Chương 33: Liên tục¶
Câu hỏi mở đầu
Với nhiều hàm quen thuộc, giới hạn tại \(a\) chỉ đơn giản là \(f(a)\): "cứ thay số vào". Khi nào được làm vậy, và chuyện gì xảy ra khi không được?
Khi nào được thay số vào¶
Ở bài B9 của Chương 32, sau một chứng minh epsilon–delta khá dài, ta được \(\lim_{x \to 2}\left(x^2 + 3x + 1\right) = 11\). Thay thẳng \(x = 2\) vào cũng ra 11. Nhưng không phải lúc nào cũng thế. Với \(\frac{x^2 - 9}{x - 3}\) tại 3, thay số vào cho \(\frac00\), trong khi giới hạn là 6. Với hàm làm tròn xuống \(\lfloor x \rfloor\) của Chương 22 tại 2, thay số vào cho 2, nhưng từ bên trái các giá trị bằng 1, nên không có giới hạn nào để so.
Vậy "cứ thay số vào" đúng khi và chỉ khi giới hạn tại \(a\) tồn tại và bằng đúng giá trị tại \(a\). Tính chất ấy có tên riêng: hàm liên tục (continuous) tại \(a\). Chương này hỏi nó nghĩa là gì, khi nào nó hỏng, và nó cho ta điều gì.
Vì sao khái niệm này phải xuất hiện, dù chưa ai đặt tên cho nó? Vì hầu hết các đại lượng ta đo không nhảy cóc. Vị trí một hòn đá, nhiệt độ trong phòng, mực nước trong bể: thời gian thay đổi một chút thì chúng cũng chỉ thay đổi một chút. Liên tục là cách nói chính xác của ý "không có bất ngờ cục bộ": biết giá trị ở mọi điểm gần \(a\) thì đoán được giá trị tại \(a\). Nó cũng là điều làm cho việc đo và tính gần đúng có nghĩa. Mọi con số ta đưa vào công thức đều đã làm tròn; nếu quy luật liên tục, sai số nhỏ ở đầu vào chỉ gây sai số nhỏ ở đầu ra. Nếu nó nhảy, một sai lệch nhỏ tới đâu cũng có thể đẩy kết quả sang hẳn một bậc khác.
Hình ảnh quen thuộc nhất của sự liên tục là "vẽ đồ thị mà không phải nhấc bút". Trên một khoảng, với những hàm thường gặp, hình ảnh ấy dẫn đường tốt. Nhưng nó là một hình ảnh, không phải một định nghĩa, và mục Ranh giới sẽ cho thấy nó sai ở đâu.
Ba kiểu gián đoạn¶
Một hàm có thể hỏng tính liên tục tại \(a\) theo ba cách thường gặp.
Lỗ bỏ được. \(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\) bằng \(x + 1\) với mọi \(x \neq 1\), nên có giới hạn 2 tại 1, nhưng không xác định tại 1: đồ thị là một đường thẳng thủng một lỗ. Chỉ cần định nghĩa thêm giá trị tại 1 bằng 2 là vá được lỗ. Nếu ai đó đặt giá trị tại 1 là 5, lỗ vẫn là lỗ bỏ được: giới hạn có, chỉ có giá trị bị đặt sai.
Bước nhảy. \(\lfloor x \rfloor\) tại mỗi số nguyên \(n\): bên trái các giá trị bằng \(n - 1\), bên phải bằng \(n\). Hai giới hạn một phía đều có nhưng khác nhau, và đồ thị nhảy một bậc. Cước taxi giả định ở Chương 22 không có bước nhảy, vì tính theo quãng đường thực đi; một hãng tính tròn theo từng km bắt đầu đi thì cước nhảy một bậc ở mỗi km.
Vô cực. \(\frac{1}{(x - 2)^2}\) tại 2: hai phía đều lớn không giới hạn, một giới hạn vô cực của Chương 31.
Ngoài ba kiểu ấy còn những cách hỏng kỳ lạ hơn, như \(\sin\frac{\pi}{x}\) tại 0 ở Chương 31: dao động mãi, không có cả giới hạn một phía.
Ký hiệu¶
Hàm \(f\) liên tục tại \(a\) nếu
Câu ngắn này chứa ba điều kiện: \(f(a)\) xác định; giới hạn tại \(a\) tồn tại; hai số ấy bằng nhau. Viết theo kiểu epsilon–delta:
Đó là định nghĩa giới hạn của Chương 32 với \(L = f(a)\), và không cần chữ "\(0 <\)" nữa, vì tại \(x = a\) bất đẳng thức tự đúng. Chính mục Ranh giới của Chương 32 đã báo trước: bỏ chữ "\(0 <\)" là sang một khái niệm khác, khái niệm này.
Hàm \(f\) liên tục trên một khoảng nếu liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy; trên một đoạn \([a; b]\), tại hai đầu mút ta chỉ xét \(x\) nằm trong đoạn, tức giới hạn một phía. Một hàm liên tục tại mọi điểm của miền xác định gọi gọn là một hàm liên tục. Nếu \(f\) xác định gần \(a\) (có thể trừ chính \(a\)) mà không liên tục tại \(a\), ta nói \(f\) có một điểm gián đoạn (discontinuity) tại \(a\). Ba kiểu ở mục trước là gián đoạn bỏ được (removable discontinuity), khi giới hạn tồn tại; gián đoạn bước nhảy (jump discontinuity), khi hai giới hạn một phía tồn tại nhưng khác nhau; và gián đoạn vô cực (infinite discontinuity), khi một giới hạn một phía là \(+\infty\) hay \(-\infty\).
Hai định lý của chương có tên riêng. Định lý giá trị trung gian (intermediate value theorem) nói: một hàm liên tục trên đoạn \([a; b]\) nhận mọi giá trị nằm giữa \(f(a)\) và \(f(b)\). Cách tìm nghiệm bằng cách chia đôi đoạn liên tiếp, như Chương 11 đã làm với \(\sqrt2\), gọi là phương pháp chia đôi (bisection method). Nếu có \(c\) với \(f(c) \geq f(x)\) cho mọi \(x\) trong miền đang xét, số \(f(c)\) là giá trị lớn nhất (global maximum) của \(f\) ở đó; đổi chiều bất đẳng thức, ta có giá trị nhỏ nhất (global minimum). Định lý giá trị lớn nhất (extreme value theorem) nói rằng một hàm liên tục trên một đoạn luôn đạt cả hai giá trị ấy.
Làm bằng tay¶
Ví dụ 1 (thay số được). Mọi đa thức liên tục tại mọi điểm (Định lý 2), nên với đa thức, giới hạn chỉ là thay số: \(\lim_{x \to 2}\left(x^2 + 3x + 1\right) = 4 + 6 + 1 = 11\), không cần một chứng minh epsilon–delta mới. Công sức ở Chương 32 không mất đi: nó được đóng gói một lần vào Định lý 2, để dùng mãi.
Ví dụ 2 (chọn tham số). Tìm \(k\) để hàm từng khúc \(f(x) = x^2\) khi \(x < 2\) và \(f(x) = kx - 2\) khi \(x \geq 2\) liên tục tại 2. Giới hạn bên trái là \(2^2 = 4\); giới hạn bên phải và giá trị tại 2 đều là \(2k - 2\). Liên tục khi \(2k - 2 = 4\), tức \(k = 3\). Với mọi \(k\) khác, hàm có bước nhảy tại 2.
Ví dụ 3 (hai cách tính thuế). Hai cách tính thuế giả định, với thu nhập \(x\) triệu đồng. Cách thứ nhất: dưới 10 triệu không chịu thuế, từ 10 triệu trở lên chịu 10% trên toàn bộ thu nhập. Cách thứ hai: chỉ phần vượt 10 triệu chịu 10%, tức thuế là \(0{,}1(x - 10)\) khi \(x \geq 10\). Cách thứ nhất có bước nhảy tại 10: thu nhập \(9{,}99\) triệu không mất đồng thuế nào, thu nhập 10 triệu mất 1 triệu, nên người kiếm 10 triệu chỉ còn 9 triệu, ít hơn người kiếm \(9{,}99\) triệu. Cách thứ hai liên tục: thêm một chút thu nhập thì thêm một chút thuế. Bước nhảy ở đây không chỉ là chuyện đồ thị; nó tạo ra một ngưỡng mà vượt qua thì thiệt.
Ví dụ 4 (một nghiệm chắc chắn có). Chứng minh phương trình \(x^5 - 3x + 1 = 0\) có nghiệm trong \([0; 1]\). Đặt \(f(x) = x^5 - 3x + 1\), một đa thức, nên liên tục. \(f(0) = 1 > 0\) và \(f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0\). Số 0 nằm giữa \(f(0)\) và \(f(1)\), nên theo định lý giá trị trung gian, có \(c\) trong \((0; 1)\) với \(f(c) = 0\). Ta không tính được \(c\) bằng công thức nào quen thuộc, nhưng biết chắc nó tồn tại.
Ví dụ 5 (chia đôi). Tìm nghiệm của \(x^3 - x - 1 = 0\) trên \([1; 2]\). Với \(f(x) = x^3 - x - 1\): \(f(1) = -1 < 0\) và \(f(2) = 5 > 0\), nên có nghiệm giữa 1 và 2. Mỗi bước, tính \(f\) tại điểm giữa và giữ nửa đoạn mà \(f\) đổi dấu ở hai đầu:
| bước | điểm giữa \(m\) | \(f(m)\) | đoạn còn lại |
|---|---|---|---|
| 1 | \(1{,}5\) | \(0{,}875\) | \([1; 1{,}5]\) |
| 2 | \(1{,}25\) | \(-0{,}297\) | \([1{,}25; 1{,}5]\) |
| 3 | \(1{,}375\) | \(0{,}225\) | \([1{,}25; 1{,}375]\) |
| 4 | \(1{,}3125\) | \(-0{,}052\) | \([1{,}3125; 1{,}375]\) |
| 5 | \(1{,}34375\) | \(0{,}083\) | \([1{,}3125; 1{,}34375]\) |
| 6 | \(1{,}328125\) | \(0{,}015\) | \([1{,}3125; 1{,}328125]\) |
Nghiệm là khoảng \(1{,}3247\). Sau \(n\) bước, đoạn còn lại dài \(\frac{1}{2^n}\), nên sai số giảm một nửa mỗi bước, đúng như khi kẹp \(\sqrt2\) ở Chương 11. Muốn sai số dưới \(10^{-6}\) thì cần \(2^n > 10^6\): \(2^{19} = 524.288\) chưa đủ, \(2^{20} = 1.048.576\) đủ, nên cần 20 bước. Chậm nhưng chắc: mỗi bước chỉ cần biết dấu của \(f\).
Ví dụ 6 (hai điểm đối xứng cùng nhiệt độ). Giả sử nhiệt độ thay đổi liên tục dọc một đường tròn, như một vĩ tuyến trên mặt đất (một giả định mô hình). Khi đó luôn có hai điểm đối xứng qua tâm có cùng nhiệt độ. Gọi \(T(\theta)\) là nhiệt độ tại điểm ở góc \(\theta\), và \(g(\theta) = T(\theta) - T(\theta + \pi)\), hiệu nhiệt độ giữa một điểm và điểm đối xứng với nó. Vì \(T(\theta + 2\pi) = T(\theta)\),
Vậy \(g(0)\) và \(g(\pi)\) là hai số đối nhau. Nếu \(g(0) = 0\), điểm ở góc 0 là điểm cần tìm. Nếu không, \(g\) đổi dấu trên \([0; \pi]\), và định lý giá trị trung gian cho một \(\theta\) với \(g(\theta) = 0\), tức \(T(\theta) = T(\theta + \pi)\). Không cần biết gì về nhiệt độ ngoài chuyện nó liên tục.
Ranh giới¶
Không liên tục thì định lý giá trị trung gian hỏng. \(\frac1x\) bằng \(-1\) tại \(-1\) và bằng 1 tại 1, nhưng không có nghiệm nào giữa hai điểm ấy: nó không xác định, càng không liên tục, tại 0. Tương tự, \(\lfloor x \rfloor - \frac12\) bằng \(-\frac12\) tại 0 và \(\frac12\) tại 1, mà không bao giờ bằng 0: nó nhảy qua.
Định lý giá trị lớn nhất cần một đoạn. \(\frac1x\) liên tục trên \((0; 1]\) nhưng lớn không giới hạn khi \(x\) gần 0, nên không có giá trị lớn nhất. Hàm \(x\) trên khoảng mở \((0; 1)\) có các giá trị dồn về 1 mà không bao giờ bằng 1, nên cũng không có giá trị lớn nhất. Trên đoạn \([0; 1]\) thì nó đạt cả hai giá trị 0 và 1. Hai đầu mút thuộc đoạn là điều kiện thật sự của định lý, không phải chi tiết thừa.
Gián đoạn ở khắp nơi. Hàm bằng 1 tại số hữu tỉ và 0 tại số vô tỉ, ở bài C3 của Chương 30, không liên tục tại bất kỳ điểm nào: quanh mỗi điểm, dù gần đến đâu, đều có cả số hữu tỉ lẫn số vô tỉ, nên giá trị cứ nhảy giữa 0 và 1 (bài C2).
"Vẽ không nhấc bút" chỉ là hình ảnh. Hàm \(x\sin\frac1x\), đặt bằng 0 tại 0, liên tục tại 0 (Ví dụ 5 của Chương 32), nhưng gần 0 nó dao động vô số lần; không ai vẽ được nó bằng tay. Ngược lại, \(\frac1x\) liên tục tại mọi điểm của miền xác định, dù đồ thị gồm hai nhánh rời nhau: 0 không thuộc miền, nên chẳng có điểm nào để hàm gián đoạn. Liên tục là một tính chất tại từng điểm, không phải một nhận xét về hình vẽ.
Có mà không biết ở đâu. Định lý giá trị trung gian nói "có một nghiệm", không nói nghiệm ở đâu, có mấy nghiệm. Đó là một chứng minh không xây dựng theo nghĩa của Chương 17. Phương pháp chia đôi bù lại phần ấy: nó chỉ ra nghiệm, với sai số giảm một nửa mỗi bước.
Phát biểu chặt chẽ¶
Định nghĩa 1 (liên tục). Cho \(f\) xác định trên một khoảng chứa \(a\). Hàm \(f\) liên tục tại \(a\) nếu với mọi \(\varepsilon > 0\) có \(\delta > 0\) sao cho \(\lvert f(x) - f(a) \rvert < \varepsilon\) với mọi \(x\) trong miền của \(f\) mà \(\lvert x - a \rvert < \delta\). Hàm liên tục trên một khoảng hay một đoạn nếu liên tục tại mọi điểm của nó, với \(x\) chỉ lấy trong khoảng hay đoạn ấy.
Định lý 2 (tổng và hợp của hàm liên tục). Cho \(f\) và \(g\) liên tục tại \(a\). Khi đó:
- \(f + g\) liên tục tại \(a\);
- nếu \(h\) liên tục tại \(g(a)\) thì \(h \circ g\) liên tục tại \(a\).
Chứng minh. (1) Theo Định lý 4 của Chương 32, \(\lim_{x \to a}\big(f(x) + g(x)\big) = f(a) + g(a)\). (2) Cho \(\varepsilon > 0\). Vì \(h\) liên tục tại \(g(a)\), có \(\eta > 0\) sao cho \(\lvert y - g(a) \rvert < \eta\) kéo theo \(\lvert h(y) - h(g(a)) \rvert < \varepsilon\). Vì \(g\) liên tục tại \(a\), dùng \(\eta\) như một lượt thách: có \(\delta > 0\) sao cho \(\lvert x - a \rvert < \delta\) kéo theo \(\lvert g(x) - g(a) \rvert < \eta\). Nối hai bước: \(\lvert x - a \rvert < \delta\) kéo theo \(\lvert h(g(x)) - h(g(a)) \rvert < \varepsilon\). \(\square\)
Tích \(fg\) cũng liên tục tại \(a\), và thương \(\frac{f}{g}\) cũng vậy nếu \(g(a) \neq 0\); chứng minh theo cùng tinh thần nhưng dài hơn, và ta nhận chúng không viết lại. Vì hàm hằng và hàm \(x \mapsto x\) liên tục (Ví dụ 1 của Chương 32), mọi đa thức, dựng bằng tổng và tích từ hai loại ấy, đều liên tục tại mọi điểm; một thương hai đa thức liên tục ở mọi điểm mà mẫu khác 0.
Định lý 3 (giá trị trung gian). Cho \(f\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và một số \(k\) nằm hẳn giữa \(f(a)\) và \(f(b)\). Khi đó có \(c\) trong \((a; b)\) với \(f(c) = k\).
Phác thảo chứng minh. Có thể giả sử \(f(a) < k < f(b)\) (nếu ngược lại, xét \(-f\) và \(-k\)). Đặt \(g = f - k\), liên tục, với \(g(a) < 0 < g(b)\). Chia đôi như Ví dụ 5: mỗi bước giữ một nửa đoạn \([a_n; b_n]\) có \(g(a_n) < 0 \leq g(b_n)\). Các đoạn lồng nhau, độ dài \(\frac{b - a}{2^n}\) nhỏ dần tùy ý, nên theo Nguyên lý 7 của Chương 11, chúng có chung đúng một điểm \(c\). Nếu \(g(c) > 0\), theo bài C3 của Chương 32 (giới hạn dương thì gần đó hàm dương), \(g\) dương trên cả một khoảng quanh \(c\); nhưng những \(a_n\) gần \(c\) tùy ý đều có \(g(a_n) < 0\), vô lý. Nếu \(g(c) < 0\), lập luận tương tự với các \(b_n\), nơi \(g(b_n) \geq 0\). Vậy \(g(c) = 0\), tức \(f(c) = k\), và \(c\) khác \(a\), \(b\) vì \(g(a) < 0 < g(b)\). \(\square\)
Định lý 4 (giá trị lớn nhất, phát biểu). Nếu \(f\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) thì có \(c\) và \(d\) trong \([a; b]\) sao cho \(f(d) \leq f(x) \leq f(c)\) với mọi \(x\) trong \([a; b]\): \(f\) đạt giá trị lớn nhất \(f(c)\) và giá trị nhỏ nhất \(f(d)\) trên đoạn. Chứng minh cần một dạng tinh tế hơn của tính liền mạch, và ta nhận định lý này không chứng minh.
Chương 36 sẽ dùng Định lý 4 để tìm những giá trị lớn nhất cụ thể: nó bảo đảm rằng thứ ta tìm có tồn tại.
Sợi chỉ
- S4. Cục bộ và toàn cục. Liên tục là tính chất tại từng điểm, "không có bất ngờ cục bộ". Vậy mà định lý giá trị trung gian rút ra một kết luận về cả đoạn: không có bất ngờ ở đâu cả thì hàm không thể nhảy qua một giá trị nào. Hai điểm đối xứng cùng nhiệt độ là một kết luận toàn cục như thế, chỉ từ giả thiết cục bộ về sự liên tục.
- S5. Rời rạc và liên tục. Bước nhảy là dấu vết của sự rời rạc hóa: làm tròn xuống (Chương 22), cước tính tròn theo km, thuế tính trên toàn bộ thu nhập. Phương pháp chia đôi làm chiều ngược lại: một dãy bước rời rạc chỉ ra một điểm của trục số liền mạch, như Chương 11.
- S7. Xấp xỉ và sai số. Liên tục nghĩa là sai số nhỏ ở đầu vào chỉ gây sai số nhỏ ở đầu ra, điều kiện để mọi phép tính với số đã làm tròn có nghĩa. Chia đôi giảm sai số một nửa mỗi bước: 20 bước cho sai số dưới \(10^{-6}\) trên một đoạn dài 1.
Tóm tắt¶
- "Cứ thay số vào" đúng khi và chỉ khi hàm liên tục tại điểm ấy: \(f(a)\) xác định, giới hạn tồn tại, và hai số bằng nhau.
- Liên tục là "không có bất ngờ cục bộ": sai số nhỏ ở đầu vào chỉ gây sai số nhỏ ở đầu ra.
- Ba kiểu gián đoạn thường gặp: lỗ bỏ được, bước nhảy, vô cực; ngoài ra còn những cách hỏng như dao động mãi.
- Tổng, tích, hợp, thương (mẫu khác 0) của hàm liên tục là liên tục; mọi đa thức liên tục.
- Định lý giá trị trung gian: hàm liên tục trên một đoạn nhận mọi giá trị giữa hai giá trị ở hai đầu; nó chứng minh phương trình có nghiệm mà không cần tìm ra nghiệm.
- Phương pháp chia đôi tìm nghiệm với sai số giảm một nửa mỗi bước.
- Trên một đoạn, hàm liên tục đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất; bỏ liên tục hay bỏ đầu mút thì kết luận có thể hỏng.
Bài tập¶
A. Tư duy¶
A1. "Hàm liên tục là hàm vẽ được mà không nhấc bút." Câu này đúng tới đâu? Cho một ví dụ mà hình ảnh ấy dẫn sai.
Lời giải
Trên một khoảng, với những hàm quen thuộc như đa thức, hình ảnh ấy khớp với định nghĩa. Nhưng nó dẫn sai theo cả hai chiều. \(\frac1x\) liên tục tại mọi điểm của miền xác định, mà đồ thị có hai nhánh rời nhau; hình ảnh nhấc bút ở 0 đến từ việc 0 không thuộc miền, không từ một điểm gián đoạn. Và \(x\sin\frac1x\) (đặt bằng 0 tại 0) liên tục tại 0, nhưng dao động vô số lần gần 0, không vẽ tay được. Liên tục là tính chất tại từng điểm, định nghĩa bằng giới hạn, không phải một nhận xét về nét vẽ.
A2. Vì sao tính liên tục quan trọng khi ta đo đạc và tính toán với số đã làm tròn? Dùng hai cách tính thuế ở Ví dụ 3 để minh họa.
Lời giải
Mọi số đo đều có sai số. Nếu quy luật liên tục tại điểm đang xét, đầu vào sai một chút thì đầu ra cũng chỉ sai một chút, và muốn đầu ra chính xác tới đâu thì chỉ cần đo đầu vào đủ chính xác: đó chính là \(\varepsilon\) và \(\delta\). Với cách tính thuế thứ nhất, một thu nhập ghi nhầm \(10\) triệu thay cho \(9{,}999\) triệu làm thuế đổi từ 0 thành 1 triệu: sai số nhỏ tới đâu ở đầu vào cũng không bảo đảm được đầu ra gần đúng. Cách thứ hai liên tục, nên sai lệch nhỏ ở thu nhập chỉ gây sai lệch nhỏ ở thuế.
A3. Định lý giá trị trung gian cho biết phương trình \(x^5 - 3x + 1 = 0\) có nghiệm trong \([0; 1]\) mà không chỉ ra nghiệm. So sánh với phương pháp chia đôi. Liên hệ với Chương 17.
Lời giải
Định lý là một chứng minh không xây dựng theo nghĩa của Chương 17: nó bảo đảm nghiệm tồn tại nhờ một lập luận về tính liên tục và tính liền mạch của trục số, không đưa ra nghiệm. Phương pháp chia đôi là mặt xây dựng của cùng lập luận ấy: nó dựng ra một dãy đoạn lồng nhau, và sau \(n\) bước biết nghiệm với sai số \(\frac{1}{2^n}\). Nó không bao giờ cho nghiệm "chính xác" bằng một số thập phân hữu hạn, nhưng cho được nghiệm chính xác tới mức ta muốn.
B. Tính toán¶
B1. Tại điểm đã cho, hàm liên tục hay gián đoạn, và nếu gián đoạn thì kiểu nào? (a) \(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\) tại 2; (b) \(\frac{\lvert x \rvert}{x}\) tại 0; (c) \(\frac{1}{x + 1}\) tại \(-1\); (d) \(\lfloor x \rfloor\) tại 3; (e) \(x^2 + 1\) tại 1.
Lời giải
(a) Gián đoạn bỏ được: với \(x \neq 2\) biểu thức bằng \(x + 2\), giới hạn 4, nhưng không xác định tại 2. (b) Gián đoạn bước nhảy: giới hạn bên phải 1, bên trái \(-1\). (c) Gián đoạn vô cực: bên phải tiến tới \(+\infty\), bên trái tới \(-\infty\). (d) Gián đoạn bước nhảy: bên trái 2, bên phải và giá trị tại 3 đều là 3. (e) Liên tục: đa thức, giới hạn bằng giá trị 2.
B2. (a) Tìm \(k\) để \(f(x) = kx + 1\) khi \(x < 1\) và \(f(x) = x^2 + 3\) khi \(x \geq 1\) liên tục tại 1. (b) Tìm \(k\) để hàm \(g(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}\) khi \(x \neq 3\), \(g(3) = k\) liên tục tại 3.
Lời giải
(a) Bên trái tiến tới \(k + 1\); bên phải và giá trị tại 1 là \(1 + 3 = 4\). Cần \(k + 1 = 4\), tức \(k = 3\). (b) Giới hạn tại 3 là 6 (Chương 31), nên \(k = 6\): vá đúng lỗ bỏ được.
B3. Dùng định lý giá trị trung gian, chứng minh: (a) \(x^3 + x - 1 = 0\) có nghiệm trong \([0; 1]\); (b) \(\cos x = x\) có nghiệm trong \(\left[0; \frac{\pi}{2}\right]\).
Lời giải
(a) \(f(x) = x^3 + x - 1\) là đa thức, liên tục; \(f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)\), nên có nghiệm trong \((0; 1)\). (b) Xét \(h(x) = \cos x - x\), liên tục (hiệu của hai hàm liên tục); \(h(0) = 1 > 0\) và \(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} < 0\), nên có \(c\) với \(h(c) = 0\), tức \(\cos c = c\).
B4. Làm bốn bước chia đôi cho \(x^3 + x - 1 = 0\) trên \([0; 1]\). Đoạn cuối là gì, dài bao nhiêu?
Lời giải
\(f(0{,}5) = -0{,}375 < 0\): giữ \([0{,}5; 1]\). \(f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0\): giữ \([0{,}5; 0{,}75]\). \(f(0{,}625) \approx -0{,}131 < 0\): giữ \([0{,}625; 0{,}75]\). \(f(0{,}6875) \approx 0{,}0125 > 0\): giữ \([0{,}625; 0{,}6875]\), dài \(\frac{1}{16} = 0{,}0625\). Nghiệm thật là khoảng \(0{,}6823\), nằm trong đoạn ấy.
B5. Cần bao nhiêu bước chia đôi để sai số dưới (a) \(10^{-3}\) trên đoạn \([0; 1]\); (b) \(10^{-2}\) trên đoạn \([0; 8]\)?
Lời giải
(a) Cần \(\frac{1}{2^n} < 10^{-3}\), tức \(2^n > 1000\): \(2^9 = 512\) chưa đủ, \(2^{10} = 1024\) đủ, nên 10 bước. (b) Cần \(\frac{8}{2^n} < 0{,}01\), tức \(2^n > 800\): cũng 10 bước (\(\frac{8}{1024} \approx 0{,}0078\), còn \(\frac{8}{512} \approx 0{,}0156\) chưa đủ). Đoạn dài gấp 8 lần chỉ tốn thêm 3 bước để bù, vì \(8 = 2^3\); ở đây sai số đòi hỏi cũng lỏng hơn 10 lần.
B6. Với hai cách tính thuế ở Ví dụ 3, tính thuế và thu nhập còn lại sau thuế của người có thu nhập \(9{,}99\) triệu và \(10{,}01\) triệu đồng.
Lời giải
Cách thứ nhất: \(9{,}99\) triệu không chịu thuế, còn \(9{,}99\) triệu; \(10{,}01\) triệu chịu \(1{,}001\) triệu, còn \(9{,}009\) triệu. Kiếm nhiều hơn 20 nghìn đồng mà còn lại ít hơn gần 1 triệu. Cách thứ hai: \(9{,}99\) triệu vẫn không chịu thuế; \(10{,}01\) triệu chịu \(0{,}1 \cdot 0{,}01 = 0{,}001\) triệu, tức 1.000 đồng, còn \(10{,}009\) triệu. Kiếm nhiều hơn thì còn lại nhiều hơn.
B7. Chứng minh phương trình \(x^3 - 4x + 1 = 0\) có ít nhất ba nghiệm thực. (Gợi ý: tính giá trị tại \(-3\), 0, 1, 2.)
Lời giải
Với \(f(x) = x^3 - 4x + 1\): \(f(-3) = -14\), \(f(0) = 1\), \(f(1) = -2\), \(f(2) = 1\). Hàm đổi dấu trên mỗi đoạn \([-3; 0]\), \([0; 1]\), \([1; 2]\), nên theo định lý giá trị trung gian có một nghiệm trong mỗi khoảng \((-3; 0)\), \((0; 1)\), \((1; 2)\). Ba khoảng rời nhau, nên có ít nhất ba nghiệm khác nhau.
B8. Hàm \(\frac{x + 1}{x^2 - 4}\) liên tục ở đâu? Tại mỗi điểm gián đoạn, đó là kiểu nào?
Lời giải
Là thương hai đa thức, nó liên tục ở mọi điểm mà mẫu khác 0, tức mọi \(x \neq \pm 2\). Tại \(x = 2\), tử bằng 3 còn mẫu dồn về 0: gián đoạn vô cực. Tại \(x = -2\), tử bằng \(-1\), mẫu dồn về 0: cũng gián đoạn vô cực. Không điểm nào là lỗ bỏ được, vì tử không bằng 0 ở đó.
B9. Với nhiệt độ giả định \(T(\theta) = 20 + 5\sin\theta + 3\cos 2\theta\) dọc một đường tròn, tìm hai điểm đối xứng qua tâm có cùng nhiệt độ.
Lời giải
\(T(\theta + \pi) = 20 + 5\sin(\theta + \pi) + 3\cos(2\theta + 2\pi) = 20 - 5\sin\theta + 3\cos 2\theta\), nên \(T(\theta) - T(\theta + \pi) = 10\sin\theta\). Hiệu bằng 0 khi \(\theta = 0\): \(T(0) = 23\) và \(T(\pi) = 20 + 0 + 3 = 23\). Hai điểm ở góc 0 và góc \(\pi\) có cùng nhiệt độ 23 độ, đúng như Ví dụ 6 bảo đảm.
C. Phản ví dụ và chứng minh¶
C1. Chứng minh rằng hàm \(x \mapsto \lvert x \rvert\) liên tục tại mọi điểm. (Gợi ý: chứng minh \(\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert a \rvert \big\rvert \leq \lvert x - a \rvert\) từ bất đẳng thức tam giác.)
Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác (Chương 7), \(\lvert x \rvert = \lvert (x - a) + a \rvert \leq \lvert x - a \rvert + \lvert a \rvert\), nên \(\lvert x \rvert - \lvert a \rvert \leq \lvert x - a \rvert\). Đổi vai \(x\) và \(a\): \(\lvert a \rvert - \lvert x \rvert \leq \lvert x - a \rvert\). Vậy \(\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert a \rvert \big\rvert \leq \lvert x - a \rvert\). Cho \(\varepsilon > 0\), đáp \(\delta = \varepsilon\): khi \(\lvert x - a \rvert < \delta\) thì \(\big\lvert \lvert x \rvert - \lvert a \rvert \big\rvert < \varepsilon\). \(\square\) Đồ thị có một góc nhọn tại 0, nhưng góc nhọn không phải chỗ gián đoạn.
C2. Chứng minh rằng hàm \(D(x) = 1\) khi \(x\) hữu tỉ, \(D(x) = 0\) khi \(x\) vô tỉ, không liên tục tại bất kỳ điểm nào. Dùng sự kiện: mọi khoảng, dù ngắn đến đâu, chứa cả số hữu tỉ lẫn số vô tỉ.
Lời giải
Lấy một điểm \(a\) bất kỳ và lượt thách \(\varepsilon = \frac12\). Với mọi \(\delta > 0\), khoảng \((a - \delta; a + \delta)\) chứa một số hữu tỉ \(p\) và một số vô tỉ \(q\), nên \(D(p) = 1\) và \(D(q) = 0\). Nếu \(\lvert D(p) - D(a) \rvert < \frac12\) và \(\lvert D(q) - D(a) \rvert < \frac12\) cùng đúng, thì theo bất đẳng thức tam giác \(1 = \lvert D(p) - D(q) \rvert < 1\), vô lý. Vậy có ít nhất một điểm trong cửa sổ làm người đáp thua, với mọi \(\delta\): \(D\) không liên tục tại \(a\). \(\square\)
C3. Cho \(f\) liên tục trên \([0; 1]\) và mọi giá trị \(f(x)\) đều nằm trong \([0; 1]\). Chứng minh \(f\) có một điểm bất động, tức có \(c\) với \(f(c) = c\). Liên hệ với Chương 24.
Lời giải
Xét \(g(x) = f(x) - x\), liên tục trên \([0; 1]\). Vì \(f(0) \geq 0\) nên \(g(0) \geq 0\); vì \(f(1) \leq 1\) nên \(g(1) \leq 0\). Nếu \(g(0) = 0\) hay \(g(1) = 0\), ta có ngay điểm bất động. Nếu không, \(g(0) > 0 > g(1)\), và định lý giá trị trung gian cho \(c\) với \(g(c) = 0\), tức \(f(c) = c\). \(\square\) Ở Chương 24, ta tìm điểm bất động bằng cách lặp và thấy phép lặp có khi không hội tụ. Ở đây ta biết điểm bất động tồn tại mà không cần lặp: chỉ cần liên tục và một đoạn tự biến vào chính nó.
Câu hỏi để ngỏ¶
Giờ đã có công cụ chặt chẽ, quay lại câu hỏi mở đầu của Phần IV: vận tốc tức thời, độ dốc tại một điểm của đường cong, chính xác là gì?