc 15 m/s (bỏ qua sức cản không khí, gia tốc rơi lấy tròn \(10 \text{ m/s}^2\)); độ cao sau \(t\) giây là \(h(t) = 20 + 15t - 5t^2\) mét. Vật lên cao nhất bao nhiêu, vào lúc nào? Khi nào nó chạm đất?

Lời giải

\(h(t) = -5(t^2 - 3t) + 20 = -5\big((t - 1{,}5)^2 - 2{,}25\big) + 20 = -5(t - 1{,}5)^2 + 31{,}25\): cao nhất 31,25 m lúc \(t = 1{,}5\) giây. Chạm đất khi \(h(t) = 0\); chia hai vế cho \(-5\) được \(t^2 - 3t - 4 = 0\), \(D = 9 + 16 = 25\), \(t = \frac{3 \pm 5}{2}\): \(t = 4\) hoặc \(t = -1\). Nghiệm \(-1\) ứng với một lúc trước khi ném, nằm ngoài miền của mô hình, nên vật chạm đất sau 4 giây.

B8. Một quán (số liệu giả định) bán được \(120 - 3p\) ly mỗi ngày khi giá là \(p\) nghìn đồng một ly. (a) Giá nào cho doanh thu lớn nhất? (b) Nếu mỗi ly tốn 10 nghìn đồng nguyên liệu, giá nào cho lợi nhuận lớn nhất?

Lời giải

(a) \(R(p) = p(120 - 3p) = -3p^2 + 120p = -3(p - 20)^2 + 1200\): giá 20 nghìn đồng, doanh thu 1.200 nghìn đồng mỗi ngày. (b) Mỗi ly lời \(p - 10\) nghìn đồng, nên lợi nhuận là \(L(p) = (p - 10)(120 - 3p)\). Nó bằng 0 tại \(p = 10\) (bán bằng giá nguyên liệu) và \(p = 40\) (không ai mua); đỉnh nằm chính giữa hai nghiệm, tại \(p = 25\), và \(L(25) = 15 \cdot 45 = 675\) nghìn đồng. Có chi phí, giá tốt nhất tăng từ 20 lên 25 nghìn đồng.

B9. Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(x^2 - 6x + m = 0\) có hai nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm? Giải thích bằng hình.

Lời giải

\(D = 36 - 4m\). Hai nghiệm khi \(m < 9\); nghiệm kép \(x = 3\) khi \(m = 9\); vô nghiệm khi \(m > 9\). Bằng hình: \(x^2 - 6x + m = (x - 3)^2 + (m - 9)\), parabol có đỉnh \((3; m - 9)\), và tăng \(m\) là dời parabol lên trên. Đỉnh ở dưới trục hoành thì parabol cắt trục tại hai điểm, đỉnh nằm trên trục thì chạm tại một điểm, đỉnh ở phía trên thì không chạm.

B10. Tìm giao điểm của parabol \(y = x^2\) với (a) đường thẳng \(y = x + 2\); (b) đường thẳng \(y = 2x - 1\). Kết quả (b) nói gì về hình phóng to ở Chương 27?

Lời giải

(a) \(x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0\), \(D = 9\), nên \(x = 2\) hoặc \(x = -1\): hai giao điểm \((2; 4)\) và \((-1; 1)\). (b) \(x^2 = 2x - 1 \iff (x - 1)^2 = 0\): nghiệm kép \(x = 1\), một điểm chung duy nhất \((1; 1)\). Vì \(x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2 \geq 0\), parabol nằm trên đường thẳng ở mọi chỗ khác: đường thẳng chạm parabol tại \((1; 1)\) mà không cắt qua. Đó chính là đường thẳng mà parabol gần như trùng khi phóng to quanh \((1; 1)\) ở Chương 27.

B11. Một dãy nhận các giá trị 1, 2, 5, 10, 17 tại \(n = 0, 1, 2, 3, 4\). Dùng bảng sai phân và Mệnh đề 6 để tìm một công thức bậc hai khớp với năm giá trị ấy, rồi đoán giá trị tại \(n = 10\).

Lời giải

Sai phân 1, 3, 5, 7; sai phân bậc hai 2, 2, 2. Theo Mệnh đề 6 với \(y_0 = 1\), \(d = 1\), \(k = 2\): \(y_n = 1 + n + n(n - 1) = n^2 + 1\). Kiểm với năm giá trị: \(1, 2, 5, 10, 17\). Tại \(n = 10\), công thức cho 101. Đó vẫn là một lời đoán: bảng chỉ cho năm giá trị, và giả sử quy luật còn giữ ngoài bảng là một ngoại suy, như ở Chương 27.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh rằng nếu \(a\) và \(c\) trái dấu thì phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm trái dấu. Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải

Vì \(a\) và \(c\) trái dấu nên \(ac < 0\), do đó \(D = b^2 - 4ac > 0\) và phương trình có hai nghiệm (Định lý 4). Theo định lý Vi-ét, \(x_1 x_2 = \frac{c}{a} < 0\), vì thương của hai số trái dấu là số âm; vậy hai nghiệm trái dấu. \(\square\) Điều ngược lại cũng đúng: nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu thì \(\frac{c}{a} = x_1 x_2 < 0\), nên \(a\) và \(c\) trái dấu. Chẳng hạn \(2x^2 - 3x - 2 = 0\) có \(a = 2\), \(c = -2\) và hai nghiệm \(2\), \(-\frac12\).

C2. Hàm \(g(x) = x^2 + (x - \lfloor x \rfloor)\) trùng với \(x^2\) tại mọi số nguyên, nên tại \(n = 0, 1, 2, \dots\) nó có sai phân bậc hai luôn bằng 2. Chứng minh rằng \(g\) không phải hàm bậc hai.

Lời giải

Giả sử \(g(x) = ax^2 + bx + c\) với mọi \(x\). Tại số nguyên, \(x - \lfloor x \rfloor = 0\), nên \(g(0) = 0\), \(g(1) = 1\), \(g(-1) = 1\). Từ đó \(c = 0\), \(a + b = 1\) và \(a - b = 1\), tức \(a = 1\), \(b = 0\): \(g(x) = x^2\) với mọi \(x\). Nhưng \(g(0{,}5) = 0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}75 \neq 0{,}25\). Mâu thuẫn, nên \(g\) không phải hàm bậc hai. \(\square\) Bảng sai phân chỉ nhìn thấy các điểm có trong bảng, như hàm \(2x - \lfloor x \rfloor\) ở bài C1 của Chương 27; Mệnh đề 6 chỉ nói về các giá trị tại số tự nhiên.

C3. Chứng minh rằng với \(a > 0\), phép phóng to từ gốc tọa độ lên \(a\) lần, \((x; y) \mapsto (ax; ay)\), biến đồ thị \(y = ax^2\) thành đúng đồ thị \(y = x^2\). Vì sao điều này có nghĩa là mọi parabol có cùng một hình dạng?

Lời giải

Điểm \((x; ax^2)\) biến thành \((ax; a^2x^2)\). Đặt \(X = ax\), điểm mới là \((X; X^2)\): nó thuộc đồ thị \(y = x^2\). Ngược lại, mọi điểm \((X; X^2)\) là ảnh của điểm \(\left(\frac{X}{a}; \frac{X^2}{a}\right)\), và điểm này thuộc đồ thị \(y = ax^2\) vì \(a\left(\frac{X}{a}\right)^2 = \frac{X^2}{a}\). Vậy phép phóng to biến đồ thị này thành đúng đồ thị kia. \(\square\)

Phép phóng to giữ nguyên hình dạng, chỉ đổi cỡ, như phóng một tấm ảnh: hai đồ thị đồng dạng (Chương 3). Parabol \(y = 2x^2\) là bản thu nhỏ một nửa của \(y = x^2\). Nó trông hẹp hơn vì nhìn nó trong một khung cũng như nhìn \(y = x^2\) trong một khung rộng gấp đôi, nơi phần dốc của parabol chiếm nhiều chỗ hơn. Thêm phép dời chỗ (Hệ quả 3) và phép lật khi \(a < 0\), mọi parabol là cùng một đường cong ở những cỡ và vị trí khác nhau, giống như mọi đường tròn.

Câu hỏi để ngỏ

Có những đại lượng không tăng thêm một lượng cố định, mà tăng theo một tỉ lệ cố định: tiền gửi, vi khuẩn, tin đồn. Quy luật của chúng có hình dạng gì, và vì sao sớm muộn nó vượt mọi parabol?