Chương 27: Hàm tuyến tính

Câu hỏi mở đầu

Trong mọi quy luật, loại nào đơn giản nhất, thay đổi đều đặn như từng bước chân? Và vì sao loại đơn giản ấy lại xuất hiện ở khắp nơi?

Thay đổi đều

Một người đi bộ đều, mỗi phút thêm 80 mét (số liệu giả định). Cước taxi ở Chương 22, sau km đầu, mỗi km thêm 15.000 đồng. Đổi nhiệt độ, mỗi độ C thêm 1,8 độ F. Ba quy luật nói về ba chuyện khác nhau, nhưng có chung một cấu trúc: mỗi khi đầu vào tăng 1 đơn vị, đầu ra tăng thêm một lượng \(m\) không đổi, bất kể đang ở đâu.

Chỉ riêng điều ấy đã quyết định quy luật. Gọi \(b\) là đầu ra khi đầu vào bằng 0. Đi thêm \(x\) đơn vị, đầu ra tăng \(x\) lần lượng \(m\), nên

\[ y = mx + b. \]

Người đi bộ xuất phát cách nhà 200 mét thì sau \(x\) phút cách nhà \(80x + 200\) mét. Không cần thêm giả thiết nào: "thay đổi đều" và "có dạng \(mx + b\)" là một (Định lý 2 nói chính xác điều này).

Vì sao cấu trúc này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì "đều" là giả thiết đơn giản nhất có thể có về sự thay đổi, và rất nhiều quy luật thật sự đều: đổi đơn vị đo, giá mỗi ki-lô-gam không đổi, tốc độ không đổi. Nhiều quy luật khác không đều nhưng gần đều nếu chỉ xét một khoảng ngắn: mục Ranh giới sẽ cho thấy một đường cong nhìn đủ gần thì trông như đường thẳng. Quy luật đều là mảnh ghép nhỏ nhất mà ta dùng để hiểu mọi quy luật khác.

Hệ số góc không phụ thuộc cặp điểm

Với \(y = mx + b\), lấy hai đầu vào bất kỳ \(x_1 \neq x_2\). Đầu ra chênh nhau \((mx_2 + b) - (mx_1 + b) = m(x_2 - x_1)\), nên tỉ số giữa độ tăng của đầu ra và độ tăng của đầu vào luôn là \(m\), dù chọn cặp điểm nào. Trên đồ thị, đi ngang một đoạn rồi đi đứng một đoạn để từ điểm này tới điểm kia, ta được một tam giác vuông; các tam giác như thế trên cùng một đường thẳng đều đồng dạng (Chương 3), nên tỉ số "lên bao nhiêu trên đi ngang bao nhiêu" không đổi. Chính vì tỉ số ấy không đổi mà đồ thị không cong đi đâu cả: nó là một đường thẳng.

Trên đường \(y = 0{,}5x + 1\), đi ngang 2 thì lên 1, đi ngang 4 thì lên 2. Hai tam giác đồng dạng, và tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x} = 0{,}5\) không phụ thuộc chỗ ta đo.

Chương 10 đã hẹn quay lại điều này. Ở đó, các cặp (mẫu; tử) của cùng một phân số nằm trên một đường thẳng qua gốc. Đường thẳng qua \((0; 0)\) và \((q; p)\) có tỉ số "lên trên đi ngang" là \(\frac{p}{q}\): một phân số chính là độ dốc của một đường thẳng qua gốc.

Ký hiệu

Một hàm tuyến tính (linear function), theo nghĩa dùng trong chương này, là hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dạng \(f(x) = mx + b\). Số \(m\) là hệ số góc (slope) của nó, thường gọi nôm na là độ dốc; số \(b = f(0)\) là tung độ gốc (y-intercept), tung độ của điểm đồ thị cắt trục tung. Sách giáo khoa gọi hàm \(y = ax + b\) với \(a \neq 0\) là hàm số bậc nhất; khi \(m = 0\), hàm \(f(x) = b\) cho cùng một đầu ra với mọi đầu vào và gọi là hàm hằng (constant function).

Ký hiệu \(\Delta\) (chữ Hy Lạp đen-ta) chỉ độ thay đổi: \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\). Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm \((x_1; y_1)\) và \((x_2; y_2)\) với \(x_1 \neq x_2\) là

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Đơn vị của hệ số góc là đơn vị của đầu ra chia cho đơn vị của đầu vào: mét mỗi phút, đồng mỗi km, độ F mỗi độ C. Biết một điểm \((x_1; y_1)\) và hệ số góc \(m\), đường thẳng là \(y - y_1 = m(x - x_1)\).

Đoán giá trị ở giữa hai điểm đã biết bằng đường thẳng nối chúng là nội suy tuyến tính (linear interpolation); kéo dài đường thẳng ấy ra ngoài khoảng giữa hai điểm để đoán là ngoại suy (extrapolation).

Các đường \(y = mx + 1\) cùng đi qua \((0; 1)\). Hệ số góc dương thì đường đi lên, âm thì đi xuống, bằng 0 thì nằm ngang; trị tuyệt đối càng lớn, đường càng dốc.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (đường thẳng qua hai điểm). Qua \((1; 3)\) và \((4; 12)\): \(m = \frac{12 - 3}{4 - 1} = 3\), rồi \(b = 3 - 3 \cdot 1 = 0\). Vậy \(y = 3x\), một quan hệ tỉ lệ thuận: đường thẳng đi qua gốc. Qua \((1; 5)\) và \((3; 9)\): \(m = \frac{9 - 5}{3 - 1} = 2\), \(b = 5 - 2 = 3\), và \(y = 2x + 3\); đường này không qua gốc, nên \(y\) không tỉ lệ thuận với \(x\) dù thay đổi đều.

Ví dụ 2 (ý nghĩa của từng hệ số). Trong \(F = 1{,}8\,C + 32\), hệ số góc \(1{,}8\) có đơn vị độ F mỗi độ C: một độ C "to" bằng 1,8 độ F, nên nóng thêm 10 độ C là nóng thêm 18 độ F. Tung độ gốc 32 là số đo theo độ F của 0 độ C, nhiệt độ nước đá tan. Hai số nói hai chuyện khác nhau: một số nói về cỡ của đơn vị, một số nói về chỗ đặt mốc 0.

Ví dụ 3 (hai giá thuê xe). Công ty A (giá giả định) lấy 200.000 đồng mỗi ngày cộng 3.000 đồng mỗi km; công ty B lấy 100.000 đồng mỗi ngày cộng 5.000 đồng mỗi km. Tính theo nghìn đồng, với \(x\) km:

\[ A(x) = 3x + 200, \qquad B(x) = 5x + 100. \]

Hai giá bằng nhau khi \(3x + 200 = 5x + 100\), tức \(x = 50\), khi ấy cùng là 350 nghìn đồng. Đi dưới 50 km thì B rẻ hơn, trên 50 km thì A rẻ hơn: hệ số góc nhỏ hơn thắng khi quãng đường đủ dài, tung độ gốc nhỏ hơn thắng khi quãng đường ngắn.

Hai giá thuê xe giả định, tính bằng nghìn đồng. Hai đường cắt nhau tại \((50; 350)\): dưới 50 km công ty B rẻ hơn, trên 50 km công ty A rẻ hơn.

Ví dụ 4 (đường vuông góc qua một điểm). Tìm đường thẳng đi qua \((4; 1)\) và vuông góc với \(y = 2x + 3\). Theo Định lý 5, hệ số góc của nó là \(m\) với \(2m = -1\), tức \(m = -\frac12\). Vậy \(y - 1 = -\frac12(x - 4)\), hay \(y = -\frac12 x + 3\). Hai đường cắt nhau khi \(2x + 3 = -\frac12 x + 3\), tức \(x = 0\), tại điểm \((0; 3)\). Khoảng cách từ \((4; 1)\) tới đường \(y = 2x + 3\) chính là khoảng cách từ nó tới chân đường vuông góc: \(\sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt5\). Còn đường qua \((4; 1)\) song song với \(y = 2x + 3\) thì có cùng hệ số góc 2: \(y = 2x - 7\).

Đường \(y = 2x + 3\), một đường song song với nó (cùng hệ số góc 2), và đường vuông góc với nó qua \((4; 1)\), có hệ số góc \(-\frac12\). Tích hai hệ số góc vuông góc là \(-1\).

Ví dụ 5 (nội suy tuyến tính). Bảng nhiệt độ giả định ở Chương 22 cho 26 độ lúc 9 giờ và 31 độ lúc 12 giờ. Đường thẳng qua hai điểm ấy có hệ số góc \(\frac{31 - 26}{12 - 9} = \frac53\) độ mỗi giờ, nên

\[ T(t) = 26 + \frac53 (t - 9), \]

và lúc 10 giờ 30, \(T(10{,}5) = 26 + \frac53 \cdot 1{,}5 = 28{,}5\) độ, đúng như lời đoán ở Chương 22. Công thức cho thấy giả định nằm ở đâu: nhiệt độ được coi là tăng đều \(\frac53\) độ mỗi giờ suốt ba giờ ấy.

Ranh giới

"Tuyến tính" có hai nghĩa. Đồ thị của \(f(x) = 2x + 3\) là một đường thẳng, nên theo nghĩa của chương này nó là hàm tuyến tính. Nhưng nó không thỏa \(f(a + b) = f(a) + f(b)\), vì \(f(0) = 3 \neq 0\) (Chương 22, Mệnh đề 7). Trong số các hàm \(mx + b\), chỉ những hàm tỉ lệ thuận \(mx\) thỏa cả \(f(a + b) = f(a) + f(b)\) lẫn \(f(ka) = k f(a)\) (Mệnh đề 6). Phần VI, về đại số tuyến tính, sẽ dùng chữ "tuyến tính" theo nghĩa chặt này; khi đó, hàm \(mx + b\) nói chung được gọi là hàm afin (affine function), và chữ "tuyến tính" chỉ dành cho những hàm \(mx\).

Đường thẳng đứng không có hệ số góc. Đường \(x = 3\) gồm các điểm \((3; y)\). Hai điểm bất kỳ trên nó có \(\Delta x = 0\), nên tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) không có nghĩa (Chương 9). Nó cũng không phải đồ thị của hàm nào: đường thẳng đứng \(x = 3\) cắt tập điểm ấy, tức chính nó, tại vô số điểm, nên phép thử đường thẳng đứng thất bại (Chương 23, Mệnh đề 5).

Ngoại suy một quy luật không đều thì sai xa. Hàm \(2^x\) nhận giá trị 1 tại \(x = 0\) và 2 tại \(x = 1\). Đường thẳng qua hai điểm ấy là \(y = x + 1\). Ngoại suy tới \(x = 10\), đường thẳng cho 11, còn \(2^{10} = 1024\). Một quy luật nhân đôi sau mỗi bước không thay đổi đều, và đường thẳng chỉ tả đúng nó trong một khoảng rất ngắn. Chương 29 sẽ nói về loại quy luật ấy.

Nhìn gần, một đường cong trông như đường thẳng. Phóng to đồ thị của \(y = x^2\) quanh điểm \((1; 1)\). Trong khung rộng, nó cong rõ ràng. Thu khung lại mười lần, rồi mười lần nữa, đường cong gần như trùng với đường thẳng \(y = 2x - 1\) đi qua \((1; 1)\). Hệ số góc giữa \((1; 1)\) và một điểm gần đó \((1 + h; (1 + h)^2)\) là \(\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h\), càng gần 2 khi \(h\) càng nhỏ. Vì thế quy luật tuyến tính có mặt ở khắp nơi: nhìn đủ gần, nhiều quy luật không đều cũng gần như đều. Phần IV sẽ biến ý "nhìn đủ gần" thành một khái niệm chính xác.

Đồ thị \(y = x^2\) (liền) và đường thẳng \(y = 2x - 1\) (đứt) quanh điểm \((1; 1)\), với khung nhìn thu nhỏ dần. Trong khung hẹp nhất, hai đường gần như không phân biệt được.

Phát biểu chặt chẽ

Định nghĩa 1. Hàm tuyến tính là hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = mx + b\) với \(m, b \in \mathbb{R}\); \(m\) là hệ số góc, \(b\) là tung độ gốc.

Định lý 2 (thay đổi đều). Cho \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) và một số \(m\). Tỉ số \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\) bằng \(m\) với mọi \(x_1 \neq x_2\) khi và chỉ khi \(f(x) = mx + b\) với một số \(b\) nào đó.

Chứng minh. Nếu \(f(x) = mx + b\) thì \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{m(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = m\). Ngược lại, giả sử tỉ số luôn bằng \(m\). Đặt \(b = f(0)\). Với \(x \neq 0\), lấy \(x_1 = 0\), \(x_2 = x\): \(\dfrac{f(x) - b}{x} = m\), nên \(f(x) = mx + b\); với \(x = 0\) đẳng thức cũng đúng. \(\square\)

Hệ quả 3 (đường thẳng qua hai điểm). Với hai điểm \((x_1; y_1)\), \((x_2; y_2)\) mà \(x_1 \neq x_2\), có đúng một hàm tuyến tính có đồ thị đi qua cả hai, với \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) và \(b = y_1 - m x_1\).

Chứng minh. Hàm \(mx + b\) đi qua hai điểm khi và chỉ khi \(mx_1 + b = y_1\) và \(mx_2 + b = y_2\). Trừ hai đẳng thức: \(m(x_2 - x_1) = y_2 - y_1\), nên \(m\) chỉ có thể là \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), rồi \(b = y_1 - m x_1\). Kiểm lại, cặp \(m\), \(b\) ấy thỏa cả hai đẳng thức. \(\square\)

Định lý 4 (song song). Hai đường thẳng khác nhau \(y = m_1 x + b_1\) và \(y = m_2 x + b_2\) không có điểm chung khi và chỉ khi \(m_1 = m_2\).

Chứng minh. Điểm chung có hoành độ thỏa \((m_1 - m_2)x = b_2 - b_1\). Nếu \(m_1 \neq m_2\), phương trình có đúng một nghiệm: hai đường cắt nhau tại một điểm. Nếu \(m_1 = m_2\) thì vì hai đường khác nhau, \(b_1 \neq b_2\), và phương trình thành \(0 = b_2 - b_1 \neq 0\): vô nghiệm. \(\square\)

Định lý 5 (vuông góc). Hai đường thẳng không đứng, với hệ số góc \(m_1\) và \(m_2\), vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(m_1 m_2 = -1\).

Chứng minh. Tịnh tiến không làm đổi hệ số góc (Chương 23, Mệnh đề 6) và không làm đổi góc giữa hai đường, nên có thể giả sử cả hai đi qua gốc: \(y = m_1 x\) và \(y = m_2 x\). Nếu \(m_1 = m_2\), hai đường trùng nhau, không vuông góc, và \(m_1 m_2 = m_1^2 \geq 0 \neq -1\). Giả sử \(m_1 \neq m_2\) và lấy \(P(1; m_1)\), \(Q(1; m_2)\) trên hai đường. Hai đường vuông góc khi và chỉ khi tam giác \(OPQ\) vuông tại \(O\), tức, theo định lý Pythagoras và định lý đảo của nó (Chương 23, bài C1), khi và chỉ khi \(OP^2 + OQ^2 = PQ^2\):

\[ (1 + m_1^2) + (1 + m_2^2) = (m_1 - m_2)^2 \iff 2 + m_1^2 + m_2^2 = m_1^2 - 2m_1 m_2 + m_2^2 \iff m_1 m_2 = -1. \]

\(\square\)

Mệnh đề 6 (tuyến tính theo nghĩa chặt). Hàm \(f(x) = mx + b\) thỏa \(f(u + v) = f(u) + f(v)\) với mọi \(u, v \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(b = 0\); khi đó nó cũng thỏa \(f(ku) = k f(u)\) với mọi \(k, u\).

Chứng minh. Nếu \(b = 0\): \(m(u + v) = mu + mv\) và \(m(ku) = k(mu)\). Ngược lại, lấy \(u = v = 0\): \(b = f(0) = f(0) + f(0) = 2b\), nên \(b = 0\). \(\square\)

Sợi chỉ

• S1. Bất biến qua biến đổi. Hệ số góc là cái không đổi dọc một đường thẳng: đo ở đâu, bằng cặp điểm nào, tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) cũng như nhau (Định lý 2), vì các tam giác đi ngang rồi đi đứng đều đồng dạng. Tịnh tiến một đường thẳng (Chương 23) không làm đổi hệ số góc của nó.
• S7. Xấp xỉ và sai số. Nội suy tuyến tính thay một quy luật chưa biết bằng một đường thẳng giữa hai điểm đã biết, đúng như lời đoán nhiệt độ ở Chương 22; ngoại suy kéo đường thẳng ra ngoài và có thể sai rất xa, như với \(2^x\). Sai số là cái giá của giả định "thay đổi đều".
• S4. Cục bộ và toàn cục. Nhìn gần, đồ thị \(y = x^2\) gần như trùng một đường thẳng; nhìn xa, nó cong rõ ràng. Trông như đường thẳng khi nhìn đủ gần là một tính chất cục bộ mà nhiều quy luật có; Phần IV sẽ đo chính xác tính chất ấy.

Tóm tắt

• Quy luật thay đổi đều, mỗi bước 1 của đầu vào cho cùng một bước \(m\) của đầu ra, chính là \(y = mx + b\); đồ thị của nó là một đường thẳng.
• Hệ số góc \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) không phụ thuộc cặp điểm được chọn (tam giác đồng dạng); nó có đơn vị là đơn vị đầu ra chia cho đơn vị đầu vào. Tung độ gốc \(b = f(0)\) là chỗ đặt mốc.
• Qua hai điểm có hoành độ khác nhau có đúng một đường thẳng; một phân số là hệ số góc của một đường thẳng qua gốc.
• Hai đường thẳng song song khi cùng hệ số góc, vuông góc khi tích hệ số góc bằng \(-1\) (chứng minh bằng định lý Pythagoras).
• Nội suy tuyến tính đoán giá trị giữa hai điểm; ngoại suy kéo dài đường thẳng và có thể sai rất xa với một quy luật không đều.
• "Tuyến tính" theo nghĩa chặt, \(f(a + b) = f(a) + f(b)\), chỉ đúng với tỉ lệ thuận \(y = mx\); hàm \(mx + b\) nói chung gọi là hàm afin.
• Nhìn đủ gần, một đường cong không gãy góc trông gần như thẳng; vì thế quy luật tuyến tính có mặt ở khắp nơi.

Bài tập

A. Tư duy

A1. Vì sao "thay đổi đều" lại dẫn tới một đồ thị thẳng, chứ không phải một đường cong đều đặn nào đó, như một cung tròn?

Lời giải

"Thay đổi đều" nói rằng tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) như nhau cho mọi cặp điểm. Với ba điểm bất kỳ \(A\), \(B\), \(C\) trên đồ thị, hệ số góc từ \(A\) tới \(B\) bằng hệ số góc từ \(B\) tới \(C\), nên đi từ \(A\) tới \(B\) rồi tới \(C\) không hề đổi hướng: ba điểm thẳng hàng (bài C2). Một cung tròn thì đổi hướng liên tục: hệ số góc giữa các cặp điểm gần nhau thay đổi dọc theo cung. "Đều" theo nghĩa của hàm là "cùng hướng mãi", và đó là đường thẳng.

A2. Một công ty điện (giả định) tính tiền điện hằng tháng theo công thức \(T = 2.000k + 50.000\) đồng với \(k\) là số kWh. Giải thích ý nghĩa và đơn vị của 2.000 và của 50.000. Dùng thêm 10 kWh thì tiền tăng bao nhiêu?

Lời giải

2.000 là hệ số góc, đơn vị đồng mỗi kWh: giá của mỗi kWh dùng thêm. 50.000 là tung độ gốc, đơn vị đồng: khoản phải trả ngay cả khi không dùng kWh nào, như một phí cố định. Dùng thêm 10 kWh thì tiền tăng \(2.000 \cdot 10 = 20.000\) đồng, bất kể đang dùng bao nhiêu: đó là nghĩa của "thay đổi đều".

A3. Một cây non (số liệu giả định) cao 2 m lúc 5 tuổi và 4 m lúc 10 tuổi. Một người ngoại suy: "Vậy lúc 50 tuổi cây cao 20 m, lúc 200 tuổi cao 80 m." Lập luận này đúng tới đâu?

Lời giải

Đường thẳng qua \((5; 2)\) và \((10; 4)\) có hệ số góc \(0{,}4\) m mỗi năm, và cho đúng 20 m lúc 50 tuổi, 80 m lúc 200 tuổi. Phép tính không sai; giả định mới là chỗ yếu: nó coi cây cao thêm đều 0,4 m mỗi năm mãi mãi. Hai số đo chỉ nói về khoảng từ 5 tới 10 tuổi; bên ngoài khoảng ấy, cây lớn chậm dần rồi dừng, và đường thẳng không biết điều đó. Ngoại suy càng xa khoảng đã đo, càng dễ sai.

B. Tính toán

B1. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm: (a) \((0; 2)\) và \((3; 8)\); (b) \((-1; 4)\) và \((2; -2)\); (c) \((2; 5)\) và \((6; 5)\); (d) \((3; 1)\) và \((3; 7)\).

Lời giải

(a) \(m = \frac{8 - 2}{3} = 2\), \(b = 2\): \(y = 2x + 2\). (b) \(m = \frac{-2 - 4}{2 - (-1)} = -2\), \(b = 4 + 2 \cdot (-1) = 2\): \(y = -2x + 2\). (c) \(m = 0\): \(y = 5\), một hàm hằng. (d) Hai điểm cùng hoành độ 3: đường thẳng đứng \(x = 3\), không có hệ số góc và không phải đồ thị của một hàm.

B2. Tìm hệ số góc, tung độ gốc và giao điểm với trục hoành của đường thẳng \(3x + 2y = 6\).

Lời giải

Giải theo \(y\): \(y = -1{,}5x + 3\). Hệ số góc \(-1{,}5\), tung độ gốc 3. Giao với trục hoành khi \(y = 0\): \(x = 2\), tức điểm \((2; 0)\).

B3. Mỗi cặp đường thẳng sau song song, vuông góc hay không? (a) \(y = 2x + 1\) và \(y = 2x - 3\); (b) \(y = 2x + 1\) và \(y = -\frac12 x + 4\); (c) \(y = 3x\) và \(y = -3x\); (d) \(y = \frac13 x - 1\) và \(y = -3x + 2\).

Lời giải

(a) Song song: cùng hệ số góc 2, khác tung độ gốc. (b) Vuông góc: \(2 \cdot (-\frac12) = -1\). (c) Không: \(3 \cdot (-3) = -9\), và hai hệ số góc khác nhau nên cắt nhau (tại gốc) mà không vuông góc. (d) Vuông góc: \(\frac13 \cdot (-3) = -1\).

B4. Viết phương trình đường thẳng qua \((2; -1)\) và (a) song song với \(y = 4x + 7\); (b) vuông góc với \(y = 4x + 7\).

Lời giải

(a) \(m = 4\): \(y + 1 = 4(x - 2)\), tức \(y = 4x - 9\). (b) \(m = -\frac14\): \(y + 1 = -\frac14(x - 2)\), tức \(y = -\frac14 x - \frac12\).

B5. Với hai giá thuê xe ở Ví dụ 3, đi 30 km thì mỗi công ty lấy bao nhiêu? Đi 80 km thì sao?

Lời giải

30 km: \(A = 3 \cdot 30 + 200 = 290\) và \(B = 5 \cdot 30 + 100 = 250\) nghìn đồng; B rẻ hơn. 80 km: \(A = 440\) và \(B = 500\) nghìn đồng; A rẻ hơn. Đúng như dự đoán: hai đường đổi chỗ tại 50 km.

B6. Đổi tốc độ từ km/giờ sang m/giây là một hàm tuyến tính. Tìm hệ số góc và tung độ gốc của nó, rồi đổi 72 km/giờ.

Lời giải

1 km/giờ là \(\frac{1000}{3600} = \frac{1}{3{,}6}\) m/giây, nên \(v_{\text{m/s}} = \frac{1}{3{,}6} v_{\text{km/h}}\): hệ số góc \(\frac{1}{3{,}6}\), tung độ gốc 0 (0 km/giờ là 0 m/giây, nên đây là tỉ lệ thuận, khác với đổi độ C sang độ F). \(72\) km/giờ là \(\frac{72}{3{,}6} = 20\) m/giây.

B7. Nước được bơm đều vào một bể (số liệu giả định): sau 2 phút mực nước cao 14 cm, sau 5 phút cao 26 cm. Tìm tốc độ dâng, mực nước ban đầu, và thời điểm mực nước đạt 50 cm.

Lời giải

Hệ số góc: \(\frac{26 - 14}{5 - 2} = 4\) cm mỗi phút. Mực nước ban đầu: \(14 - 4 \cdot 2 = 6\) cm. Vậy \(h(t) = 4t + 6\), và \(4t + 6 = 50\) khi \(t = 11\) phút.

B8. Đường thẳng qua \((0; 1)\) và \((1; 2)\) của đồ thị \(2^x\) là \(y = x + 1\). So sánh giá trị của đường thẳng và của \(2^x\) tại \(x = 5\) và \(x = 10\).

Lời giải

Tại \(x = 5\): đường thẳng cho 6, còn \(2^5 = 32\). Tại \(x = 10\): đường thẳng cho 11, còn \(2^{10} = 1024\). Ngoại suy tuyến tính cho một quy luật nhân đôi sai tới gần 100 lần chỉ sau 10 bước.

B9. Tính hệ số góc giữa hai điểm \((1; 1)\) và \((1 + h; (1 + h)^2)\) của đồ thị \(y = x^2\) với \(h = 1\); \(0{,}1\); \(0{,}01\); \(-0{,}01\). Các số ấy dồn về đâu?

Lời giải

Hệ số góc là \(\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h\). Với bốn giá trị của \(h\): \(3\); \(2{,}1\); \(2{,}01\); \(1{,}99\). Chúng dồn về 2, hệ số góc của đường thẳng \(y = 2x - 1\) mà đồ thị gần như trùng khi phóng to quanh \((1; 1)\).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Một hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa \(f(x + 1) - f(x) = 1\) với mọi \(x\). Có phải \(f\) là hàm tuyến tính không? Xét \(f(x) = 2x - \lfloor x \rfloor\).

Lời giải

Không nhất thiết. Với \(f(x) = 2x - \lfloor x \rfloor\): \(f(x + 1) = 2x + 2 - (\lfloor x \rfloor + 1) = f(x) + 1\), nên điều kiện đúng với mọi \(x\). Nhưng \(f(0) = 0\), \(f(0{,}5) = 1\), \(f(1) = 1\): hệ số góc từ 0 tới 0,5 là 2, từ 0,5 tới 1 là 0. Tỉ số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) thay đổi theo cặp điểm, nên theo Định lý 2, \(f\) không tuyến tính. "Mỗi bước 1 tăng đúng 1" chỉ kiểm tra những bước dài đúng 1; "thay đổi đều" đòi mọi cặp điểm. Trên các số tự nhiên thì khác: nếu \(f(n + 1) - f(n) = m\) với mọi số tự nhiên \(n\), quy nạp (Chương 18) cho \(f(n) = mn + f(0)\).

C2. Chứng minh rằng ba điểm \((x_1; y_1)\), \((x_2; y_2)\), \((x_3; y_3)\) với \(x_1 < x_2 < x_3\) nằm trên một đường thẳng không đứng khi và chỉ khi hệ số góc từ điểm thứ nhất tới điểm thứ hai bằng hệ số góc từ điểm thứ hai tới điểm thứ ba. Áp dụng cho \((1; 2)\), \((3; 6)\), \((5; 10)\) và cho \((1; 2)\), \((3; 6)\), \((4; 9)\).

Lời giải

Nếu ba điểm nằm trên đồ thị của \(mx + b\), theo Định lý 2, cả hai hệ số góc bằng \(m\). Ngược lại, giả sử hai hệ số góc cùng bằng \(m\). Theo Hệ quả 3, đường thẳng qua hai điểm đầu là \(y = m(x - x_1) + y_1\). Điểm thứ ba có \(y_3 - y_2 = m(x_3 - x_2)\), nên \(y_3 = m(x_3 - x_2) + m(x_2 - x_1) + y_1 = m(x_3 - x_1) + y_1\): nó cũng nằm trên đường ấy. \(\square\)

Với \((1; 2)\), \((3; 6)\), \((5; 10)\): hai hệ số góc đều là 2, nên thẳng hàng. Với \((1; 2)\), \((3; 6)\), \((4; 9)\): hệ số góc là 2 rồi 3, nên không thẳng hàng.

C3. Chứng minh rằng hợp của hai hàm tuyến tính là hàm tuyến tính, với hệ số góc bằng tích hai hệ số góc. Tìm mọi hàm tuyến tính \(f\) với \(f \circ f = f\).

Lời giải

Với \(f(x) = m_1 x + b_1\) và \(g(x) = m_2 x + b_2\): \((g \circ f)(x) = m_2(m_1 x + b_1) + b_2 = m_1 m_2 x + (m_2 b_1 + b_2)\), một hàm tuyến tính có hệ số góc \(m_1 m_2\). \(\square\) Đổi đơn vị hai lần thì hai hệ số nhân với nhau, như đổi độ C sang độ F rồi sang kelvin ở Chương 24 cho hệ số \(1{,}8 \cdot \frac{1}{1{,}8} = 1\).

\(f \circ f = f\) nghĩa là \(m^2 x + mb + b = mx + b\) với mọi \(x\), tức \(m^2 = m\) và \(mb = 0\). Nếu \(m = 0\): mọi \(b\) đều được, \(f\) là hàm hằng (làm lần hai chẳng thay đổi gì nữa). Nếu \(m = 1\) thì \(b = 0\): \(f\) là hàm đồng nhất.

Câu hỏi để ngỏ

Khi tốc độ thay đổi không còn là hằng số mà chính nó thay đổi đều đặn, như một vật rơi càng lúc càng nhanh, thì hình dạng của quy luật là gì?