Chương 7: Số âm¶
Câu hỏi mở đầu
\(3 - 5\) bằng bao nhiêu? Trong thế giới số đếm, câu hỏi này không có đáp án: không số tự nhiên nào cộng với 5 mà được 3. Có nên "mở rộng thế giới" để mọi phép trừ đều có đáp án không? Và nếu có, thì những số mới ấy phải tuân theo luật nào, để các luật cộng và nhân mà ta đã chứng minh không bị phá vỡ?
Một phép trừ không có đáp án¶
Ở Chương 6, ta đã thấy \(3 - 5\) không tồn tại trong các số tự nhiên. Nhưng thế giới thì không chờ số học. Buổi sáng trời 3 độ, đến đêm lạnh thêm 5 độ: nhiệt độ xuống dưới mức 0. Tài khoản có 3 triệu đồng, chi tiêu 5 triệu đồng: ta nợ 2 triệu. Thang máy ở tầng 3 đi xuống 5 tầng: ta ở tầng hầm thứ hai. Những tình huống "dưới mức không" đã có sẵn; chỉ có hệ thống số của ta là chưa có tên cho chúng.
Ta có hai lựa chọn. Lựa chọn thứ nhất: tuyên bố \(3 - 5\) là vô nghĩa, và mỗi lần gặp nó thì đổi cách nói ("nợ 2" thay vì "có \(-2\)"). Lựa chọn thứ hai: mở rộng thế giới số, thêm những số mới làm đáp án cho mọi phép trừ.
Nếu chọn cách thứ hai, ta còn phải quyết định các số mới cư xử thế nào. Ở đây có một nguyên tắc rất mạnh, gọi là nguyên lý giữ luật (principle of permanence): khi mở rộng, các luật cũ phải còn đúng. Ta muốn phép cộng vẫn giao hoán, kết hợp; phép nhân vẫn giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng; 0 và 1 vẫn là phần tử trung hòa. Chọn nguyên lý này là một quyết định của con người. Nhưng một khi đã chọn, mọi thứ còn lại, kể cả quy tắc "âm nhân âm ra dương" mà nhiều người từng học thuộc như một điều bí ẩn, đều bị ép buộc. Đó lại là bài học của Chương 1: ta chọn luật chơi, không chọn được hệ quả.
Ba cách nhìn một số âm¶
Trước khi dùng ký hiệu, hãy hình dung số âm theo ba cách. Mỗi cách soi sáng một mặt.
Vị trí trên trục số. Vẽ các số tự nhiên thành những vạch cách đều trên một đường thẳng: 0, 1, 2, 3, ... đi về bên phải. Không có gì ngăn ta kéo dài đường thẳng ấy sang bên trái và đặt thêm những vạch mới: âm 1, âm 2, âm 3, ... Số âm là những vị trí bên trái số 0.
Dịch chuyển. Một số cũng có thể là một bước đi: "3" là đi sang phải 3 bước, "âm 5" là đi sang trái 5 bước. Cộng hai số là đi hai bước liên tiếp. Khi đó \(3 - 5\) có nghĩa rõ ràng: đứng ở 3, đi sang trái 5 bước, ta dừng ở âm 2.
Có và nợ. Số dương là tiền có, số âm là tiền nợ. Có 3 triệu, nợ thêm 5 triệu, thì tính gộp là nợ 2 triệu.
Cả ba cách nhìn cho cùng một điều quan trọng: với mỗi số \(a\) có một số "ngược hướng" với nó, sao cho đi \(a\) rồi đi ngược lại thì về chỗ cũ. Số ấy gọi là số đối (opposite) của \(a\). Đi phải 5 rồi đi trái 5 thì đứng yên: số đối của 5 là âm 5, và ngược lại. Đây đúng là phép tháo ngược của Chương 6: cộng số đối tháo ngược việc cộng.
Khi mọi số đều có số đối, phép trừ luôn làm được: trừ đi một số chính là cộng với số đối của nó. Lỗ hổng \(3 - 5\) đã được lấp.
Ký hiệu¶
Nhóm gồm các số tự nhiên và các số âm \(-1, -2, -3, \dots\) gọi là các số nguyên (integers), ký hiệu \(\mathbb{Z} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\}\). Các số lớn hơn 0 gọi là số dương (positive number), các số nhỏ hơn 0 gọi là số âm (negative number); số 0 không dương cũng không âm.
Dấu "trừ" giờ mang hai nghĩa, và đây là một quy ước dễ gây nhầm:
- đặt giữa hai số, \(a - b\), nó là phép trừ;
- đặt trước một số, \(-a\), nó chỉ số đối của \(a\), xác định bởi \(a + (-a) = 0\).
Nghĩa thứ hai không có nghĩa là "\(-a\) là số âm". Nếu \(a = -3\) thì \(-a = -(-3) = 3\), một số dương. Ký hiệu \(-a\) đọc là "số đối của \(a\)" thì an toàn hơn đọc là "âm \(a\)".
Hai nghĩa được nối với nhau bởi định nghĩa: \(a - b = a + (-b)\).
Thứ tự trên \(\mathbb{Z}\) theo trục số: \(a < b\) khi \(a\) nằm bên trái \(b\). Chẳng hạn \(-5 < -2 < 0 < 3\). Để ý rằng \(-5 < -2\) dù 5 lớn hơn 2: nợ 5 triệu tệ hơn nợ 2 triệu.
Trị tuyệt đối (absolute value) của \(a\), ký hiệu \(|a|\), là khoảng cách từ \(a\) tới 0 trên trục số, không kể hướng: \(|3| = 3\), \(|-3| = 3\), \(|0| = 0\). Khoảng cách giữa hai số \(a\) và \(b\) là \(|a - b|\).
Mẫu hình buộc phải tiếp tục¶
Phép cộng số âm đã rõ nhờ hình ảnh bước đi. Phép nhân một số dương với một số âm cũng rõ nhờ ý nghĩa "cộng lặp": \(3 \cdot (-2)\) là ba lần bước sang trái 2, tức \(-6\). Nhưng còn \((-1) \cdot (-2)\) thì sao? "Âm một lần" bước sang trái 2 là gì?
Hãy nhìn một mẫu hình:
Mỗi lần số nhân giảm đi 1, kết quả tăng thêm 2. Nếu mẫu hình này tiếp tục, thì \((-1) \cdot (-2) = 2\), \((-2) \cdot (-2) = 4\), \((-3) \cdot (-2) = 6\).
Nhưng Chương 1 đã dạy ta cảnh giác với mẫu hình. Một mẫu hình gợi ý, không chứng minh. Điều thật sự buộc \((-1) \cdot (-2) = 2\) là nguyên lý giữ luật, và phần phát biểu chặt chẽ sẽ cho thấy: nếu muốn luật phân phối còn đúng, không có lựa chọn nào khác.
Có một hình ảnh giúp thấy điều này. Nhân với \(-1\) biến mỗi số thành số đối của nó: 2 thành \(-2\), 5 thành \(-5\), \(-3\) thành 3. Trên trục số, đó là phép lật qua điểm 0. Lật hai lần thì trở về chỗ cũ, nên \((-1) \cdot (-1)\) phải là phép "không làm gì", tức nhân với 1.
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (cộng và trừ). Tính \(-7 + 12\), \(5 - (-3)\) và \(-4 - 6\).
\(-7 + 12\): đứng ở \(-7\), đi phải 12 bước, dừng ở 5. Vậy \(-7 + 12 = 5\).
\(5 - (-3) = 5 + 3 = 8\), vì số đối của \(-3\) là 3. Trong mô hình tiền: xóa đi một khoản nợ 3 triệu cũng giống như được thêm 3 triệu.
\(-4 - 6 = -4 + (-6) = -10\): đứng ở \(-4\), đi trái thêm 6 bước.
Ví dụ 2 (nhân). Tính \((-4) \cdot (-6)\), \((-2)^3\) và \((-1)^{10}\).
Theo quy tắc dấu (sẽ chứng minh ở dưới), \((-4) \cdot (-6) = 4 \cdot 6 = 24\).
\((-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8\). Tích của ba số âm là số âm.
\((-1)^{10}\) là tích của mười thừa số \(-1\). Ghép thành năm cặp, mỗi cặp \((-1) \cdot (-1) = 1\), nên kết quả là 1. Tổng quát: tích của nhiều thừa số khác 0 là dương nếu số thừa số âm là chẵn, và âm nếu số thừa số âm là lẻ.
Ví dụ 3 (phương trình). Tìm số nguyên \(x\) với \(x + 9 = 4\), và với \(2x + 11 = 3\).
\(x + 9 = 4\): cộng số đối của 9 vào hai vế, \(x = 4 + (-9) = -5\). Kiểm lại: \(-5 + 9 = 4\). Trong các số tự nhiên phương trình này vô nghiệm; trong các số nguyên nó có đúng một nghiệm.
\(2x + 11 = 3\): tháo ngược theo thứ tự ngược như ở Chương 6. Trừ 11: \(2x = -8\). Chia 2: \(x = -4\). Kiểm lại: \(2 \cdot (-4) + 11 = -8 + 11 = 3\).
Ví dụ 4 (nhiệt độ và khoảng cách). Lúc 6 giờ sáng, nhiệt độ là \(-3\) độ C; lúc 12 giờ trưa là 7 độ C. Nhiệt độ đã tăng bao nhiêu? Hai điểm \(-5\) và \(3\) trên trục số cách nhau bao xa?
Độ tăng là hiệu giữa sau và trước: \(7 - (-3) = 7 + 3 = 10\) độ. Khoảng cách giữa \(-5\) và \(3\) là \(|-5 - 3| = |-8| = 8\); đếm vạch trên trục số cũng thấy 8 bước.
Ranh giới¶
Mỗi mô hình chỉ soi được một phần. Mô hình tiền nợ giải thích rất tốt phép cộng, nhưng bất lực trước \((-2) \cdot (-3)\): "nợ nhân nợ" không có nghĩa gì. Mô hình bước đi cũng lúng túng: "bước sang trái 3, âm hai lần" là gì? Chỉ hình ảnh phép lật, và rốt cuộc là các luật, mới đi được tới cùng. Không mô hình nào là số âm; mỗi mô hình là một biểu diễn, và biết lúc nào biểu diễn hết hiệu lực cũng là một phần của sự hiểu.
Nhân với số âm đảo chiều bất đẳng thức. Một khẳng định so sánh như \(2 < 5\) gọi là một bất đẳng thức (inequality). Có \(2 < 5\), nhưng nhân hai vế với \(-1\) thì \(-2 > -5\). Hình phép lật cho thấy vì sao: lật qua 0 đưa cái bên phải sang bên trái. Quên điều này là một lỗi rất hay gặp khi giải bất phương trình (inequality).
Bình phương làm mất dấu. Như Chương 6 đã báo trước, \(3^2 = 9\) và \((-3)^2 = 9\). Trong các số nguyên, bình phương dồn hai đầu vào \(3\) và \(-3\) về một đầu ra, nên không khả nghịch: phương trình \(x^2 = 9\) có hai nghiệm, \(x = 3\) và \(x = -3\). Và không số nguyên nào có bình phương âm, nên \(x^2 = -4\) vô nghiệm.
Phép chia vẫn chưa luôn làm được. Số âm lấp lỗ hổng của phép trừ, không phải của phép chia: \(7 : 2\) vẫn không có đáp án trong \(\mathbb{Z}\). Lỗ hổng ấy phải chờ tới phân số ở Chương 10.
Không phải cách đánh số nào cũng là số nguyên. Nhiều tòa nhà không có "tầng 0": tầng sát mặt đất là tầng 1, ngay dưới nó là tầng hầm 1. Khi đó, từ tầng 3 đi xuống 5 tầng là tới tầng hầm 3, trong khi \(3 - 5 = -2\). Các "số tầng" ấy chỉ là nhãn tên, không cư xử như số nguyên, vì trên thang nhãn đã thiếu mất số 0. Trước khi làm tính với một thang đo, hãy kiểm tra xem nó có thật sự là một trục số không.
Phát biểu chặt chẽ¶
Luật chơi. Ta đòi hỏi các số nguyên thỏa mọi luật của Chương 5 (giao hoán, kết hợp của cả hai phép toán; \(a + 0 = a\) và \(a \cdot 1 = a\); phân phối), cộng thêm một luật mới: mỗi số nguyên \(a\) có một số đối \(-a\) với \(a + (-a) = 0\). Phép trừ được định nghĩa là \(a - b = a + (-b)\). Mọi điều dưới đây chỉ được suy ra từ những luật này.
Mệnh đề 1 (số đối là duy nhất). Nếu \(a + b = 0\) và \(a + c = 0\) thì \(b = c\).
Chứng minh. Dùng phần tử trung hòa, giả thiết, tính kết hợp và tính giao hoán:
Nhờ Mệnh đề 1, muốn chứng minh một số nào đó là \(-a\), ta chỉ cần chỉ ra nó cộng với \(a\) thì bằng 0. Chẳng hạn \(a + (-a) = 0\) cũng nói rằng \(a\) là số đối của \(-a\), nên \(-(-a) = a\).
Mệnh đề 2. Với mọi số nguyên \(a\): (a) \(a \cdot 0 = 0\); (b) \((-1) \cdot a = -a\).
Chứng minh. (a) Theo tính phân phối, \(a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0\). Cộng số đối của \(a \cdot 0\) vào hai vế: vế trái thành 0, vế phải thành \(a \cdot 0\). Vậy \(a \cdot 0 = 0\). (Đây là chứng minh thứ hai ở Chương 5, giờ gọn hơn nhờ có số đối.)
(b) Ta tính \(a + (-1) \cdot a\):
Vậy \((-1) \cdot a\) cộng với \(a\) bằng 0, nên theo Mệnh đề 1, \((-1) \cdot a = -a\). \(\square\)
Định lý 3 (quy tắc dấu). Với mọi số nguyên \(a\) và \(b\):
Đặc biệt, \((-1) \cdot (-1) = 1\).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2(b) và tính kết hợp, \((-a) \cdot b = \bigl((-1) \cdot a\bigr) \cdot b = (-1) \cdot (a \cdot b) = -(a \cdot b)\).
Với đẳng thức thứ hai, áp dụng Mệnh đề 2(b) cho \(a = -1\): \((-1) \cdot (-1) = -(-1) = 1\). Rồi dùng giao hoán và kết hợp để gom các thừa số \(-1\) lại:
Hãy nhìn lại chuỗi lập luận: không bước nào dùng tới "tiền nợ" hay "bước đi". Chỉ có các luật mà ta đã chọn giữ nguyên. Quy tắc dấu vì thế không phải một quy ước có thể chọn khác. Nếu ai đó quy ước \((-1) \cdot (-1) = -1\), người ấy phải từ bỏ ít nhất một trong các luật (bài A3 cho thấy luật nào hỏng).
Mệnh đề 4 (nhân với số âm đảo chiều bất đẳng thức). Định nghĩa \(a < b\) nghĩa là \(b - a\) là một số dương. Khi đó, nếu \(a < b\) và \(c < 0\) thì \(a \cdot c > b \cdot c\).
Chứng minh. Số \(b - a\) dương và \(c\) âm. Theo Định lý 3, tích của một số dương với một số âm là số âm: viết \(c = -d\) với \(d\) dương, thì \((b - a) \cdot c = -\bigl((b - a) \cdot d\bigr)\), là số đối của một số dương. Vậy \((b - a) \cdot c = b \cdot c - a \cdot c\) là số âm, nghĩa là \(a \cdot c - b \cdot c\) là số dương, tức \(b \cdot c < a \cdot c\). \(\square\)
Định nghĩa (trị tuyệt đối). \(|a| = a\) nếu \(a \geq 0\), và \(|a| = -a\) nếu \(a < 0\).
Mệnh đề 5 (bất đẳng thức tam giác). Với mọi số nguyên \(a\), \(b\): \(|a + b| \leq |a| + |b|\), và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) không trái dấu (cùng không âm, hoặc cùng không dương). Chứng minh: bài C2. Tên gọi bất đẳng thức tam giác (triangle inequality) đến từ hình học: trong một tam giác, mỗi cạnh ngắn hơn tổng hai cạnh kia.
Trên trục số, bất đẳng thức tam giác nói một điều rất tự nhiên: đi hai chặng liên tiếp thì khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối không vượt quá tổng độ dài hai chặng, và bằng nhau khi cả hai chặng đi cùng một hướng.
Sợi chỉ
- S1. Bất biến qua biến đổi. Khi mở rộng từ \(\mathbb{N}\) sang \(\mathbb{Z}\), cái được giữ bất biến là các luật; nguyên lý giữ luật biến chúng thành một điều kiện ép buộc, và quy tắc dấu hiện ra như hệ quả. Hãy so với việc "nhân với 0 được 0" đã bị các luật ép buộc ở Chương 5.
- S2. Thông tin và khả nghịch. Số đối là phép tháo ngược của phép cộng theo nghĩa của Chương 6: giờ phép cộng luôn tháo ngược được. Còn bình phương thì làm mất thông tin về dấu.
- S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Số âm là vị trí, là bước đi, là khoản nợ, là phép lật. Mỗi biểu diễn giải thích được một phần; chỉ các luật đi được tới cùng.
Tóm tắt¶
- Số âm xuất hiện để phép trừ luôn làm được: mỗi số nguyên \(a\) có số đối \(-a\) với \(a + (-a) = 0\), và \(a - b = a + (-b)\).
- Số âm có thể được nhìn như vị trí bên trái số 0, như bước đi sang trái, như khoản nợ, hay như kết quả của phép lật qua 0.
- Nguyên lý giữ luật là một lựa chọn: khi mở rộng, các luật cộng và nhân cũ phải còn đúng. Một khi đã chọn, mọi quy tắc tính toán với số âm bị ép buộc.
- Từ các luật suy ra \(a \cdot 0 = 0\), \((-1) \cdot a = -a\), và quy tắc dấu \((-a)(-b) = ab\); đó là hệ quả, không phải quy ước tùy ý.
- Nhân với số âm đảo chiều bất đẳng thức, vì nhân với \(-1\) là lật trục số qua 0.
- Trị tuyệt đối là khoảng cách tới 0; \(|a + b| \leq |a| + |b|\).
- Bình phương làm mất dấu, và phép chia vẫn chưa luôn làm được trong \(\mathbb{Z}\).
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. Vì sao mô hình "tiền nợ" không giải thích được \((-2) \cdot (-3) = 6\), còn hình ảnh "phép lật qua 0" thì giải thích được? Điều này nói gì về vai trò của các mô hình trong toán học?
Lời giải
Trong mô hình tiền nợ, nhân một khoản nợ với một số dương có nghĩa ("ba khoản nợ 2 triệu là nợ 6 triệu"), nhưng nhân với một số âm thì không: "âm ba lần một khoản nợ" không ứng với hành động nào về tiền bạc. Mô hình không có chỗ cho thừa số âm thứ hai.
Hình ảnh phép lật thì có: nhân với \(-1\) là lật qua 0, nên \((-2) \cdot (-3) = (-1) \cdot 2 \cdot (-1) \cdot 3\) là lật hai lần, tức không lật, còn lại \(2 \cdot 3 = 6\).
Bài học: mỗi mô hình là một biểu diễn, sáng tỏ một phần cấu trúc và mù ở phần khác. Điều quyết định cuối cùng không phải mô hình nào dễ hình dung, mà là các luật mà ta muốn giữ.
A2. Dấu "trừ" có những nghĩa nào? Trong biểu thức \(-(-5) - 2\), mỗi dấu có nghĩa gì? Có phải \(-a\) luôn là số âm không?
Lời giải
Dấu "trừ" có hai nghĩa: phép trừ giữa hai số (\(a - b\)), và "số đối của" đặt trước một số (\(-a\)).
Trong \(-(-5) - 2\): dấu trong cùng (trước 5) là số đối của 5, tức \(-5\); dấu thứ hai (trước ngoặc) là số đối của \(-5\), tức 5; dấu thứ ba là phép trừ. Vậy biểu thức bằng \(5 - 2 = 3\).
\(-a\) không luôn âm: nếu \(a\) âm thì \(-a\) dương, chẳng hạn \(a = -4\) cho \(-a = 4\). Đọc \(-a\) là "số đối của \(a\)" giúp tránh nhầm.
A3. Giả sử có người muốn quy ước \((-1) \cdot (-1) = -1\). Hãy dùng tính phân phối để tính \((-1) \cdot \bigl(1 + (-1)\bigr)\) theo hai cách, và chỉ ra rằng quy ước này dẫn tới mâu thuẫn.
Lời giải
Cách thứ nhất: \(1 + (-1) = 0\), nên \((-1) \cdot \bigl(1 + (-1)\bigr) = (-1) \cdot 0 = 0\) (Mệnh đề 2).
Cách thứ hai, dùng tính phân phối: \((-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = -1 + (-1) \cdot (-1)\). Với quy ước \((-1) \cdot (-1) = -1\), kết quả là \(-1 + (-1) = -2\).
Hai cách cho \(0 = -2\), vô lý. Vậy muốn giữ tính phân phối (và phần tử trung hòa), ta buộc phải có \(-1 + (-1) \cdot (-1) = 0\), tức \((-1) \cdot (-1) = 1\). Quy ước khác chỉ có thể tồn tại nếu từ bỏ tính phân phối, và khi đó phần lớn số học quen thuộc sụp đổ.
B. Tính toán¶
B1. Tính: (a) \(-7 + 12\); (b) \(5 - (-3)\); (c) \(-4 - 6\); (d) \(-8 + (-9)\); (e) \(0 - (-15)\).
Lời giải
(a) \(5\). (b) \(5 + 3 = 8\). (c) \(-4 + (-6) = -10\). (d) \(-17\). (e) \(0 + 15 = 15\).
B2. Tính: (a) \((-4) \cdot (-6)\); (b) \((-3) \cdot 7\); (c) \((-2)^3\); (d) \((-1)^{25}\); (e) \((-2)^4\).
Lời giải
(a) \(24\). (b) \(-21\). (c) \((-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8\). (d) Có 25 thừa số \(-1\), một số lẻ, nên kết quả là \(-1\). (e) \((-2)^4 = 16\), vì có bốn thừa số âm, một số chẵn.
B3. Tính \(3 - 2 \cdot (-4) + (-5) \cdot (-1)\). Rồi so sánh \((-3)^2\) với \(-3^2\), biết rằng theo quy ước, phép lũy thừa được làm trước khi lấy số đối.
Lời giải
Làm phép nhân trước: \(2 \cdot (-4) = -8\) và \((-5) \cdot (-1) = 5\). Biểu thức thành \(3 - (-8) + 5 = 3 + 8 + 5 = 16\).
\((-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9\). Còn \(-3^2\) nghĩa là số đối của \(3^2\), tức \(-9\). Hai biểu thức chỉ khác nhau một cặp ngoặc nhưng cho hai kết quả trái dấu: đây là một quy ước viết, và phải đọc rất cẩn thận.
B4. Tìm số nguyên \(x\): (a) \(x + 9 = 4\); (b) \(2x + 11 = 3\); (c) \(5 - x = 12\); (d) \(-3x = 21\).
Lời giải
(a) \(x = 4 - 9 = -5\). (b) \(2x = 3 - 11 = -8\), nên \(x = -4\). (c) \(-x = 12 - 5 = 7\), nên \(x = -7\); kiểm lại \(5 - (-7) = 12\). (d) \(x = 21 : (-3) = -7\); kiểm lại \((-3) \cdot (-7) = 21\).
B5. Lúc 5 giờ sáng, nhiệt độ trên một đỉnh núi là \(-6\) độ C và cứ mỗi giờ tăng thêm 2 độ. Lúc mấy giờ nhiệt độ là 0 độ? Lúc mấy giờ là 4 độ?
Lời giải
Để từ \(-6\) lên 0 cần tăng 6 độ, tức \(6 : 2 = 3\) giờ: lúc 8 giờ. Để từ \(-6\) lên 4 cần tăng \(4 - (-6) = 10\) độ, tức 5 giờ: lúc 10 giờ.
B6. (a) Tính khoảng cách giữa các cặp số: \(-5\) và \(3\); \(7\) và \(-2\); \(-10\) và \(-4\). (b) Tìm các số nguyên \(x\) với \(|x - 2| = 5\). (c) Có bao nhiêu số nguyên \(x\) với \(|x| < 3\)?
Lời giải
(a) \(|-5 - 3| = 8\); \(|7 - (-2)| = 9\); \(|-10 - (-4)| = |-6| = 6\).
(b) \(x\) cách 2 đúng 5 bước: sang phải được \(x = 7\), sang trái được \(x = -3\). Kiểm lại: \(|7 - 2| = 5\) và \(|-3 - 2| = |-5| = 5\).
(c) Các số cách 0 dưới 3 bước: \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\). Có 5 số.
B7. Một tài khoản có 2 triệu đồng. Lần lượt: rút 5 triệu, nạp 4 triệu, rút 3 triệu. Số dư cuối cùng là bao nhiêu? Số dư thấp nhất trong quá trình là bao nhiêu? Nếu nạp 4 triệu trước rồi mới rút, số dư cuối và số dư thấp nhất thay đổi thế nào?
Lời giải
Theo thứ tự đã cho: \(2 - 5 = -3\), rồi \(-3 + 4 = 1\), rồi \(1 - 3 = -2\). Số dư cuối là \(-2\) (nợ 2 triệu), số dư thấp nhất là \(-3\).
Nạp trước: \(2 + 4 = 6\), rồi \(6 - 5 = 1\), rồi \(1 - 3 = -2\). Số dư cuối vẫn là \(-2\), vì phép cộng giao hoán và kết hợp. Nhưng số dư thấp nhất giờ là \(-2\) thay vì \(-3\). Kết quả cuối không phụ thuộc thứ tự, còn con đường đi qua thì có: sợi chỉ về thứ tự xuất hiện ngay cả khi phép toán giao hoán.
B8. Tìm các số nguyên \(x\) với: (a) \(x^2 = 49\); (b) \(x^2 = 0\); (c) \(x^2 = -4\).
Lời giải
(a) \(x = 7\) hoặc \(x = -7\), vì \(7^2 = (-7)^2 = 49\).
(b) Chỉ có \(x = 0\).
(c) Không có: bình phương của số dương là dương, bình phương của số âm cũng dương (quy tắc dấu), bình phương của 0 là 0. Không bình phương nào âm (xem bài C3).
B9. Tòa nhà A đánh số tầng hầm là \(-1\), \(-2\), \(-3\) và tầng sát mặt đất là tầng 0. Tòa nhà B không có tầng 0: tầng sát mặt đất là tầng 1, ngay dưới là tầng hầm 1, rồi tầng hầm 2. Ở mỗi tòa nhà, đi từ tầng ghi số 3 xuống tầng hầm 2 thì phải đi qua bao nhiêu tầng (tính số lần di chuyển một tầng)?
Lời giải
Tòa nhà A: tầng hầm 2 được ghi là \(-2\), và các tầng liên tiếp hơn kém nhau đúng 1, nên số lần di chuyển là \(3 - (-2) = 5\).
Tòa nhà B: đi từ tầng 3 xuống tầng 2, tầng 1, tầng hầm 1, tầng hầm 2: có 4 lần di chuyển. Nếu tính máy móc "\(3 - (-2)\)" thì được 5, sai. Nhãn tầng ở tòa nhà B thiếu số 0, nên không phải là một trục số nguyên; phép trừ không áp dụng được cho các nhãn ấy.
B10. (a) Bắt đầu từ \(3 < 7\), nhân hai vế với \(-2\) và so sánh hai kết quả. (b) Tìm mọi số nguyên \(x\) thỏa \(-2x < 6\).
Lời giải
(a) \(3 \cdot (-2) = -6\) và \(7 \cdot (-2) = -14\). Vì \(-14 < -6\), ta có \(-6 > -14\): chiều bất đẳng thức đã đảo ngược.
(b) Nhân hai vế với \(-1\) (đảo chiều): \(2x > -6\), rồi chia cho 2 (giữ chiều, vì 2 dương): \(x > -3\). Các nghiệm nguyên là \(-2, -1, 0, 1, 2, \dots\). Kiểm lại với \(x = -2\): \(-2 \cdot (-2) = 4 < 6\), đúng; với \(x = -3\): \(6 < 6\) sai, nên \(-3\) không phải nghiệm.
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Chỉ dùng các luật ở phần phát biểu chặt chẽ, chứng minh rằng với mọi số nguyên \(a\), \(b\): (a) \(-(a + b) = (-a) + (-b)\); (b) \(a - (-b) = a + b\).
Lời giải
(a) Theo Mệnh đề 1, chỉ cần chứng minh \((a + b) + \bigl((-a) + (-b)\bigr) = 0\). Dùng giao hoán và kết hợp để sắp lại:
Vậy \((-a) + (-b)\) là số đối của \(a + b\). \(\square\)
(b) Theo định nghĩa phép trừ, \(a - (-b) = a + \bigl(-(-b)\bigr)\). Vì \(b + (-b) = 0\), số \(b\) là số đối của \(-b\), tức \(-(-b) = b\) (Mệnh đề 1). Vậy \(a - (-b) = a + b\). \(\square\)
C2. Chứng minh bất đẳng thức tam giác: với mọi số nguyên \(a\), \(b\), \(|a + b| \leq |a| + |b|\), với dấu bằng khi và chỉ khi \(a\) và \(b\) không trái dấu.
Lời giải
Xét các trường hợp.
Nếu \(a \geq 0\) và \(b \geq 0\): \(a + b \geq 0\), nên \(|a + b| = a + b = |a| + |b|\). Dấu bằng.
Nếu \(a \leq 0\) và \(b \leq 0\): \(a + b \leq 0\), nên \(|a + b| = -(a + b) = (-a) + (-b) = |a| + |b|\) (dùng bài C1). Dấu bằng.
Nếu \(a\) và \(b\) trái dấu, chẳng hạn \(a > 0 > b\) (trường hợp kia đổi vai trò \(a\), \(b\)). Khi đó \(|a| = a\) và \(|b| = -b\), cả hai đều dương. Nếu \(a + b \geq 0\) thì \(|a + b| = a + b < a < a + (-b) = |a| + |b|\), vì \(b < 0\). Nếu \(a + b < 0\) thì \(|a + b| = -a - b < -b < a + (-b) = |a| + |b|\), vì \(a > 0\). Trong cả hai trường hợp, bất đẳng thức là chặt.
Vậy \(|a + b| \leq |a| + |b|\) luôn đúng, và dấu bằng xảy ra đúng khi \(a\) và \(b\) không trái dấu. \(\square\)
C3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(x\), ta có \(x^2 \geq 0\), và \(x^2 = 0\) chỉ khi \(x = 0\). Suy ra phương trình \(x^2 = -4\) không có nghiệm nguyên.
Lời giải
Nếu \(x > 0\) thì \(x^2 = x \cdot x\) là tích của hai số dương, nên dương. Nếu \(x < 0\), viết \(x = -d\) với \(d > 0\); theo quy tắc dấu, \(x^2 = (-d) \cdot (-d) = d \cdot d > 0\). Nếu \(x = 0\) thì \(x^2 = 0\). Vậy trong mọi trường hợp \(x^2 \geq 0\), và \(x^2 = 0\) chỉ khi \(x = 0\). \(\square\)
Vì mọi bình phương đều không âm, còn \(-4\) âm, không số nguyên \(x\) nào có \(x^2 = -4\). (Muốn phương trình này có nghiệm, người ta phải mở rộng thế giới số thêm một lần nữa, tới các số phức (complex numbers), nằm ngoài phạm vi cuốn sách.)
Câu hỏi để ngỏ¶
Phép cộng giờ đã luôn tháo ngược được: mọi phép trừ đều có đáp án. Còn phép nhân thì chưa: 12 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5, và \(7 : 2\) vẫn chưa có nghĩa. Trước khi mở rộng thêm, hãy nhìn kỹ bản thân phép nhân: số nào chia hết cho số nào? Có những số "không thể tách nhỏ" thành tích của những số nhỏ hơn không, như những nguyên tử của phép nhân?