Chương 10: Phân số và tỉ lệ

Câu hỏi mở đầu

Chia cho 0 là không thể, dù ta mở rộng thế giới số theo cách nào mà vẫn giữ được các luật. Nhưng \(7 : 2\) thì khác: nó không có đáp án chỉ vì trong các số nguyên chưa có số nào để trả lời, chứ không phải vì một sự bất khả. Vậy để \(7 : 2\) có đáp án, ta phải thêm những số mới nào? Chúng phải tuân theo những luật gì để các luật cũ không bị phá, và lần này việc mở rộng có thành công không?

Chia bảy cái bánh cho hai người

Bảy cái bánh chia đều cho hai người: mỗi người được ba cái, và còn một cái phải cắt đôi. Mỗi người nhận "ba cái rưỡi". Cái "rưỡi" ấy là một loại lượng mới: nó không phải số đếm, vì không ai nhận được "một cái bánh" trọn vẹn thứ tư. Nó là một phần của một cái bánh.

Đời sống đầy những lượng như vậy: nửa lít sữa, ba phần tư quãng đường, hai phần ba số phiếu, lãi suất 6% một năm, tỉ lệ bản đồ một phần năm mươi nghìn. Tất cả đều trả lời những câu hỏi có dạng "\(a\) chia cho \(b\) bằng bao nhiêu?" mà các số nguyên không trả lời được.

Chương này làm với phép chia điều mà Chương 7 đã làm với phép trừ: thêm những số mới để phép toán luôn làm được (trừ khi chia cho 0, điều mà Chương 9 đã cho thấy là bất khả). Và như ở Chương 7, ta đòi hỏi các luật cũ phải còn đúng. Kết quả sẽ là: những công thức cộng và nhân phân số (fraction) mà nhiều người từng học thuộc hóa ra không phải quy tắc tùy ý, mà là cách duy nhất để giữ các luật.

Những phần bằng nhau

Cắt một cái bánh thành \(b\) phần bằng nhau rồi lấy \(a\) phần, ta được "\(a\) phần \(b\)" cái bánh. Cắt thành 4 phần, lấy 3 phần: ba phần tư cái bánh.

Có một điều quan trọng: nhiều cách cắt khác nhau cho cùng một lượng. Cắt đôi rồi lấy một nửa; cắt tư rồi lấy hai phần; cắt sáu rồi lấy ba phần: cả ba cách đều cho đúng nửa cái bánh.

Ba cách cắt, cùng một lượng: \(\frac12\), \(\frac24\) và \(\frac36\) dừng ở cùng một chỗ.

Đây chính là câu chuyện đồng nhất của Chương 3. Các cặp "lấy 1 trong 2", "lấy 2 trong 4", "lấy 3 trong 6" là những cách mô tả khác nhau, nhưng về lượng bánh thì như nhau. Một phân số là cái chung của cả một lớp những cặp như vậy, và mỗi cặp là một đại diện của lớp. Rút gọn một phân số, như viết \(\frac36\) thành \(\frac12\), là chọn đại diện gọn nhất của lớp.

Khi nào hai cặp cho cùng một lượng? "Lấy \(a\) trong \(b\) phần" và "lấy \(c\) trong \(d\) phần" bằng nhau khi, cắt cả hai về cùng một cách chia thành \(b \cdot d\) phần, chúng lấy cùng số phần. Cách thứ nhất thành "lấy \(a \cdot d\) trong \(b \cdot d\) phần", cách thứ hai thành "lấy \(c \cdot b\) trong \(d \cdot b\) phần". Vậy hai cặp bằng nhau khi \(a \cdot d = b \cdot c\). Đây đúng là quan hệ đã gặp ở bài B8 Chương 3.

Phân số là đáp án của một phép chia. "Ba cái rưỡi", tức bảy phần hai, là số \(x\) sao cho \(2 \cdot x = 7\): hai người, mỗi người \(x\), cộng lại đủ bảy cái bánh. Tổng quát, phân số "\(a\) phần \(b\)" là số \(x\) sao cho \(b \cdot x = a\). Như vậy mỗi phép chia cho một số khác 0 đều có đáp án.

Phân số trên trục số. Chia đoạn từ 0 tới 1 thành \(b\) đoạn bằng nhau, rồi từ 0 đếm \(a\) đoạn như thế (sang phải nếu \(a\) dương, sang trái nếu \(a\) âm), ta được vị trí của phân số "\(a\) phần \(b\)". Các phân số bằng nhau rơi đúng vào cùng một điểm.

Mỗi phân số là một điểm trên trục số; những phân số bằng nhau là cùng một điểm. Bảy phần hai nằm giữa 3 và 4.

Phân số như một đường thẳng. Còn một cách nhìn nữa. Vẽ mỗi cặp (mẫu; tử) thành một điểm trên mặt phẳng: \((2; 1)\), \((4; 2)\), \((6; 3)\), ... Các cặp cùng biểu diễn một phân số nằm trên cùng một đường thẳng đi qua gốc \((0; 0)\). Theo cách nhìn này, một phân số là một đường thẳng qua gốc.

Các cặp (mẫu; tử) của \(\frac12\) nằm trên một đường thẳng qua gốc; các cặp của \(\frac23\) nằm trên một đường thẳng khác, dốc hơn.

Cách nhìn cuối này sẽ trở lại ở Chương 27, khi độ dốc của một đường thẳng trở thành trung tâm.

Ký hiệu

Ta viết phân số "\(a\) phần \(b\)" là \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) là tử số (numerator), \(b\) là mẫu số (denominator), \(a\) và \(b\) là số nguyên và \(b \neq 0\). Phân số \(\frac{a}{b}\) chính là \(a : b\): từ nay hai cách viết là một.

Nhóm gồm tất cả các phân số, trong đó hai phân số bằng nhau được coi là cùng một số, gọi là các số hữu tỉ (rational numbers), ký hiệu \(\mathbb{Q}\). Mỗi số nguyên \(a\) cũng là một số hữu tỉ, viết là \(\frac{a}{1}\).

Một phân số là phân số tối giản (irreducible fraction) khi mẫu số dương và tử số, mẫu số không có ước chung nào lớn hơn 1. Muốn rút gọn về phân số tối giản, chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng, tìm bằng thuật toán Euclid của Chương 8.

Với \(a \neq 0\), số nghịch đảo (reciprocal) của \(\frac{a}{b}\) là \(\frac{b}{a}\): tích của chúng bằng 1.

Tỉ số (ratio) của hai đại lượng là thương của chúng; viết "\(a : b\)" khi muốn nhấn mạnh sự so sánh, như "tỉ lệ nước cốt và nước là \(1 : 4\)". Một đẳng thức giữa hai tỉ số, như \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), gọi là một tỉ lệ thức (proportion). Trong đời thường, chữ "tỉ lệ" được dùng rộng hơn: cho một tỉ số ("tỉ lệ khỏi bệnh"), hay cho tỉ số giữa khoảng cách trên bản đồ và khoảng cách thật ("tỉ lệ bản đồ"). Hai đại lượng tỉ lệ thuận (directly proportional) khi tỉ số của chúng không đổi: khoảng cách trên bản đồ và khoảng cách thật, lượng nước cốt và lượng nước trong cùng một cách pha. Các cặp giá trị của hai đại lượng tỉ lệ thuận nằm trên một đường thẳng qua gốc, như trong hình vừa rồi. Phần trăm (percent) là phân số có mẫu 100: \(p\%\) nghĩa là \(\frac{p}{100}\).

Luật buộc phải như thế nào

Giờ đến điều quan trọng nhất của chương. Ta muốn cộng và nhân các phân số sao cho mọi luật của Chương 5 và Chương 7 vẫn đúng. Hóa ra đòi hỏi ấy tự quyết định mọi thứ.

Gọi \(x = \frac{a}{b}\) và \(y = \frac{c}{d}\), tức \(b \cdot x = a\) và \(d \cdot y = c\).

Phép nhân. Dùng tính giao hoán và kết hợp:

\[ (b \cdot d) \cdot (x \cdot y) = (b \cdot x) \cdot (d \cdot y) = a \cdot c . \]

Vậy \(x \cdot y\) là số mà nhân với \(b \cdot d\) thì được \(a \cdot c\), tức \(x \cdot y = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\). "Tử nhân tử, mẫu nhân mẫu" là bắt buộc.

Phép cộng. Dùng tính phân phối:

\[ (b \cdot d) \cdot (x + y) = d \cdot (b \cdot x) + b \cdot (d \cdot y) = d \cdot a + b \cdot c . \]

Vậy \(x + y = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}\). Đây là công thức cộng phân số, và ta vừa thấy nó không có lựa chọn nào khác. Cách "quy đồng mẫu số" học ở trường chỉ là cách tính công thức này cho gọn: đưa hai phân số về cùng một cách cắt, rồi mới gộp các phần lại, vì chỉ những phần cùng cỡ mới gộp được với nhau.

Phép chia. Chia là tháo ngược phép nhân. Muốn tìm \(z\) với \(\frac{c}{d} \cdot z = \frac{a}{b}\) (với \(c \neq 0\)), ta nhân hai vế với nghịch đảo \(\frac{d}{c}\) của \(\frac{c}{d}\): \(z = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\). "Chia cho một phân số là nhân với nghịch đảo của nó" không phải một mẹo, mà là định nghĩa của phép chia cộng với công thức nhân.

Lấy \(\frac23\) chiều rộng và \(\frac34\) chiều cao của hình vuông đơn vị: phần chung gồm \(2 \cdot 3 = 6\) ô trong \(3 \cdot 4 = 12\) ô, tức \(\frac{6}{12} = \frac12\).

Hình diện tích cho một cách thấy công thức nhân, giống như hình lưới ở Chương 5: tích hai phân số là phần diện tích của một hình chữ nhật con trong hình vuông đơn vị.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (cộng). Tính \(\frac34 + \frac56\).

Hai cách cắt khác nhau (phần tư và phần sáu) không gộp thẳng được. Đưa về cùng cách cắt thành phần mười hai, vì 12 là bội chung nhỏ nhất của 4 và 6: \(\frac34 = \frac{9}{12}\) và \(\frac56 = \frac{10}{12}\). Giờ các phần cùng cỡ, gộp lại: \(\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}\). Theo công thức, \(\frac{3 \cdot 6 + 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{38}{24} = \frac{19}{12}\): cùng một số, chỉ là đại diện khác.

Ví dụ 2 (nhân). Tính \(\frac23 \cdot \frac{9}{10}\).

\(\frac23 \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{30}\). Ước chung lớn nhất của 18 và 30 là 6, nên \(\frac{18}{30} = \frac35\). Cũng có thể rút gọn trước khi nhân: 3 và 9 có ước chung 3, 2 và 10 có ước chung 2, được \(\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{5} = \frac35\).

Ví dụ 3 (chia). Tính \(\frac34 : \frac58\).

\(\frac34 : \frac58 = \frac34 \cdot \frac85 = \frac{24}{20} = \frac65\). Kiểm lại bằng cách làm xuôi: \(\frac58 \cdot \frac65 = \frac{30}{40} = \frac34\).

Ví dụ 4 (phần trăm). Một món hàng giá 100.000 đồng tăng giá 20%, sau đó giảm giá 20%. Giá cuối cùng là bao nhiêu?

Tăng 20% nghĩa là nhân với \(1 + \frac{20}{100} = \frac{6}{5}\): giá thành 120.000 đồng. Giảm 20% nghĩa là nhân với \(1 - \frac{20}{100} = \frac45\): giá thành \(120.000 \cdot \frac45 = 96.000\) đồng. Tổng cộng giá nhân với \(\frac65 \cdot \frac45 = \frac{24}{25}\), tức giảm 4%. Lý do: 20% lúc giảm được tính trên một cơ sở lớn hơn 20% lúc tăng. Vì phép nhân giao hoán, giảm trước rồi tăng sau cũng cho đúng 96.000 đồng.

Ví dụ 5 (tỉ lệ). Một bản đồ có tỉ lệ \(1 : 50.000\). Hai điểm cách nhau 3 cm trên bản đồ thì cách nhau bao xa ngoài thực tế?

Tỉ lệ \(1 : 50.000\) nghĩa là mỗi xentimét trên bản đồ ứng với 50.000 xentimét thật. Vậy 3 cm ứng với \(150.000\) cm, tức 1.500 m hay 1,5 km. Đây là một tỉ lệ thức: \(\frac{1}{50.000} = \frac{3}{150.000}\), hai phân số cùng một lớp.

Ranh giới

"Cộng tử với tử, mẫu với mẫu": sai cho số, đúng cho việc gộp nhóm. Theo cách đó, \(\frac12 + \frac12\) sẽ thành \(\frac24 = \frac12\), rõ ràng sai: nửa cái bánh với nửa cái bánh là cả cái bánh. Nhưng hãy xem một tình huống khác: một cầu thủ sút trúng 1 lần trong 2 lần ở hiệp một, và 1 lần trong 2 lần ở hiệp hai. Cả trận, anh sút trúng \(1 + 1 = 2\) lần trong \(2 + 2 = 4\) lần, tỉ lệ \(\frac24\). Ở đây "cộng tử với tử, mẫu với mẫu" lại đúng! Lý do: ta không cộng hai số, mà gộp hai nhóm lần sút. Kết quả \(\frac{a + c}{b + d}\) không phải tổng, mà là một kiểu trung bình của \(\frac ab\) và \(\frac cd\), luôn nằm giữa chúng (bài C2).

Gộp nhóm có thể đảo ngược kết luận. Chính kiểu trung bình ấy tạo ra một hiện tượng gây sửng sốt. Hai cầu thủ X và Y thi sút qua hai vòng:

• vòng một: X trúng 1 trong 2 lần (50%), Y trúng 4 trong 9 lần (khoảng 44%);
• vòng hai: X trúng 3 trong 10 lần (30%), Y trúng 0 trong 1 lần (0%).

X hơn Y ở cả hai vòng. Nhưng tính gộp: X trúng 4 trong 12 lần (khoảng 33%), Y trúng 4 trong 10 lần (40%). Gộp lại, Y hơn X. Hiện tượng này mang tên nghịch lý Simpson (Simpson's paradox). Nó không phải lỗi tính toán; nó xảy ra vì số lần sút của hai người phân bố rất khác nhau giữa hai vòng. Chương 48 sẽ quay lại hiện tượng này, vì nó là một trong những cái bẫy nguy hiểm nhất khi đọc số liệu.

Phần trăm của phần trăm, và điểm phần trăm. Giảm 30% rồi giảm tiếp 20% không phải giảm 50%, mà là nhân với \(\frac{7}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{56}{100}\), tức giảm 44%. Và khi lãi suất tăng từ 5% lên 6%, nó tăng 1 điểm phần trăm (percentage point), nhưng tăng 20% so với chính nó. Cùng một thay đổi, một cách nói cho con số 1, cách kia cho con số 20; nhầm hai cách nói là làm thay đổi trông lớn hơn hay nhỏ hơn thực tế nhiều lần.

Mẫu số không bao giờ bằng 0. Mọi thứ trong chương đều đòi \(b \neq 0\). Phân số mở rộng phép chia tới mọi số chia khác 0, và chỉ tới đó; Chương 9 đã cho thấy không thể đi xa hơn.

Phân số nằm dày đặc trên trục số, nhưng đã phủ kín chưa? Giữa hai phân số bất kỳ luôn có một phân số khác, chẳng hạn trung bình cộng (arithmetic mean) của chúng. Vì vậy các phân số nằm dày đặc trên trục số: không có hai phân số nào "kề nhau". Liệu còn lỗ hổng nào không? Câu hỏi này, hóa ra, có một câu trả lời đáng kinh ngạc, dành cho chương sau.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1 (phân số và sự bằng nhau). Một phân số là một cặp số nguyên, viết \(\frac{a}{b}\), với \(b \neq 0\). Hai phân số bằng nhau, \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), khi \(a \cdot d = b \cdot c\).

Mệnh đề 1. Quan hệ bằng nhau ở Định nghĩa 1 là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương là một số hữu tỉ.

Chứng minh. Phản xạ: \(a \cdot b = b \cdot a\). Đối xứng: \(a \cdot d = b \cdot c\) kéo theo \(c \cdot b = d \cdot a\). Bắc cầu: giả sử \(a d = b c\) và \(c f = d e\), với \(b\), \(d\), \(f\) khác 0. Nhân đẳng thức thứ nhất với \(f\) và đẳng thức thứ hai với \(b\): \(a d f = b c f = b d e\). Vậy \((a f) \cdot d = (b e) \cdot d\). Vì \(d \neq 0\), luật giản ước (Mệnh đề 3 ở Chương 9) cho \(a f = b e\), tức \(\frac{a}{b} = \frac{e}{f}\). \(\square\)

Định nghĩa 2 (phép toán). \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}\) và \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}\). Mẫu \(b d\) khác 0 vì tích của hai số nguyên khác 0 thì khác 0 (bài C3 Chương 9).

Mệnh đề 2 (các định nghĩa bị ép buộc). Trong một hệ số chứa các số nguyên và tuân theo các luật của Chương 7, nếu \(b \cdot x = a\) và \(d \cdot y = c\) với \(b\), \(d\) khác 0, thì \((b d) \cdot (x + y) = a d + b c\) và \((b d) \cdot (x y) = a c\). Vì vậy mọi cách mở rộng phép chia mà giữ các luật đều phải cộng và nhân phân số theo Định nghĩa 2.

Chứng minh. Chính là hai phép tính ở mục "Luật buộc phải như thế nào". \(\square\)

Mệnh đề 3 (phép toán không phụ thuộc đại diện). Nếu \(\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\) và \(\frac{c}{d} = \frac{c'}{d'}\), thì tổng và tích tính theo đại diện \((a; b)\), \((c; d)\) bằng tổng và tích tính theo đại diện \((a'; b')\), \((c'; d')\).

Chứng minh. Với tổng, cần chứng minh \((a d + b c) \cdot b' d' = (a' d' + b' c') \cdot b d\). Khai triển vế trái: \((a b') \cdot d d' + (c d') \cdot b b'\). Theo giả thiết \(a b' = a' b\) và \(c d' = c' d\), vế trái bằng \(a' b \cdot d d' + c' d \cdot b b'\), và đó đúng là khai triển của vế phải. Tích làm tương tự (bài C1). \(\square\)

Mệnh đề 3 là điều kiện để các phân số thật sự là số: kết quả của phép toán chỉ phụ thuộc vào lượng, không phụ thuộc vào cách cắt bánh cụ thể. Ta đã gặp đúng yêu cầu này ở số học đồng hồ: Định lý 6 của Chương 8 nói cộng và nhân các lớp đồng dư không phụ thuộc đại diện được chọn.

Mệnh đề 4 (phép chia luôn làm được). Với mọi số hữu tỉ \(x\) và mọi số hữu tỉ \(y \neq 0\), có đúng một số hữu tỉ \(z\) sao cho \(y \cdot z = x\).

Chứng minh. Viết \(y = \frac{c}{d}\) với \(c \neq 0\), và đặt \(w = \frac{d}{c}\); khi đó \(y \cdot w = \frac{c d}{d c} = 1\). Lấy \(z = x \cdot w\): \(y \cdot z = (y \cdot w) \cdot x = x\). Nếu có \(z'\) khác cũng thỏa \(y \cdot z' = x\), nhân hai vế của \(y z = y z'\) với \(w\) cho \(z = z'\). \(\square\)

So với Chương 9, lần mở rộng này thành công trọn vẹn: trong \(\mathbb{Q}\), cộng, trừ, nhân, và chia cho mọi số khác 0 đều luôn làm được, và mọi luật cũ vẫn đúng.

Sợi chỉ

• S1. Bất biến qua biến đổi. Nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 không làm đổi giá trị: phân số là cái bất biến của cả một lớp cặp số. Và như ở Chương 7, các luật được giữ bất biến khi mở rộng, và chúng ép ra mọi công thức.
• S2. Thông tin và khả nghịch. Trong \(\mathbb{Q}\), "nhân với \(y\)" tháo ngược được với mọi \(y \neq 0\): phép ngược là nhân với nghịch đảo. Chỉ còn "nhân với 0" là không, đúng như Chương 9.
• S4. Cục bộ và toàn cục. Nghịch lý Simpson: X hơn Y ở từng vòng nhưng thua khi gộp. Kết luận đúng ở từng phần có thể sai cho tổng thể.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Một phân số là phần của cái bánh, là đáp án của một phép chia, là một điểm trên trục số, là một lớp cặp số, là một đường thẳng qua gốc, và tích hai phân số là một diện tích.

Tóm tắt

• Phân số \(\frac{a}{b}\) (với \(b \neq 0\)) là đáp án của \(b \cdot x = a\); nó làm cho phép chia cho mọi số khác 0 luôn có kết quả.
• Hai phân số bằng nhau khi \(a d = b c\); một số hữu tỉ là một lớp tương đương của các phân số, và rút gọn là chọn đại diện gọn nhất.
• Giữ các luật cũ thì các công thức \(\frac ab + \frac cd = \frac{ad + bc}{bd}\) và \(\frac ab \cdot \frac cd = \frac{ac}{bd}\) là bắt buộc; chia cho một phân số là nhân với nghịch đảo của nó.
• Các phép toán không phụ thuộc vào đại diện được chọn, nên phân số thật sự là số; trong \(\mathbb{Q}\), mọi phép chia cho số khác 0 đều làm được.
• \(\frac{a + c}{b + d}\) không phải tổng hai phân số, nhưng là tỉ lệ đúng khi gộp hai nhóm; gộp nhóm có thể đảo ngược kết luận (nghịch lý Simpson).
• Phần trăm là phân số có mẫu 100; tăng rồi giảm cùng một phần trăm không về chỗ cũ, và "điểm phần trăm" khác "phần trăm".
• Các phân số nằm dày đặc trên trục số: giữa hai phân số luôn có một phân số khác.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao \(\frac12\) và \(\frac24\) "bằng nhau" dù được viết khác nhau? Hãy trả lời bằng ngôn ngữ đồng nhất của Chương 3: cái gì được giữ lại, cái gì bị quên đi?

Lời giải

Hai cặp \((1; 2)\) và \((2; 4)\) là hai cách mô tả khác nhau: cắt bánh thành 2 phần lấy 1, hay cắt thành 4 phần lấy 2. Khi đồng nhất chúng, ta quên đi cách cắt (bánh bị cắt thành mấy phần) và chỉ giữ lại lượng bánh nhận được. Quan hệ "\(a d = b c\)" là quan hệ tương đương đo đúng điều đó, và mỗi phân số là một lớp tương đương; \(\frac12\) và \(\frac24\) là hai đại diện của cùng một lớp. Giống như 13 giờ và 1 giờ trên mặt đồng hồ: khác nhau về chi tiết bị quên, như nhau về điều được giữ.

A2. Khi nào công thức "cộng tử với tử, mẫu với mẫu" cho kết quả có nghĩa, và khi nào nó sai? Hãy cho một ví dụ mỗi loại.

Lời giải

Nó sai khi ta muốn cộng hai số: \(\frac12 + \frac12 = 1\), không phải \(\frac{1 + 1}{2 + 2} = \frac12\). Nửa cái bánh với nửa cái bánh là một cái bánh.

Nó có nghĩa khi ta gộp hai nhóm để tính tỉ lệ chung: một lớp có 1 học sinh giỏi trong 2 học sinh, lớp khác có 3 học sinh giỏi trong 10 học sinh; gộp hai lớp, có \(1 + 3 = 4\) học sinh giỏi trong \(2 + 10 = 12\) học sinh, tỉ lệ \(\frac{4}{12}\). Kết quả là một kiểu trung bình của hai tỉ lệ, có trọng số theo cỡ của mỗi nhóm, chứ không phải tổng của chúng.

A3. Một cửa hàng giảm giá 30%, rồi giảm thêm 20% trên giá đã giảm. Có phải khách được giảm tổng cộng 50% không? Nếu không, giảm tổng cộng bao nhiêu, và vì sao trực giác "30 cộng 20" sai?

Lời giải

Không. Giảm 30% là nhân giá với \(\frac{7}{10}\); giảm thêm 20% là nhân tiếp với \(\frac{8}{10}\). Tổng cộng giá được nhân với \(\frac{56}{100}\), tức khách trả 56% giá gốc và được giảm 44%.

Trực giác "30 cộng 20" sai vì hai phần trăm được tính trên hai cơ sở khác nhau: 20% thứ hai được tính trên giá đã giảm, nhỏ hơn giá gốc. Các lần thay đổi theo phần trăm nhân với nhau chứ không cộng với nhau.

B. Tính toán

B1. Rút gọn về phân số tối giản: \(\frac{84}{360}\), \(\frac{126}{84}\), \(\frac{1001}{2002}\).

Lời giải

\(\text{ƯCLN}(84; 360) = 12\) (Chương 8), nên \(\frac{84}{360} = \frac{7}{30}\). \(\text{ƯCLN}(126; 84) = 42\), nên \(\frac{126}{84} = \frac32\). \(2002 = 2 \cdot 1001\), nên \(\frac{1001}{2002} = \frac12\).

B2. Tính: (a) \(\frac23 + \frac34\); (b) \(\frac56 - \frac38\); (c) \(\frac{7}{12} + \frac{5}{18}\).

Lời giải

(a) Mẫu chung 12: \(\frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{17}{12}\).

(b) Mẫu chung 24: \(\frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}\).

(c) Mẫu chung nhỏ nhất là \(\text{BCNN}(12; 18) = 36\): \(\frac{21}{36} + \frac{10}{36} = \frac{31}{36}\).

B3. Tính: (a) \(\frac49 \cdot \frac{27}{8}\); (b) \(\left(-\frac25\right) \cdot \frac{15}{4}\); (c) \(\frac37 : \frac{9}{14}\).

Lời giải

(a) \(\frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{108}{72} = \frac32\).

(b) \(-\frac{2 \cdot 15}{5 \cdot 4} = -\frac{30}{20} = -\frac32\).

(c) \(\frac37 \cdot \frac{14}{9} = \frac{42}{63} = \frac23\). Kiểm lại: \(\frac{9}{14} \cdot \frac23 = \frac{18}{42} = \frac37\).

B4. So sánh \(\frac58\) và \(\frac{7}{11}\) mà không đổi sang số thập phân.

Lời giải

Đưa về cùng mẫu \(8 \cdot 11 = 88\): \(\frac58 = \frac{55}{88}\) và \(\frac{7}{11} = \frac{56}{88}\). Vì \(55 < 56\), ta có \(\frac58 < \frac{7}{11}\). Nói gọn: với mẫu dương, \(\frac ab < \frac cd\) khi và chỉ khi \(a d < b c\).

B5. Tìm hai phân số khác nhau nằm giữa \(\frac13\) và \(\frac12\).

Lời giải

Trung bình cộng: \(\frac12 \left( \frac13 + \frac12 \right) = \frac12 \cdot \frac56 = \frac{5}{12}\). Kiểu "gộp nhóm": \(\frac{1 + 1}{3 + 2} = \frac25\). Kiểm tra: \(\frac13 = \frac{20}{60}\), \(\frac25 = \frac{24}{60}\), \(\frac{5}{12} = \frac{25}{60}\), \(\frac12 = \frac{30}{60}\). Cả hai đều nằm giữa. Lặp lại cách làm, ta tìm được bao nhiêu phân số ở giữa cũng được.

B6. (a) Một giá tăng 25% rồi giảm 20%. Giá cuối so với giá ban đầu thế nào? (b) Một giá giảm 50% rồi tăng 50%. Giá cuối bằng bao nhiêu phần trăm giá ban đầu?

Lời giải

(a) \(\frac54 \cdot \frac45 = 1\): giá cuối bằng đúng giá ban đầu. Hai phần trăm khác nhau (25 và 20) nhưng hai thay đổi là nghịch đảo của nhau.

(b) \(\frac12 \cdot \frac32 = \frac34\): giá cuối bằng 75% giá ban đầu. Muốn hồi phục sau khi giảm 50%, phải tăng 100%.

B7. Một bản đồ có tỉ lệ \(1 : 25.000\). (a) Hai điểm cách nhau 8 cm trên bản đồ thì cách nhau bao xa ngoài thực tế? (b) Hai địa điểm cách nhau 3,5 km thì trên bản đồ cách nhau bao nhiêu xentimét?

Lời giải

(a) \(8 \cdot 25.000 = 200.000\) cm \(= 2.000\) m \(= 2\) km.

(b) 3,5 km \(= 350.000\) cm; chia cho 25.000 được 14 cm.

B8. Lãi suất tiết kiệm tăng từ 5% lên 6% một năm. Lãi suất đã tăng bao nhiêu điểm phần trăm? Tăng bao nhiêu phần trăm so với mức cũ? Nếu một bài báo viết "lãi suất tăng vọt 20%", câu ấy đúng hay gây hiểu lầm?

Lời giải

Tăng \(6 - 5 = 1\) điểm phần trăm. So với mức cũ, tăng \(\frac{1}{5} = 20\%\). Câu "tăng vọt 20%" đúng về số học nhưng dễ gây hiểu lầm: người đọc có thể nghĩ lãi suất từ 5% lên 25%. Cách viết rõ ràng là "tăng 1 điểm phần trăm, từ 5% lên 6%".

B9. Hai bệnh viện A và B điều trị một bệnh. Với bệnh nhân nhẹ: A chữa khỏi 90 trong 100 người, B chữa khỏi 19 trong 20 người. Với bệnh nhân nặng: A chữa khỏi 30 trong 100 người, B chữa khỏi 60 trong 180 người. Tính tỉ lệ khỏi bệnh của mỗi bệnh viện ở từng nhóm và khi gộp. Có gì bất ngờ?

Lời giải

Nhóm nhẹ: A \(\frac{90}{100} = 90\%\), B \(\frac{19}{20} = 95\%\). Nhóm nặng: A \(\frac{30}{100} = 30\%\), B \(\frac{60}{180} = \frac13\), khoảng 33%. Vậy B tốt hơn A ở cả hai nhóm.

Gộp lại: A chữa khỏi \(90 + 30 = 120\) trong \(200\) người, tức 60%; B chữa khỏi \(19 + 60 = 79\) trong \(20 + 180 = 200\) người, tức 39,5%. Gộp lại, A có vẻ tốt hơn hẳn.

Bất ngờ là nghịch lý Simpson: phần lớn bệnh nhân của B là bệnh nhân nặng (180 trong 200 người), còn ở A chỉ một nửa, nên tỉ lệ chung của B bị nhóm khó chữa kéo xuống. Kết luận đúng phụ thuộc vào câu hỏi: muốn so sánh chất lượng điều trị, phải so trong từng nhóm bệnh nhân tương tự nhau.

B10. Pha nước chanh theo tỉ lệ nước cốt với nước là \(1 : 4\). (a) Có 150 ml nước cốt thì cần bao nhiêu nước, và được tổng cộng bao nhiêu? (b) Muốn có đúng 1 lít nước chanh thì cần bao nhiêu mỗi thứ?

Lời giải

(a) Nước gấp 4 lần nước cốt: \(4 \cdot 150 = 600\) ml. Tổng cộng \(750\) ml.

(b) Nước cốt chiếm 1 phần trong \(1 + 4 = 5\) phần, tức \(\frac15\) của hỗn hợp: \(\frac15 \cdot 1000 = 200\) ml nước cốt, và \(800\) ml nước.

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh phép nhân phân số không phụ thuộc đại diện: nếu \(\frac ab = \frac{a'}{b'}\) và \(\frac cd = \frac{c'}{d'}\) thì \(\frac{ac}{bd} = \frac{a'c'}{b'd'}\).

Lời giải

Cần chứng minh \(a c \cdot b' d' = b d \cdot a' c'\). Sắp lại vế trái nhờ giao hoán và kết hợp: \(a c b' d' = (a b') \cdot (c d')\). Theo giả thiết, \(a b' = a' b\) và \(c d' = c' d\), nên vế trái bằng \((a' b) \cdot (c' d) = b d \cdot a' c'\), đúng là vế phải. \(\square\)

C2. Cho \(b\) và \(d\) dương và \(\frac ab < \frac cd\). Chứng minh rằng \(\frac ab < \frac{a + c}{b + d} < \frac cd\). Giải thích ý nghĩa của kết quả này với tỉ lệ khi gộp hai nhóm.

Lời giải

Với mẫu dương, \(\frac xy < \frac zw\) khi và chỉ khi \(x w < y z\) (bài B4). Giả thiết \(\frac ab < \frac cd\) cho \(a d < b c\).

Bất đẳng thức trái, \(\frac ab < \frac{a + c}{b + d}\), tương đương với \(a(b + d) < b(a + c)\), tức \(a b + a d < a b + b c\), tức \(a d < b c\): đúng.

Bất đẳng thức phải, \(\frac{a + c}{b + d} < \frac cd\), tương đương với \((a + c) d < (b + d) c\), tức \(a d + c d < b c + c d\), tức \(a d < b c\): đúng. \(\square\)

Ý nghĩa: khi gộp hai nhóm, tỉ lệ chung luôn nằm giữa hai tỉ lệ riêng. Nó không bao giờ tốt hơn nhóm tốt nhất hay tệ hơn nhóm tệ nhất. Nhưng nó nằm gần nhóm nào thì tùy nhóm nào đông hơn; đó là cơ chế của nghịch lý Simpson.

C3. Chứng minh công thức chia phân số trực tiếp từ định nghĩa: với \(b\), \(c\), \(d\) khác 0, số \(z\) duy nhất thỏa \(\frac cd \cdot z = \frac ab\) là \(z = \frac{a d}{b c}\).

Lời giải

Thử \(z = \frac{a d}{b c}\): \(\frac cd \cdot \frac{a d}{b c} = \frac{c a d}{d b c}\). Vì \(c \cdot a \cdot d \cdot b = d \cdot b \cdot c \cdot a\), theo Định nghĩa 1 phân số này bằng \(\frac ab\). Vậy \(z\) thỏa phương trình.

Nếu có \(z'\) khác cũng thỏa, thì \(\frac cd \cdot z = \frac cd \cdot z'\). Nhân hai vế với \(\frac dc\), là số mà nhân với \(\frac cd\) thì bằng 1, ta được \(z = z'\). Vậy \(z = \frac{a d}{b c}\) là duy nhất, tức \(\frac ab : \frac cd = \frac ab \cdot \frac dc\). \(\square\)

Câu hỏi để ngỏ

Các phân số phủ trục số dày đặc: giữa hai phân số bất kỳ luôn có một phân số khác, và giữa chúng lại có phân số khác nữa, mãi mãi. Tưởng như không còn chỗ trống nào. Vậy mà vẫn có thể hỏi: có một độ dài nào mà không phân số nào đo đúng được không? Chẳng hạn, đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1 dài bao nhiêu?