Chương 13: Logarit

Câu hỏi mở đầu

Bài B9 của Chương 12 hỏi ngược: 2 mũ bao nhiêu thì bằng 32? Câu trả lời là 5, vì 32 là một lũy thừa "đẹp" của 2. Nhưng 2 mũ bao nhiêu thì bằng 1000? Vì \(2^{10} = 1024\), số mũ ấy nhỏ hơn 10 một chút; nhưng chính xác là bao nhiêu, và tính bằng cách nào? Phép toán tháo ngược lũy thừa, trả lời câu hỏi "số mũ nào?", là gì? Và vì sao người ta nói nó biến phép nhân thành phép cộng?

Câu hỏi ngược

Chương 12 hỏi xuôi: biết cơ số và số mũ, tính lũy thừa. Trong đời sống, câu hỏi ngược lại thường gặp hơn. Tiền gửi với lãi suất giả định 7% một năm thì bao lâu sẽ gấp đôi? Tờ giấy phải gấp bao nhiêu lần để dày tới Mặt Trăng? Số \(2^{100}\) có bao nhiêu chữ số? Ở cả ba câu, ta biết kết quả của một phép nhân lặp và cần tìm số lần nhân.

Với tờ giấy, Chương 12 đã có đáp số 42, nhưng bằng cách thử: tính \(2^{42}\) rồi thấy nó đủ lớn. Muốn đi thẳng từ khoảng cách tới số lần gấp, ta cần một phép toán mới.

Chương 6 đã cho thấy mỗi phép biến đổi không làm mất thông tin đều có một phép ngược. Lũy thừa có tới hai phép ngược, vì nó không giao hoán: trong \(2^3 = 8\), hai số 2 và 3 đóng hai vai khác nhau. Biết số mũ, tìm cơ số ("số nào lập phương lên được 8?") là khai căn, việc của Chương 11 và Chương 12. Biết cơ số, tìm số mũ ("2 mũ mấy được 8?") là việc của chương này.

Đếm số lần nhân

Bắt đầu từ 1 và nhân đôi liên tiếp: 1, 2, 4, 8, 16, ... Muốn tới 8 cần 3 lần nhân đôi; muốn tới 1024 cần 10 lần. Số lần nhân đôi để đi từ 1 tới một số là thứ ta muốn đặt tên. Với 1 là 0 lần. Với \(\frac12\) là \(-1\) lần: phải chia đôi một lần, tức nhân đôi "âm một lần".

Giờ hãy đi từ 1 tới \(8 \cdot 32 = 256\). Có thể đi hai chặng: nhân đôi 3 lần để tới 8, rồi từ 8 nhân đôi thêm 5 lần, vì nhân với 32 chính là nhân đôi 5 lần. Tổng cộng \(3 + 5 = 8\) lần, và quả thật \(2^8 = 256\). Đây là toàn bộ bí mật: nhân hai số là nối hai hành trình, nên số lần nhân đôi cộng lại. Phép toán mới biến nhân thành cộng không nhờ một mẹo nào; đó là luật cộng số mũ của Chương 12, nhìn từ phía bên kia.

Nhân đôi không phải cách đếm duy nhất. Đếm bằng những lần nhân 10, ta gặp một đại lượng quen thuộc: số chữ số. Số 1 có 1 chữ số; nhân 10 một lần được 10, có 2 chữ số; hai lần được 100, có 3 chữ số. Một số có \(d\) chữ số nằm từ \(10^{d-1}\) tới dưới \(10^d\), nên số lần nhân 10 để đi từ 1 tới nó nằm từ \(d - 1\) tới dưới \(d\). Đếm số lần nhân 10 gần như là đếm chữ số.

Còn khi số lần không phải số nguyên? 1000 không phải lũy thừa của 2: nhân đôi 9 lần được 512, chưa tới; 10 lần được 1024, đã vượt. Số lần cần tìm nằm giữa 9 và 10. Chương 12 đã cho phép "nhân đôi một số lần không nguyên", chẳng hạn \(2^{9{,}5} = 2^9 \cdot \sqrt2 \approx 724\). Vậy câu hỏi có nghĩa, và như ta sẽ thấy, đáp số khoảng \(9{,}97\).

Ký hiệu

Với \(b > 0\), \(b \neq 1\) và \(x > 0\), logarit (logarithm) cơ số \(b\) của \(x\), viết \(\log_b x\), là số mũ \(y\) sao cho \(b^y = x\):

\[ \log_b x = y \quad \text{nghĩa là} \quad b^y = x . \]

Chẳng hạn \(\log_2 8 = 3\) vì \(2^3 = 8\); \(\log_{10} 1000 = 3\); \(\log_2 \frac12 = -1\); và \(\log_b 1 = 0\) với mọi cơ số, vì \(b^0 = 1\). Hai đẳng thức sau nói rằng lũy thừa và logarit tháo ngược nhau:

\[ b^{\log_b x} = x, \qquad \log_b \left(b^y\right) = y . \]

Đồ thị (graph) \(y = 2^x\) và \(y = \log_2 x\) đối xứng qua đường \(y = x\): điểm \((1; 2)\) của đồ thị thứ nhất ứng với điểm \((2; 1)\) của đồ thị thứ hai. Đổi vai đầu vào và đầu ra là lật hình qua đường chéo.

Logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân (common logarithm). Sách giáo khoa Việt Nam thường viết \(\log x\) hoặc \(\lg x\) thay cho \(\log_{10} x\). Cách viết tắt ấy là quy ước, và mỗi lĩnh vực một khác: trong nhiều sách toán cao cấp, \(\log x\) lại chỉ logarit với cơ số là số \(e\) (Euler's number), một hằng số sẽ xuất hiện ở Chương 29; còn trong tin học, \(\log x\) thường là \(\log_2 x\). Trong sách này, \(\log x\) không ghi cơ số luôn là \(\log_{10} x\). Khi đọc tài liệu khác, hãy xem cơ số trước.

Làm bằng tay

Ví dụ 1 (tính từ định nghĩa). \(\log_2 1024 = 10\) vì \(2^{10} = 1024\). \(\log_{10} 0{,}001 = -3\) vì \(10^{-3} = 0{,}001\). \(\log_3 \frac19 = -2\) vì \(3^{-2} = \frac19\). \(\log_4 8 = \frac32\) vì \(4^{\frac32} = \left(\sqrt4\right)^3 = 8\). \(\log_{27} 3 = \frac13\) vì \(\sqrt[3]{27} = 3\).

Ví dụ 2 (\(\log_2 1000\)). Ta biết \(9 < \log_2 1000 < 10\). Chia đôi khoảng số mũ như cách Chương 11 kẹp \(\sqrt2\), mỗi bước thử lũy thừa của 2 tại điểm giữa (các lũy thừa được tính bằng máy):

Bước	Số mũ thử \(m\)	\(2^m\) xấp xỉ	Khoảng chứa \(\log_2 1000\)
1	\(9{,}5\)	\(724{,}1\)	\([9{,}5; 10]\)
2	\(9{,}75\)	\(861{,}1\)	\([9{,}75; 10]\)
3	\(9{,}875\)	\(939{,}0\)	\([9{,}875; 10]\)
4	\(9{,}9375\)	\(980{,}6\)	\([9{,}9375; 10]\)
5	\(9{,}96875\)	\(1002{,}1\)	\([9{,}9375; 9{,}96875]\)
6	\(9{,}953125\)	\(991{,}3\)	\([9{,}953125; 9{,}96875]\)

Sau sáu bước, \(\log_2 1000 \approx 9{,}96\). Có một đường ngắn hơn nhiều. Vì \(1000 = 10^3\) và \(10 = 2^{\log_2 10}\), ta có \(1000 = 2^{3 \log_2 10}\), nên \(\log_2 1000 = 3 \log_2 10\). Mà \(\log_2 10 = \frac{1}{\log 2}\) (Định lý 5 ở cuối chương), với \(\log 2 \approx 0{,}30103\). Vậy

\[ \log_2 1000 = \frac{3}{\log 2} \approx \frac{3}{0{,}30103} \approx 9{,}966 . \]

Ví dụ 3 (số chữ số của \(2^{100}\)). Vì logarit biến lũy thừa thành phép nhân, \(\log\left(2^{100}\right) = 100 \cdot \log 2 \approx 30{,}103\). Vậy \(10^{30} < 2^{100} < 10^{31}\), và \(2^{100}\) có 31 chữ số. Thật vậy,

\[ 2^{100} = 1.267.650.600.228.229.401.496.703.205.376 . \]

Mẹo \(2^{10} \approx 10^3\) của Chương 12 cho cùng kết luận: \(2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} \approx 10^{30}\).

Ví dụ 4 (lãi suất và quy tắc 70). Với lãi suất giả định 7% một năm và lãi nhập gốc, sau \(n\) năm số tiền được nhân với \(1{,}07^n\). Cần tìm \(n\) với \(1{,}07^n = 2\):

\[ n = \log_{1{,}07} 2 = \frac{\log 2}{\log 1{,}07} \approx \frac{0{,}30103}{0{,}029384} \approx 10{,}24 \text{ năm}. \]

Kiểm lại: \(1{,}07^{10} \approx 1{,}967\) còn thiếu, \(1{,}07^{11} \approx 2{,}105\) đã vượt.

Người làm tài chính hay dùng quy tắc 70 (rule of 70): thời gian nhân đôi (doubling time) xấp xỉ 70 chia cho lãi suất tính theo phần trăm; với 7% là 10 năm. Vì sao lại là 70? Hãy xem \(\log(1 + \frac{r}{100})\) với vài lãi suất \(r\) nhỏ: với \(r = 1\), được \(0{,}00432\); với \(r = 2\), \(0{,}00860\); với \(r = 5\), \(0{,}02119\); với \(r = 7\), \(0{,}02938\). Các số này gần tỉ lệ thuận với \(r\): chia mỗi số cho \(r\), ta được \(0{,}00432\); \(0{,}00430\); \(0{,}00424\); \(0{,}00420\), và \(r\) càng nhỏ thì thương càng gần \(0{,}004343\). Vậy với lãi suất nhỏ, thời gian nhân đôi xấp xỉ \(\frac{0{,}30103}{0{,}004343 \cdot r} \approx \frac{69{,}3}{r}\). Con số \(69{,}3\) là cấu trúc; chọn 70, hay 72 vì 72 chia hết cho nhiều số, là quy ước cho dễ nhẩm. Còn vì sao hằng số lại là \(0{,}004343\) thì có một lời giải thích sâu hơn, gắn với số \(e\) ở Chương 29.

Thời gian nhân đôi đúng (chấm) và quy tắc 70 (đường). Với lãi suất nhỏ, hai bên gần như trùng nhau; lãi suất càng lớn, quy tắc càng lệch.

Ví dụ 5 (giải \(3^x = 20\)). Lấy logarit hai vế: \(x \log 3 = \log 20\), nên

\[ x = \frac{\log 20}{\log 3} \approx \frac{1{,}30103}{0{,}47712} \approx 2{,}727 . \]

Để ý \(\log 20 = \log 2 + \log 10 \approx 0{,}30103 + 1\): logarit biến phép nhân \(2 \cdot 10\) thành phép cộng. Kiểm lại: \(3^2 = 9 < 20 < 27 = 3^3\), nên \(x\) phải nằm giữa 2 và 3, và máy tính cho \(3^{2{,}727} \approx 20{,}0\).

Thang logarit

Trên thang thường, còn gọi là thang tuyến tính, những khoảng cách bằng nhau ứng với những hiệu bằng nhau: đoạn từ 1 tới 2 dài bằng đoạn từ 10 tới 11. Trên thang logarit (logarithmic scale), mỗi số \(x\) được đặt tại vị trí \(\log x\), nên những khoảng cách bằng nhau ứng với những tỉ số bằng nhau: đoạn từ 1 tới 2 dài bằng đoạn từ 10 tới 20, bằng đoạn từ 500 tới 1000, vì mỗi đoạn là một lần nhân đôi.

Hình dưới vẽ cùng một dãy số liệu trên hai thang: 1 triệu đồng gửi với lãi suất giả định 7% một năm, trong 60 năm. Trên thang tuyến tính, ba mươi năm đầu trông như chẳng có gì, rồi đường cong vọt lên. Trên thang logarit, cả 60 năm là một đường thẳng: mỗi năm nhân với cùng một số \(1{,}07\), tức cộng thêm cùng một đoạn \(\log 1{,}07\). Các lần gấp đôi cách đều nhau, khoảng 10 năm một lần. Đây là lời giải thích mà hình tờ giấy gấp đôi ở Chương 12 đã hẹn.

Cùng một số liệu: 1 triệu đồng với lãi suất giả định 7% một năm. Trên thang logarit, sự tăng theo tỉ lệ cố định thành một đường thẳng, và mỗi lần gấp đôi chiếm một đoạn bằng nhau.

Nhiều thang đo quen thuộc được xây theo cách này, vì các đại lượng ấy trải qua rất nhiều bậc độ lớn. Mức cường độ âm tính bằng decibel: tăng 10 decibel nghĩa là cường độ âm gấp 10 lần. Độ pH đo độ axit: giảm 1 đơn vị pH nghĩa là nồng độ ion hydro gấp 10 lần. Trên những thang như thế, "tăng một bậc" không phải là cộng thêm một chút, mà là nhân lên nhiều lần.

Thước trượt (slide rule), công cụ tính toán quen thuộc của kỹ sư trước khi có máy tính bỏ túi, là hai thang logarit đặt sát nhau. Trượt thước trên để vạch 1 của nó nằm ngay vạch 2 của thước dưới. Khi ấy đoạn từ 1 tới 3 trên thước trên, dài \(\log 3\), nối tiếp đoạn từ 1 tới 2 trên thước dưới, dài \(\log 2\), và đầu mút rơi đúng vào vạch 6, vì \(\log 2 + \log 3 = \log 6\). Người dùng thước trượt nhân bằng cách cộng độ dài, đúng như ý "nhân là nối hai hành trình".

Thước trượt tính \(2 \cdot 3\): vạch 1 của thước trên đặt ngay vạch 2 của thước dưới, và vạch 3 của thước trên chỉ vào vạch 6.

Ranh giới

Logarit của 0 và của số âm không xác định. Mọi lũy thừa của một cơ số dương đều dương (Chương 12), nên không có \(y\) nào với \(2^y = 0\) hay \(2^y = -4\). Vậy \(\log_2 0\) và \(\log_2(-4)\) không xác định, theo đúng nghĩa "vô nghiệm" của Chương 9. Khi \(x\) dương và tiến về 0, \(\log_2 x\) lao xuống: \(\log_2 \frac{1}{1024} = -10\), \(\log_2 10^{-6} \approx -19{,}9\). Đồ thị của \(\log_2 x\) đi xuống dọc trục đứng mãi mà không chạm nó.

Cơ số 1 và cơ số không dương thì không dùng được. \(1^y = 1\) với mọi \(y\): lũy thừa của 1 dồn mọi số mũ về cùng một kết quả, nên không tháo ngược được. Cơ số âm thì lũy thừa với số mũ phân số không xác định (Chương 12), còn cơ số 0 cho \(0^y = 0\) với mọi \(y > 0\).

\(\log(x + y) \neq \log x + \log y\). Logarit biến nhân thành cộng, không biến cộng thành cộng: \(\log(10 + 10) = \log 20 \approx 1{,}301\), còn \(\log 10 + \log 10 = 2 = \log 100\). Không có công thức gọn nào cho logarit của một tổng.

Quy tắc 70 chỉ tốt khi lãi suất nhỏ. Với lãi suất 70% một năm, quy tắc cho 1 năm, nhưng sau 1 năm số tiền mới nhân với \(1{,}7\); thời gian nhân đôi thật là khoảng \(1{,}31\) năm. Xấp xỉ \(\log(1 + \frac{r}{100}) \approx 0{,}004343 \cdot r\) chỉ tốt khi \(r\) nhỏ.

Đọc biểu đồ trục logarit cần cẩn thận. Trên thang logarit, đoạn từ 1.000 tới 2.000 dài bằng đoạn từ 1 tới 2. Hai đường song song nghĩa là hai đại lượng tăng theo cùng một tỉ lệ, không phải cùng một lượng. Người quen đọc thang tuyến tính dễ đánh giá sai cả hai điều ấy (bài A3).

Phát biểu chặt chẽ

Mệnh đề 1 (tồn tại và duy nhất). Cho \(b > 0\), \(b \neq 1\) và \(x > 0\). Có đúng một số thực \(y\) sao cho \(b^y = x\).

Về chứng minh. Tính duy nhất là dễ: với \(b > 1\), số mũ lớn hơn cho lũy thừa lớn hơn, nên hai số mũ khác nhau cho hai lũy thừa khác nhau; với \(0 < b < 1\), số mũ lớn hơn cho lũy thừa nhỏ hơn, và lập luận y hệt. Sự tồn tại khó hơn. Cách chia đôi ở Ví dụ 2 tạo ra một dãy khoảng lồng nhau, và tính liền mạch của trục số thực (Chương 11) cho một số \(y\) nằm trong mọi khoảng. Để thấy \(b^y\) đúng bằng \(x\), còn cần biết \(b^y\) thay đổi liền mạch theo \(y\), điều sẽ được làm chặt chẽ ở Phần IV. Ở đây ta nhận Mệnh đề 1.

Định nghĩa 2. Với \(b > 0\), \(b \neq 1\) và \(x > 0\), \(\log_b x\) là số thực duy nhất \(y\) thỏa \(b^y = x\).

Định lý 3 (logarit biến nhân thành cộng). Với \(b > 0\), \(b \neq 1\) và \(x\), \(y\) dương: \(\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y\).

Chứng minh. Đặt \(u = \log_b x\) và \(v = \log_b y\), tức \(b^u = x\) và \(b^v = y\). Theo luật cộng số mũ, \(b^{u+v} = b^u \cdot b^v = xy\). Vậy \(u + v\) là một số mũ đưa \(b\) tới \(xy\); theo Mệnh đề 1 nó là số mũ duy nhất như thế, tức \(\log_b(xy) = u + v\). \(\square\)

Hệ quả 4. Với \(x\), \(y\) dương và mọi số thực \(k\): \(\log_b \frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y\) và \(\log_b \left(x^k\right) = k \log_b x\) (bài C1).

Định lý 5 (đổi cơ số). Với \(a\), \(b\) dương, khác 1, và \(x > 0\): \(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\).

Chứng minh. Đặt \(y = \log_a x\), tức \(a^y = x\). Lấy logarit cơ số \(b\) hai vế và dùng Hệ quả 4: \(y \cdot \log_b a = \log_b x\). Vì \(a \neq 1\) nên \(\log_b a \neq 0\) (chỉ có \(b^0 = 1\)). Chia hai vế cho \(\log_b a\), ta được điều cần chứng minh. \(\square\)

Định lý 5 nói rằng các logarit với những cơ số khác nhau chỉ khác nhau một hệ số. Có một bảng logarit thập phân là tính được logarit với mọi cơ số, đúng như Ví dụ 2 và Ví dụ 5 đã làm. Trường hợp \(x = b\) cho \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\), và đó là lý do \(\log_2 10 = \frac{1}{\log 2}\).

Mệnh đề 6 (đếm chữ số). Một số nguyên dương \(N\) có đúng \(d\) chữ số khi và chỉ khi \(d - 1 \leq \log N < d\).

Chứng minh. \(N\) có \(d\) chữ số khi và chỉ khi \(10^{d-1} \leq N < 10^d\), vì số nhỏ nhất có \(d\) chữ số là \(10^{d-1}\) và số lớn nhất là \(10^d - 1\). Logarit cơ số 10 giữ nguyên thứ tự (số lớn hơn có logarit lớn hơn), nên điều này tương đương với \(d - 1 \leq \log N < d\). \(\square\)

Sợi chỉ

• S2. Thông tin và khả nghịch. Lũy thừa và logarit là một cặp tháo ngược nhau, và đồ thị của chúng là ảnh của nhau qua đường \(y = x\). Lũy thừa có hai phép ngược (khai căn và logarit) vì nó không giao hoán. Cơ số 1 dồn mọi số mũ về một kết quả, nên không có logarit, đúng như bài học của Chương 6.
• S1. Bất biến qua biến đổi. Logarit dịch cấu trúc nhân thành cấu trúc cộng mà không làm mất gì: tích thành tổng, 1 thành 0, nghịch đảo thành số đối (\(\log \frac1x = -\log x\)), lũy thừa thành phép nhân với một số. Các luật của phép nhân được giữ nguyên qua phép dịch ấy, và đó là lý do thước trượt chạy được.
• S6. Biểu diễn khác nhau của cùng một cấu trúc. Cùng một số liệu, trên thang tuyến tính là một đường cong vọt lên, trên thang logarit là một đường thẳng. Logarit là đếm số lần nhân đôi, là đếm chữ số, là độ dài trên thước trượt, là số mũ.
• S7. Xấp xỉ và sai số. Quy tắc 70 là một xấp xỉ tốt khi lãi suất nhỏ và kém dần khi lãi suất lớn. Bảng chia đôi ở Ví dụ 2 cho biết mình sai nhiều nhất bao nhiêu, như các khoảng lồng nhau ở Chương 11.

Tóm tắt

• \(\log_b x\) là số mũ \(y\) với \(b^y = x\) (với \(b > 0\), \(b \neq 1\), \(x > 0\)); lũy thừa và logarit tháo ngược nhau.
• \(\log_2 x\) đếm số lần nhân đôi để đi từ 1 tới \(x\); \(\log x\) gần như đếm số chữ số: \(N\) có \(d\) chữ số khi và chỉ khi \(d - 1 \leq \log N < d\).
• Nhân hai số là nối hai hành trình, nên \(\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y\); kéo theo \(\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y\) và \(\log_b x^k = k \log_b x\).
• Đổi cơ số: \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\); một bảng logarit thập phân là đủ cho mọi cơ số.
• Thời gian nhân đôi với lãi suất \(r\%\) là \(\frac{\log 2}{\log(1 + r/100)}\), xấp xỉ \(\frac{70}{r}\) khi \(r\) nhỏ.
• Trên thang logarit, sự tăng theo tỉ lệ cố định là một đường thẳng; thước trượt nhân bằng cách cộng độ dài.
• Logarit của 0 và số âm không xác định; cơ số 1 không dùng được; \(\log(x + y) \neq \log x + \log y\).

Bài tập

A. Tư duy

A1. Chỉ dùng ý "đếm số lần nhân đôi", không dùng công thức, hãy giải thích vì sao \(\log_2(xy) = \log_2 x + \log_2 y\), vì sao \(\log_2 1 = 0\), và vì sao \(\log_2 \frac1x = -\log_2 x\).

Lời giải

Muốn đi từ 1 tới \(xy\), có thể đi hai chặng: nhân đôi \(\log_2 x\) lần để tới \(x\), rồi nhân đôi thêm \(\log_2 y\) lần để nhân kết quả với \(y\). Tổng số lần là \(\log_2 x + \log_2 y\).

Đi từ 1 tới 1 thì không cần nhân đôi lần nào, nên \(\log_2 1 = 0\).

Đi từ 1 tới \(x\) rồi từ \(x\) tới \(x \cdot \frac1x = 1\) là quay về chỗ cũ: tổng số lần bằng 0. Vậy chặng thứ hai, số lần nhân đôi để nhân với \(\frac1x\), bằng \(-\log_2 x\): đó là \(\log_2 x\) lần chia đôi.

A2. Vì sao không có \(\log_2 0\) và \(\log_2(-4)\)? Vì sao không ai dùng logarit cơ số 1?

Lời giải

Nhân đôi hay chia đôi 1 bao nhiêu lần cũng chỉ được số dương: mọi lũy thừa của 2 đều dương. Không số mũ nào đưa 2 tới 0 hay tới \(-4\), nên các logarit ấy không xác định.

Với cơ số 1, \(1^y = 1\) với mọi \(y\). Hỏi "1 mũ bao nhiêu thì bằng 5?" thì không có đáp số; hỏi "1 mũ bao nhiêu thì bằng 1?" thì mọi số đều là đáp số. Cả hai kiểu thất bại của phép chia cho 0 ở Chương 9 xuất hiện lại, vì "lũy thừa của 1" làm mất sạch thông tin về số mũ.

A3. Trên một biểu đồ trục đứng logarit, doanh thu giả định của hai công ty là hai đường thẳng song song. Một người kết luận: "mỗi năm hai công ty tăng thêm cùng một số tiền". Người ấy sai ở đâu? Nếu đường của công ty A nằm trên đường của công ty B một đoạn ứng với "gấp 10 lần", điều đó nói gì?

Lời giải

Trên trục logarit, khoảng cách đứng biểu diễn tỉ số chứ không phải hiệu. Hai đường thẳng song song nghĩa là mỗi năm cả hai doanh thu được nhân với cùng một số, tức tăng cùng một tỉ lệ phần trăm. Số tiền tăng thêm thì khác nhau: công ty lớn hơn tăng thêm nhiều tiền hơn.

Nếu đường A luôn nằm trên đường B một đoạn ứng với "gấp 10 lần", thì năm nào doanh thu của A cũng gấp 10 lần doanh thu của B. Vì tỉ lệ tăng như nhau, tỉ số ấy giữ nguyên, trong khi khoảng cách tính bằng tiền giữa hai công ty ngày càng lớn.

B. Tính toán

B1. Tính: (a) \(\log_2 64\); (b) \(\log_3 81\); (c) \(\log_{10} 0{,}01\); (d) \(\log_5 \frac{1}{125}\); (e) \(\log_4 2\); (f) \(\log_8 4\).

Lời giải

(a) 6. (b) 4. (c) \(-2\). (d) \(-3\). (e) \(\frac12\), vì \(4^{\frac12} = 2\). (f) \(\frac23\), vì \(8^{\frac23} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 4\).

B2. Không dùng máy tính, tính: (a) \(\log_2 12 - \log_2 3\); (b) \(\log 25 + \log 4\); (c) \(\log_3 54 - \log_3 2\); (d) \(\frac12 \log 10.000\).

Lời giải

(a) \(\log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = 2\). (b) \(\log(25 \cdot 4) = \log 100 = 2\). (c) \(\log_3 27 = 3\). (d) \(\frac12 \cdot 4 = 2\); cũng có thể viết \(\log \sqrt{10.000} = \log 100 = 2\).

B3. Biết \(\log 2 \approx 0{,}3010\) và \(\log 3 \approx 0{,}4771\), tính xấp xỉ: (a) \(\log 6\); (b) \(\log 8\); (c) \(\log 1{,}5\); (d) \(\log 5\); (e) \(\log 12\).

Lời giải

(a) \(\log 2 + \log 3 \approx 0{,}7781\). (b) \(3 \log 2 \approx 0{,}9030\). (c) \(\log 3 - \log 2 \approx 0{,}1761\). (d) \(\log \frac{10}{2} = 1 - \log 2 \approx 0{,}6990\). (e) \(2 \log 2 + \log 3 \approx 1{,}0791\).

B4. Dùng các giá trị ở bài B3, tìm số chữ số của: (a) \(3^{50}\); (b) \(5^{100}\); (c) \(2^{64}\).

Lời giải

(a) \(\log 3^{50} = 50 \log 3 \approx 23{,}86\), nằm giữa 23 và 24, nên \(3^{50}\) có 24 chữ số.

(b) \(\log 5^{100} = 100 \log 5 \approx 69{,}90\), nên \(5^{100}\) có 70 chữ số.

(c) \(\log 2^{64} = 64 \log 2 \approx 19{,}26\), nên \(2^{64}\) có 20 chữ số.

B5. Giải các phương trình (biết thêm \(\log 7 \approx 0{,}8451\)): (a) \(2^x = 10\); (b) \(5^x = 0{,}2\); (c) \(10^x = 3\); (d) \(3^{2x} = 7\).

Lời giải

(a) \(x = \log_2 10 = \frac{1}{\log 2} \approx 3{,}32\).

(b) \(0{,}2 = \frac15 = 5^{-1}\), nên \(x = -1\).

(c) \(x = \log 3 \approx 0{,}4771\).

(d) \(2x = \log_3 7 = \frac{\log 7}{\log 3} \approx \frac{0{,}8451}{0{,}4771} \approx 1{,}771\), nên \(x \approx 0{,}886\).

B6. Dùng công thức đổi cơ số, tính: (a) \(\log_4 32\); (b) \(\log_9 27\); (c) \(\log_{\frac12} 8\).

Lời giải

(a) \(\frac{\log_2 32}{\log_2 4} = \frac52\). Kiểm lại: \(4^{\frac52} = \left(\sqrt4\right)^5 = 32\).

(b) \(\frac{\log_3 27}{\log_3 9} = \frac32\).

(c) \(\frac{\log_2 8}{\log_2 \frac12} = \frac{3}{-1} = -3\). Kiểm lại: \(\left(\frac12\right)^{-3} = 2^3 = 8\).

B7. Tính thời gian nhân đôi đúng và theo quy tắc 70 với lãi suất giả định (a) 5%, (b) 10%, (c) 1% một năm. Biết \(\log 1{,}05 \approx 0{,}021189\), \(\log 1{,}1 \approx 0{,}041393\), \(\log 1{,}01 \approx 0{,}0043214\).

Lời giải

(a) \(\frac{0{,}30103}{0{,}021189} \approx 14{,}21\) năm; quy tắc 70 cho 14 năm.

(b) \(\frac{0{,}30103}{0{,}041393} \approx 7{,}27\) năm; quy tắc cho 7 năm.

(c) \(\frac{0{,}30103}{0{,}0043214} \approx 69{,}66\) năm; quy tắc cho 70 năm.

Với lãi suất càng nhỏ, quy tắc càng sát.

B8. Một đại lượng giảm 20% mỗi năm (giả định). Sau ít nhất bao nhiêu năm thì nó còn dưới một nửa giá trị ban đầu? Chú ý dấu của \(\log 0{,}8\).

Lời giải

Sau \(n\) năm, đại lượng được nhân với \(0{,}8^n\). Cần \(0{,}8^n < \frac12\). Lấy logarit hai vế (logarit giữ thứ tự): \(n \log 0{,}8 < \log 0{,}5\). Ở đây \(\log 0{,}8 = \log 8 - 1 \approx -0{,}0969\) là số âm, nên khi chia hai vế cho nó, chiều bất đẳng thức đổi ngược:

\[ n > \frac{\log 0{,}5}{\log 0{,}8} \approx \frac{-0{,}30103}{-0{,}09691} \approx 3{,}11 . \]

Vậy cần ít nhất 4 năm. Kiểm lại: \(0{,}8^3 = 0{,}512\) còn trên một nửa, \(0{,}8^4 = 0{,}4096\) đã dưới.

B9. Trên một thang logarit, đoạn từ 1 tới 10 dài 1 đơn vị. Tính độ dài các đoạn: (a) từ 2 tới 20; (b) từ 3 tới 9; (c) từ 1 tới 2 và từ 5 tới 10; (d) từ 1 tới 1.000.000.

Lời giải

Độ dài đoạn từ \(p\) tới \(q\) là \(\log q - \log p = \log \frac qp\).

(a) \(\log 10 = 1\). (b) \(\log 3 \approx 0{,}477\). (c) Cả hai đều là \(\log 2 \approx 0{,}301\), vì \(\frac21 = \frac{10}{5}\). (d) \(\log 10^6 = 6\).

B10. Thử với số cụ thể để xem các "luật" sau đúng hay sai: (a) \(\log(x + y) = \log x + \log y\); (b) \(\log \frac xy = \frac{\log x}{\log y}\); (c) \(\log\left(x^2\right) = (\log x)^2\); (d) \(\log_a b \cdot \log_b a = 1\).

Lời giải

(a) Sai: \(\log(10 + 10) \approx 1{,}301\) còn \(\log 10 + \log 10 = 2\).

(b) Sai: \(\log \frac{100}{10} = 1\) còn \(\frac{\log 100}{\log 10} = 2\).

(c) Sai: với \(x = 1000\), \(\log 10^6 = 6\) còn \((\log 1000)^2 = 9\). Với \(x = 100\) thì hai vế cùng bằng 4, một trùng hợp; luật đúng là \(\log\left(x^2\right) = 2 \log x\).

(d) Đúng, với \(a\), \(b\) dương và khác 1 (bài C3).

C. Phản ví dụ và chứng minh

C1. Chứng minh Hệ quả 4: với \(b > 0\), \(b \neq 1\), \(x\), \(y\) dương và mọi số thực \(k\), \(\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y\) và \(\log_b \left(x^k\right) = k \log_b x\).

Lời giải

Theo Định lý 3, \(\log_b \frac xy + \log_b y = \log_b \left(\frac xy \cdot y\right) = \log_b x\). Chuyển vế được \(\log_b \frac xy = \log_b x - \log_b y\).

Đặt \(u = \log_b x\), tức \(b^u = x\). Theo luật lũy thừa của lũy thừa (Chương 12), \(b^{ku} = \left(b^u\right)^k = x^k\). Vậy \(ku\) là số mũ đưa \(b\) tới \(x^k\), và theo Mệnh đề 1 nó là số mũ duy nhất như thế: \(\log_b\left(x^k\right) = k \log_b x\). \(\square\)

C2. Chứng minh rằng \(\log_2 3\) là số vô tỉ.

Lời giải

Giả sử ngược lại, \(\log_2 3 = \frac pq\) với \(p\), \(q\) nguyên. Vì \(3 > 1 = 2^0\) nên \(\log_2 3 > 0\), và có thể coi \(p\), \(q\) nguyên dương. Khi đó \(2^{\frac pq} = 3\). Nâng hai vế lên lũy thừa bậc \(q\): \(2^p = 3^q\). Vế trái là số chẵn vì \(p \geq 1\); vế phải là tích của các thừa số lẻ nên là số lẻ. Một số không thể vừa chẵn vừa lẻ, nên điều giả sử là sai: \(\log_2 3\) vô tỉ. \(\square\)

Đây là một chứng minh phản chứng nữa, với cùng một vũ khí như ở Chương 11: tính chẵn lẻ, hay nói chung là tính duy nhất của phân tích ra thừa số nguyên tố.

C3. Cho \(a\), \(b\), \(c\) dương, \(a \neq 1\), \(b \neq 1\). Chứng minh rằng \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\). Suy ra \(\log_a b \cdot \log_b a = 1\).

Lời giải

Theo Định lý 5, đổi cả hai logarit sang cơ số 10: \(\log_a b = \frac{\log b}{\log a}\) và \(\log_b c = \frac{\log c}{\log b}\). Nhân lại, \(\log b\) triệt tiêu (nó khác 0 vì \(b \neq 1\)): \(\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log c}{\log a} = \log_a c\). Lấy \(c = a\): \(\log_a b \cdot \log_b a = \log_a a = 1\). \(\square\)

Theo cách "đếm số lần nhân": đi từ 1 tới \(c\) bằng những bước nhân \(b\) cần \(\log_b c\) bước; mỗi bước nhân \(b\) lại bằng \(\log_a b\) bước nhân \(a\). Tổng số bước nhân \(a\) là tích của hai số ấy.

Câu hỏi để ngỏ

Phần I khép lại ở đây. Suốt phần này ta đã nói "nếu ... thì ...", "với mọi số ...", "tồn tại số ...", và đã dùng phản chứng cho \(\sqrt2\) rồi cho \(\log_2 3\). Những câu ấy có nghĩa chính xác là gì, và khi nào một lập luận thật sự đúng?